Tìm hiểu lý thuyết lượng tử về mômen xung lượng và mômen spin

Theo giả thiết của Borh về lượng tử hoá quỹ đạo thì mômen xung lượng của điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân chỉ có thể nhận các giá trị gián đoạn là một bội nguyên của hằng số Planc

A – mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết “Vật lý hạt cơ bản” là một chuyên ngành hẹp của môn Vật lý trong đó đi sâu vào nghiên cứu các tính chất, các quy luật tương tác của hạt cơ bản và các phản hạt của chúng Đồng thời nghiên cứu các quá trình biến đổi giữa các hạt cơ bản cũng như mối liên hệ của chúng với các trường lực xung quanh Khi đi sâu vào thế giới các hạt cơ bản tức là ta đã nói

đến thế giới các hạt vi mô Vì vậy lý thuyết cổ điển sẽ bị thay đổi bằng lý thuyết lượng tử – lý thuyết trường lượng tử và được dùng như một công cụ khá tốt để nghiên cứu hạt cơ bản

Nghiên cứu hạt cơ bản tức là một cách gián tiếp ta đã nghiên cứu vũ trụ, vì các hạt cơ bản này cấu thành toàn bộ vật chất, trái đất cũng như tất cả các

sự vật, các thiên hà và các lớp bụi giữa các vì sao, chúng đều được tạo thành từ các hạt cơ bản ước muốn của con người là luôn muốn làm chủ được thiên nhiên, vũ trụ Vì vậy việc nghiên cứu hạt cơ bản là một vấn đề luôn luôn đặt ra không chỉ cho các nhà vật lý mà cho tất cả những ai yêu thích môn hạt cơ bản

Có thể nói vật lý hạt cơ bản chính là vật lý năng lượng cao, nó cho phép ta đi sâu và thế giới bên trong hạt nhân

Theo giả thiết của Borh về lượng tử hoá quỹ đạo thì mômen xung lượng của điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân chỉ có thể nhận các giá trị gián

đoạn là một bội nguyên của hằng số Planck ℏ

Trong phần nội dung của luận văn này ta sẽ thấy rằng giả thiết của Bohr chính là hệ quả của các tiên đề của CHLT Để thấy rõ điều đó ta hãy nghiên cứu lý thuyết lượng tử về mômen xung lượng Trong đó để hình dung một cách cụ thể về trị riêng của các toán tử mômen xung lượng ta có thể trình bày một cách thô sơ trên hình vẽ Nhưng cách trình bày trên hình vẽ chỉ là để hiểu một cách trực quan, không thể coi là một cách biểu diễn chính xác mômen xung lượng Vậy để hiểu một cách chính xác mômen xung lượng thì ta sẽ đi

xét một hệ gồm 2 hạt, bỏ qua tương tác giữa 2 hạt làm thay đổi mômen xung lượng thì mômen xung lượng L của hệ bằng tổng các mômen xung lượng của hai hạt Để đi đến được điều đó thì ta dùng quy tắc cộng mômen xung lượng, cộng mômen spin nói riêng và cộng mômen nói chung

Mặt khác khi chứng minh định luật bảo toàn mômen xung lượng quỹ đạo chúng ta mới chỉ xét trường hợp đơn giản nhất khi hàm sóng chỉ có một thành phần Bây giờ ta khảo sát trường hợp tổng quát khi hàm sóng có nhiều thành phần mà trong các phép quay không gian, mỗi thành phần chuyển thành một

tổ hợp tuyến tính của chính nó và các thành phần khác

Cũng chính vì các lí do ở trên đã giúp tôi đọc, tìm hiểu và nghiên cứu đề tài này: “cộng mômen”

2 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

- Thông qua quy tắc hay định lí cộng mômen cho một hệ gồm 2 hạt không tương tác ta có thể áp dụng cho hàm sóng một hạt với hai bậc tự do khác nhau hoặc hệ nhiều hạt

- Nâng cao tầm hiểu biết về vật lý học của thế giới vi mô Mặt khác có thể làm tài liện tham khảo cho các bạn đọc

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Tìm hiểu về mômen xung lượng, mômen spin, cộng mômen xung lượng

và cộng mômen spin của các hạt

- Dùng cho hệ các hạt vi mô không tương tác với nhau

4 Phương pháp nghiên cứu

Dùng phương pháp toán cho vật lý: Toán tử, giải phương trình hàm riêng, trị riêng, các phương trình đặc biệt cho vật lý

B - Néi dung Ch−¬ng 1: Céng m«men xung l−îng 1.1 M«men xung l−îng

1.1.1 To¸n tö m«men xung l−îng

Trong c¬ häc l−îng tö, còng t−¬ng tù nh− trong CHC§, m«men xung

[L Lx, y]= ℏi Lz; ˆ ˆ[ ] ˆ

x

L Ly, z = ℏi L ; ˆ ˆ[L Lz, x]= ℏi Lˆy (5)

đồng thời hình chiếu của mômen xung lượng lên hai trong ba trục toạ độ

vuông góc Nếu đã đo được chính xác Lz chẳng hạn, thì đồng thời không thể

đo được chính xác Lx hoặc Ly Có thể đo được chính xác đồng thời bình phương của mômen xung lượng và hình chiếu của nó lên một trục bất kì

Đôi khi để cho thuận tiện, người ta đưa vào các toán tử sau đây:

z

[ , ] [ , ]

x

y

z

i cos cotg sini

1.1.2 Trị riêng của mômen xung lượng

Ta hãy xét bài toán trị riêng của toán tử Lˆz Để thuận tiện ta dùng toạ độ cầu Phương trình trị riêng có dạng:

trong đó u là hàm riêng ứng với trị riêng Lz

Giải phương trình này ta tìm được biểu thức của hàm riêng u Phần phụ

thuộc toạ độ ϕ của u có dạng :

i L e

ϕ

i

Chú ý rằng khi ϕ thay đổi 2π thì ta lại trở về điểm cũ Muốn cho u là

một hàm đơn giá (theo vị trí trong không gian) thì khi ϕ thay đổi 2π hàm u

vẫn giữ nguyên giá trị (u ϕ+2 )π =u( )ϕ

với: m = 0; 1± ; 2±

Trị riêng Lz bằng một số nguyên lần ℏ

Thay giá trị của Lzvào biểu thức (13) của hàm riêng ta có:

im

u r( , , )θ ϕ =c r( , )θ e ϕ (15)

đó là hàm riêng ứng với trị riêng mℏ

Bây giờ ta chuyển sang tìm trị riêng của bình phương mômen xung lượng

Cho các toán tử ở hai vế của phương trình (16) tác dụng lên u m

Bây giờ cho toán tử Lˆ2 tác dụng lên u l, theo (9) ta có:

Vậy trị riêng của toán tử Lˆ2 là: 2 2

L =l(l + 1)ℏ (17)

l có những giá trị nguyên, kể cả giá trị bằng không ứng với một giá trị đã

cho của l thì m có thể có nhiều giá trị Như trên đã nói l là giá trị lớn nhất của

m Mặt khác hai hướng giữa trục z là tương đương về mặt vật lý, nên ứng với

mỗi giá trị của m lại có một giá trị khác trái dấu Như vậy m có thể có các giá trị nguyên từ l + đến - l

m = l; l-1; l-2;…; -l (18) tất cả là (2l+1) giá trị

1.1.3 Hàm riêng của toán tử mômen xung lượng

Các toán tử mômen xung lượng Lˆ2 và ˆL z chỉ chứa các toạ độ θ, ϕ và

đạo hàm theo các tọa độ này Vì vậy ta chỉ xác định được phần phụ thuộc θ

và ϕ trong hàm riêng (chung) của hai toán tử ấy, các hàm riêng ấy có chứa

một hằng số nhân phụ thuộc vào r

Gọi u lm (r,θ, )ϕ là hàm riêng (chung) của Lˆ2 và ˆL z ứng với các trị riêng lần lượt là 2

l(l + 1)ℏ và mℏ Phần phụ thuộc các toạ độ θ và ϕ gọi là hàm cầu

và kí hiệu là:

m l

cuối cùng: Y l m( , )θ ϕ =const P l m(cos ).θ e imϕ (23)

Hằng số đ−ợc xác định bằng điều kiện chuẩn hoá

Sau đây ta tính vài giá trị của hàm cầu m

π

=

1 1

38

158

i

Y sinθe ϕ

π

1.1.4 Mẫu vectơ và phép cộng mômen xung lượng

Để hình dung một cách cụ thể về trị riêng của các toán tử mômen xung lượng ta có thể trình bày một cách thô sơ trên hình vẽ

Vectơ mômen xung lượng L có độ dài là:

2l + giá trị) 1

Như vậy véctơ L không thể hướng tuỳ ý trong không gian, nó chỉ có thể

hướng như thế nào để hình chiếu có giá trị như trên

Hình vẽ 1: Vẽ sơ đồ vectơ L gọi là mẫu vectơ của mômen xung lượng

Cách trình bày trên đây chỉ là để hiểu một cách trực quan, không thể coi

là một cách biểu diễn chính xác mômen xung lượng

Bây giờ ta xét một hệ gồm hai hạt có mômen xung lượng lần lượt là L1và

2

L



Nếu bỏ qua tương tác của hai hạt làm thay đổi mômen xung lượng thì

mômen xung lượng L của hệ bằng tổng của các mômen L1 và L2 Nếu biết các lượng tử số l1,m1 và l2,m2 xác định các mômen xung lượng L1



và L2

 thì

ta có thể suy ra được các số lượng tử l và m xác định mômen xung lượng L

Cách suy ra l và m gọi là phép cộng mômen xung lượng trong cơ học lượng

tử

Người ta có thể chứng minh được một cách chặt chẽ phép cộng mômen xung lượng, sau đây ta dùng một phương pháp đơn giản để hiểu phép cộng mômen xung lượng

Trước hết ta có: L z =L1z +L2z

tức là mℏ=m1ℏ+m2ℏ⇔m=m1+m2 (24)

Ta lại biết rằng giá trị cực đại của m1 là l1, của m2 là l2, vậy giá trị cực

đại của m , tức cũng là giá trị của l là:

ta có thể hiểu một cách thô sơ rằng đây là trường hợp hai vectơ L1



và L2

 cùng hướng Trường hợp hai vectơ ấy cùng phương ngược chiều thì: l= l1ưl2

Còn có những trường hợp khác thì l có giá trị nguyên ở khoảng giữa hai

giá trị trên

Nói tóm lại với l1 và l2 đã cho thì l có giá trị sau đây:

1 2, 1 2 1, , 1 2

l= +l l l +l ư l ưl (25) Tất cả có 2l2+ giá trị (nếu 1 l2< ) l1

1.2 Lý thuyết lượng tử về mômen xung lượng

Theo giả thiết của Bohr về lượng tử hoá quỹ đạo thì mômen xung lượng của điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân chỉ có thể nhận các giá trị gián

đoạn là một bội nguyên của hằng số Planck ℏ Trong chương này chúng ta sẽ thấy rằng giả thiết của Bohr chính là hệ quả của các tiên đề của cơ học lượng

tử đã trình bày ở chương truớc Để thấy rõ điều này chúng ta hãy nghiên cứu

lý thuyết lượng tử về mômen xung lượng

1.2.1 Lượng tử hoá mômen xung lượng

Như chúng ta đã biết, các hàm sóng của hạt vi mô chuyển động trong trường thế đối xứng cầu thực hiện biểu diễn của nhóm quay, các toán tử thành phần của vectơ mômen xung lượng ˆJ i (i=1, 2,3) của hạt tỉ lệ với các vi tử ˆL i

của biểu diễn đó: ˆ ˆ

J = ℏ , L i=1, 2,3 Xuất phát từ các hệ thức giao hoán các vi tử ˆL i

Xét một biểu diễn tối giản thứ nguyên hữu hạn bất kỳ Vì toán tử Lˆ2 giao hoán với tất cả các vi tử, công thức (26), nên theo bổ đề Shur trong lý thuyết biểu diễn nhóm ma trận của toán tử này phải là bội của ma trận đơn vị

së trong kh«ng gian thùc hiÖn biÓu diÔn lµ hÖ c¸c vect¬ riªng cña to¸n tö Lˆ3

Ký hiÖu c¸c trÞ riªng lµ µ vµ c¸c vect¬ riªng t−¬ng øng lµ |µ >

V× Lˆ3 lµ to¸n tö tù liªn hîp nªn c¸c gi¸ trÞ riªng µ ph¶i lµ c¸c sè thùc

H·y t¸c dông to¸n tö L Lˆ ˆ3 ( )+

lªn vect¬ riªng µ Theo c¸c hÖ thøc (29) vµ (34) ta cã:

HÖ thøc nµy chøng tá Lˆ( )+ µ còng lµ mét vect¬ riªng cña to¸n tö Lˆ3 øng

víi trÞ riªng(µ +1), nghÜa lµ Lˆ( )+ µ ph¶i tØ lÖ víi µ + 1

L Lˆ ˆ3 ( )− µ = −( Lˆ( )− +L Lˆ( )− ˆ3) µ

sẽ âm khi à đủ lớn để à à( +1)>C

Vì àmax là trị riêng lớn nhất nên:

Lˆ ( )+ àmax =0

và do đó từ hệ thức (37) ta suy ra:λmax = 0 (41)

Tương tự, vì àmin là trị riêng nhỏ nhất nên:

Theo đẳng thức (43) lời giải thứ nhất là àmax, nghĩa là àmax = Lời giải j

thứ hai ứng với điều kiện (42), nghĩa là:

àmin ư = ư ư 1 j 1

Vậy àmin = ư (45) j

Rõ ràng, j phải là một số không âm

Tóm lại, các trị riêng à của Lˆ3 có thể nhận các giá trị thay đổi từ jư

đến j , hai giá trị liên tiếp khác nhau một đơn vị nghĩa là à có thể nhận các giá trị sau đây:

à = ư ư + ư +j, j 1, j 2, , jư2, jư1, j

Số các giá trị đó là 2j+ Số này phải bằng một số nguyên Nếu số đó 1

là số lẻ: 2j+ =1 2n + thì j là một số nguyên j1 = n

i L

của hạt (khi nói như vậy ta ngầm hiểu rằng ta đã lấy ℏ làm đơn vị mômen xung lượng) Toán tử hình chiếu Jˆ3 của mômen xung lượng trên trục oz có tất

j j+ ℏ của toán tử Jˆ2 được gọi là một

đa tuyến Trường hợp riêng j= chỉ ứng với một hàm sóng và gọi là đơn 0

1.2.2 Mômen xung lượng quỹ đạo và các hàm cầu

Bây giờ hãy xét trường hợp đặc biệt là trường hợp toán tử mômen xung

lượng quỹ đạo ˆL Trong chương trước ta

đã biết rằng các thành phần của toán tử

trình vi phân tương ứng Muốn vậy ta biểu

diễn các toạ độ Descartes , ,x y z qua các toạ độ cầu r, θ, ϕ (Hình 3)

V× trong c«ng thøc (49) chØ cã sù phô thuéc vµo θ vµ ϕ nªn ta kÝ hiÖu hµm riªng cña Lˆ2 lµ Y(θ,ϕ)

( ) ( )

2 2 2

Θ (58)

Và tìm cách xác định s và u( )à sao cho ngay cả khi à = ± hàm 1 Θ ( )à , vẫn là hàm hữu hạn, liên tục và khả vi Thay thế biểu thức (58) vào phương trình (57) ta thu được phương trình đối với u( )à :

Nếu ta chọn s= ± thì phương trình (59) đối với m u( )à sẽ không có các

điểm đặc biệt Hơn nữa, cần chọn s= m vì nếu không thì khi à→ ± , hàm 1

1ưà u'' à ư2à m +1 u' à + λư m ư m u à = (61) 0Tìm lời giải của phương trình (61) dưới dạng chuỗi :

( )

0

k k k

∞

=

=∑ (62) Thay thế chuỗi (62) vào phương trình (61), ta đi đến phương trình móc

a a

+ → khi

k→ ∞ Điều này cho thấy u( )à xác định theo chuỗi (62) phải bị cắt khi k

lớn hơn một giá trị K nào đó, nghĩa là a k ≠ khi k0 ≤K và a k = khi k0 >K Như thế, ta có a k+2 = và từ phương trình (63) ta suy ra: 0

(K + m)(K + m +1)= λ

hay λ =l l( +1) (64) với l =K + m

Ta đi đến một kết luận là trị riêng của toán tử bình phương mômen xung lượng quỹ đạo Lˆ2 chỉ có thể nhận các giá trị bằng: 2 ( )

1

l l+ℏ

trong đó l là các số nguyên không âm: l =0;1;2

nên phương trình (67) đối với u1 có dạng giống hệt phương trình (65) đối với

u và do đó hai hàm này chỉ khác nhau bởi một hệ số: u( )à =constu1( )à

Hay một cách tường minh hơn ta có:

= ∂  ư  (68) Với C lm là các hệ số tỉ lệ Thay thế công thức (68) vào hệ thức (60) ta nhận

1

2 2!

l l

l m im

l m l

cos e

l cos

θ

+ +

( , ) ( , )

Một vài hàm cầu đơn giản nhất là:

Vậy các hàm riêng củaLˆ2vàLˆ3là các hàm cầu Mômen xung l−ợng quỹ

chỉ đạo có thể nhận các giá trị gián đoạn lℏ với l là các số nguyên không âm

còn hình chiếu của mômen xung l−ợng quỹ đạo chỉ có thể nhận các giá trị

gián đoạn bằng mℏ với m là các số nguyên thoả mãn điều kiện m ≤ ,hoàn l toàn phù hợpvới quy tắc l−ợng tử hoá Bohr Các trạng thái cól bằng 0, 1, 2, 3,

4, 5, 6, 7, 8, 9 theo thứ tự đ−ợc kí hiệu là s, p,d, f,g,h,i,k,l,m

1.2.3 Biểu diễn đại số Lie của toán tử mômen xung l−ợng quỹ đạo

L Li, j = iεijkLk (Đại số Lie) (74)

Xét một đại số mà các yếu tố đó là Aα mà:

A Aα, β = fαβγ.Aγ

Thì nói rằng các Aα tạo thành một đại số Lie

Xét một không gian n chiều tìm đ−ợc các ma trận Ji mà các Ji thoả mãn: J Ji, j = iεijkJk

Thì các Ji gọi là các biểu diễn đại số (74)

Nghiên cứu biểu diễn của các đại số Lie

* XÐt biÓu diÔn trong kh«ng gian 3 chiÒu

VËy c¸c si lµ biÓu diÔn cña m«men xung l−îng trong kh«ng gian 3 chiÒu

* XÐt biÓu diÔn trong kh«ng gian 2 chiÒu

a Quy t¾c céng m«men xung l−îng

XÐt mét hÖ hai h¹t vµ gäi c¸c to¸n tö m«men xung l−îng cña chóng lµ

1 1 2 2

(1) (2)

Trong nhiều trường hợp người ta lại quan tâm đến mômen xung lượng

toàn phần của hệ Toán tử mômen xung lượng toàn phần ˆJ và hình chiếu của

  với i,k = x, y,z (77)

cho nên các thành phần của các toán tử mômen xung lượng toàn phần cũng có các hệ thức giao hoán giống hệt như đối với toán tử mômen xung lượng của mỗi hạt, tức là:

Từ (2j2+1) hàm sóng này có thể lập (2j2+1) tổ hợp độc lập tuyến tính cho j = j1+ j j2, = j1+ j2−1, ,j= j1− j2 +1,j= j1− j2 lần l−ợt ứng với:

1 2 1 2 1 2, 1 2 1 2 1 1 2, , 1 2 1 2 1 1 2và Φj j j−j j−j

1 2 1 2 1 2

Với các giá trị tiếp theo của à mà j2− j1≤à ≤ j1−j2, tức là

à = j1− j2−ν với ν là số nguyên trong khoảng 0≤ ≤ν 2(j1− j2), số các trạng thái không tăng thêm mà vẫn bằng (2j2+1):

{à à1, 2} {= − +j1 2j2− −1; j2} {, − +j1 2j2−2;−j2+1 , ,} {− +j1 1;j2 −2}và {−j j1; 2−1} ứng với j2 2hàm sóng hai hạt:

1 2

ư ưj j j1+ j2

Bảng 2: các giá trị của j ứng với một giá trị xác địnhà

Bắt đầu từ giá trị à = j2 ư j1ư , mỗi khi 1 à giảm đi một đơn vị thì số trạng thái cũng giảm đi 1 cho tới giá trị nhỏ nhất khả dĩ à = ư ưj1 j2, ứng với một trạng thái duy nhất, khi à1= ưj1,à2 = ư Trong trường hợp này ta có: j2

1 2

j j jà

Φ của các trạng thái riêng

của hệ hai hạt có mômen xung lượng toàn phần j và hình chiếu của nó à,

được gọi là các hệ số Clebsh - Gordan Các kết quả vừa trình bày thường được gọi là quy tắc hoặc định lý cộng mômen xung lượng Các hệ số Clebsh - Gordan thoả mãn các hệ thức trực giao chuẩn hoá sau:

j j j j j

Các lập luận trên cũng có thể áp dụng cho hàm sóng một hạt với hai bậc

tự do khác nhau: bậc tự do chuyển động quỹ đạo với mômen xung lượng quỹ

đạo ˆL và bậc tự do spin ˆS Bây giờ, ˆL đóng vai trò của Jˆ( ) 1 , còn ˆS đóng vai

trò của Jˆ( ) 2 và:

ˆ

ˆ ˆ

J =L+ S

là toán tử mômen xung lượng toàn phần của hạt có Spin Trong trường hợp hạt

có Spin 1/2 và ở trong trạng thái có mômen xung lượng quỹ đạo l≠ thì 0

mômen xung lượng toàn phần j của hạt có thể nhận một trong hai giá trị là

  Nếu có sự kiên kết giữa Spin và mômen xung lượng

quỹ đạo, gọi là liên kết Spin - quỹ đạo, thì mômen xung lượng toàn phần j là

đại lượng bảo toàn, còn mômen xung lượng quỹ đạo l có thể không bảo toàn Khi đó phải lấy j làm một số lượng tử của trạng thái của hạt vi mô, chứ không ding l làm số lượng tử của hạt

Nếu hệ vật lý gồm nhiều hạt vi mô cùng chuyển động trong một trường

xuyên tâm thì mômen xung lượng toàn phần ˆJ của cả hệ sẽ được hợp thành

tuỳ theo các dạng tương tác Ký hiệu các toán tử Spin của các hạt là S Sˆ ˆ, và