Hệ điều khiển tuyến tính trên thang thời gian

Nghiên cứu giải tích trên thang thời gian xem [2], [3] đã dẫn đến một số áp dụng quan trọng, chẳng hạn trong nghiên cứu về mô hình mật độ côn trùng, nghiên cứu về hệ thần kinh, quá trìn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ TÂM

HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH TRÊN

THANG THỜI GIAN

Thái Nguyên – 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

NGUYỄN THỊ TÂM

HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH TRÊN

THANG THỜI GIAN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố

Nguyễn Thị Tâm

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến PGS.TS Tạ Duy Phượng - người đã hướng dẫn tỉ mỉ, tận tình không chỉ về mă ̣t khoa ho ̣c mà cả về cách trình bày mô ̣t văn bản khoa ho ̣c, để tôi hoàn thành luận văn này một cách tốt nhất

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học, giúp tôi hoàn thành khóa cao học một cách thuận lợi

Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân, bạn bè đã luôn ở bên cạnh động viên, chia sẻ và chăm sóc cho tôi trong quá trình học tập cũng như trong cuộc sống

Nguyễn Thị Tâm

MỤC LỤC

Mở đầu 6

Chương 1 GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN 1.1 Thang thời gian……….8

1.1.1 Định nghĩa thang thời gian ………8

1.1.2 Các định nghĩa cơ bản ……… 8

1.2 Phép tính vi phân ……….10

1.2.1 Định nghĩa hàm chính quy ………… 10

1.2.2 Định nghĩa rd-liên tục ……… 10

1.2.3 Định nghĩa đạo hàm ……… 11

1.2.4 Tính chất của đạo hàm ……… 13

1.3 Phép toán tích phân ……… …… 17

1.3.1 Tồn tại tiền - nguyên hàm .………… 17

1.3.2 Nguyên hàm ……… ………… 18

1.3.3 Bảng tổng kết và so sánh .………… 19

Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH TRÊN THANG THỜI GIAN 2.1 Hệ động lực trên thang thời gian 20

2.2 Tính điều khiển được của hệ động lực trên thang thời gian 23

2.2.1 Hệ động lực không dừng có điều khiển 23

2.2.2 Hệ động lực tuyến tính với hệ hằng 28

2.3 Tính quan sát được……….……… 36

2.3.1 Hệ động lực không dừng 36

2.3.2 Hệ động lực với hệ số hằng ………….……… 38

2.4 Tính ổn định hóa được……….……… 41

2.4.2 Tính ổn định BIBO cho hệ không dừng ………… 42 2.3.3 Tính BIBO ổn định trong hệ với hệ số hằng ………… ………… 45

Kết luận……… 53 Tài liệu tham khảo 54

MỞ ĐẦU

Giải tích trên thang thời gian, lần đầu tiên được trình bày bởi Stefan Hilger trong luận án tiến sĩ của Ông [6] vào năm 1988 (dưới sự hướng dẫn của Bernd Aulbach) nhằm thống nhất giải tích liên tục và rời rạc Nghiên cứu giải tích trên thang thời gian (xem [2], [3]) đã dẫn đến một số áp dụng quan trọng, chẳng hạn trong nghiên cứu về mô hình mật

độ côn trùng, nghiên cứu về hệ thần kinh, quá trình biến đổi nhiệt, cơ học lượng tử và mô hình bệnh dịch

Việc phát triển lý thuyết hệ động lực trên thang thời gian (xem [2], [3], [4], [5],

[7]) dẫn đến các kết quả tổng quát và do đó có thể áp dụng cho các thang thời gian tổng quát chứ a các trường hợp liên tục và rời rạc như là các trường hợp riêng Ta biết rằng, có nhiều kết quả của hệ phương trình vi phân được thực hiện khá dễ dàng và tự nhiên cho phương trình sai phân Tuy nhiên, có những kết quả dễ dàng trình bày cho phương trình

vi phân lại không hề đơn giản cho phương trình sai phân và ngược lại Việc nghiên cứu phương trình động lực tuyến tính trên thang thời gian cho ta một cái nhìn tổng quát để khắc phục tính không nhất quán này giữa phương trình vi phân liên tục và phương trình sai phân rời rạc

Ta có thể lấy thang thời gian là tập các số thực, kết quả tổng quát thu được sẽ trở

về với kết quả trong phương trình vi phân thường Nếu lấy thang thời gian là tập các số nguyên, kết quả tổng quát thu được sẽ trở về với kết quả trong phương trình sai phân Tuy nhiên, các thang thời gian có cấu trúc phong phú hơn tập số thực và tập số nguyên nên kết quả thu được là tổng quát hơn nhiều so với các kết quả trên tập các số thực và trên tập các số nguyên Do vậy, đặc trưng cơ bản của các thang thời gian là thống nhất và

mở rộng

Mục đích của luận văn này là trình bày một cách hệ thống một số tính chất định tính của hệ động lực trên thang thời gian: tính điều khiển được và quan sát được , tính ổn định và ổn đi ̣nh hóa, chủ yếu dựa trên [4], [5] và [7]

Chương 1 trình bày các kiến thức cơ sở về giải tích trên thang thời gian theo [2], [3] Chương 2 trình bày các tính chất định tính của hệ động lực tuyến tính trên thang thời gian theo [4], [5] và [7] Chương này tập trung nghiên cứu về tính điều khiển được, tính quan sát được, tính ổn định hóa được trong trường hợp hệ đô ̣ng lực trên thang thời gian

là các hệ tuyến tính với hệ số hằng hoă ̣c hê ̣ số thay đổi theo thời gian Tính ổn định trên thang thời gian đã bắt đầu được nghiên cứu ở Viê ̣t Nam do nhóm nghiên cứu của Giáo sư Nguyễn Hữu Dư (xem [1])

Hi vo ̣ng luâ ̣n văn này sẽ được các sinh viên và học viên cao học quan tâm đến một lĩnh vực mới của toán học là thang thời gian và hệ động lực trên thang thời gian

Chương 1

GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN

1.1 Thang thời gian

1.1.1 Định nghĩa thang thời gian

Định nghĩa 1.1 Một tập con đóng, khác rỗng của tập số thực  được gọi là thang thời

gian (time scale) Thang thờ i gian thường được ký hiệu là 

 là các thang thời gian

Các tập   , \ , 0;1  không phải là thang thời gian vì chúng tuy nằm trong  nhưng không phải là tập đóng trong 

Các tập ,  không là thang thời gian vì không nằm trong n 

Ta giả sử xuyên suốt rằng: Thang thời gian  có một tôpô được cảm sinh từ tôpô trên tập các số thực  Vì vậy từ nay về sau các khái niệm và ngôn từ tập mở, tập đóng, lân cận, giới hạn,…được hiểu là các tập mở, tập đóng, lân cận, giới hạn,…trong tôpô cảm sinh

1.1.2 Các định nghĩa cơ bản

Định nghĩa 1.2 Cho  là thang thời gian

Ánh xạ  :  được xác định bởi công thức ( ): inf{ t  s: st} được gọi là

toán tử nhảy tiến (forward jump) trên thang thời gian 

Ánh xạ :  được xác định bởi công thức ( ): sup{ t  s : s t }được gọi là toán

tử nhảy lui (backward jump) trên thang thời gian 

Quy ước:

inf sup (tức là, nếu t max  thì ( ) t t);

Chú ý: Nếu inf min m  thì m t  , t 

Thí dụ, khi  thì inf  0 min Ta có 0  t, t 

Hàm hạt (grainiess) là hàm :0; được xác định bởi công thức

( ) :t ( )t t

  

Định nghĩa 1.3 Cho  là một thang thời gian

Điểm t được gọi là điểm cô lập phải (right-scattered) nếu ( ) t t

Điểm t được gọi là điểm cô lập trái (left-scattered) nếu ( ) t t

Điểm t được gọi là điểm cô lập (isolated) nếu ( ) t  t ( )t

Điểm t được gọi là trù mật phải (right-dense) nếu ( )  t t

Điểm t được gọi là trù mật trái (left-dense) nếu ( )  t t

Điểm t được gọi là trù mật (dense) nếu ( ) t  t ( ).t

Ví dụ 1.1.2

1) Nếu thang thời gian =  thì ( )t ( )t t, ( ) t 0 với mọi t

Mọi điểm t đều là điểm trù mật

2) Nếu thang thời gian  thì ( )t  t 1, ( )t  t 1 với mọi t Hàm hạt ( )t ( )t t 1

    với mọi t Suy ra mọi điểm t   là điểm cô lập

3) Nếu thang thời gian  = :

2

n n

    Suy ra mọi t 0 đều là điểm cô lập

4) Cho h0 là một số cố định Xác định thang thời gian h như sau:

= h { : hn n} { , 3 , 2 ,  h  h h ,0, ,2 ,3 , }h h h

( )t t h t 2, ( )t t h t 2, ( )t t h t h 2 0.

Suy ra ( )t  t ( )t nên mọi th là điểm cô lập

5) Cho thang thờ i gian =  

Nếu t2 , 2k k1 thì ( )t  t ( )t nên t là điểm trù mật

Nếu t2k1 thì ( )t   2t 2 t và ( )t t nên t là điểm cô lập phải và là điểm trù

1.2.2 Định nghĩa rd-liên tục

Định nghĩa 1.5 Hàm f : được gọi là rd-liên tục (right dence continuous) nếu nó

liên tục tại mọi điểm trù mật phải trong  và giới hạn trái của nó tồn tại (hữu hạn) tại

các điểm trù mật trái trong  Tập hợp các hàm rd-liên tục được kí hiệu là:

rd

C hoặc

C

rd() hoặc C rd(,  )

Nhâ ̣n xét Hàm rd-liên tục khác với hàm liên tục là hàm rd-liên tục chỉ cần tồn tại giới

hạn phải, giới hạn trái nhưng không cần các giới hạn này phải bằng f x ) ( )0

Ví dụ 1.2.1 Hàm ( ) t là hàm rd-liên tục Thật vâ ̣y,

Nếu t là trù mật phải thi0 ̀ ( )t t0;

1) Nếu f là hàm liên tục thì f là rd-liên tục

2) Nếu f là rd-liên tục thì f là hàm chính qui

3) Toán tử nhảy tiến  là rd-liên tục

4) Nếu f là hàm chính qui hoặc rd-liên tục thì f cũng có tính chất đó

5) Nếu f liên tục và : g   là chính quy hoặc rd-liên tục thì f g cũng có tính chất

Hay

( ) ( )

Định nghĩa 1.7 Hàm :f   được gọi là  khả vi ( khả vi) trên  k nếu nó có đạo

hàm tại mọi điểm tk

Ví dụ 1.2.2 Cho thang thời gian  bất kì

1) Nếu  thì f( )t  f t( ) chính là đạo hàm thông thường

2) Nếu  thì f ( )t  f t(  1) f t( ) chính là sai phân tiến cấp 1

4) Nếu f :  , ( )f t t tk

thì f( ) 1t  với mọi tk

Thật vậy, với mọi  0, s U ta có:

( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 1 ( )( ) ( ( ) ) 0 ( )

( )

f t t Khi ấy f( )t  t ( )t với mọi tk

Thật vậy, với mọi  0, s U thì s t  Do đó ta có:

2

( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))( ( ) )( ( ) ) ( ) ( ( ) )( ) ( )

Ví dụ này chỉ ra rằng,  đạo hàm phụ thuộc vào hàm nhảy tiến ( )t của thang thời gian

, tức là phụ thuộc vào cấu trúc của thang thời gian 

và t là điểm cô lập phải thì f khả vi tại tk

và

( ( )) ( )( )

là điểm trù mật phải thì f khả vi tại tk

khi và chỉ khi giới hạn hữu

1) Giả sử f khả vi tại tk Với (0;1) Đặt  1 f ( )t 2 ( ) t 1

Ta có (0;1) Theo định nghĩa 2.1 tồn tại lân cận U của t thỏa mãn:

2) Giả f liên tục tai tk

và t là điểm cô lập phải Từ tính liên tục của hàm f tại

tk

ta có:

3) Giả sử f khả vi tại tk

và t là điểm trù phải Cho  0 Vì f khả vi nên trong lân cận của t ta có:

1) Nếu  thì mọi điểm t là điểm trù mật phải Do đó f là khả vi tại t khi

và chỉ khi tồn tại giới hạn hữu hạn lim ( ) ( )

 tức là - đạo hàm trùng với đạo hàm thông thường

2) Nếu  thì mọi điểm t là điểm cô lập Do đó f là - khả vi tại mọi điểm

t và f (t)  f(t 1 )  f(t), tức là - đạo hàm trùng với sai phân của f tại t

( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( )

2

f  t  f s  f t  t s   t s với mọi s U 1.Tương tự,

( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( )

2

g  t g s g t  t s   t s với mọi s U 2Lấy U U1U2 thì với mọi s U :

( )( ( )) ( )( ) ( ) ( ) ( ( ) )( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( ( )) ( ) ( )( ( ) )( ( )) ( ) ( )( ( ) ) ( ( )) ( ) ( )( ( ) )

g  t g s g t  t s   t s với s U 2

Và theo Phần 1 của Định lí 1.2.1 ta có:

( ) ( )

f t  f s  với s U 3Đặt U U1U2U3 thì s U thì:

Vậy ( )fg   f g   fg với mọi t .

Từ tính chất 2) ta suy ra các tính chất 3) và 4)

Định lí 1.2.3 (Đi ̣nh lí giá tri ̣ trung bình-Mean Value Theorem, Theorem 1.67, [2B]) Cho

:

f    và g:    là các hàm gia ́ tri ̣ thực xác đi ̣nh trên , cả hai là tiền khả vi với

miền khả vi D Khi đó nếu

Chứng minh Xem [2], trang 23-25

Hê ̣ quả 1.1.1 Giả sử f :    và g:    là các hàm tiền kha ̉ vi với miền khả vi D

2 Nếu U là một đoạn compact với các điểm cuối , r s, khi ấy

2) Nếu f ( )t 0 vơ ́ i mọi tD, thì f là hàm hằng

3) Nếu f ( )t g t( ) vơ ́ i mọi tD, thì g t( ) f t( )C vơ ́ i mọi t, trong đó C là hằng số

1.3 Phép toán tích phân

1.3.1 Tồn tại tiền nguyên hàm

Định lý 1.3.1 (Theorem 1.70, Theorem 8.13, [2]) Nếu hàm : f   là hàm chính

quy thì tồn tại hàm - khả vi F với miền khả vi Dk

sao cho F t( ) f t( ) với mọi

tD

Ta gọi một hàm - khả vi trong định lý 1.3.1 là tiền nguyên hàm của hàm f

Tích phân xác định của một hàm :f   chính quy là ( ) : ( ) ( )

Định lý 1.3.2 (Theorem 1.74, [2]) Mọi hàm rd - liên tục đều có nguyên hàm Hơn nữa,

nếu t0 thì hàm F xác định bởi công thức :

0( ) : ( )

t

t

F t  f   là nguyên hàm của f với t

Chứng minh Giả sử f là hàm rdliên tục Theo Định lí 1.1.1, f là hàm chính qui Theo Đi ̣nh lí 1.3.1, tồn ta ̣i hàm F cùng với miền khả vi D thỏa mãn F t( ) f t( ) với mọi tD

Hàm F là hàm tiền khả vi với miền khả vi D Ta pha ̉i chỉ ra rằng F t( ) f t( ) đú ng

với mo ̣i điểm t k (điều này tất nhiên kéo theo F t( ) f t( )đúng với mo ̣i k \D) Giả

sử t k \ D Khi ấy t là điểm trù mật phải vì  k \D không chứa điểm cô lập phải Vì

f là hàm rdliên tục nên nó liên tu ̣c ta ̣i t Cho  0 Khi ấy tồn tại một lân cận U của

t với

( ) ( )

f s  f t  với mọi s U Đặt h( ) : F( )  f t( )( t0) với mọi 

Khi ấy h là tiền nguyên hàm với miền khả vi D và ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

h r F   f t  f   f t với mọi

Toán tử nhảy lui (t) t t1

Toán tử nhảy tiến ( ) t t t1

a

t d t

f( ) ( )

1( )

t

f

a fg b

fg

t t

g

t

f

) ( )) ( (

)

(

) )(

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )

Nếu  =  thì

) ( ) (

) )(

( ) )(

(

) ( ) (

1 1

t f t g

a fg b fg

t g t f

b

a t

b

a t

đi ̣nh tính của hệ phương trình vi phân hoặc hệ phương trình sai phân có điều khiển còn đúng trên thang thời gian? – Chương này trình bày một số tính chất định tính của hệ động lực trên thang thời gian

2.1 Hê ̣ đô ̣ng lực trên thang thời gian

mỗi phần tử a t của nó là rd-liên tu ij( ) ̣c; Ma trâ ̣n ( )A t đươ ̣c go ̣i la ̀ delta khả vi (delta

differentiable) nếu mỗi phần tử ( )a t ij của nó là delta khả vi và A t( ) :a t ij( )

Định lý 2.1.1 (Theorem 5.2, [2], p 189) Nếu ma trận ( ) A t khả vi tại t k , thì

 ( ) : ( ) ( )

A t  A t  t A t

Ta có mô ̣t số tính chất của ma trâ ̣n khả vi sau đây

Định lý 2.1.2 (Theorem 5.3, [2], p 189) Nếu ( ) A t và ( ) B t là các ma trận n n khả vi tại t k , thì

Tâ ̣p các ma trâ ̣n hồi qui và rd-liên tu ̣c cùng với phép toán  tạo thành nhóm Abel

Định nghĩa 2.1.1 Cho :A n n và f :  là các hàm rd -liên tục Hệ (Phương n

trình) động lực tuyến tính trên thang thời gian là phương trình

Ta nói hê ̣ (2.1.1) là hồi quy nếu ( ) A t là ma trận hồi quy

Ta có Định lý về tồn ta ̣i và duy nhất nghiê ̣m của bài toán giá tri ̣ ban đầu sau đây cho hê ̣

đô ̣ng lực (2.1.1)

Định lý 2.1.3 (Theorem 5.8, [2], p 190) Nếu A  và f(.) là n n -ma trận hàm va ̀ vectơ hàm rd -liên tục thì với mỗi t0 và \ x0 bài toán giá trị ban đầu (initial n,

trong đó X là ma trận hằng 0 n n , có duy nhất nghiệm (là ma trận cấp n n )

Nghiê ̣m duy nhất của phương trình

  ,  0 0,

X  A t X X t X được gọi là toán tử Cauchy của phương trình (2.1.1) và được kí hiệu là A t t, 0

Ma trận A t t, 0 luôn tồn tại với mọi tt0, ngay cả khi A  không phải là ma trận hồi quy Nếu A  là hồi quy thì A t t, 0 xác định với mọi t t, 0 k Nếu A t giao hoán  

Bổ đề 2.1.1 Giả sử A    ,B là m m ma trận hàm rd-liên tục xác định trên  Khi đó

1 A t,  A   t s, A s, , với mọi   s t (tính chất nửa nhóm)

 ,   , 

t s h

2.2 Tính điều khiển được của hệ động lực trên thang thời gian

2.2.1 Hệ động lực không dừng có điều khiển

Cho ( )A t n n , ( )B t n m là các ma trận rd-liên tục xác định trên  , ( )u t  Ta m.xét bài toán điều khiển được với thời điểm ban đầu t và thời điểm cuối 0 t cố định trước f

x t x

Dưới đây chúng ta sẽ trình bày một điều kiện cần và đủ để một hệ động lực tuyến tính là điều khiển được hoàn toàn Kết quả này là tương tự các kết quả đã được biết đến cho hệ phương trình vi phân (với  =  ) và hệ phương trình sai phân (với  = )

Định lí 2.2.1 (Điều kiện Gramian về điều khiển được, Theorem 3.1, [7]) Hệ động lực

tuyến tính hồi qui (2.2.1) là điều khiển được hoàn toàn trên đoạn t t0, f khi và chỉ khi

Ta có thể mở rô ̣ng để hàm ( )u t liên tục tại mọi giá tri ̣ khác của t Thay vào công thức

biến thiên hằng số (2.1.4) ta được:

Vậy hệ động lực (2.2.1) là điều khiển được trên t t0, f

Điều kiện đủ Giả sử phản chứng, hệ động lực (2.2.1) là điều khiển được hoàn toàn

nhưng ma trận Gramian C( , )t t0 f không khả nghịch, tức là tồn tại một véctơ x a 0 sao cho

t



Nhưng hàm số trong biểu thức dưới dấu tích phân là hàm số liên tục (trong tôpô cảm sinh), không âm và bằng x T aA( , ( )) ( )t0  t B t 2, do đó:

a

x và sử dụng (2.2.3), (2.2.4) ta đi đến x x T a a 0 Nhưng 0

a

x  Vô lý Vậy ma trận C( , )t t0 f là khả nghịch (đpcm)

Ta có ma trận điều khiển được Gramian là đối xứng và nửa xác định dương Như vậy, Định lý trên khẳng định rằng, hệ (2.2.1) là điều khiển được hoàn toàn trên t t0, f khi và chỉ khi ma trận Gramian là xác định dương

Ta cũng nhận xét rằng, một hệ không điều khiển được trên t t0, f có thể trở thành điều khiển được hoàn toàn khi t giảm và/hoặc f t tăng, tức là khi ta thu hẹp khoảng thời gian 0

trong trường hợp tổng quát Do đó một điều kiện đủ dễ dàng kiểm tra hơn được đưa ra bởi các Định nghĩa và Định lý sau

Định nghĩa 2.2.2 Nếu  là một thang thời gian,  là một hàm khả vi đến cấp cần thiết

với đạo hàm cấp cao nhất là rd-liên tục Ta xác định dãy các m n ma trận hàm như sau :

0

1 1