Nguyên lý biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ THỊ HUYỀN TRANG NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN T

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HÀ THỊ HUYỀN TRANG

NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND

CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

HÀ THỊ HUYỀN TRANG

NGUYÊN LÝ BIẾN PHÂN EKELAND

CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Lê Dũng Mưu

THÁI NGUYÊN - 2014

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này làtrung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoanrằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và cácthông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014Người viết Luận văn

Hà Thị Huyền Trang

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được

sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của GS Lê Dũng Mưu (Viện Toán họcViệt Nam) Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tôi xin được bày tỏ lờicảm ơn chân thành đến thầy, người thầy kính mến đã hết lòng giúp đỡ, dạybảo, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trìnhhoàn thành luận văn

Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán, ban lãnh đạo phòngsau Đại học của Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạomọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập củamình

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã tham gia giảng dạy cho lớpCao học chuyên ngành Toán khóa 20

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người

đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trìnhhọc tập và thực hiện luận văn

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 4 năm 2014Người viết Luận văn

Hà Thị Huyền Trang

2 Nguyên lý biến phân Ekeland cho bài toán cân bằng 142.1 Nguyên lý biến phân Ekeland 142.1.1 Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển 142.1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian hữu

hạn chiều 172.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng 192.2.1 Một số định lý cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài

toán cân bằng 192.2.2 Nguyên lý Ekeland cho bài toán cân bằng 31

Mở đầu

Cho H là một không gian Hilbert thực với tích vô hướng h., i và ||.||

tương ứng Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trongH và f là một songhàm từ C × C vào R sao cho f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C Trong Luận vănnày ta sẽ xét bài toán cân bằng sau đây, được kí hiệu là (EP)

Tìm x ∈ C sao cho f (x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ C

Để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng người ta thường

sử dụng các định lý điểm bất động Brouwer, Kakutani, Ky Fan, Mộtphương pháp cơ bản để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cânbằng này là dựa trên nguyên lý biến phân Ekeland Từ khi ra đời, nguyên

lý biến phân Ekeland đã trở thành công cụ mạnh trong giải tích hiên đại.Những ứng dụng của nguyên lý này bao trùm nhiều lĩnh vực như: Lý thuyếttối ưu, giải tích không trơn, lý thuyết điều khiển, lý thuyết điểm bất động,kinh tế,

Mục đích của Luận văn này là trình bày những kết quả về sự tồn tạinghiệm của bài toán cân bằng đặc biệt là ứng dụng của nguyên lý biếnphân Ekeland cho bài toán cân bằng và hệ hữu hạn các bài toán cân bằng.Nội dung luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1 trình bàymột số khái niệm cơ bản liên quan đến luận văn, giới thiệu về bài toán cânbằng và các trường hợp riêng của bài toán cân bằng Chương 2 gồm nguyên

lý biến phân Ekeland (nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển và nguyên lýbiến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều), một số định lý cơ bản

về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng và nguyên lý biến phân Ekelandcho bài toán cân bằng

Chương 1

Bài toán cân bằng.

Chương này trình bày các khái niệm liên quan đến bài toán cân bằng vàcác trường hợp riêng quan trọng của bài toán cân bằng Các kiến thức trongchương được trích từ tài liệu [1], [2], [3], [5], [6], [10]

Định nghĩa 1.1 Không gian định chuẩn thực là một không gian tuyến tínhthực X trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số ||x|| gọi là chuẩncủa x, thỏa mãn các điều kiện sau :

xác định một tích vô hướng trong Rn.

Định nghĩa 1.3 Cặp (H, h, i) trong đó H là một không gian tuyến tínhtrên R, h, ilà tích vô hướng trên H được gọi là không gian tiền Hilbert thực.Định lý 1.1 Mọi không gian tiền Hilbert H đều là không gian định chuẩn,với chuẩn được xác định bởi công thức

||x|| =

q

Chuẩn này được gọi là chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng

Định nghĩa 1.4 Nếu H là không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối vớichuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.1) thì H được gọi là khônggian Hilbert thực

Ví dụ 1.2 Rn là không gian Hilbert thực với tích vô hướng

Ví dụ 1.3 L2[a,b] là không gian các hàm bình phương khả tích trên [a, b] với

f ∈ L2[a,b] sao cho

Định nghĩa 1.7 Cho không gian mêtric (E, d) Dãy {xn} ⊂ E được gọi

là dãy Cauchy nếu

lim

n,m→∞d(xn, xm) = 0

⇔ ∀ε > 0, ∃n0 : ∀n, m ≥ n0 ⇒ d(xn, xm) < ε

Định nghĩa 1.8 Không gian mêtric (E, d) gọi là đầy đủ nếu mỗi dãyCauchy trong nó đều là dãy hội tụ.

Nhận xét 1.1 Như vậy không gian Hilbert là một không gian mêtric đầyđủ

Tiếp theo, ta sẽ nêu một số định nghĩa và kết quả cơ bản của giải tích lồiđược phát biểu trong [2], [10]

Xét C là tập con khác rỗng trong không gian Hilbert thực H

Định nghĩa 1.9 Tập C trong không gian Hilbert thực H được gọi là mộttập lồi nếu

Ta nói δC là hàm chỉ của C Do C lồi nên δC là hàm lồi

Định nghĩa 1.11 Cho C ⊂ H là tập lồi khác rỗng và ánh xạ f : C →

hx∗, z − xi + f (x) ≤ f (z), ∀z

Ký hiệu tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x là ∂f (x)

Khi ∂f (x) 6= ∅ thì ta nói hàm f khả dưới vi phân tại điểm x

f được gọi là khả dưới vi phân trên một tập nếu f khả dưới vi phân tại mọiđiểm trên tập đó

Định nghĩa 1.12 Hàm f : H → R được gọi là nửa liên tục dưới đối với E

tại một điểm x, nếu như với mọi dãy xk ⊂ E; xk → x ta có lim inf f (xk) ≥

Nếu ϕ tựa lồi trên C thì ∀x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có

ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ max(ϕ(x), ϕ(y));

Tương tự, nếu ϕ tựa lõm trên C thì ∀x, y ∈ C và λ ∈ [0, 1] ta có

ϕ(λx + (1 − λ)y) ≥ min(ϕ(x), ϕ(y))

Các định nghĩa về tính đơn điệu của song hàm và ánh xạ được sử dụngtrong việc trình bày tính duy nhất nghiệm của bài toán cân bằng (xem [6]).Trong các định nghĩa sau xét C là tập khác rỗng, đóng, lồi trong không gianHilbert thực H

Định nghĩa 1.14 Giả sử f : C × C →R Ta nói

1 f đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0, nếu

Định nghĩa 1.15 Giả sử F : C → H Ta nói

1 F đơn điệu mạnh trên C với hệ số β > 0, nếu

1.2 Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng.

Ta nhắc lại Bài toán cân bằng (còn được gọi là bất đẳng thức Ky Fan):Xét H là không gian Hilbert thực; C là tập lồi, đóng, khác rỗng của H và

Tập nghiệm của bài toán cân bằng được ký hiệu là Sol(C, f )

Dưới đây ta sẽ luôn giả thiết f (x, x) = 0 với mọi x ∈ C Một song hàmthỏa mãn điều kiện này được gọi là song hàm cân bằng C được gọi là tậpchấp nhận được hay là tập chiến lược và f là hàm cân bằng của bài toán(EP)

Về mặt hình thức bài toán cân bằng khá đơn giản, tuy nhiên nó bao hàmđược nhiều lớp bài toán quan trọng khác nhau thuộc nhiều lĩnh vực Dướiđây là một số trường hợp riêng của bài toán này:

1 Bài toán tối ưu Xét bài toán

min{ϕ(x)|x ∈ C}

Đặt

f (x, y) := ϕ(y) − ϕ(x)

Khi đó

Vậy bài toán tối ưu trên là một trường hợp riêng của bài toán (EP)

2 Bất đẳng thức biến phân.Xét bài toán bất đẳng thức biến phân đatrị sau:

Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong H và F : C → H là một ánh

xạ đa trị (tức là với mỗi x ∈ C, giá trị F(x) là một tập khác rỗng) Xét bàitoán :

Tìm x∗ ∈ C, v∗ ∈ F (x∗) sao cho hv∗, y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ C (VI)

Ta có thể minh họa bất đẳng thức biến phân (VI) dưới góc độ mô hình kinh

tế như sau: Giả sử C là tập hợp các chiến lược (tập ràng buộc) các phương

án sản xuất có thể lựa chọn Với mỗi phương án sản xuất x ∈ C, tập (ánh

xạ giá) F (x) là tập hợp các giá thành chi phí có thể, ứng với phương án x

Khi đó bài toán (VI) chính là bài toán tìm phương án sản xuất x∗ trong tậpchiến lược C và giá v∗ ứng với x∗ sao cho chi phí là thấp nhất Trong trườnghợp ánh xạ giá không phụ thuộc vào phương án sản xuất, tức là F (x) = c

với mọi x, bất đẳng thức biến phân (VI) trở thành bài toán quy hoạch quenthuộc

Trong bài toán quy hoạch này, vec-tơ giá c không phụ thuộc vào phương ánsản xuất

Về mặt hình học, bất đẳng thức biến phân (VI) là bài toán tìm một điểm

x∗ ∈ C sao cho tập F (x∗) có một phần tử là vec-tơ pháp tuyến (ngoài) củatập C tại điểm x∗

Giả sử với mỗi x ∈ C, tập F (x)lồi, compac, khác rỗng Với mỗi x, y ∈ C

, để mô tả bài toán (VI) về bài toán cân bằng, ta đặt

Ta chỉ ra rằng bài toán (CP) này tương đương với bất đẳng thức biến phân:

Sự tương đương ở đây được hiểu theo nghĩa tập nghiệm của hai bài toánnày trùng nhau Thật vậy, nếu x là nghiệm của bất đẳng thức biến phânthì

Lần lượt chọn y = x + ei (vec-tơ đơn vị thứ i) ta có

Fi(x) = F (x), x + ei − x

= F (x), ei ≥ 0

Vậy Fi(x) ≥ 0 với mọi i Ngoài ra, nếu chọn y = 0 ta có

Thật vậy, khi F = ∂f, bài toán (VI) được viết là :

Tìm x∗ ∈ C, v∗ ∈ ∂f (x∗) sao cho hv∗, y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ C

Nếu x∗ là nghiệm của bất đẳng thức biến phân này, thì dov∗ ∈ ∂f (x∗), nêntheo định nghĩa của dưới vi phân, ta có

mô tả dưới dạng bài toán cân bằng (EP) Để chứng tỏ điều này, với mỗi

Ngược lại, giả sử xlà nghiệm của bài toán (EP), tức làx ∈ C vàf (x, y) ≥

0 với mọi y ∈ C Khi đó, lấy y là hình chiếu của x lên tập lồi đóng F (x).Khi đó

hx − y, y − xi = max

v∈F (x)hx − v, y − xi

Do x là nghiệm của (EP) nên

0 ≤ f (x, y) = hx − y, y − xi = −||x − y||2

Suy ra x = y ∈ F (x) Vậy x là điểm bất động của F

4 Bài toán điểm yên ngựa Cho A ⊆ H, B ⊆ H và L : A × B → R Bàitoán điểm yên ngựa là bài toán tìm (x∗, y∗) ∈ A × B sao cho

L(x∗, y) ≤ L(x∗, y∗) ≤ L(x, y∗), ∀(x, y) ∈ A × B

Một điểm (x∗, y∗) ∈ A × B thỏa mãn bất đẳng thức trên được gọi là điểmyên ngựa của L trên A × B Ta sẽ chỉ ra rằng, bài toán điểm yên ngựa cóthể mô tả dưới dạng bài toán cân bằng

Thật vậy, với mỗi u = (x, y)T, v = (x,, y)T, ta đặt

5 Cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác Xét một trò chơi có

p người chơi (đấu thủ) Giả sửCj ⊂ Rpj là tập phương án mà đấu thủ thứ j

có thể lựa chọn trong đó (gọi là tập chiến lược) Đặt C := C1× C2× × Cp

và gọi ϕj : Cj → R là hàm lợi ích của đấu thủ j khi đấu thủ này chọnphương án chơi xj ∈ Cj, còn các đấu thủ k khác chọn phương án chơi là

Nếu x∗ là một điểm cân bằng Nash thì f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ C

Ngược lại, giả sử x∗ ∈ C là nghiệm của bài toán (EP), tức là

Mâu thuẫn với x∗ là nghiệm của (EP)

Nhận xét 1.5 Trong tất cả các bài toán vừa kể trên, song hàm f đều có

tính chất f (x, y) = 0 với mọi y ∈ C Như vậy f là một song hàm cân bằngtrên C.

Chương 2

Nguyên lý biến phân Ekeland cho

bài toán cân bằng.

Trong mục này, chúng ta xem xét nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển Nguyên lý này sẽ được sử dụng để chứng minh sự tồn tại nghiệm của bàitoán cân bằng Các kết quả được lầy từ các tài liệu [4], [7]

2.1.1 Nguyên lý biến phân Ekeland cổ điển.

Vấn đề chúng ta thường quan tâm là khi nào hàm f : X → R∪ {+∞}

đạt cực tiểu trên X, tức là tồn tại x ∈ X¯ sao cho f (x) ≥ f (¯x) với mọi

x ∈ X Trước hết ta nhìn lại kết quả quen thuộc về sự tồn tại điểm cực tiểucủa hàm f nửa liên tục dưới trên tập compact

Mệnh đề 2.1 Cho X là không gian mêtric đủ compact và hàm f : X →

n→∞f (xn) = ata suy ra f (¯x) ≤ a (điều đó chứng tỏ a 6= −∞).Mặt khác theo định nghĩa của a ta có f (¯x) ≥ a

Vậy f (¯x) = a và x¯ là một điểm cực tiểu của hàm f trên X

Định lý 2.1 (nguyên lý biến phân Ekeland) Cho (X, d) là không gianmêtric đủ và hàm f : X → R∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặndưới Giả sử ε > 0 và xε ∈ X thỏa mãn:

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 2.1 Cho số α > 0, ta định nghĩa quan hệ thứ tự ” ≥ ” trên X ×R

Ta xây dựng dãy (xn, an) trong S bằng quy nạp như sau:

Bắt đầu từ (x0, a0) ∈ S cho trước, giả sử (xn, an) đã biết

Do quan hệ vừa xây dựng có tính bắc cầu nên Sn+1 ⊂ Sn do đómn ≤ mn+1.

Và như vậy ta có {Sn} là dãy các tập đóng giảm dần trong S, {mn} là dãygiảm dần trong R và bị chặn dưới và (2.1) có thể viết lại thành:

Bây giờ ta sẽ chứng minh (¯x, ¯a) là phần tử cần tìm

Thật vậy, từ định nghĩa của (¯x, ¯a) ta có (¯x, ¯a) ≥ (xn, an), ∀n ∈ N do đó(¯x, ¯a) ≥ (x0, a0) Giả sử có (x, a) > (¯x, ¯a) với (x, a) ∈ S và (x, a) 6= (¯x, ¯a).Khi đó (x, a) ∈ Sn, n ∈ N vì vậy (x, a) ∈ T

n∈NSn điều này mâu thuẫn với(2.2)

Và như vậy (¯x, ¯a) là phần tử cực đại trong S thỏa mãn yêu cầu của bổđề

Bây giờ ta sẽ chứng minh x¯ là điểm cần tìm.

Hằng số λ trong định lý trên rất linh hoạt Chọn λ = √

ε ta có kết quả sau:Định lý 2.2 Cho (X, d) là không gian mêtric đủ và hàm f : X → R ∪{+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới Giả sử ε > 0 và xε ∈ X thỏamãn:

¯

x sao cho:

εd(x, ¯x) > f (¯x), ∀x ∈ X\{¯x}

2.1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland trong không gian hữu hạn chiều

Định lý 2.4 Cho f : Rn → R∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặndưới, λ > 0 và p ≤ 1 Giả sử ε > 0 và xε ∈ Rn thỏa mãn:

Điều này mâu thuẫn với (2.3), do đó Lg(a)g đóng và bị chặn trong Rn Vậy

Lg(a)g là tập compact Khi đó g là hàm nửa liên tục dưới trên tập compact

Lg(a)g nên tồn tại điểm cực tiểu x¯ của g trên Lg(a)g

Ta sẽ chứng minh x¯ là điểm cực tiểu của g trên Rn

Thật vậy, lấy x 6∈ Lg(a)g thì g(x) > g(a) ≥ g(¯x) Suy ra x¯ là điểm cực tiểucủa g trên Rn

Bây giờ ta chứng minh x¯ thỏa mãn các kết luận của định lý.

Do x¯ là điểm cực tiểu của g trên Rn nên

λp||x − xε||p ≥ f (¯x) + ε

λp||¯x − xε||p, x ∈ Rn

Vậy 3 được chứng minh

Trong 3 cho x = xε ta được f (¯x) + ε

λp||¯x − xε||p ≤ f (xε) Ta chứng minhđược 2 và còn suy ra được

Nghĩa là ||xε − ¯x|| < λ, ta chứng minh được 1

2.2.1 Một số định lý cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng.

Trong phần này ta nhắc lại một số định lý quen thuộc trong giải tích phituyến Các định lý này là công cụ sắc bén để nghiên cứu, đặc biệt là đểchứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng ( xem [5], [8])

Định lý minimax

Cho một song hàm f : C × D → R Nhiều vấn đề trong tối ưu hóa, lý

thuyết trò chơi và các lĩnh vực khác đưa đến câu hỏi khi nào có đẳng thức

Đẳng thức này nói rằng việc lấy cận trên đúng và cận dưới đúng có thể hoán

vị cho nhau Từ định nghĩa cận trên đúng, cận dưới đúng, ta có

Bổ đề 2.2 Cho C ⊆ H, D ⊆ H là các tập lồi, đóng khác rỗng và f :

C × D → R Giả sử với mọi y ∈ D, hàm f (., y) tựa lồi, nửa liên tục dướitrên C và với mọi x ∈ C, hàm f (x, ) tựa lõm, nửa liên tục trên trên D.Khi đó ta có:

1 Với mọi γ0 > γ := sup

Theo giả thiết quy nạp ∩k

i=1Cγ00(yi) 6= ∅, nếu như các tập

Cγ00(yi) = Cγ0(yi) ∩ Cγ0(yk+1) 6= ∅

Vậy vấn đề còn lại là chứng minh rằng với hai điểm bất kỳ a, b ∈ D, thì

mọi x ∈ C(yt) ta có f (x, yt) ≤ α Do f tựa lõm theo biến thứ hai, nên

f (x, yt) ≥ min{f (x, a), f (x, b)} Vậymin{f (x, a), f (x, b)} ≤ α Do đó hoặc

f (x, a) ≤ α hoặc f (x, b) ≤ α Vì điều này đúng với mọi x ∈ C(yt), nên

Do C(a), C(b), C(yt) lồi và hai tập C(a), C(b) rời nhau, nên từ (2.6) suy ra

Đặt

Ma := {t|0 ≤ t ≤ 1 : C(yt) ⊂ C(a)},

Mb := {t|0 ≤ t ≤ 1 : C(yt) ⊂ C(b)}

Hiển nhiên 0 ∈ Ma, 1 ∈ Mb và Ma∪ Mb = [0, 1]

Hoàn toàn tương tự như trên, ta chứng minh được

C(yt) ⊂ C(yt1) ∪ C(yt2), ∀t ∈ [t1, t2] ⊂ [0, 1]

Khi đó, t ∈ Ma kéo theo [0, t] ⊂ Ma và t ∈ Mb kéo theo [t, 1] ⊂ Mb

Đặt s := sup Ma Giả sử s ∈ Ma (nếu s ∈ Mb, lập luận tương tự) Do

α > γ ≥ inf f (x, ys) nên tồn tại x ∈ C¯ sao cho f (¯x, ys) < α Do tínhnửa liên tục của f (¯x, ) nên f (¯x, yt) < α với mọi t > s và đủ gần s Hay

¯

x ∈ C(yt) với mọi t đủ gần s Khi đó C(yt) ⊂ C(a) Theo định nghĩa của

Ma, ta có t ∈ Ma Nhưng t > s = sup Ma : mâu thuẫn Như vậy

C(a) ∩ C(b) 6= ∅