Tiểu luận xử lý số tín hiệu THIẾT KẾ BỘ LỌC CHẮN DẢI PP LẤY MẪU TẦN SỐ

LỜI MỞ ĐẦU Xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing – DSP) đã trở thành một môn học cơ sở cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: Điện, Điện Tử, Tin học, Viễn thông, Tự động hoá ... Xử lý tín hiệu số được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và thiết bị như: CD, VCD, DVD, camera, scanner, y khoa ..., trong các hệ thống truyền hình số, thông tin địa lý, bản đồ số, viễn thông ..v.v.. Phép xử lý cơ bản nhất của DSP là lọc, và các hệ thống được đề cập đến nhiều nhất trong xử lý tín hiệu số là các bộ lọc số (Digital Filter). Nếu xét về đáp ứng xung có thể chia các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR (Finite Impulse Response) còn gọi là lọc không đệ quy, và bộ lọc có đáp ứng xung vô hạn IIR (Infinte Impulse Response) còn gọi là lọc đệ quy. Xét về đáp ứng tần số biên độ có thể chia các bộ lọc, FIR hay IIR, thành 4 loại cơ bản: thông thấp, thông cao, thông dải và chắn dải. Các bộ lọc này có thể được thiết kế bằng những phương pháp sau đây: Phương pháp cửa sổ (Window Design Techniques), Phương pháp lấy mẫu tần số (Frequency Sampling Design Techniques) và Phương pháp xấp xỉ tối ưu cân bằng gợn sóng (Optimal Equiripple Design Techniques). Mỗi phương pháp đều có những đặc điểm và ưu khuyết điểm riêng. Trong khuôn khổ của bài tiểu luận môn học, Tôi xin phép được trình bày bài toán thiết kế bộ lọc FIR chắn dải – BSF (Band Stop Filte) phương pháp lấy mẫu tần số. Nội dung tiểu luận được chia thành 5 chương: Chương 1: Bài toán thiết kế Chương 2: Cơ sở lý thuyết của bộ lọc FIR Chương 3: Phương pháp thiết kế Thiết kế lọc FIR bằng phương pháp lấy mẫu tần số Chương 4:Chương trình thiết kế. Tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy giáo TS. Ngô Văn Sỹ đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt những kiến thức quý giá, cung cấp tài liệu tham khảo và chỉ bảo cho tôi phương pháp làm việc khoa học. Trong quá trình làm tiểu luận, tuy đã hết sức cố gắng song chắc chắn không tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận được sự góp ý của Thầy, các anh chị và các bạn học viên trong lớp để nội dung của tiểu luận được hoàn chỉnh hơn.

LỜI MỞ ĐẦU

Xử lý tín hiệu số (Digital Signal Processing – DSP) đã trở thành một môn học cơ sở

cho nhiều ngành khoa học, kỹ thuật như: Điện, Điện Tử, Tin học, Viễn thông, Tự động hoá Xử lý tín hiệu số được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực và thiết bị như: CD, VCD, DVD, camera, scanner, y khoa , trong các hệ thống truyền hình số, thông tin địa

lý, bản đồ số, viễn thông v.v

Phép xử lý cơ bản nhất của DSP là lọc, và các hệ thống được đề cập đến nhiều nhất

trong xử lý tín hiệu số là các bộ lọc số (Digital Filter) Nếu xét về đáp ứng xung có thể chia các bộ lọc số thành 2 loại chính là bộ lọc có đáp ứng xung hữu hạn FIR (Finite

Impulse Response) còn gọi là lọc không đệ quy, và bộ lọc có đáp ứng xung vô hạn IIR

(Infinte Impulse Response) còn gọi là lọc đệ quy Xét về đáp ứng tần số biên độ có thể

chia các bộ lọc, FIR hay IIR, thành 4 loại cơ bản: thông thấp, thông cao, thông dải và chắn dải Các bộ lọc này có thể được thiết kế bằng những phương pháp sau đây: Phương

pháp cửa sổ (Window Design Techniques), Phương pháp lấy mẫu tần số (Frequency

Sampling Design Techniques) và Phương pháp xấp xỉ tối ưu cân bằng gợn sóng

(Optimal Equiripple Design Techniques) Mỗi phương pháp đều có những đặc điểm và

ưu khuyết điểm riêng

Trong khuôn khổ của bài tiểu luận môn học, Tôi xin phép được trình bày bài toán

thiết kế bộ lọc FIR chắn dải – BSF (Band Stop Filte) phương pháp lấy mẫu tần số Nội

dung tiểu luận được chia thành 5 chương:

Chương 1: Bài toán thiết kế

Chương 2: Cơ sở lý thuyết của bộ lọc FIR

Chương 3: Phương pháp thiết kế

- Thiết kế lọc FIR bằng phương pháp lấy mẫu tần số

Chương 4:Chương trình thiết kế

Tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy giáo TS Ngô Văn Sỹ đã tận tình hướng dẫn, truyền

đạt những kiến thức quý giá, cung cấp tài liệu tham khảo và chỉ bảo cho tôi phương pháp làm việc khoa học

Trong quá trình làm tiểu luận, tuy đã hết sức cố gắng song chắc chắn không tránh khỏi những sai sót Rất mong nhận được sự góp ý của Thầy, các anh chị và các bạn học viên trong lớp để nội dung của tiểu luận được hoàn chỉnh hơn

Đà Nẵng, ngày 26 tháng 4 năm 2012

CHƯƠNG 1: BÀI TOÁN THIẾT KẾ

THIẾT KẾ BỘ LỌC FIR CHẮN DẢI (BSF _Band – Stop Filter) BẰNG

PHƯƠNG PHÁP LẤY MẪU TẦN SỐ

BÀI TOÁN:

Thiết kế một bộ lọc chắn dải BSF (Band-Stop Filter) với các thông số sau:

dB A

dB R

dB R

dB A

S s

p p

p p

S S

40

; 6 , 0

5 , 0

; 7 , 0

5 , 0

; 3 , 0

40

; 4 , 0

2 2 1 1

































Trong đó:

P

 : Dung sai dải thông

S

 : Dung sai dải chắn

P

1 , 

 : Tần số giới hạn dải thông

S

1 , 

 : Tần số giới hạn dải chắn

AS: Suy hao dải chắn

Rp: Độ gợn sóng trong dải thông

CHƯƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT BỘ LỌC FIR

Chương này sẽ trình bày sơ lược cơ sở lý thuyết thiết kế bộ lọc số FIR, cùng với các phương pháp thiết kế nó, từ đó tìm hiểu thiết kế bộ lọc thông dãi theo cấu trúc FIR bằng phương pháp cửa sổ và phương pháp lấy mẫu tần số

Đáp ứng tần số là cách rất hiệu quả và thực tế để đặc trưng một bộ lọc Khi biết một bộ lọc, tức là biết phương trình hiệu số của nó hay biết các hệ số của nó, ta có thể tính được đáp ứng xung và đáp ứng tần số - Đây là bài toán phân tích Ngược lại, khi biết được yêu cầu đáp ứng tần số của bộ lọc, ta tìm các hệ số của bộ lọc, từ đây có thể viết phương trình hiệu số của nó, sao cho đáp ứng tần số càng sát với yêu cầu càng tốt - đây là bài toán thiết kế Bài toán thiết kế thường phức tạp hơn vì có nhiều phương pháp thiết kế khác nhau

Quá trình thiết kế bộ lọc được bắt đầu với các đặc tính của bộ lọc bao gồm các ràng buộc về biên độ và pha của đáp ứng tần số, về biên độ hoặc pha của đáp ứng tần số, các ràng buộc về đáp ứng xung đơn vị hoặc đáp ứng nấc của bộ lọc Sau khi đã xác định được các đặc tính bộ lọc, ta tiếp tục tìm tập các hệ số của bộ lọc mà các hệ số tạo ra một

bộ lọc chấp nhận được Bước sau cùng là dùng hệ thống phần cứng hoặc phần mềm minh họa, lượng tử hoá các hệ số của bộ lọc và chọn cấu trúc bộ lọc thích hợp

2.1 Bộ lọc – lọc số:

Bộ lọc:

Bộ lọc là một hệ thống xử lý tín hiệu thực hiện chức năng chọn lọc tín hiệu theo tần số (bộ lọc cho tín hiệu trong một dãi tần số nào đó đi qua và ngăn không cho tín hiệu trong các dãi tần khác đi qua) Dãi cho qua gọi là dãi thông, và dãi không cho qua gọi là dãi chắn

Lọc số:

Lọc số là một trường hợp riêng của bộ lọc Trong đó tín hiệu vào là số và tín hiệu

ra là số thường dùng máy tính, IC, vi xử lý

Sơ đồ khối chức năng của quá trình lọc số:

Hình 2.1: sơ đồ khối chức năng quá trình lọc

 Phân loại lọc số:

- Dựa vào dãi thông và dãi chắn chia làm 4 loại:

(khôiphục)

Th

A

Th ra

o Lọc thông thấp LPF.

o Lọc thông cao HPF

o Lọc thông dãi BPF

o Lọc chắn dãi BSF

- Căn cứ vào độ dài của đáp ứng xung h(n) của bộ lọc:

o Đáp ứng xung hửu hạn (lọc FIR)

o Đáp ứng xung vô hạn (lọc IIR)

- Dựa vào tính nhân quả (khả năng thực hiện bộ lọc):

o Bộ lọc lý tưởng

o Bộ lọc thực tế

2.2 Bộ lọc FIR

Cấu trúc bộ lọc FIR

Một bộ lọc đáp ứng xung hữu hạn với hàm hệ thống có dạng:

























1 0

1 1

1 1 0

)

n

n n

M

b z

b b z

Như vậy đáp ứng xung h(n) là:





















1 0

0

1 0

) (

M n va n

M n b

n



Và phương trình sai phân là:

) 1 (

) 1 ( ) ( )

(n b0x n b1x n  b 1x n M 

Đây chính là tích chập tuyến tính của các dãy hữu hạn

Bậc của bộ lọc là M-1, trong khi chiều dài của bộ lọc là M (bằng với số lượng các

hệ số) Các cấu trúc bộ lọc FIR luôn luôn ổn định, và tương đối đơn giản hơn so với các cấu trúc bộ lọc IIR Hơn thế nữa, các bộ lọc FIR có thể được thiết kế để có một đáp ứng pha tuyến tính và đó là điều cần thiết trong một số ứng dụng

Chúng ta sẽ xem xét lần lượt các cấu trúc của bộ lọc FIR sau đây:

2.2.2.1 Cấu trúc dạng trực tiếp

Phương trình sai phân được thực hiện bởi một dãy liên tiếp các bộ trễ do không có đường phản hồi:

) 1 (

) 1 ( ) ( )

(n b0x n b1x n  b 1x n M 

Do mẫu thức bằng đơn vị nên ta chỉ có một cấu trúc dạng trực tiếp duy nhất Cấu

trúc dạng trực tiếp được cho trong hình 2.2 với M = 5:

2.2.2.2 Cấu trúc dạng ghép tầng:

Hàm hệ thống H(z) được biến đổi thành các tích của các khâu bậc 2 với các hệ số thực Các khâu này được thực hiện ở dạng trực tiếp và bộ lọc tổng thể có dạng ghép tầng của các khâu bậc 2





























b

b z

b

b b z

b z

b b z

0

1 1

0

1 0

1 1

1 1

)













1 k

2 2 , k

1 1 , k

0 ( 1 B z B z ) b

Trong đó  

2

M

K , Bk,1 và Bk,2 là các số thực đại diện cho các hệ số của các khâu

bậc 2 Cấu trúc dạng ghép tầng được cho trong hình 2.3 với M = 7:

2.2.2.3 Cấu trúc dạng pha tuyến tính:

Đối với các bộ lọc chọn tần, người ta mong muốn có đáp ứng pha là hàm tuyến tính theo tần số, nghĩa là:









 H ( e j  )   Trong đó   0 hoặc

2



 và  là một hằng số

Đối với bộ lọc FIR nhân quả có đáp ứng xung trong khoảng [0, M-1], thì các điều kiện tuyến tính là:

1 0

, 0 );

1 ( ) (n h M   n  nM 

1 0

, 2 / );

1 ( ) (n  h M   n   nM 

Xét phương trình sai phân được cho trong phương trình (1.5) với đáp ứng xung đối xứng trong phương trình (1.9), ta có:

b0 z-1 b1 z-1 b2 z-1 b3 z-1 b4

y(n) x(n)

Hình 2.2: Cấu trúc lọc FIR dạng trực tiếp

B1,1

y(n) x(n)

B2,1 B3,1

b 0

B 1,2

B2,2 B3,2

Hình 2.3: Cấu trúc lọc FIR dạng ghép tầng

) 1 (

) 2 (

) 1 ( ) ( )

(n b0x n b1x n  b1x n M  b0x n M 

b0[x(n) x(n M  1 )] b1[x(n 1 ) x(n M  2 )]  

Sơ đồ khối thực hiện phương trình sai phân trên được mô tả trong hình 2.4 dưới

đây đối với cả M lẻ và M chẵn:

Đối với M lẻ: M = 7, còn đối với M chẵn: M = 6

Rõ ràng, với cùng một bậc của bộ lọc (cùng M) cấu trúc pha tuyến tính sẽ tiết kiệm được 50% các bộ nhân so với cấu trúc dạng trực tiếp

Các đặc tính của bộ lọc FIR pha tuyến tính

Trong phần này chúng ta sẽ thảo luận về hình dạng của đáp ứng xung, đáp ứng tần số trong hàm hệ thống của các bộ lọc FIR pha tuyến tính

Cho h(n), trong đó 0  n  M – 1, là đáp ứng xung có chiều dài N thì hàm truyền hệ thống là:



























1 0

1 )

1 ( 1

0

) ( )

( )

n

n M N

N

n

z n h z

H

có (M-1) điểm cực ở gốc (trivial poles) và M-1 điểm không nằm ở vị trí bất kỳ trên mặt phẳng z Đáp ứng tần số là:























 , ) ( )

0

M

n

n j

e H

b0

z- 1

b1

z- 1

b2

x(n)

z- 1 z- 1

z- 1

y(n)

b0

z- 1

b1

z- 1

y(n)

x(n)

z- 1 z- 1

z- 1

M=6

Hình 2.4: Cấu trúc lọc FIR pha tuyến tính với các hệ số M chẵn và lẻ

2.2.2.1 Đáp ứng xung h(n):

Chúng ta có thể đưa ra ràng buộc pha tuyến tính:



















 H ( e j  ) , Trong đó:  là một hằng số trễ pha Ta đã biết rằng h(n) phải đối xứng, nghĩa là:

2

1 ,

1 0

), 1 ( )

M n n

M h n

Do đó h(n) là đối xứng theo , là chỉ số đối xứng Có hai kiểu đối xứng:

2

1



M

 là một số nguyên Đáp ứng xung ứng

xung được mô tả bằng hình 2.6 dưới đây:

 M chẵn:Trong trường hợp này,

2

1



M

 là một số nguyên Đáp ứng xung ứng

xung được mô tả bằng hình 2.7 dưới đây:

Ta cũng có bộ lọc FIR pha tuyến tính loại hai nếu ta yêu cầu đáp ứng pha

 

 H ej thoả mãn điều kiện:

Hình 2.7: Đáp ứng xung đối xứng, M chẵn Hình 2.6 Đáp ứng xung đối xứng M lẻ







 H ( e j  )

với   Đáp ứng pha là đường thẳng nhưng không đi qua gốc Trong trường hợp này  không phải là hằng số trễ pha, nhưng:









d

) e ( H

Là hằng số, chính là trễ nhóm ( là một hằng số trễ nhóm) Trong trường hợp này, các tần số được làm trễ với một tốc độ không đổi Nhưng một số tần số có thể được làm trễ với tốc độ lớn hơn hoặc nhỏ hơn

Đối với kiểu pha tuyến tính này, có thể thấy rằng:

1 M n 0 ), n 1 M ( h ) n (

2

1













Điều này có nghĩa rằng đáp ứng xung h(n) là phản đối xứng (antisymmetric) Chỉ

số đối xứng vẫn là  M 2 1 Một lần nữa chúng ta lại có 2 kiểu, cho M lẻ và M chẵn

 M lẻ: Trong trường hợp này,  M 2 1 là một số nguyên Đáp ứng xung được

mô tả bằng hình 2.8 dưới đây:

Lưu ý rằng mẫu h() tại

2

1

M 



 phải bằng 0, nghĩa là, 0

2

1 M









 

.M chẵn:

Trong trường hợp này,  M 2 1 không phải là một số nguyên Đáp ứng xung được mô

tả trong hình 2.9.

Hình 2.9 Đáp ứng xung phản đối xứng, M

chẵn Hình 2.8 Đáp ứng xung phản đối xứng, M lẻ

2.2.2.2 Đáp ứng tần số H(e jwn )

Khi tổ hợp hai loại đối xứng và phản đối xứng với M chẵn và M lẻ, ta có bốn kiểu lọc FIR pha tuyến tính Đáp ứng tần số của mỗi kiểu có biểu thức và hình dạng riêng Để nghiên cứu các đáp ứng pha của các kiểu này, ta viết biểu thức của H(ej) như sau:

2

1 M ,

2

; e ) e ( H ) e (

r













    



Trong đó H r (e j ) là hàm đáp ứng độ lớn chứ không phải là hàm đáp ứng biên độ.

Đáp ứng độ lớn là một hàm thực, có thể vừa dương vừa âm, không giống đáp ứng biên độ luôn luôn dương Đáp ứng pha kết hợp với đáp ứng biên độ là một hàm không liên tục, trong khi kết hợp với đáp ứng độ lớn là một hàm tuyến tính liên tục

 Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại-1 (Type 1): Đáp ứng xung đối xứng, M lẻ

Trong trường hợp này   0,

2

1

M 



 là một biến nguyên, và h n  hM  1  n, 1

M

n

0   , thì ta có thể chứng tỏ rằng:

 

 

 M 1  / 2 j

2 / 1 M

0 n

j ) a n cos n e e

(











Trong đó:









 

 2

1 M h 0















2

1 M h 2 n

2

3 M n

1   

 Bộ lọc FIR pha tuyến tính Loại-2 (Type 2): Đáp ứng xung đối xứng, M chẵn

Trong trường hợp này   0, h n  hM  1  n, 0nM1, nhưng

2

1

M 



 không phải là một biến nguyên, thì ta có thể chứng tỏ rằng:

  j  M 1  / 2 2

/ M

1 n

2

1 n cos n b )

e (













































Trong đó:













2

M h n

b với n  1 , 2 , ,M2

So sánh hai công thức trên ta có:

 































2 / M

1 n r

2

1 n cos n b ) ( H

Lưu ý: Tại   , ta có   0

2

1 n cos n b ) (

1 n































đến b(n) hoặc h(n) Do đó chúng ta không thể sử dụng loại này (h(n) đối xứng, M chẵn) đối với bộ lọc thông cao hoặc bộ lọc chắn dải

 Lọc FIR pha tuyến tính Loại-3 (Type 3): Đáp ứng xung phản đối xứng, M lẻ

Trong trường hợp này ta có

2





 ,

2

1

M 



 là một biến nguyên, h n   hM  1  n, 1

M

n

2

1 M









 

thì ta có thể chứng tỏ:

 

       











1 M 2 j 2

/ 1 M

0 n

j ) c n sin n e e

( H

Trong đó















2

1 M h 2 n

2

M , , 2 , 1

So sánh hai biểu thức trên ta có:

      









2 / 1 M

0 n

r c n sin n H

Lưu ý: Tại 0 và   , ta có Hr  0 mà không cần quan tâm c(n) hoặc h(n) Hơn thế nữa, ej2 j



, điều đó có nghĩa là jHr  là thuần ảo Do đó, loại bộ lọc này không thích hợp đối với việc thiết kế bộ lọc thông thấp hoặc thông cao Tuy nhiên, điều này thích hợp đối với việc xấp xỉ các bộ vi phân và bộ biến đổi Hilbert số lý tưởng

 Lọc FIR pha tuyến tính Loại-4(Type 4):Đáp ứng xung phản đối xứng, M chẵn

Trong trường hợp này

2





 , h n   hM  1  n , 0nM1, nhưng

2

1

M 



 không phải là một biến nguyên, thì ta có thể chứng tỏ rằng:











 

















































1 M 2 j 2

/ M 1 n

2

1 n sin n d )

e ( H Trong đó:













2

M h n

2

M , , 2 , 1

n 

So sánh hai biểu thức trên ta có:

 





























 M/2

1 n r

2

1 n sin n d ) ( H

Lưu ý: Tại   , Hr(0)0 và ej2 j



Do vậy, loại này cũng thích hợp cho việc thiết kế các bộ vi phân số và bộ biến đổi Hilbert số

Bảng sau đây mô tả khả năng thích hợp trong việc thiết kế các bộ lọc và các bộ biến đổi Hilbert số, bộ vi phân số của 4 loại lọc FIR pha tuyến tính đã nêu:

2.3 Khái niệm lọc FIR chắn dải

2.3.1.Bộ lọc chắn dải lý tưởng

- Đáp ứng biên của bộ lọc chắn dải lý tưởng được định nghĩa như sau:

Đồ thị của đáp ứng biên độ của bộ lọc chắn dải:

H(ej) : đáp ứng biên

c1 , c2 : tần số cắt

-Đáp ứng xung của bộ lọc lý tưởng

2.3.2.Bộ lọc chắn dải thực tế

Các bộ lọc chắn dải thực tế được đặc trưng bởi các thông số kỹ thuật trong miền tần số liên tục 

H(ejw) =

-    -c2 -c1    c1



c2     1

0 với  còn lại

-

| H(ej)|

1 0

Bộ lọc dải chặn lý tưởng



1 

2



























e

c c

c

n j n

j n

j

















1 2

1 2

1 2

1

c

c c

c

c c

1

1 1

2

2

sin

























Đồ thị đáp ứng biên độ:

Để đặc trưng cho bộ lọc thực tế, người ta sử dụng các tham số sau:

1 Loại bộ lọc: thông thấp, thông cao, thông dải, dải chặn

2 Tần số giới hạn dải thông p1, p2

3 Tần số giới hạn dải chặn s1, s2

4 Độ rộng dải quá độ: ,1 = s1 - p1,2 = p2 - s2

5 Độ gợn sóng dải thông: 1 Trong dải thông, đặc tính biên độ tần số He j phải thoả mãn điều kiện: 1  1   1  1









6 Độ gợn sóng dải chắn: 2 Trong dải chắn, đặc tính biên độ tần số He j phải thoả mãn điều kiện    2



e j

Yêu cầu thực tế là , 1, 2 phải càng nhỏ càng tốt để đặc tính biên độ tần số càng gần giống dạng chữ nhật (dạng lý tưởng)



1+

1

|H(ej)|



1

1-1



2



p2



s2

CHƯƠNG 3: PHƯƠNG PHÁP THIẾT KẾ

Bằng phương pháp lấy mẫu tần số

3.1 Định nghĩa phương pháp lấy mẫu tần số

Phương pháp lấy mẫu tần số sử dụng phép biến đổi Fourier rời rạc (DFT) Vì bộ lọc số lý tưởng có đặc tính biên độ tần số H(e j ) dạng hình chữ nhật nên không thể thực hiện được trên thực tế Cơ sở của phương pháp lấy mẫu tần số là xấp xỉ đặc tính tần số

)

( j

N e

H của bộ lọc số cần tổng hợp theo đặc tính tần số H(e j ) của bộ lọc số lý tưởng cùng loại

Việc xấp xỉ được thực hiện bằng cách lấy mẫu tần số qua DFT, tức là làm cho các mẫu của ( j )

N e

e

H bằng nhau tại các tần số rời rạc ωk = kω1 = (k.2π/N):

1

1 ( ) )







k

j k

j

Hay: ( jk 1) ( jk 1)

N e H e

Bằng cách như vậy, tại các điểm tần số rời rạc ωk = kω1, sai số xấp xỉ giữa )

( j

N e

H và H(e j ) bằng 0, còn tại các tần số ở giữa khoảng kω1 và (k+1)ω1 thì sai số xấp xỉ là hữu hạn Sai số xấp xỉ sẽ giảm nhỏ nếu giảm tần số lấy mẫu cơ bản ω1 = (2π / N), điều đó tương ứng với tăng độ dài N của đặc tính xung h(n)N của bộ lọc số được tổng hợp

Ta có thể xác định được đặc tính biên độ tần số ( j )

N e

H của 4 loại bộ lọc số FIR pha tuyến tính theo công thức sau:

2 sin

) ( )

1 ( 5

0 sin(

)

(

1 0





















N k k A N

N e

N k

k j

N









(1) Đặc tính pha θ(ω) của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 1 và loại 2:















 



2

1 )

(

N

N

, với  

2

1











 

 N

Đặc tính pha θ(ω) của bộ lọc FIR pha tuyến tính loại 3 và loại 4:



















 



2

1 2

)

(

N

N

, với  2 và  

2

1











 

 N

Để đánh giá sai số khi xấp xỉ đặc tính tần số ( j )

N e

H theo đặc tính tần số bộ lọc

lý tưởng H(e j ), người ta dung hàm sai số: