Bài toán ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ CAO KIÊN BÀI TOÁNỔN ĐỊNH HỮU HẠN HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – 2014... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN T

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ CAO KIÊN

BÀI TOÁNỔN ĐỊNH HỮU HẠN

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LÊ CAO KIÊN

BÀI TOÁNỔN ĐỊNH HỮU HẠN

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH VŨ NGỌC PHÁT

THÁI NGUYÊN – 2014

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi

sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tintrích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2013Người viết Luận văn

Lê Cao Kiên

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sựhướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của GS.TSKH Vũ Ngọc Phát (Viện Toánhọc Việt Nam) Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy vàxin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành cho tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng sau Đại học, quý thầy côgiảng dạy lớp Cao học K20 (2012- 2014) Trường Đại học Sư Phạm - Đại họcThái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạođiều kiện cho tôi hoàn thành khóa học

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người

đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện luận văn

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2014Người viết Luận văn

Lê Cao Kiên

Mục lục

1.1 Hệ phương trình vi phân 2

1.2 Bài toán ổn định hệ phương trình vi phân 4

1.2.1 Ổn định Luyapunov hệ phương trình vi phân 4

1.2.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân 7

2 Các tiêu chuẩn về ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân 9 2.1 Tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính 9

2.1.1 Sự ổn định hữu hạn của hệ phương trình vi phân có nhiễu 12 2.1.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân có trễ 18

2.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân tuyến tính có nhiễu và có trễ 21

Mở đầu

Lý thuyết ổn định hữu hạn là một bộ phận quan trọng của lý thuyết địnhtính phương trình vi phân Bài toán ổn định hữu hạn được khởi xướng từnhững năm 1970 nghiên cứu tính ổn định của một chuyển động, của một hệthống mô tả bởi hệ phương trình vi phân Một cách hình tượng, một hệ thốngđược gọi là ổn định hữu hạn nếu các nhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc các cấutrúc ban đầu của hệ là bị chặn thì toàn bộ hệ bị chặn Do đó, lý thuyết ổnđịnh hữu hạn được nghiên cứu xuất phát từ thực tiễn và nhu cầu phát triểncủa một số ngành khoa học thực tế: toán kinh tế, toán thống kê, vật lý toán, Đã hơn một nửa thế kỷ trôi qua lý thuyết ổn định vẫn là một lĩnh vực toánhọc được nghiên cứu sôi nổi nhất và đạt được nhiều kết quả sâu sắc phongphú và ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như cơ học, vật lý toán, kinh

tế, khoa học kỹ thuật, sinh thái học và môi trường, Nội dung của bản luậnvăn được trình bày trong hai chương Chương 1 trình bày những kiến thức

cơ sở về hệ phương trình vi phân, khái niệm về tính ổn định hữu hạn nghiệmcủa hệ phương trình vi phân Chương 2 giới thiệu các tiêu chuẩn về ổn địnhhữu hạn hệ phương trình vi phân

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới GS.TSKH Vũ Ngọc Phát ngườithầy đã tận tình chỉ bảo cho tôi trong quá trình làm luận văn và các thày côtrong trường Đại Học Sư Phạm- ĐHTN cũng như các thầy cô đã giảng dậylớp cao học khóa 2012-2014

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng trong luận văn này không thể tránhkhỏi những thiếu sót Tôi rất mong có được những ý kiến đóng góp của cácthày cô và các ban

λ(Q) Các giá trị riêng của ma trận Q.

λmax(P ) Giá trị riêng lớn nhất của ma trận P

λmin(P ) Giá trị riêng thực nhỏ nhất của ma trận Q

C([a; b],Rn) Không gian các hàm liên tục đi từ [a; b] vào Rn

Chương 1

Cơ sở toán học

Trong chương này chúng tôi trình bày những kiến thức cơ sở về hệ phươngtrình vi phân nhằm mục đích sử dụng cho chương sau Nội dung của chươngnày bao gồm các định nghĩa, khái niệm và các định lý cơ bản về hệ phươngtrình vi phân, giới thiệu lý thuyết ổn định Lyapunov và tính ổn định hữu hạncủa hệ phương trình vi phân Những nội dung chương này được trình bày từ

ii) x(t) thỏa mãn hệ phương trình vi phân (1.1)

Khi hàm f(t,x) liên tục trên I × D thì nghiệm x(t) cho bởi dạng tích phânsau:

f :R+ × D −→ Rn liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x:

Hệ phương trình (1.2) luôn có nghiệm (duy nhất) xác định trên [0, +∞)

cho bởi công thức Cauchy

là hàm liên tục Khi A(t) là hàm liên tục và ||A(t)|| ≤ m(t) trong đó g(t) và

m(t) là các hàm khả tích thì hệ (1.3) cũng có nghiệm (duy nhất) trên [0; ∞).Nghiệm của hệ này biểu diễn thông qua ma trận nghiệm cơ bản φ(t, s) của

Ta có

A(t) =



0 02t 0

luôn có nghiệm trên [0; ∞) Điều kiện ban đầu này thường có được bằng cách

đo lường nên không thể tránh khỏi việc phạm một sai số nào đó Một câu hỏiđặt ra là sai số đó sẽ ảnh hưởng ít hay nhiều đến nghiệm phải tìm ?

Nếu ảnh hưởng đó là nhiều tức một sự thay đổi khá bé của điều kiện banđầu lại gây nên một sự thay đổi lớn đối với nghiệm tìm được thì nghiệm nàynói chung ít có giá trị về phương diện ứng dụng và không thể dùng để mô tảgần đúng hiện tượng đang xét

Nếu t biến thiên trong đoạn hữu hạn t0 ≤ t ≤ T thì từ định lý về sự phụthuộc nghiệm theo điều kiện ban đầu ta suy ra rằng nếu điều kiện ban đầuthay đổi ít thì nghiệm sẽ thay đổi ít Nhưng nếu t có thể nhận giá trị lớntùy ý thì vấn đề đó cần phải xét và đó chính là mục đích của lý thuyết ổnđịnh Vào khoảng cuối thế kỷ XIX nhà toán học Nga A M Lyapunov đãđưa ra định nghĩa khái niệm ổn định và đã đề ra những phương pháp hữuhiệu để giải bài toán ổn định Xét hệ (1.3) với giả thiết hệ có nghiệm 0 tức là

• Nếu a = 0 thì hệ là ổn định, không ổn định tiệm cận vì ||x(t)|| = ||x0||

• Nếu a > 0, hiển nhiên hệ không ổn định

vào đó bất đẳng thức trong điều kiện (ii) là thực sự âm, với mọi x nằm ngoàimột lân cận 0 nào đó, nói cách khác :

Định lý 1.3 [4] Nếu hệ (1.4) có hàm Lyapunov chặt thì hệ là ổn định tiệm

khi đó ta có tính ổn định tiệm cận của hệ đã cho

Trong thực tế người ta thường gặp bài toán xét dáng điệu nghiệm cân bằng

hệ phương trình vi phân không trên toàn bộ [0; +∞] mà chỉ trên đoạn hữu

hạn [0; T ] Nói cách khác tính bị chặn của nghiệm thay đổi như thế nào khi

nhiễu các giá trị ban đầu cũng bị chặn bởi một số cho trước Đây cũng là nội

dung chính của khái niệm ổn định hữu hạn [3] Xét hệ phương trình vi phân

dạng:



˙x = f (t, x(t)), t ∈ [0; T ]

Định nghĩa 1.5 Cho c1 > 0, c2 > 0, c1 < c2, ma trận đối xứng xác định

dươngR, và thời gianT > 0 Hệ (1.5) gọi là ổn định hữu hạn(f inite − time stable)

đối với (c1, c2, T, R) nếu từ

xT0Rx0 ≤ c1,

suy ra

xT(t)Rx(t) < c2, ∀ ∈ [0; T ]

Tính ổn định hữu hạn là khái niệm độc lập với tính ổn định Lyapunov Hệ

có thể ổn định hữu hạn nhưng không ổn định Lyapunov và ngược lại

Ví dụ 1.5 Xét hệ phương trình vi phân sau: ˙x(t) = cost, nghiệm của hệ là

x(t) = sint + x0 Rõ ràng hệ trên không ổn định tiệm cận nhưng ổn định hữuhạn đối với (12,32, π, I)

Ví dụ 1.6 Xét hệ phương trình sau: ˙x(t) = −ax(t), a > 0 Nghiệm của hệ

là x(t) = e−atx0 Hệ là ổn định Lyapunov và cũng ổn định hữu hạn đối với

Chương 2

Các tiêu chuẩn về ổn định hữu hạn

hệ phương trình vi phân.

Nội dung của chương này là giới thiệu một số kết quả cơ bản về điều kiện

đủ tính ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân Nội dung chương này đượctrình bày trong các kết quả của [3], [6]

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính:



trong đó A ∈ Rn×n, x(t) ∈ Rn, x0 ∈ Rn

Định lý 2.1 Hệ (2.1) là ổn định hữu hạn đối với (c1, c2, T, R) nếu tồn tại số

α > 0 và ma trận Q ∈ Rn×n đối xứng xác định dương sao cho các điều kiệnsau thỏa mãn:

ổn định hữu hạn đối với (2e−1, 6, 1, I)

Định nghĩa 2.1 Hệ (2.11) được gọi là hệ ổn định hữu hạn đối với(c1, δ, c2, T, R)

nếu với mọi nhiễu thỏa mãn (2.12) thì

λ3I < Q1 < λ1I, (2.14)

c1λ1 + δλ2 − δeλ0 −αTλ4 < e−αTc2λ3, (2.17)trong đó

Chứng minh Lấy V (x(t)) = xT(t) ˜Q1x(t)và gọi V (x(t))˙ là đạo hàm củaV (x)

trong quá trình giải hệ (2.11) Khi đó ta có



(2.18)Theo (2.18) và (2.13) ta có

˙

V (x(t)) < αV (x(t)) + αwT(t) ˜Q2w(t) − wT(t)(FTQ˜2 + ˜Q2F )w(t) (2.19)nhân cả hai vế của (2.19) với e−αt ta được

e−αswT(s) ˜Q2w(s)ds

−

Z t 0

e−αswT(s)(FTQ˜2 + ˜Q2F )w(s)ds

= α

Z t 0

e−αswT(s) ˜Q2w(s)ds −

Z t 0

lấy λ1 = 4, λ3 = 0, 5 Ta đi tìm ma trận F Gọi

2.1.2 Ổn định hữu hạn hệ phương trình vi phân có trễ

là hàm liên tục cho trước, τ > 0 là số cho trước

Định nghĩa 2.2 Hệ (2.24) là ổn định hữu hạn đối với (c1, c2, T, R) nếu

max

suy ra

xT(t)Rx(t) < c2, ∀t ∈ [0; T ]

Định lý 2.3 Hệ (2.24) là ổn định hữu hạn đối với (c1, c2, T, R) nếu tồn tại

số α > 0 và hai ma trận đối xứng xác định dương P > 0, Q > 0 sao cho cácđiều kiện sau thỏa mãn

2P R−12 ta có

V (x(t)) ≥ xT(t)R12P R¯ 1

2x(t)

Hơn nữa ta có đánh giá

V (x(0)) ≤ [λmax( ¯P ) + τ λmax( ¯Q)] max

λmin( ¯P )xTRx(t) ≤ V (x(t)) ≤ V (x(0))eαt ≤ [λmax( ¯P ) + τ λmax( ¯Q)]c1eαT

Vì t ≤ T và theo điều kiện (2.27) ta có

xT(t)Rx(t) ≤ eαTλmax( ¯P ) + τ λmax( ¯Q)

λmin( ¯P ) c1 < c2.

Định lý được chứng minh

Ví dụ 2.5 Xét hệ ˙x(t) = Ax(t) + A1x(t − τ ) với R = I, α = 1, T = 1, gọi

là ổn định hữu hạn đối với (e−1, 6, 1, I)

Ví dụ 2.6 Xét hệ ˙x(t) = Ax(t) + A1x(t − τ ) với R = I, α = 6, T = 1, gọi

là ổn định hữu hạn đối với (e−6, 6, 1, I).

Định nghĩa 2.3 Hệ (2.32) là ổn định hữu hạn đối với (c1, c2, T, R) nếu vớimọi nhiễu thỏa mãn (2.33) và từ

hQx(s), x(s)ids

Lấy đạo hàm hai vế theo t và đánh giá như trong chứng minh định lý (2.1.7)

ta thu được như sau

nhân cả hai vế với e−αt ta được

Nhận xét 2.2.2 Điều kiện ổn định hữu hạn hệ (2.32) xác định bởi nghiệm

và bất đẳng thức ma trận (2.34) Để tính nghiệm của (2.34) người ta cố định

Toolbox[5] Để tìm ma trận A, P, A1, Q, B sau đó tìm các số λi từ (2.35)

Ví dụ 2.7 Xét hệ phương trình

˙x(t) = Ax(t) + A1x(t − τ ) + Bw(t),

chọn a = −3 tính toán và ta chọn được a1 = 2, b = 12 Khi đó chọn R = I và

d = 2e−1, c1 = e−1, khi đó chọn được c2 = 3 Vậy hệ

˙x(t) = −3x(t) + 2x(t − 0, 5) + 1

2w(t)

, là ổn định hữu hạn đối với (e−1, 3, 1, I)

có trễ là một bài toán khó và là một hướng nghiên cứu đang được nhiều nhàtoán học quan tâm và đó cũng là nội dung được trình bày trong luận văn này.Những vấn đề chính của luận văn

• Nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản của hệ phương trình viphân như nghiệm của hệ , sự ổn định theo Lyapunov, ổn định hữu hạn, ,đồng thời trình bày một số kiến thức về xét sự ổn định hữu hạn của hệ

• Trình bày một số kết quả cơ bản giải bài toán ổn định hữu hạn hệ phươngtrình vi phân tuyến tính: Hệ phương trình vi phân tuyến tính, hệ phươngtrình vi phân tuyến tính có nhiễu, hệ phương trình vi phân tuyến tính cótrễ

Tài liệu tham khảo

Tài liệu Tiếng Việt

[1] Nguyễn Thế Hoàn , Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết

ổn định, NXB Giáo dục (2003)

[2] Vũ Ngọc Phát,Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại HọcQuốc Gia(2001)

Tài liệu Tiếng Anh

[3] F Amato, R Ambsosion, M Ariola, Finite-Time Stability and Control,Springer, Berlin (2013)

[4] Gu G., Kharitonov V., Chen J., Stability of Time-delay Systems,Birkhauser, Berlin (2003)

[5] Gahinet P., Nemirovskii A., Laub A.J., Chilali M., LMI Control ToolboxFor use with MATLAB, the Math Works, Inc, (1995)

[6] Dragutin L.E., Buzurovic I.M., Nestorovic T.P.,On Finite Time Stabilityand Asymptotic Practical Stability of Time Delayed Systems: New DelayDependent Criteria In: Proc 30th Chinese Control Conference July 22-

24, Yantai, China, 1058-1065 (2011)