Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài giải Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC.. Nhận xét : Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc hình chóp có các cạnh bên tạo với mặt đáy cùn
Trang 1MỘT SỐ CÁCH XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG CAO TỪ ĐÓ TÍNH THỂ TÍCH CỦA
KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ PHẦN I : XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG CAO TỪ ĐÓ TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP VÀ KHỐI LĂNG TRỤ
Nhận xét : Vì hình lăng trụ có hai đáy nằm trong hai mặt phẳng song song do đó nếu ta lấy một
đỉnh bất kì của mặt đáy này nối đến tất cả các đỉnh của mặt đáy kia thì ta có được một hình chóp
có chiều cao cũng chính là chiều cao của hình lăng trụ
Vậy cách xác định đường cao của hình lăng trụ tương tự như xác định đường cao của hình
Minh họa :
+ Lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ và hình chóp A’ABC cùng có chung đường cao AA’
Dưới đây chúng ta xét một số trường hợp xác định đường cao của hình chóp có đỉnh S và mặt đáy đang nằm trong mặt phẳng( ) .
Trường hợp 1 : Hình chóp có đỉnh S nằm trong một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng .
Nhận xét : Nếu theo giao tuyến là đường thẳng d và điểm H là hình chiếu vuông góc của S trên d thì SH sẽ vuông góc mặt phẳng suy ra SH là đường cao hình chóp
Định lí :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
d a a
a d
Ví dụ 1 (Cao đẳng 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , mặt bên (SAB) là tam giác cân tại S và vuông góc với mặt đáy (ABCD) , góc giữa SC và (ABCD) bằng 45 0
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Bài giải
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB. Trang 1/10
B
C A
A’
B
C A
A’
C’
B’
Trang 2Gọi H là trung điểm AB Do ∆SAB cân tại S nên SH
Ta có
( )
SH là đường cao hình chóp S.ABCD nên hình chiếu vuông
góc của SC trên (ABCD) là HC
Suy ra góc giữa SC và (ABCD) là góc
Vậy
3 2
a
Ví dụ 2 : ( Trích Đề thi khối D -2011 )
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2 3a và = 300
Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài giải
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên BC
Ta có
SBC ABC
SBC ABC BC
SH ABC
SH SBC
SH BC
SH là đường cao hình chóp S.ABC
Ta có SH
2
3
1
2
1
3
ABC
S ABC ABC
Trường hợp 2: Hình chóp có đỉnh S thuộc giao tuyến d của hai mặt phẳng (P) , (Q) và hai mặt phẳng này cùng vuông góc với mặt đáy
Nhận xét : Đường cao hình chóp xác định theo định lí sau
Định lí
( ) ( )
( ) ( )
P
Ví dụ 3: ( đại học khối A -2009 )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D , AB =AD =2a, CD = a , góc giữa mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60 0 Gọi I là trung điểm cạnh AD Biết các mặt phẳng
D A
S
H
A
C B
S
H
Trang 3(SIB) ,(SIC) cùng vuông đáy (ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài giải
Ta có
SIB ABCD
SIC ABCD SI ABCD
SIB SIC SI
SI là đường cao hình chóp S.ABCD
Xác định góc giữa mp (SBC) với mặt phẳng (ABCD)
+ (SBC) (ABCD) = BC (1)
+ Trong (ABCD) dựng IK vuông góc BC tại K (2)
Do SI CB ( SI (ABCD )) Nên suy ra SK vuông góc BC
tại K (3)
+ Từ (1) ,(2 ) ,(3) suy ra góc
, từ đó suy ra
3
a
Ví dụ 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Các mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy , góc giữa mặt phẳng (SBD) và đáy bằng 60 0
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Bài giải
+ có
SAB ABCD
SAB SAD SA
Suy ra SA là đường cao hình chóp S.ABCD
Gọi O là giao điểm của AC và BD
0
( à ình vuô ) (2)
( (2) ó
(3)
(1), (2),(3) 60
SBD ABCD BD
BD AO ABCD l h ng
BD AO theo
Ta c
BD SA SA ABCD
BD SAO
BD SO
SOA
Tam giác SOA vuông tại A ,ta có:
AO
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB. Trang 3/10
D
K
B A
S
I
C
D A
S
60 O
Trang 43 2
V SA S a dvtt
Ví dụ 5 : ( Trích Đề thi khối A -2011 )
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bẳng 60o Tính thể tích khối chóp S.BCNM
Bài giải
Ta có
SAB ABC
SAB SAC SA
Suy ra SA là đường cao hình chóp S.ABC và hình chóp
S.BCNM
Xác định góc giữa mp (SBC) với mặt phẳng (ABC)
+ (SBC) (ABC) = BC (1)
+ BC AB (2) và BC SA ( SA (ABC ))
Nên suy ra BC vuông góc SB (3)
+ Từ (1) ,(2 ) ,(3) suy ra góc
SA = AB.tan
Mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N nên
suy ra MN song song BC và N là trung điểm AC
Ta có
2
3
,
1
3
BCNM
S BCNM BCNM
S
Ví dụ 6 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; AC = 2 3a, BD = 2a ; AC và BD cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng 3
4
a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Bài giải
Hai mp (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mp
(ABCD) nên giao tuyến SO vuông góc với mp(ABCD)
Suy ra SO là đướng cao hình chóp S.ABCD
Ta có tam giác ABO vuông tại O có AO = a 3, BO =
a nên suy ra 600
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB. Trang 4/10
B
C A
S
M
N
S
A
K H O
I D
3
a
Trang 5Suy ra tam giác ABD là tam giác đều.
Gọi H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB
ta có DH AB và DH = a 3; OK // DH và
a
OK DH OK AB AB (SOK)
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI SK và
AB OI nên suy ra OI (SAB) , hay OI là khoảng
cách từ O đến mặt phẳng (SAB)
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao
12 12 12
2
a SO
OI OK SO
Diện tích đáy S ABCD 4SABO 2.OA OB 2 3a2;
đường cao của hình chóp là
2
a
SO
3
S ABC ABC
a
Trường hợp 3 :
+Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.
+Hình chóp có các cạnh bên tạo với mặt đáy cùng một góc.
Nhận xét : Nếu hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc hình chóp có các cạnh bên tạo với mặt đáy cùng một góc thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
Ví dụ 7 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , AB = a , AD = 2a Đỉnh S cách đều các đỉnh A,B,C,D của mặt đáy và SB = Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Bài giải
Gọi O là giao điểm của AC và BD
Vì S và O cùng cách đều các điểm A,B,C,D nên
SO vuông góc (ABCD) do đó SO là đường cao
hình chóp S.ABCD
Ta có BD AB2AD2 a 5
Do SB = SD =BD = nên tam giác SBD là
tam giác đều có SO là đường cao (do SO vuông
góc (ABCD))
BD a
SO
2
3 2
ABCD
S ABCD ABCD
Trường hợp 4 : Hình chóp có đỉnh S cách đều 3 đỉnh bất kỳ của mặt đáy
Nhận xét : Hình chóp có đỉnh cách đều 3 đỉnh bất kỳ của mặt đáy thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi 3 đỉnh đó
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB. Trang 5/10
D A
S
O
Trang 6Ví dụ 8:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , =600; SB = 2a Đỉnh S cách đều các đỉnh A,B,C của mặt đáy ABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Bài giải
Tam giác ABC là tam giác đều ( do AB = BC và
60
)
Gọi H là tâm tam giác đều ABC Vì S và H cùng
cách đều các điểm A,B,C nên SH vuông góc
(ABC) do đó SH là đường cao hình chóp S.ABCD
;
BH BO SH SB BH
2
.
3 2
2
ABCD ABC
S ABCD ABCD
a
Ví dụ 9:
Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, A’C’ = a, độ dài cạnh bên bằng b Đỉnh D cách đều 3 đỉnh A’,D’,C’
a) Tính thể tích khối tứ diện DA’C’D’, tính thể tích V của khối hộp đã cho
b) Gọi V1 là thể tích của khối đa diện BCDA’C’ Tính V V1
Bài giải
a) Tam giác A’D’C’ là đều ( do A’D’=D’C’ = A’C’)
Gọi I là tâm tam giác đều A’D’C’ Vì D và I cùng cách
đều các điểm A’,D’ ,C’ nên DI vuông góc (A’D’C’) do đó
DI là đường cao tứ diện DA’C’D’ và khối hộp đã cho
4
3
2
'
'
'
a
3 '
b I
D DD
12
3
3 4
3 3
1
3
1
2 2
2
2 2 2
' ' ' '
'
'
a b
a
a b a
S DI
V DA D C A D C
2
3 6
2 2 2 '
'
'
a b a V
6
1 '
'
V BA B C
V V V V V
V
V
3
2 6
1 6
1 '
' ' ' ' '
3
2
1
V
V
a
b
a
a
M I
D'
C' B'
A'
D
C B
A
D A
S
O H
Trang 7Trường hợp 5 : Hình chóp có từ ba mặt bên trở lên tạo với mặt đáy cùng một góc
Nhận xét : Hình chóp có ba mặt bên trở lên tạo với mặt đáy cùng một góc thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy
Ví dụ 10 :
Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = 5a,BC = 6a , CA = 7a Các mặt bên (SAC), (SBC), (SCA) tạo với mặt đáy một góc 60 0 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Bài giải
- Kẻ SH ABC, HEAB HF, BC và HJ AC
Theo định lí ba đường vuông góc ta có
SEAB SF BC SJ BC
Từ đó suy ra
Do đó các tam giác vuông SHE,SFH,SJH bằng nhau
Từ đó suy ra HE = HF =HJ nên H chính là tâm đường
tròn nội tiếp tam giác ABC
-Ta có HE = HF = HJ = r với r là bán kính đường tròn
nội tiếp tam giác ABC
Nửa chu vi tam giác ABC bằng p = 9a
Theo công thức Hê-rông, diện tích S của tam giác ABC
bằng : S = 9.4.3.2.a =6 6a 2 2
Áp dụng công thức S 2a 6
S = p.r r = =
Tam giác SEH vuông tại H nên ta có
2 6 0
3
a
S.ABC
Trường hợp 6 : Hình chóp có hai mặt bên liên tiếp tạo với mặt đáy cùng một góc
Nhận xét : Hình chóp có hai mặt bên tạo với mặt đáy cùng một góc thì chân đường cao thuộc đường phân giác của góc với là góc của đa giác đáy có đỉnh là đỉnh chung của mặt đáy với hai mặt bên nêu ở trên
Ví dụ 11:
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, I là trung điểm BC Các mặt bên (SAC), (SAB) tạo với mặt đáy cùng một góc.Chứng minh rằng chân đường cao xuất phát từ đỉnh S của hình chóp S.ABC thuộc AI
Bài giải
- Kẻ SH (ABC HE), AB HF, AC
Theo định lí ba đường vuông góc ta có SEAB SF, AC
Do đó các tam giác vuông SHE,SFH bằng nhau
Từ đó suy ra HE = HF nên suy ra H thuộc đường phân giác
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB. Trang 7/10
B
F
C A
S
H J E
Trang 8của góc
Vì ABC là tam giác cân tại A, I là trung điểm BC nên đường
trung tuyến AI cũng là đường phân giác của góc nên H
thuộc AI
Ví dụ 12;
Cho khối hộp ABCDA’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng và ba góc ở đỉnh A đều bằng 600 Tính thể tích của khối hộp đó theo
Bài giải
Xác định hình chiếu vuông góc của đỉnh A’
trên mặt phẳng (ABCD )
Kẻ SH (ABCD HE), AB HF, AD
Theo định lí ba đường vuông góc ta có
A EAB A FAD
Hai tam giác vuông A’AE,A’AF bằng nhau ( do AA’
chung , ) Từ đó suy ra HE = HF nên
suy ra H thuộc đường phân giác của góc
Vì ABCD là hình thoi nên H thuộc AC
Tính thể tích khối hộp ABCDA’B’C’D’
+ 600 , AA’ = a nên là nữa tam
giác đều cạnh a do đó ta có
Tam giác HAE vuông tại E có góc HAE bằng 300 nên
HE = AE.tan 300= 3
6
a
Tam giác A’EH vuông tại H , theo định lý Pitago ta
3
a
A H
+ ABCD là hình thoi nên
.sin
2
ABCD
a
S AB AD BAD
3 ' ' ' '
2
2
a
V A H S dvtt
B
I
C A
S
H
F E
D A
A’
H
F E
B’
D’
C’ C’
Trang 9PHẦN II: BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Cạnh bên tạo với mặt đáy một
góc 60o Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
Bài 2 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a Góc giữa cạnh bên và cạnh
đáy bằng 60o Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
Bài 3 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a Mặt bên tạo với mặt đáy
một góc 45o Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a
Bài 4 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a Mặt bên (SCD ) tạo với mặt
đáy một góc 60o Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a
Bài 5: ( Đề thi đại học khối D -2006 )
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA = 2a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM
Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) và SA = BC Biết AB = a , AC = 2a ,
, tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a , mặt bên (SAB) là
tam giác cân tại S và vuông đáy (ABCD) , góc giữa SC và đáy bằng 60 0 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Bài 8 : Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mp (SAB) và mp (SAC )
cùng vuông góc với đáy (ABC) và biết diện tích tam giác SBC bằng a2 57
a Tính thể tích khối chóp S.ABC
b Tính d (A,(SBC))
Bài 9 :Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc đáy
(ABCD), mặt bên (SCD) hợp với đáy (ABCD) một góc 600
a Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)
Bài 10 :Cho tứ diện A.BCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác cân tại D , ABC) (BCD) , AD = a và hợp với (BCD) một góc 60o Tính thể tích tứ diện A.BCD
Bài 11 :Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy
(ABCD ) Góc giữa SC và đáy bằng 60 và M là trung điểm của SB.Tính thể tích của khối chóp M.ABCD
Bài 12 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB =BC =
a , AD = 2a SA vuông góc (ABCD ) , góc giữa SC và mặt đáy bằng
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Bài 13 : Lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng 4 cm và diện tích tam giác
A’BC bằng 8 cm2 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Giáo viên: Hoàng Thị Hồng Cầm-Tổ Toán-THPT Chuyên QB. Trang 9/10
Trang 10Bài 14 : Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , mặt
phẳng ( A’BC) hợp với mặt đáy ( ABC) một góc 60 0 Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a
Bài 15 Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Đỉnh A’ cách đều
3 đỉnh A,B,C Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy 1 góc 60 0
1/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
2/ Chứng minh BCC’B’ là hình chữ nhật
3/ Tính diện tích xung quanh khối lăng trụ ABC.A’B’C’
Bài 16 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B , AB = a ,
BC = 2a , AA’ = 3a Mặt phẳng (P ) qua A và vuông góc CA’ cắt CC’ và BB’ tại M và N
1/ Tính thể tích khối chóp C.A’AB 2/ Chứng minh AN vuông góc A’B
3/ Tính thể tích khối chóp A’AMN 4/ Tính diện tích tam giác AMN
Bài 17 ( đề thi đại học khối D-2008)
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông , AB = BC = a , AA’ = 2
a M trung điểm BC
1/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 2 / ính T d AM B C , ' .
Bài 18 ( đề thi đại học khối B-2009)
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, góc BAC bằng 60 0, BB’
= a Cạnh bên BB’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 0.Hình chiếu vuông góc của B’ trên (ABC) là trọng tâm tam giác ABC
1/ Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 2/ Tính thể tích khối tứ diện A’ABC
Bài 19 ( đề thi đại học khối A-2008)
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB = a , AC = a 3, AA’
= 2a.Hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) là trung điểm BC
1 Tính thể tích khối tứ diện A’ABC
2.Tính cosin góc giữa 2 đường AA’ và B’C’
