Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình cho học sinh lớp 12.

"Mục tiêu của giáo dục phổ thông là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và c

Trang 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Bùi Văn Nghị

THÁI NGUYÊN - 2014

Trang 2

Đặc biệt tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và đào tạo Hải Dương, Ban giám hiệu Trường THPT Tứ Kỳ - Hải Dương đã tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành khoá học này

Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn, mặc dù đã có nhiều cố gắng, song không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được góp

ý của các thầy cô và đồng nghiệp cho luận văn của tôi được hoàn chỉnh hơn

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2014

Người thực hiện

Khúc Tân Việt

Trang 3

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất

kỳ công trình nào khác

Khúc Tân Việt

Trang 4

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Mục lục iii

Bảng những cụm từ viết tắt trong luận văn iv

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Kĩ năng và kĩ năng giải toán 4

1.1.1 Kĩ năng 4

1.1.2 Kĩ năng giải toán 5

1.2 Phương pháp dạy học giải bài tập toán học 7

1.2.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học 7

1.2.2 Những yêu cầu của một lời giải bài toán 7

1.2.3 Phương pháp chung để giải bài toán 9

1.3 Thực trạng dạy học “Hệ phương trình” tại một số trường THPT huyện Tứ Kỳ - tỉnh Hải Dương 11

1.3.1 Nội dung “Hệ phương trình” trong chương trình môn Toán THPT 11

1.3.2 Tìm hiểu thực trạng 11

1.4 Tiểu kết chương 1 13

Chương 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO HỌC SINH 14

2.1 Biện pháp chung rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh 14

2.2 Phương pháp rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình cho học sinh 15

2.2.1 Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình cơ bản 15

2.2.2 Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp thế 18

2.2.3 Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp phân tích thành nhân tử 22

2.2.4 Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ 30

Trang 5

2.2.5 Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số 38

2.2.6 Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp khác 46

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 52

3.1 Mục đích, tổ chức thực nghiệm sư phạm 52

3.1.1 Mục đích thực nghiệm 52

3.1.2 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 52

3.2 Giáo án thực nghiệm sư phạm 52

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 61

3.3.1 Lấy ý kiến từ GV và HS 61

3.3.2 Đánh giá từ bài kiểm tra 61

3.4.2 Đánh giá kết quả học tập 62

KẾT LUẬN 65

TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 PHỤ LỤC

Trang 6

BẢNG NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Trang 7

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết giáo dục được coi là quốc sách hàng đầu, vì giáo dục nhằm có được nguồn nhân lực để phát triển kinh tế xã hội Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là đào tạo ra những con người phát triển toàn diện

về mọi mặt, không những có kiến thức tốt mà còn vận dụng được kiến thức trong tình huống công việc

"Mục tiêu của giáo dục phổ thông là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng nhu cầu xây dựng và bảo

vệ Tổ quốc"; “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm tâm lý của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh" [16]

Toán học có vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học kỹ thuật; toán học có liên quan chặt chẽ và có có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại; toán học còn là công cụ để học tập và nghiên cứu các môn học khác Vì vậy, ngay từ trường phổ thông, việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trường phổ thông đóng vai trò rất quan trọng

Việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh trong dạy học toán được các nhà giáo dục và giáo viên toán quan tâm Đã có nhiều đề tài nghiên cứu giải quyết những vấn đề về lý luận và thực tiễn việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh

Chủ đề về hệ phương trình là một chủ đề rất thuận lợi cho việc rèn luyện các hoạt động trí tuệ và phát triển tư duy cho học sinh Ngoài những hệ phương

Trang 8

trình thường gặp, có thuật toán hoặc phương pháp giải, chúng ta còn gặp những

hệ phương trình không mẫu mực, đòi hỏi học sinh phải linh hoạt, sáng tạo

Từ đó, đề tài được chọn là "Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình

cho học sinh lớp 12 "

2 Mục đích nghiên cứu

Hệ thống hóa được những kĩ năng cần thiết trong giải hệ phương trình và

đề xuất được biện pháp rèn luyện những kĩ năng đó cho học sinh lớp 12, nâng cao hiệu quả học tập chủ đề này ở trường phổ thông

3 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở hệ thống hóa những kĩ năng cần thiết trong giải hệ phương trình, nếu vận dụng biện pháp rèn luyện những kĩ năng đó như đã đề xuất trong luận văn thì cho học sinh lớp 12 có kĩ năng giải dạng toán này tốt hơn, nâng cao được hiệu quả học tập chủ đề này ở trường phổ thông

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Làm sáng tỏ khái niệm và hệ thống hóa một số vấn đề về rèn luyện kĩ năng, kĩ năng giải toán

- Hệ thống hóa những kĩ năng cần thiết trong giải hệ phương trình

- Đề xuất hệ thống bài tập và biện pháp sư phạm rèn luyện kĩ năng giải

hệ phương trình cho học sinh lớp 12

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, hiệu quả của đề tài

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán; các công trình nghiên cứu có liên quan trực tiếp đến đề tài nhằm hoàn thành cơ sở lí luận cho đề tài

Trang 9

5.2 Quan sát, điều tra

- Dự giờ, quan sát để có một số đánh giá về thực trạng việc DH toán ở trường THPT

- Xây dựng một số phiếu điều tra và tiến hành điều tra tình hình dạy và học giải hệ phương trình cho học sinh lớp 12 tại một số trường THPT

5.3 Thực nghiệm sư phạm

Tiến hành thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm ba chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình cho học sinh lớp 12 Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Trang 10

1.1 Kĩ năng và kĩ năng giải toán

1.1.1 Kĩ năng

+ Quan niệm về kĩ năng

Theo nghĩa từ điển: “Kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó theo một mục trong những điều kiện nhất định; kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn” [21] Trong đó khả năng được hiểu là sức đã có về một mặt nào đó để làm tốt một công việc Kĩ năng thuộc

về phạm vi hoạt động, thuộc khả năng “biết làm”

+ Kĩ năng có các tính chất sau:

- Kĩ năng phải dựa trên cơ sở là kiến thức

Muốn có kĩ năng làm một việc gì đó cần phải hiểu rõ mục đích, biết cách

đi đến kết quả và những điều kiện cần thiết Vì vậy kĩ năng giải toán cũng phảỉ dựa trên cơ sở là tri thức toán học, bao gồm: tri thức sự vật, tri thức giá trị và tri thức phương pháp

Chẳng hạn để có kĩ năng giải hệ phương trình, học sinh phải có tri thức về

hệ phương trình Tri thức đó bao gồm: khái niệm về phương trình, hệ phương trình, khái niệm về nghiệm của phương trình, hệ phương trình; tri thức về biến đổi phương trình tương đương, phương trình hệ quả,

Ví dụ như, để có kĩ năng giải hệ

416

x y học sinh cần phải có kiến thức về nhận dạng và cách giải hệ PT Đây là hệ PT đối xứng loại 1, cách giải là đặt s x y p, xy

Tương tự để có kĩ năng giải hệ

3 3

y x học sinh cần phải nhận ra đây

là hệ PT đối xứng loại 2, hệ luôn có nghiệm x = y Ngoài ra học sinh cần phải biết cách viết đúng nghiệm của hệ

- Kĩ năng chỉ có thể hình thành trong hoạt động và bằng hoạt động

Trang 11

Con đường đi từ chỗ có tri thức đến chỗ có kĩ năng là con đường luyện tập Nội dung của sự luyện tập này rất phong phú và đa dạng Bởi vậy, việc tổ chức các hoạt động học tập có vai trò quan trọng trong quá trình hình thành và phát triển kĩ năng cho HS Các hoạt động phải được người học thực hiện nhiều lần, mang tính liên tục và đến một mức độ nhất định nào đó, kĩ năng mới được hình thành Kĩ năng đạt đến mức thuần thục được gọi là kĩ xảo

+ Kĩ năng có tính ổn định nhưng không bền vững như kĩ xảo trong quá trình hoạt động, qua thời gian, kĩ năng có thể được bổ sung hoặc rút ngắn đi, hoặc thay đổi Kĩ năng thực hiện một hoạt động nào đó có thể mất đi sau một thời gian đồng thời cũng có thể được tái hình thành

+ Vai trò quan trọng của kĩ năng là góp phần củng cố kiến thức, cụ thể hóa, chính xác hóa kiến thức Điều này vừa là tính chất, đồng thời vừa là một mục tiêu quan trọng trong dạy học: chú ý đến rèn luyện và phát triển kĩ năng cho HS, từ đó làm cơ sở cho việc kiểm tra, củng cố lại kiến thức, dần từng bước tiếp thu kiến thức và kĩ năng mới phù hợp với sự phát triển trí tuệ và rộng hơn phù hợp với yêu cầu cuộc sống

1.1.2 Kĩ năng giải toán

a) Quan niệm về kĩ năng giải toán

Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức toán học để giải các bài toán Kĩ năng giải toán bao gồm những kĩ năng thành phần như tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh

HS sau khi nắm vững lý thuyết, trong quá trình tập luyện, củng cố đào sâu kiến thức thì kĩ năng được hình thành, phát triển đồng thời góp phần củng cố,

cụ thể hóa tri thức toán học

Kĩ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các hoạt động toán học Kĩ năng giải toán của HS có thể chia làm 3 cấp độ: biết làm, thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể

b) Những kĩ năng chung trong giải toán

Trang 12

Để giải toán học sinh cần phải có những kĩ năng chung sau đây:

+ Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán, xác định đó là trọng tâm suy nghĩ tìm hướng giải Đây là kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, là một trong những kĩ năng quan trọng nhất khi giải các bài toán có tính chất là một vấn đề Cần làm rõ các thành phần, mối liên hệ tường minh hay không tường minh, qua các yếu tố trong bài toán

+ Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải bài toán: Huy động tri thức, kinh nghiệm của bản thân có liên quan để giải bài toán

+ Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá tiến trình và kết quả bài toán, tránh sai lầm khi giải toán: trong hoạt động giải toán, việc phát hiện và sửa chữa sai lầm là một thành công của người học toán

+ Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của người giải toán

Ta thấy đây là hệ phương trình đối xứng loại 1 Cách giải thông thường hệ

này là đặt ẩn phụ theo tổng và tích hai ẩn x y S

xy P

Tuy nhiên nếu học sinh có kĩ năng hơn về phương pháp thế, các em có thể nhận ra cách đặt ẩn phụ không phải theo tổng và tích hai ẩn, mà theo tổng các bình phương và tích của hai ẩn: (x2

+ y2 và xy) để giải bài toán nhanh hơn, như sau:

Hệ phương trình tương đương với hệ 2 2

Trang 13

Từ đó ta có hệ

513

66

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; )x y là (3;2),(2;3),( 3; 2),( 2; 3)

1.2 Phương pháp dạy học giải bài tập toán học

1.2.1 Vai trò của bài tập trong quá trình dạy học

Mục này viết dựa theo tài liệu [10] của Nguyễn Bá Kim

Bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán HS được thực hiện những hoạt động học tập thông qua giải bài tập như: nhận dạng, thể hiện định nghĩa, định lí, quy tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức tạp, những hoạt động ngôn ngữ

Vai trò của bài tập thể hiện trên 3 phương diện:

- Hình thành, củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá tình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn

- Phát triển năng lực trí tuệ: rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ

- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

Chẳng hạn, việc giải hệ phương trình giúp cho học sinh củng cố tri thức về phương trình, hệ phương trình, giúp học sinh củng cố, rèn luyện cách giải những dạng hệ phương trình cơ bản Qua các bài tập học sinh sẽ ôn lại những vấn đề về lý thuyết như: phương trình và hệ phương trình tương đương, phương trình và hệ phương trình hệ quả,…Qua những hệ cụ thể học sinh sẽ có được kĩ năng nhận dạng, biết khi nào thì dùng phương pháp thế, khi nào thì dùng phương pháp phân tích thành nhân tử, khi nào đặt ẩn phụ, hàm số,

1.2.2 Những yêu cầu của một lời giải bài toán

Lời giải của bài toán cần phải đảm bảo được những yêu cầu cơ bản sau:

- Lời giải phải đúng : đúng trong tính toán, biến đổi, lập luận

Trang 14

- Lời giải phải có lập luận chặt chẽ: luận đề nhất quán, luận cứ phải đúng, luận chứng phải hợp lôgic

- Lời giải phải đầy đủ: không được thiếu trường hợp, thiếu nghiệm, hay thiếu một chi tiết cần thiết nào

Ngoài ra, giáo viên có thể đánh giá cao hơn đối với những lời giải có thêm những ưu điểm sau:

- Ngôn ngữ chính xác

- Trình bày rõ ràng, đẹp trong lời văn, chữ viết, hình vẽ, các sắp xếp các yếu tố trong lời giải

- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách ngắn gọn, hợp lý

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự mở rộng hay lật ngược vấn đề

Ví dụ.1.1 Khi giải hệ phương trình

01

x y

Lời giải này sai vì biến đổi không tương đương

Hay khi giải hệ phương trình

x y

20

x

1

x y

Trang 15

Lời giải này chưa đầy đủ vì học sinh mới giải được trường hợp x 1, còn thiếu trường hợp x 1

1.2.3 Phương pháp chung để giải bài toán

Trong tài liệu [22] , G.Pôlya trình bày về bốn bước giải bài toán, gồm: Hiểu bài toán; Tìm cách giải; Trình bày; Nhìn lại

Bước 1: Hiểu bài toán

Phát triển đề bài dưới những hình thức khác nhau (Bằng lời, bằng kí hiệu ) để hiểu rõ nội dung, phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh Có thể dùng công thức, để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Trả lời câu hỏi: Đâu là cái phải tìm? Cái đã cho? Hãy vẽ hình và sử dụng điều kiện thích hợp? Phân biệt các phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn ra các điều kiện đó thành công thức hay không

Bước 2: Tìm cách giải

Tìm tòi phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũng tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào có liên quan sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán

Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan

Bước 3: Trình bày

Từ cách giải phát hiện được, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Bước 4: Nhìn lại

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

Trang 16

Bước 1 Hiểu bài toán: Đây là hệ đối xứng loại 1

Bước 2 Tìm cách giải: Theo phương pháp chung để giải hệ này, đặt

Bước 4 Nhìn lại

Đối với bài toán trên ta có thể giải cách khác tốt hơn như sau: Hệ phương

trình tương đương với hệ 2 2

66

Trang 17

1.3 Thực trạng dạy học “Hệ phương trình” tại một số trường THPT huyện Tứ Kỳ - tỉnh Hải Dương

1.3.1 Nội dung “Hệ phương trình” trong chương trình môn Toán THPT

Theo chương trình môn toán THPT năm 2002:

Ở lớp 10 có 5 tiết khái niệm và giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, đối với ban nâng cao có thêm 2 tiết về hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai

Ở lớp 12 ban cơ bản không có, ban nâng có 3 tiết hệ phương trình mũ và lôgarít

Một số nội dung cụ thể có trong chương trình:

- Khái niệm về hệ phương trình

- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

- Hệ phương trình bậc hai

- Một số hệ phương trình cơ bản

- Hệ phương trình mũ và lôgarít

1.3.2 Tìm hiểu thực trạng

1.3.2.1 Điều tra từ giáo viên

Để biết được tình hình thực tế của việc rèn luyện kĩ năng giải toán hệ phương trình cho HS, tôi đã thiết kế và gửi phiếu xin ý kiến của 12 thầy cô giáo trong tổ toán của trường THPT Tứ Kỳ và 8 thầy cô ở trường THPT Hưng Đạo huyện Tứ Kỳ - tỉnh Hải Dương Nội dung phiếu xin xem trong phụ lục 2 Kết quả như sau:

+ Trong câu hỏi 1 - Theo thầy cô giáo dạng toán giải hệ phương trình là dạng toán quan trọng hay không? Vì sao?

A Bình thường

B Quan trọng

C Rất quan trọng

Trang 18

Có 4,5% thầy cô chọn đáp án A; 31,8% chọn đáp án B; 63,7% chọn đáp

án C vì: Thứ nhất giúp HS củng cố và khắc sâu kiến thức dễ dàng Thứ 2 giúp cho HS có kĩ năng giải các bài toán giải hệ phương trình trong kỳ thi tuyển sinh Đại Học và Cao Đẳng

+ Trong câu hỏi 2 - Theo thầy cô chỉ rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình cho HS theo mức độ sách giáo khoa, sách bài tập thì HS có đủ kĩ năng làm bài thi Đại học không?

A Chưa biết giải hệ phương trình

B Chỉ giải được những bài toán đơn giản

C Giải thành thạo những bài toán kể cả những bài khó trong quá trình học

Đa số các thầy cô trả lời số tiết theo quy định trong chương trình của HS chỉ giải hệ phương trình ở mức độ biết làm, ít HS làm được bài một cách thành thạo

+ Trong câu hỏi 4 - Theo thầy cô những khó khăn nào sau đây được thể hiện nhiều nhất ở HS?

A Không biết nhận dạng

B Không biết cách giải

C Có biết cách giải nhưng không giải được

Có 32% thầy cô chọn đáp án A, 48% chọn đáp án B, 20% chọn đáp án C 1.3.2.2 Đánh giá kĩ năng giải hệ phương trình của học sinh qua bài kiểm tra Tôi đã ra một bài kiểm tra viết 45 phút để đánh giá kĩ năng giải hệ phương trình của 82 học sinh hai lớp 12A và 12B trường THPT Tứ Kỳ - Hải Dương

Trang 19

Đề bài như sau: Giải các hệ phương trình sau:

Bài 1 nhằm đánh giá kĩ năng vận dụng giải các hệ cơ bản

Bài 2 nhằm đánh giá kĩ năng tìm ra cách giải hệ không cơ bản, ở mức trung bình, giải bằng một trong những cách quen thuộc như đặt ẩn phụ, phân tích thành nhân tử…

Bài 3 nhằm đánh giá khả năng sáng tạo, tìm ra cách giải độc đáo

Lời giải bài kiểm tra xin xem tại phụ lục 3

Kết quả sau khi chấm bài như sau:

Bài 1 có 77% học sinh giải được

Bài 2 có 23% học sinh giải được

Bài 3 không có học sinh giải được

Kết quả trên cho thấy kĩ năng giải hệ phương trình của học sinh nhìn chung mới đạt ở mức độ cơ bản Với hệ phương trình đòi hỏi ở mức độ cao hơn

cơ bản một chút thì hầu như học sinh không giải được

1.4 Tiểu kết chương 1

Chương này trình bày khái niệm về kĩ năng, các tính chất của kĩ năng và

về kĩ năng giải toán Kĩ năng giải toán nói chung, kĩ năng giải hệ phương trình nói riêng có vai trò quan trọng trong chương trình môn toán phổ thông

Tôi đã sử dụng phiếu xin ý kiến từ giáo viên và đánh giá kĩ năng giải hệ phương trình của học sinh thông qua bài kiểm tra Kết quả cho thấy hầu như học sinh mới chỉ có được kĩ năng giải những hệ phương trình cơ bản

Trang 20

Chương 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHO

HỌC SINH

2.1 Biện pháp chung rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

Theo Nguyễn Bá Kim [10], các phương pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh cần phải dựa trên cở sở tâm lý học, giáo dục học và lý luận phương pháp dạy học bộ môn Toán

Bởi vì quá trình học được tiến hành bằng sự kết hợp giữa hoạt động dạy của thầy và các hoạt động học của trò, do đó các biện pháp sư phạm phải thông qua hoạt động dạy tác động vào hoạt động học của học sinh, làm cho HS có động cơ hoàn thiện tri thức và kĩ năng Phương pháp dạy học Toán ở THPT phải luôn gắn liền với việc truyền thụ tri thức, kĩ năng với việc phát triển các kĩ năng của học sinh

Từ đó, theo tác giả, để rèn luyện được kĩ năng giải toán cho HS ta cần phải

có một giải pháp đồng bộ, bao gồm các hoạt động sau:

a Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập của HS trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng

Căn cứ vào chương trình, người GV cần phải xác định và chọn lọc các kiến thức, kĩ năng cơ bản cần được trang bị, hình thành, phát triển cho HS

b Trang bị các tri thức về phương pháp giải toán cho HS

Đối với những bài toán đã có thuật giải: GV cần thông báo tường minh thuật giải hoặc có thể cho HS thực hiện các hoạt động học tập ăn khớp với tri thức phương pháp đó

Đối với bài toán chưa có hoặc không có thuật giải: GV cần hướng HS suy nghĩ, tìm tòi lời giải, trước hết theo quy trình bốn bước tìm lời giải bài toán của Polya

c Rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua củng cố, luyện tập, đào sâu, ứng dụng, hệ thống hóa và ôn tập

Trang 21

2.2 Phương pháp rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình cho học sinh

Theo tôi, giáo viên cần rèn luyện cho HS có những kĩ năng để giải được những hệ phương trình sau, trong chương trình môn Toán THPT:

- Giải hệ phương trình cơ bản

- Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

- Giải hệ phương trình bằng phương pháp phân tích thành nhân tử

- Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

- Giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

- Giải hệ phương trình bằng phương pháp khác

Sau đây tôi trình bày về việc rèn luyện từng kĩ năng cụ thể Mỗi kĩ năng được trình bày thông qua những hướng dẫn từ một số ví dụ, sau đó khái quát chung và cuối cùng là những bài toán cho học sinh tự luyện tập

2.2.1 Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình cơ bản

Trong luận văn này tôi không trình bày những hệ phương trình cơ bản trong sách giáo khoa, như hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, ba ẩn…

Ví dụ 2.2.1.1 Giải hệ phương trình

1130

x y xy

x y xy Hướng dẫn:

Hệ PT trên đối xứng loại 1, cho nên có thể biến đổi từng PT về tổng và tích các biến rồi đặt ẩn phụ

Trang 22

Vậy hệ PT có nghiệm ( ; )x y là (2;1),(1;2),( 2; 1),( 1; 2)

2 2

Trang 23

23

y y x x x y Hướng dẫn:

Điều kiện: x y, 0

Ta thấy các vế phải của hai PT là các số dương nên ta có x y, 0

Hệ PT trên đối xứng loại 2, cho nên ta quy đồng khử mẫu rồi từng vế của hai PT cho nhau sau đó phân tích thành nhân tử

+ Trường hợp 2 x y 3xy 0 vô nghiệm vì x y, 0

Vậy hệ PT có nghiệm ( ; )x y (1;1)

Trang 24

* Như vậy, trong quá trình rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình đối xứng, cần chú ý

- Phương pháp chung giải hệ phương trình đối xứng loại 1 là đặt :

,

x y s xy p nhưng cũng tuỳ theo giữa các biểu thức đối xứng với x

và y trong hệ ta có thể có cách đặt ẩn phụ khác tốt hơn

Phương pháp chung giải hệ phương trình đối xứng loại 2 là trừ từng vế hai

PT cho nhau để phân tích PT đó thành nhân tử rồi sử dụng phương pháp thế

2.2.2 Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

x x

+ Với x 1, ta có y 1

+ Với x 2 ta có y 3

2Thử lại và kết luận hệ phương trình có nghiệm (x;y) = (1;1), (x;y) =

Trang 25

Hoặc để ý ta sẽ thấy y chỉ nằm trong cụm tích xy nên ta có thể nghĩ đến phương pháp thế cả cụm xy

y x PT (1) đưa biến x và biến y về từng

vế Khi đó ta có thể thế (2) vào (1) ta thấy xuất hiện nhân tử chung

Trang 26

1

256( )124

Trang 27

là bậc hai thì có thể nghĩ đến giải PT bậc hai của ẩn đó, còn ẩn kia là tham số

- Nếu trong hệ PT có một ẩn chỉ nằm trong một nhóm, một biểu thức, ta

Trang 28

x thế vào PT (1) 3) Từ PT (1) rút 2 2

Ta có thể nhẩm được một nghiệm của hệ là x = 2, y = 1, tức là x = 2y, hay

x – 2y = 0, nên có thể nghĩ tới phân tích PT (1) thành tích các nhân tử, trong đó có nhân tử (x – 2y)

Trang 29

1 13

3 0

2

y y

Trang 30

Trang 31

(1)( 4 )(2 4) 36 (2)

Trang 32

một trong hai PT thành tích các nhân tử, trong đó có chứa (x - y), hoặc (y – x2

), hoặc (x – y2),…

Trang 33

y , rồi từ đố giải phương trình đại số bậc 3

Xét y 0 x 0 khi đó hệ phương trình vô nghiệm

Xét y 0 Chia 2 vế của (*) cho 3

+y x thế vào phương trình (1) ta được:

Trang 34

Tóm tắt lời giải:

(2) y (4x 8)y 5x 16x 16 0 có 2

9x

Do vậy phương trình có 2 nghiệm là: y 5x 4 hoặc y 4 x

+Trường hợp 1 y 5x 4 thế vào (1), ta được: 2

(5x 4) (5x 4)(4 x)4

.Với x 0, ta có y 4

.Với x 4, ta có y 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm là:

4( ; ) (0; 4),( ; ) (4;0),( ; ) ( ;0)

5

Trang 35

PT (2) có tổng các hệ số của số hạng ở hai vế bằng nhau x y 1 nên

có thể nghĩ tới phân tích (2) thành nhân tử trong đó có chứa (x 1) hoặc (y 1)

Vậy hệ phương trình có nghịêm là: ( ; )x y (1;1)

Như vậy, trong quá trình rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp phân tích thành nhân tử, cần chú ý:

+ Nếu một PT trong hệ nhẩm được một nghiệm có dạng f(x) – f(y) = 0 thì

ta có thể nghĩ tới việc phân tích PT đó thành nhân tử, trong đó chứa dạng f(x) – f(y) Chẳng hạn:

Trang 36

Nếu PT có nghiệm x 1,y 1 y x thì nghĩ tới phân tích thành nhân tử

3) PT (1) phân tích thành nhân tử (x y x)( 2y 1) 0

4) PT (1) coi là PT bậc hai theo biến y, ta được y x 1; y 2x 1

2.2.4 Rèn luyện kĩ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Trang 37

Với hệ này, ngoài phương pháp thế như đã trình bày ở mục trên, nếu thấy được mối quan hệ giữa các biểu thức xuất hiện trong hệ PT, ta có thể nghĩ đến một cách giải khác là đặt ẩn phụ

Tóm tắt lời giải:

Hệ đã cho tương đương với hệ

2 2

Vậy hệ phương trình có nghiệm là ( ; )x y (1;1), ( ; )x y (3;9)

u v

Trang 38

21

2

12

x x

x x y x y

x y x xy (1) Hướng dẫn

Trong từng PT ta có thấy được mối quan hệ giữa các biểu thức hay không? nghĩ tới hằng đẳng thức nào? Nếu thấy được mối quan hệ giữa các biểu thức xuất hiện trong hệ PT, ta có thể nghĩ đến cách giải đặt ẩn phụ

( )0

0

TM y

32

( )3

y

x xy

VN x

x y

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: ( ; )x y (1;0),( ; )x y ( 1;0)

Trang 39

545(1 2 )

Ta có hệ phương trình tương đương với hệ

32

y

x x

x

Trang 40

Định dạng
Số trang	81
Dung lượng	2,11 MB