Tính bão hòa nguyên tố của một số môđun đối đồng điều địa phương Artin

15 2 Tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phương Artin 18 2.1 Tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin.. Nhàn [CDN] đã đặc trưngtính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

-

 -

NG UYỄN THỊ T HU

TÍNH BÃO HÒA NGUYÊN TỐ CỦA MỘT SỐ MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ARTIN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Thái Nguyên, tháng 05, năm 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

P GS TS LÊ THỊ TH ANH N HÀN

Thái Nguyên, tháng 05, năm 2014

Mục lục

Lời cảm ơn ii

Lời nói đầu 1

1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Đầy đủ theo tôpô m-adic và đối ngẫu Matlis 3

1.2 Biểu diễn thứ cấp cho các môđun Artin 6

1.3 Tính chất cở sở của môđun đối đồng điều địa phương 12

1.4 Tính catenary của vành 15

2 Tính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phương Artin 18 2.1 Tính bão hòa nguyên tố của môđun Artin 18

2.2 Tính bão hòa nguyên tố của Hmd(M ) 26

2.3 Tính bão hòa nguyên tố của Hmi (M ) 35

2.4 Tính bão hòa nguyên tố của HId(M ) 37

Kết luận 44

Tài liệu tham khảo 45

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn tận tìnhcủa PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn Cô đã dành nhiều thời gian hướngdẫn và giải đáp thắc mắc của tôi trong suốt quá trình làm luận văn Tôixin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô

Tôi xin gửi tới các thầy cô ở Viện Toán học Hà Nội, Khoa Toán,Khoa Sau đại học Trường Đại học Sư phạm-Đại học Thái Nguyên đã tậntình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và người thân đã quan tâm, tạođiều kiện, động viên, cổ vũ để tôi có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình

Lời nói đầu

Cho (R, m) là vành giao hoán Noether địa phương với iđêan tốiđại duy nhất m Cho M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull

Theo suy nghĩ đối ngẫu, N T Cường và L T Nhàn [CN] đã xét tínhchất sau đối với các R-môđun Artin A

Khi R là vành đầy đủ theo tôpô m-adic, sử dụng đối ngẫu Matlis và ápdụng tính chất trên của các môđun hữu hạn sinh, ta thấy rằng tính chất(*) luôn đúng cho mọi R-môđun Artin A Tuy nhiên, Nguyễn Tự Cường

và Lê Thanh Nhàn [CN] đã xây dựng ví dụ chỉ ra rằng tính chất (*)nhìn chung không còn đúng khi vành R không đầy đủ

Định nghĩa Ta nói R-môđun Artin A là bão hòa nguyên tố nếu A thỏamãn tính chất (*)

Tính bão hòa nguyên tố được giới thiệu bởi N T Cường và L T.Nhàn [CN] nhằm nghiên cứu chiều của môđun Artin Chú ý rằng môđun

Năm 2007, N T Cường, N T Dung, L T Nhàn [CDN] đã đặc trưngtính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều địa phương cấp caonhất với giá cực đại như sau

là vành catenary

Với mỗi iđêan I của R, kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tốcủa R chứa I Năm 2009, L T Nhàn và T N An [NA] đã đặc trưngtính bão hòa nguyên tố của môđun đối đồng điều cấp i tùy ý với giá cựcđại thông qua tập giả giá Theo Brodmann và Sharp [BS1], giả giá thứ

Chúng ta biết rằng môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhấtvới giá I tùy ý luôn là môđun Artin Năm 2012, L T Nhàn và T Đ M

iđêan nguyên tố gắn kết của A

là vành catenary và

Mục đích của luận văn là chứng minh lại chi tiết 3 định lí đã nêu

ở trên về tính bão hòa nguyên tố của một số môđun đối đồng điều địaphương Artin trong các bài báo [CDN], [NA], [NC]

Luận văn gồm 2 chương Chương 1 trình bày một số kiến thứcchuẩn bị về vành đầy đủ theo tôpô m-adic và đối ngẫu Matlis, lí thuyếtbiểu diễn thứ cấp cho môđun Artin, khái niệm và tính chất cơ sở củamôđun đối đồng điều địa phương, tính catenary của vành Chương 2đưa ra chứng minh chi tiết cho các đặc trưng tính bão hòa nguyên tố

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong suốt luận văn này, luôn giả thiết (R, m) là một vành giaohoán Noether, địa phương với iđêan tối đại duy nhất là m Cho A làR-môđun Artin và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d Mụcđích của Chương 1 là trình bày lại một số kiến thức chuẩn bị về vànhđầy đủ theo tôpô m-adic và đối ngẫu Matlis, lý thuyết biểu diễn thứ cấpcho môđun Artin, tính chất cơ sở của môđun đối đồng điều địa phương

và tính catenary của vành

Kí hiệu E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m, L làmột R-môđun (không nhất thiết hữu hạn sinh, cũng không nhất thiết

của R theo tôpô m-adic và một số kết quả về hàm tử đối ngẫu Matlis

chương 10 của cuốn sách [BS] của M Brodmann và R Y Sharp

xn − xm ∈ mk, với mọi m, n ≥ n0 Dãy (xn) ⊂ R được gọi là dãy không

Chú ý rằng tổng và tích của hai dãy Cauchy là một dãy Cauchy, quy tắc

phụ thuộc vào cách chọn đại diện của các lớp tương đương Vì thế nó là

dựng được gọi là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R

quan hệ tương đương trên tập các dãy Cauchy như sau: Hai dãy Cauchy

tổng của hai dãy Cauchy là một dãy Cauchy và tích vô hướng của một

không phụ thuộc vào cách chọn đại diện của các lớp tương đương Vì

b

R

Ví dụ 1.1.2 Cho k là một trường, k[x] là vành đa thức 1 biến trên k.Vành S = k[x] không là vành địa phương Chọn P = (x)S là iđêan cực

đại của S Do đó vành địa phương hóa R = SP là vành địa phương vớiiđêan tối đại là m = (x)R Ta có thể kiểm tra được vành đầy đủ m-adiccủa R là k[[x]].

Định nghĩa 1.1.3 Cho L 6= 0 là một R-môđun, một R-môđun E đượcgọi là mở rộng cốt yếu của một môđun L nếu L ⊆ E và với mỗi môđuncon khác không N của E luôn có N ∩ L 6= 0 Một R-môđun E được gọi

là bao nội xạ của L nếu E là R-môđun nội xạ và là mở rộng cốt yếucủa L Mỗi R-môđun L luôn có ít nhất một bao nội xạ Hơn nữa, nếu E

sao cho f (x) = x, với mọi x ∈ L Ta kí hiệu bao nội xạ của môđun L làE(L)

Một giải nội xạ của L là một dãy khớp

nội xạ

con của của L được gọi là dãy môđun con độ dài t Ta nói L có dãy

môđun con nào khác, với mọi i = 0, , t − 1 Nếu L có dãy hợp thànhthì mọi dãy môđun con không có mắt lặp lại của L đều có thể mở rộngđược thành một dãy hợp thành và các dãy hợp thành của L có chung

độ dài Trong trường hợp này ta nói L có độ dài hữu hạn và độ dài của

Định nghĩa 1.1.4 Đặt E := E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng

dư R/m của R Xét hàm tử D(−) = Hom(−, E) từ phạm trù các

R-môđun đến chính nó Ta thấy D(−) là hàm tử phản biến, tuyến tính

và khớp trái Vì E là môđun nội xạ nên D(−) là hàm tử khớp Với mỗiR-môđun L, ta gọi D(L) là đối ngẫu Matlis của L

(iii) Nếu L là môđun Noether thì D(L) là môđun Artin

(iv) (R, m) là vành đầy đủ và L là môđun Artin thì D(L) là môđunNoether

Mục tiêu của tiết này là trình bày các khái niệm và tính chất vềbiểu diễn thứ cấp cho các môđun Artin, đặc biệt về tập iđêan nguyên

tố gắn kết nhằm phục vụ chứng minh các kết quả ở Chương 2 Cáckiến thức trong tiết này được tham khảo trong bài báo [Mac] của I G.Macdonald Trong suốt tiết này luôn giả thiết A là R-môđun Artin.Định nghĩa 1.2.1 (i ) Cho x ∈ R Nếu tồn tại số tự nhiên n sao cho

xnA = 0 thì ta nói phép nhân bởi x trên A là lũy linh Nếu xA = A thì

ta nói phép nhân bởi x trên A là toàn cấu

(ii ) Ta nói A là môđun thứ cấp nếu A 6= 0 và phép nhân bởi x trên

A là toàn cấu hoặc lũy linh với mọi x ∈ R Trong trường hợp này, tập

được gọi là một biểu diễn thứ cấp của A Biểu diễn thứ cấp này gọi là

(iv ) A = 0 hoặc A có biểu diễn thứ cấp thì A là biểu diễn được

Dưới đây ta nhắc lại một số tính chất về biểu diễn thứ cấp chomôđun Artin

Bổ đề 1.2.2 Các phát biểu sau là đúng:

(i) Môđun thương khác 0 của môđun p-thứ cấp là p-thứ cấp

(ii) Tổng trực tiếp của hữu hạn môđun p-thứ cấp là p-thứ cấp

(iii) Tổng của hữu hạn môđun con p-thứ cấp của A là p-thứ cấp

phần thứ cấp thừa và ghép lại những thành phần thứ cấp ứng với cùngmột iđêan nguyên tố, ta có thể rút gọn biểu diễn thứ cấp này thành mộtbiểu diễn thứ cấp tối thiểu

điều sau là tương đương:

(i) p ∈ {p1, , pn}.

(ii) A có môđun thương là p-thứ cấp

Định nghĩa 1.2.6 Giả sử A là biểu diễn được Theo định lý duy nhất

biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A Ta gọi nó là tập các iđêan nguyên tố

thì thành phần thứ cấp tương ứng được gọi là thành phần thứ cấp cô lậpcủa A Chú ý rằng tồn tại hai biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A mà cácthành phần thứ cấp ứng với cùng một iđêan nguyên tố gắn kết là khácnhau Tuy nhiên, nếu iđêan nguyên tố gắn kết ấy là tối thiểu trong tập

nội dung của định lý sau đây

Định lý 1.2.7 (Định lý duy nhất thứ hai) Giả sử A là biểu diễn được

vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A

Bổ đề 1.2.8 Giả sử A 6= 0 là Artin Nếu A không là tổng của haimôđun con thực sự của A thì A là thứ cấp

Chứng minh Giả sử A không thứ cấp Khi đó tồn tại x ∈ R sao cho

Định lý 1.2.9 Mọi môđun Artin đều biểu diễn được

Chứng minh Cho A là môđun Artin Giả sử A không biểu diễn được.Gọi Γ là tập các môđun con không biểu diễn được của A Khi đó A ∈ Γ,

do đó Γ 6= ∅ Do A là Artin nên Γ có phần tử cực tiểu L Vì L ∈ Γnên L 6= 0 và L không là môđun thứ cấp Theo bổ đề trên thì L viết

biểu diễn được Điều này là vô lý

Phần tiếp theo chỉ ra một số kết quả về tập iđêan nguyên tố gắnkết cho môđun Artin Giả thiết A là R-môđun Artin, I là iđêan của R,

kí hiệu Var(I) là tập các iđêan nguyên tố chứa I

Bổ đề 1.2.10 Các phát biểu sau là đúng

thiểu nên p = pi ∈ min AttRA Ngược lại, giả sử p ∈ min AttRA Theo

môđun thương khác không của A/P Vì A/P là p-thứ cấp nên A/Q là

Ru = {au | a ∈ R} là một môđun con của A, do đó nó là môđun Artin.Chú ý rằng Ru là hữu hạn sinh (sinh bởi phần tử u) Vì thế Ru vừa là

môđun Artin, vừa là môđun Noether Do đó Ru là môđun có độ dài hữu

trúc này, một tập con của A là một R-môđun con của A nếu và chỉ nếu

b

RA}

1.3 Tính chất cở sở của môđun đối đồng điều địa

Định nghĩa 1.3.1 Cho I là iđêan của R và L, N là các R-môđun Đặt

n≥0

hàm tử I-xoắn

∗ 1

Khi đó HIi(L) = Ker d∗i/ Im d∗i−1 với i ≥ 0, môđun này không phụ thuộcvào việc chọn giải nội xạ của L.

Sau đây là một số tính chất cở sở của môđun đối đồng điều địaphương

Mệnh đề 1.3.2 Cho L là R-môđun Các phát biểu sau là đúng

dãy khớp dài

xích nguyên tố trong R và n gọi là độ dài của xích Cận trên đúng củacác độ dài tất cả các xích nguyên tố trong R được gọi là chiều của vành

R và được kí hiệu là dim R Cho M là R-môđun, chiều của M , kí hiệu

Bổ đề 1.3.3 Cho R là vành giao hoán Noether (không nhất thiết địaphương), M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó các mệnh đề sau là tươngđương:

(i) `R(M ) < ∞.

(iii) dim M = 0

Bổ đề 1.3.4 Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương, I là iđêan của

R Khi đó dim R/I = 0 khi và chỉ khi I là m-nguyên sơ

là M -dãy chính quy Khi đó mỗi dãy chính quy trong I luôn mở rộngđược thành M -dãy chính quy tối đại trong I và các M -dãy chính quycực đại trong I có độ dài bằng nhau Độ dài chung này được gọi là độsâu của M đối với iđêan I và được kí hiệu là depth(I, M ) Khi I = mthì ta viết depth(M ) thay cho depth(m, M ) Ta gọi depth(m, M ) là độsâu của M

Độ sâu của M đối với iđêan I có thể đặc trưng thông qua tínhkhông triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương như sau

Định lý 1.3.5 Với mỗi iđêan I của R ta có

Chiều của môđun hữu hạn sinh trên vành địa phương có thể đặctrưng qua tính không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phươngnhư sau

Định lý 1.3.6 Ta có

Phần cuối cùng của tiết này dành để trình bày một số tính chấtArtin của môđun đối đồng điều địa phương Kết quả đầu tiên khẳngđịnh môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại luôn là Artin.Định lý 1.3.7 Các phát biểu sau là đúng.

Mục đích của tiết này là nhắc lại khái niệm và một số kết quả vềtính catenary của R Các thuật ngữ ở đây được tham khảo trong cuốnsách [Mat] của H Matsumura

Định nghĩa 1.4.1 R được gọi là vành catenary nếu với mội cặp iđêannguyên tố q ⊂ p của R luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa q

và p và mọi dãy nguyên tố bão hòa giữa q và p đều có chung độ dài

Chú ý rằng vì (R, m) là vành địa phương Noether nên dim R < ∞

Vì thế luôn tồn tại một dãy nguyên tố bão hòa giữa q ⊂ p của R Do

đó R là vành catenary nếu và chỉ nếu mọi dãy bão hòa giữa hai iđêannguyên tố q ⊂ p đều có cùng độ dài

Bổ đề 1.4.2 Các phát biểu sau là đúng

(i) Vành thương của vành catenary cũng là vành catenary

(ii) Nếu dim R ≤ 2 thì R là vành catenary

Chứng minh (i ) Giả sử R là vành catenary và I là iđêan của R Khi

của R/I tương ứng với một dãy iđêan nguyên tố bão hòa giữa hai iđêan

R/I Vì thế R/I là catenary

(ii ) Giả sử dim R ≤ 2 Cho q ⊂ p là hai iđêan nguyên tố của R Khi đóchỉ có một trong hai khả năng xảy ra: hoặc chèn được thêm một iđêannguyên tố giữa q và p để được dãy bão hòa, hoặc q ⊂ p đã bão hòa Vìthế R là catenary

Định nghĩa 1.4.3 Ta nói rằng M là đẳng chiều nếu dim(R/p) = dim M

b

RM cMệnh đề 1.4.4 Nếu (R, m) là miền nguyên địa phương Noether tựakhông trộn lẫn thì R là catenary

Cho p là iđêan nguyên tố của R Cận trên đúng của độ dài các xíchnguyên tố bắt đầu từ p được gọi là độ cao của iđêan p, kí hiệu là ht p

Từ định nghĩa vành catenary, ta dễ thấy rằng nếu R là miền nguyên địaphương catenary thì nó thỏa mãn công thức chiều

ht p + dim R/p = dim R

với mọi iđêan nguyên tố p của R Vì thế I S Cohen 1954 đã hỏi rằngliệu một miền nguyên địa phương R thỏa mãn công thức chiều ht p +dim R/p = dim R với mọi iđêan nguyên tố p của R có là miền catenaryhay không? Câu trả lời được khẳng định bởi R.J Ratliff đưa ra vào năm1972

Mệnh đề 1.4.5 Một miền nguyên Noether địa phương R là catenarynếu và chỉ nếu với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có

ht p + dim R/p = dim R

Giả sử R là vành địa phương Noether đẳng chiều Từ định nghĩavành catenary, dễ thấy rằng nếu R là catenary thì ht p+dim R/p = dim Rvới mọi iđêan nguyên tố p của R McAdam và R J Ratliff năm 1974 đãchứng minh điều ngược lại, kết quả này mở rộng mệnh đề trên cho tất

cả các vành địa phương đẳng chiều Chú ý rằng kết quả này sẽ được sửdụng để chứng minh một trong ba kết quả chính của luận văn (Định lý1)

Mệnh đề 1.4.6 Giả sử R là vành địa phương Noether đẳng chiều Khi

đó R là catenary nếu và chỉ nếu với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có

ht p + dim R/p = dim R

Trước hết ta xét một tính chất cở sở của các R-môđun hữu

Rất tự nhiên, theo suy nghĩ đối ngẫu, N T Cường và L T Nhàn [CN]

đã xét tính chất sau đối với các môđun Artin A:

Nhìn chung tính chất (*) không đúng cho các môđun Artin Vì thế ta

có khái niệm sau

Định nghĩa 2.1.1 Ta nói A là bão hòa nguyên tố nếu

Nhận xét 2.1.2 Giả sử R là đầy đủ theo tôpô m-adic Khi đó D(A)

dụng tính chất linh hoán tử cho môđun D(A) ta có

hòa nguyên tố luôn đúng cho mọi môđun Artin trên vành địa phươngđầy đủ Tuy nhiên, tính bão hòa nguyên tố không còn đúng khi vành Rkhông đầy đủ

Ví dụ 2.1.3 (xem [CN, Ví dụ 4.4]) Tồn tại một môđun Artin trênvành Noether địa phương không bão hòa nguyên tố

Chứng minh Gọi (R, m) là miền Noether địa phương chiều 2 được xâydựng bởi D Ferrand và M Raynaud [FR] thỏa mãn tính chất tồn tại

thế ta có Q ∩ R ∈ Ass R Do R là miền nguyên nên Ass R = {0} Do đó

nguyên tố p của R sao cho p 6= 0 và p 6= m Ta đã chứng minh ở trên

Vậy A không bão hòa nguyên tố

Giả sử f : R −→ S là một đồng cấu vành Khi đó mỗi S-môđun Lđều có cấu trúc là R-môđun, trong đó phép cộng đã sẵn có trong L vàtích vô hướng của phần tử r ∈ R với phần tử m ∈ L được cho bởi tích

f (r)m Cấu trúc R-môđun như thế được gọi là cấu trúc R-môđun xácđịnh bởi f Một đồng cấu f : R −→ S được gọi là đồng cấu phẳng nếu

S, xét như R-môđun xác định bởi f , là R-môđun phẳng, tức là với mỗidãy khớp

các R-môđun, dãy cảm sinh

là khớp Một đồng cấu f : R −→ S được gọi là đồng cấu hoàn toànphẳng nếu S, xét như R-môđun xác định bởi f , là R-môđun hoàn toànphẳng, tức là với mỗi dãy

các R-môđun là khớp nếu và chỉ nếu dãy cảm sinh

là khớp

Bổ đề 2.1.4 (xem [Mat]) Các phát biểu sau là đúng

(ii) Nếu f : R −→ S là đồng cấu hoàn toàn phẳng và L là R-môđun

Kết quả chính của tiết này là đặc trưng tính bão hòa nguyên tố

và tập Var(Ann

b