Phương trình tham số của đ.. Phương trình chính tắc của đ... Viết phương trình đường thẳng qua C và cắt cả hai đường thẳng d1 và d2... Viết phương trình đường thẳng đồng thời cắt cả
Trang 1ĐƯỜNG THẲNG
1 Phương trình tham số của đ thẳng :
qua M(x0;y0;z0) , có VTCP u
= (a;b; c)
pt đường thẳng là :
0 0 0
với a2 + b2 + c2 0
Nếu a,b, c khác không thì
2 Phương trình chính tắc của đ thẳng :x x0
a
=y y0
b
=z z0
c
Phương trình tổng quát đ thẳng là :
A1x + B1y + C1z + D1 = 0 với (A1:B1: C1) (A2:B2:C2)
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
và chọn điểm M0
Pt đường cao AH trong ABC :
+Tính n
ABC là VTPT của mp(ABC) +Đường cao AH đi qua A có VTCP uAH
=[nABC
,BC
]
Pt đ thẳng / là hình chiếu của lên mp :
+ Tìm giao của và mp() là A
+ Tính n
=[ u
,n
] khi đó u
=[n
,n
] + Pt đ thẳng / qua A có VTCP là u
Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau (d1) và (d2) (d1) :x x 1
a
=y y 1
b
=z z 1
c
qua M1(x1;y1; z1) ; VTCP u1
=(a1;b1; c1) (d2) :x x 2
a
=y y 2
b
=z z 2
c
qua M2(x2;y2; z2) ;VTCP u2
=(a2;b2;c2)
MN ( đoạn vuông góc chung )
C1 :Cách xác định toạ độ M ; N : M (d1) ; N (d2)
và M(x1 + at1; y1+ bt1 ; z1 + ct1 ) ; N(x2 + a2.t2; y2+ b2.t2 ; z2 + c2.t2 )
Hệ ĐK :
1
2
MN u
MN u
1
2
giải hệ tìm t1 và t2 Bài tập mẫu :
N
d2
Trang 2Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua A(1;1;1) và có VTCP u
=(2;1;3)
Giải : Phương trình tham số đường thẳng :
, t R
Bài 2: a) Viết phương trình đường thẳng AB , với A(3;1;4) , B(1;2;1) b) Viết phương trình đường thẳng qua K(3;2;2) và song song với AB
Giải : AB
=(2;3;5) là VTCP
a) + Phương trình đường thẳng AB qua A nhận AB
làm VTCP :
b) Đường thẳng qua K nhận AB
làm VTCP :x 3 y 2 z 2
Bài 3: Viết phương trình đường thẳng qua N(2;1;1) và song song với đường thẳng (d) : x 1 y z 1
Giải : //(d) => u
= ud =(2;3;1) P/ trình đường thẳng qua N nhận u
làm VTCP :x 2 y 1 z 1
Bài 4: Viết phương trình đường thẳng qua Q(4;1;3) và vuông góc với mặt phẳng (α) : xy+5z 6=0
Giải : Vì (α) => u
= n
=(1;1;5) Phương trình đường thẳng qua Q nhận u
làm VTCP:x 4 y 1 z 3
Bài 5: Lập phương trình tham số của đường thẳng thỏa :
a) qua K(2;4;3) và vuông góc trục z/Oz tại H
b) qua A(3;2;4) và song song trục z/Oz
Giải : a) Theo đề bài H là hình chiếu của K lên trục z’Oz => H(0 ; 0 ;3)
Đường thẳng qua K và H => HK
=(2;4;0) là VTCP +Pt đường thẳng qua K nhận HK
làm VTCP :
b) Vì // trục z’Oz => nhận véc tơ k
làm VTCP
Trang 3+ Phương trình đường thẳng qua A có k
là VTCP :
Bài 6: Viết phương trình đường thẳng qua C(3;1;5) , vuông góc và cắt đường thẳng (d) : x 1
2
=y 2
1
1
Giải : + Gọi H là hình chiếu của C lên đường thẳng (d)
Ta có H (d) => H( 1+2t ;2t ; t)
CH
=(4+2t ; 3t ; t5) ; u
=(2;1;1)
CH
u
=0 <=> 2(4+2t) (3t) +t5=0 <=> t=1
Suy ra H( 1;1;1)
+ Đường thẳng đi qua C và H có CH
=(2;2;6) là VTCP Phương trình :x 3 y 1 z 5
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho A(1;0;1) , B(2;1;2) , C(5;4;2)
a) Lập phương trình đường cao AH của tam giác ABC
b) Lập phương trình đường trung trực đoạn BC của tam giác ABC Giải : a) AB
= (1; 1; 3) ; AC
=(4;4;3)
Ta có VTPT của mp(ABC) là nABC
=(15; 9;8) + Đường cao AH nằm trong mp(ABC) = > u
nABC
Và đường cao AH vuông góc BC => u
BC
Suy ra u
= [nABC
, BC
] =(40;24;102) Phương trình đường cao AH qua A nhận u
làm VTCP :x 1 y z 1
b) Đường trung trực đoạn BC đi qua trung điểm I của BC
ta có I(7
2;3
2;2) + Đường trung trực đoạn BC song song với AH
=> nhận u
=(40;24;102) làm VTCP
Phương trình đường trung trực đoạn AB của tam giác ABC qua I nhận u
làm VTCP là :
7 x
2 40
=
3 x 2 24
=z 2
102
C
H
d
Trang 4Bài 8: Viết phương trình đường thẳng qua B(1;3;4) và song song với hai mặt phẳng (α) : xy+3z 2=0 , (β) : 3x z +1=0
Giải : n
=(1;1;3) ; n
=(3;0;1)
Vì // (α) => u
n
Và // (β) => u
n
;
Do đó u
=[ n
,n
]= 1 3 ;3 1 1 1;
0 1 1 3 3 0
= (1;10 ;3)
Pt đường thẳng qua B nhận u
làm VTCP : x 1 y 3 z 4
Bài 9: Viết phương trình đường thẳng qua M(4;1;2) và đồng thời vuông góc với hai đường thẳng (d1) và (d2) , với (d1) : x 1
2
=y 1
1
3
và (d2) : x
1=y 1
2
=z
1
Giải : Đường thẳng (d1) có VTCP u1
=(2;1;3) ; (d2) có VTCP u2
=(1;2;1)
Vì (d1) và (d2) => u
=[u1 ,u2 ] =(7;1; 5)
Pt đường thẳng qua M nhận u
làm VTCP : x 4 y 1 z 2
Bài 10: Viết phương trình đường thẳng qua N(4;1;2),
vuông góc với đường thẳng (d1) : x 1
1
=y 2
3
1
và cắt đường
thẳng (d2): x 2
2
=y
1=z 3
3
Giải : + Mặt phẳng (α) qua N và vuông góc với (d1) , n
=u1
=(1;3;1) : Phương trình mp(α) : (x4) 3(y1) +(z+2) =0 <=> x3y +z +1=0 + Giao của mp(α) và (d2) là M :
x 3y z 1 0
y t
z 3 3t
=> (2+2t) 3t +3+3t +1=0
<=> t=1 => M(4;1;0)
Đường thẳng qua M, N có VTCP MN
=(8;2;2)
d1
d2
α
N *
M
Trang 5Phương trình : x 4 y 1 z
Bài 11: Cho đường thẳng (d) :
z 1 3t
Viết phương trình các đường
thẳng (d1) , (d2) , (d3) là hình chiếu của đường thẳng (d) lên các mặt phẳng tọa độ (Oxy) ,(Oyz) và (Ozx)
Giải : + Phương trình đường thẳng (d1) :
+ Phương trình đường thẳng (d2) :
z 1 3t
+ Phương trình đường thẳng (d3) :
Bài 12: Cho đường thẳng (d) :
và mp(α) : xy+z2=0
Viết phương trình đường thẳng (d’) là hình chiếu của (d) lên mặt phẳng (α) Giải :
C1 : + d (α) ={A}
Điểm A chiếu lên mp (α) là A
Điểm M chiếu lên mp (α) là H
Đường thẳng (d’) đi qua A và H
+ A là giao điểm của (d) và (α) :
x 1 2t
y 3t
=> (12t) 3t +2+ t 2=0 <=> t=1
4 ; A(1
2;3
4;9
4) Đường thẳng (d) qua M(1;0;2) Gọi H là hình chiếu của M lên mp(α)
d
α
M *
H
Trang 6+ Đường thẳng qua M và vuông góc với (α) có pt:
+ Giao của và (α) là :
=> t=1
3 => H(2
3;1
3;5
3)
Ta có : AH
=(1
6; 5
12; 7
12) // u
=(2;5;7)
P/ trình đường thẳng (d’) qua A nhận u
làm VTCP
C2 : + A là giao điểm của (d) và (α) :
x 1 2t
y 3t
=> (12t) 3t +2+ t 2=0 <=> t=1
4 ; A(1
2;3
4;9
4) + Đường thẳng (d) qua M(1;0;2) và có VTCP ud
=(2;3;1) Mặt phẳng (α) có VTPT : n
=(1;1;1) + Ta có n
=[ud
, n
]=(4;3;1) ; u
=[n
, n
]=(2;5;7) + Đường thẳng (d’) qua A nhận u
làm VTCP có pt là :
Bài 13: Cho đường thẳng (d1) x 1 y z 1
và C(3;1;1) Viết phương trình đường thẳng qua C và cắt cả hai đường thẳng (d1) và (d2)
Giải : (d1) qua M1(1;0;1) và có VTCP u1
=(3;2;1) (d2) qua M2(0;1;2) và có VTCP u2
=(1;5;1) + Giả sử cắt (d1) tại A(1+3t1; 2t1 ; 1+t1)
cắt (d2) tại B(t2; 1+5t2 ; 2t2)
Trang 7Ta có CA
=(4+3t1; 2t11; t1) ; CB
=(t2 3;2+5t2 ; 3t2)
Vì C, A, B thẳng hàng => CA
=k CB
<=>
<=>
<=>
2
1
5 t
12 31 t 13 12 k 13
=> CA
=(41
13;49
13;31
13) là VTCP // u
=(41;49;31)
Phương trình đường thẳng qua A nhận u
làm VTCP :x 3 y 1 z 1
Bài 14: Cho đường thẳng (d) x 2 y 1 z 3
Viết phương trình đường thẳng qua M(2;0;1) , biết // mp() và cắt đường thẳng (d)
Giải : + Mp() qua M và song song với mp() có phương trình là :
(x+2) 3(y0) +2(z1) =0 <=> x3y +2z =0
+ Gọi N là giao của mp() và đường thẳng (d) :
=> (2t)3(1+2t) +2(3+4t) =0
<=> t=1 =>
Điểm N(1;1;1)
+ Đường thẳng qua M,N có VTCP MN
=(1;1;2) Phương trình : x 2 y z 1
d
α
Trang 8Bài 15: Cho đường thẳng (d1) x 2 y 1 z 3
mp() : 3x +y2z 4=0 Viết phương trình đường thẳng đồng thời cắt cả hai đường thẳng (d1) ,(d2) và vuông góc với mp()
Giả sử cắt đường thẳng (d1) tại A(2t1; 1+2t1; 3+4t1)
Và cắt đường thẳng (d2) tại B(2t2; 3+t2; 1+t2)
Véc tơ : AB
=(2t2+t1+2; t22t14;t24t14)
Vì mp() => AB
và n
cùng phương
<=>
2 1
2t +t +2=3k
<=>
2
1
28
t
13
30
t
13
20
k
13
Suy ra tọa độ điểm A 4 ; 47; 81
AB
= 60; 20 40;
cùng phương với u
=(3;1;2)
Vậy phương trình đường thẳng :
Bài 16: Cho đường thẳng (d1) x 1 y z 1
Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d1) và (d2)
Giải : Đường thẳng (d1) qua M1( 1;0;1) , có VTCP u1
=(3;2;1) Đường thẳng (d2) qua M2( 0;1;2) , có VTCP u2
=(1;5;1)
C2 : Giả sử AB là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng (d 1) và (d2)
A (d1) => A(1+3t1; 2t1; 1+t1) ; B (d2) => B(t2; 1+5t2; 2t2)
Ta có : AB
=(t23t1+1; 5t22t11; t2t13)
d1
α
Q
d2
B
Trang 9Vì AB là đoạn vuông góc chung => 1
2
<=> 2 1
<=>
2
1
5 t
117 7 t
117
Suy ra A 20; 14 32;
Véc tơ AB
= 175; 100 25;
cùng phương với u
=(7;4;13) Phương trình đường thẳng vuông góc chung chính là đường thẳng AB:
Bài 17: Cho mp() : x+y+z 1=0 và hai đường thẳng (d1) : x y z 1
(d2) :
Viết phương trình đường thẳng nằm trong mp() sao cho
cắt cả hai đường thẳng (d1) và (d2)
Giải : + Gọi M là giao của (d1) và () :
Hệ :
y 2t
=> t=0 => M(0;0;1)
+ Gọi N là giao của (d2) và ()
Hệ
x 1 2t
y t
=> t=1 => N(1;1;3) ; MN
=(1;1;2)
d2
d1
Trang 10Đường thẳng cần tìm qua M nhận MN
làm VTCP : x y z 1