Nghiên cứu một số ứng dụng của tích phân trong chương trình trung học phổ thông

Với những ứng dụng rộng rãi của tích phân trong xác suất thống kê, hình học, vật lý, cơ học, thiên văn học, y học, trong các ngành công nghệ như đóng tàu, sản xuất ô tô, máy bay và ngành

2.4 Tính diện tích của mặt tròn xoay

2.5 Các bài toán vận dụng

Chương III: ứng dụng của tích phân trong Vật lý

3.1 Sơ đồ tổng quát về ứng dụng của tích phân trong Vật lý 3.2 Moment tĩnh, moment quán tính và toạ độ trọng tâm

Lời nói Lời nói đầu đầu đầu

Toán học là một môn khoa học cơ bản cũng như các môn khoa học khác thuộc ngành KHTN, Toán học có liên hệ chặt chẽ với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực của khoa học, công nghệ, sản xuất cũng như trong đời sống xã hội hiện đại Toán học là công cụ của các ngành khoa học khác

Trong sự nghiệp GD- ĐT nước ta những năm gần đây đang có xu hướng phát triển tư tưởng dạy học theo hướng: “Tăng cường tính ứng dụng của Toán học vào thực tiễn” mà nội dung bao quát là: “Học đi đôi với hành, giáo dục gắn liền với lao động sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội”

Hiện nay học sinh phổ thông mới chỉ biết vận dụng phần lý thuyết lĩnh hội được để giải quyết các bài tập trong nội bộ môn Toán chứ chưa biết vận dụng phần lý thuyết đó vào những môn học khác và đời sống thực tiễn Vì vậy rèn luyện nâng cao năng lực ứng dụng Toán học là một trong những mục tiêu chủ yếu của việc giảng dạy Toán học ở trường phổ thông nhằm phát huy khả năng ứng dụng của học sinh trong học tập và nâng cao hơn nữa chất lượng đào tạo Với những ứng dụng rộng rãi của tích phân trong xác suất thống kê, hình học, vật lý, cơ học, thiên văn học, y học, trong các ngành công nghệ như đóng tàu, sản xuất ô tô, máy bay và ngành hàng không và với mong muốn tìm hiểu, làm rõ hơn về khả năng cách thức vận dụng phương pháp dạy học: “Tăng cường tính ứng dụng của Toán học” trong thực tiễn, ngoài ra để góp phần nâng cao chất lượng dạy học nội dung tích phân ở trường phổ thông tôi trình bày đề tài:

“Nghiên cứu một số ứng dụng của tích phân trong chương trình trung học phổ thông” bằng cách đưa ra các kiến thức cơ bản cần nhớ và trên cơ sở đó xây dựng hệ thống bài tập có ứng dụng của tích phân trong Toán học và Vật lý

Ngoài phần mở đầu, kết luận, mục lục và tài liệu tham khảo, nội dung chính của khoá luận được trình bày trong 3 chương:

Chương 1 Các kiến thức cơ bản của tích phân Chương 2 ứng dụng của tích phân trong Toán học Chương 3 ứng dụng của tích phân trong Vật lý Nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo Trần Công Tấn cùng toàn thể các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Toán, trường Đại học Hùng Vương đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành khoá luận này Mặc dù đã rất cố gắng nhưng tôi cũng không thể tránh khỏi những thiếu sót rất mong nhận được những ý kiến

đóng góp chỉ bảo của các thầy cô giáo và sự quan tâm của bạn bè để đề tài được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Phú Thọ, ngày 30 tháng 04 năm 2008

Tác giả

Chương 1 Các kiến thức cơ bản của tích phân

Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a b; ] Ta thực hiện một phép chia đoạn [a b; ] thành n phần tuỳ ý bởi các điểm chia x0, x1,, x2, , xn sao cho

a = x < x < x < < x ư < x = b Mỗi phép chia như vậy gọi là một phép phân hoạch đoạn [a b; ] Ký hiệu bởi chữ π Mỗi phân hoạch π , đoạn [a b; ]

được chia thành n đoạn con xkư1; xk , k = 1, n Gọi độ dài lớn nhất trong các

đoạn con xkư1; xk là đường kính của phân hoạch Ký hiệu ( )d π

không phụ thuộc vào phép phân hoạch π và cách lấy các điểm ξk trên mỗi đoạn

thì ta gọi số I là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) Ký hiệu: ( )

b

a

Như vậy tích phân là giới hạn của tổng tích phân, khi số hạng tăng lên vô cùng

và mỗi số hạng đều dần tới 0

1.1 Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a b; ] Giả sử F(x) là nguyên hàm của của f(x) trên đoạn [a b; ] Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích phân từ a đến b,

(hay tích phân xác định trên đoạn [a b; ]của hàm số f(x))

a a

f x dx

+) Nếu ( )f x ≥g x( ),∀ ∈x [ ; ]a b thì ( )

b a

f x dx

b a

Định lý: Giả sử x =ϕ( )t là hàm số liên tục có đạo hàm trên [α β; ]

và ϕ(α) =a,ϕ(β)=b Khi x biến thiên trên [α β; ] thì t biến thiên trên [α β; ] Khi đó ta có: '

b a

x dx

1

x dx x

++

∫ Giải: Đặt

3 3

3

2 3

−+

1.4 ý nghÜa h×nh häc cña tÝch ph©n

Giả sử f(x) là một hàm số liên tục dương trên đoạn [a b; ] Ta đã chứng minh

được diện tích S(x) của hình thang cong AA’M’M giới hạn bởi cung AM của đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và các đường song song với trục Oy đi qua các điểm

A, M có hoành độ theo thứ tự là a và x là một nguyên hàm của hàm số f(x)

f x dx

∫ , f(x) là một hàm số dương trên đoạn [a b; ], là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi các đường y = f(x); y = 0; x = a; x = 0

Kết luận chương 1: Chương này đã hệ thống các kiến thức cơ bản của tích phân trong chương trình trung học phổ thông đó là: Định nghĩa tích phân, tính chất của tích phân, các phương pháp tính tích phân và ý nghĩa hình học của tích phân Chương gồm 9 ví dụ minh họa về phương pháp tính tích phân

Trước khi tóm tắt các kiến thức cơ bản về tích phân, tác giả đã đưa một khái niệm trực giác và sơ lược về việc xem tích phân là giới hạn của một tổng Phần này tuy có trong sách giáo khoa lớp 12 trường trung học phổ thông hiện hành nhưng lại là phần đọc thêm vì vậy nhiều khi học sinh cũng không quan tâm Do đó đề tài sẽ là tài liệu tham khảo cần thiết cho giáo viên và học sinh

Chương 2 ứng dụng của tích phân trong toán học

Trong chương này chúng ta sẽ xét tính ứng dụng của tích phân trong toán

học mà cụ thể là trong hình học để tính diện tích các hình phẳng, độ dài cung

của đường cong, thể tích của vật thể tròn xoay, diện tích các mặt tròn xoay

Để vận dụng được tích phân xác định vào tính diện tích hình phẳng, độ dài

cung của đường cong, thể tích của vật thể tròn xoay, diện tích các mặt tròn

xoay trước hết ta cần phải nắm được các phương pháp tính tích phân, các công

thức tính diện tích hình phẳng, độ dài cung của đường cong, thể tích của vật thể

tròn xoay, diện tích các mặt tròn xoay

2.1 Tính diện tích hình phẳng

+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

( )

( )0

b a

b a

Với hình hỗn hợp tuỳ thuộc vào các cung, các đoạn, cấu tạo hình mà phân chia

thành hình loại 1, loại 2 để có thể tính được diện tích từng hình bộ phận

Y Y

y = f(x)

a 0 b X

a 0 b X y = f(x

1a 1b

( ) '( )

t t

S = ∫x t y t ưy t x t dt

+ Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong cho trong toạ độ cực:

Trong mặt phẳng chọn một điểm O cố định gọi là cực và một trục Ox gọi

là trục cực Vị trí của mỗi điểm M trong mặt phẳng được hoàn toàn xác định bởi hai số r =OM

đường cong trong toạ độ cực

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong r=ρ ϕ( ) và hai nửa đường thẳng

ϕ α= ;ϕ= β là: 1 2

( )2

β α

ρ ϕ ϕ

= ∫ (α <β)

2.2 Tính độ dài cung của đường cong

+ Độ dài cung của đường cong trong hệ toạ độ vuông góc (đề các)

Độ dài cung của đoạn đường cong trơn (khả vi liên tục) y= f x( ) ; (a≤ ≤x b):

1 ( ') ( )2

b a

L=∫ x t + y t dt + Độ dài cung trong toạ độ cực: ρ =ρ ϕ( ) ;α ≤ϕ ≤ β

Trong đó ( )ρ ϕ là hàm liên tục và có đạo hàm liên tục với ∀α ≤ϕ ≤ β thì độ dài cung của đoạn đường cong tương ứng sẽ bằng: 2 2

( ) ' ( )

b a

L=∫ ρ ϕ +ρ ϕ dϕ

2.3 Tính thể tích của vật thể tròn xoay

2.3.1 Thể tích của vật thể theo thiết diện ngang đ; biết

Nếu thể tích V của vật thể tồn tại và S = S(x), (a ≤ x≤b) là thiết diện ngang của vật thể theo mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x thì:

( )

b a

+ Kiểu 3: Thể tích của khối tròn xoay được tạo nên khi quay hình phẳng giới hạn bởi y x1( )≤ ≤y y2( )x ;a≤ ≤ , trong đó x b y x1( ) và y2( )x là các hàm liên tục

b a

V=π ∫ y x ư y x dx Với những dạng bài tập kiểu này cần sử dụng hình vẽ trực quan giúp học sinh hình dung được đúng khối tròn xoay Từ đó biết đưa về các kiểu trên và sử dụng công thức tương ứng

Lưu ý: Khi dạy học phần này giáo viên cần phải liên hệ đến những tình huống thực tiễn đời sống làm cho bài giảng thêm sinh động tạo nhu cầu hứng thú học tập cho học sinh Ví dụ: Khi giải bài toán tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh hình tròn có phương trình x2+(yư3)2 = quanh Ox, giáo viên có thể 1liên hệ tới việc tính thể tích khối không khí trong một chiếc săm xe ô tô, săm xe

đạp,

2.4 Tính diện tích của mặt tròn xoay

Diện tích của mặt được tạo nên khi quay đường cong trơn có phương trình

b a

Chú ý: Nếu đường cong có phương trình là x=ϕ( )y , trong đó ( )ϕ y đơn trị và

có đạo hàm liên tục trên đoạn [c ; d] thì diện tích mặt tròn xoay được sinh ra bởi một cung của đường cong này ứng với đoạn [c ; d] khi nó quay xung quanh trục

Oy là: 2 ( ) 1 ( ') ( )2

d c

2.5 Các bài toán vận dụng

Trên cơ sở các kiến thức cơ bản ở trên ta có thể đưa ra một số bài toán áp dụng như sau:

Bài toán 1:

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của 2 hàm số: y=cos ;x y=sinx

và hai đường thẳng x=0 ; x= π

Bài giải

* Ta tìm hoành độ giao điểm của 2 đồ thị trên đoạn [0 ;π]

2 1 0 2

2

2

2

+ + +

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 3

y=x , trục hoành và hai đường thẳng 1

2 0

0 1

= (®vdt) Bµi to¸n 5:

TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau: y=x2;

2

8

;8

cos1

Ta tính một phần ba diện tích của hình hoa hồng 3 cánh:

Vì hình cacdioit nhận trục cực làm trục đối xứng nên diện tích của nó

bằng 2 lần diện tích của hình quạt OAB Hình quạt đó ứng với khoảng biến thiên

Tính độ dài cung của đường cong sau: y= x3 ; 0≤ ≤ x 4

áp dụng công thức tính độ dài cung của đường cong cho dưới dạng tham

số Vì đường cong đối xứng nhau qua các tục toạ độ nên ta có:

áp dụng công thức tính độ dài cung của đường cong cho trong toạ độ cực,

vì đường cong đối xứng nhau qua trục cực nên:

¸p dông c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay sinh bëi ®−êng th¼ng y = f(x);

x = a; x = b; y = 0 quay quanh Ox, Oy ta cã:

2( )

b Ox

a

V =π∫ f x dx ; 2 ( )

b Oy

Bài giải Y

áp dụng công thức tính thể tích

khối tròn xoay được tạo nên khi y = x 2

cho hình phẳng xoay quanh Ox ta có: 1 x = y 2

* Tìm toạ độ giao điểm các đường:

Toạ độ giao điểm của (1) với (2) là: A(3 ; 1) Y y = -3x +10

Toạ độ giao điểm của (2) với (3) là: B(1 ; 1) y = x 2

Toạ độ giao điểm của (1) với (3) là: C(2 ; 4) 4 C

AMPB quay quanh Ox

Khi đó thể tích khối tròn xoay cần tìm khi quay quanh Ox là: V Ox =V1+V2ưV3

( )

2 2

1

1 1

32 1

V =π∫ dx=π x = π (®vtt)

VËy thÓ tÝch khèi trßn xoay sinh ra khi quay h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c

®−êng (1), (2), (3) quanh trôc Ox lµ:

¸p dông c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay sinh bëi phÐp quay quanh Ox ta

TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh bëi h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®−êng

axtroit: x23+ y23 =a23, a > 0 khi nã quay quanh Ox

Bµi gi¶i

¸p dông c«ng thøc tÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay sinh bëi phÐp quay quanh trôc

Ox ®−êng cong giíi h¹n bëi: y = f(x), x = a ; x = b:

2

b x a

Bµi gi¶i Y

DiÖn tÝch cña vßng xuyÕn b»ng tæng

hai diÖn tÝch sinh bëi nöa ®−êng trßn

d−íi vµ nöa ®−êng trßn trªn khi quay a

chóng quanh Ox 0 1

Nöa ®−êng trßn trªn cã ph−¬ng b

x a b

y = + −

Nöa ®−êng trßn d−íi cã ph−¬ng 0 X

x a b

2 2

'

x a

x y

Vậy diện tích mặt tròn xoay cần tính là:

2

12 .5

a

=Kết luận chương 2: Chương 2 gồm 5 phần chính, từ phần 2.1 đến 2.4 là bốn ứng dụng của tích phân trong Toán học để tính diện tích hình phẳng, độ dài cung của

đường cong, thể tích của vật thể và diện tích mặt tròn xoay Với khối lượng 22 bài toán có lời giải trong phần 2.5 chương này đã phần nào minh họa cụ thể các dạng bài tập có ứng dụng của tích phân trong Toán học mà các bạn có thể gặp ở trường THPT hoặc ở bậc Cao đẳng, Đại học Điều đáng chú ý ở chương này đó là các công thức tính diện tích hình phẳng, độ dài cung của đường cong, thể tích của vật thể và diện tích mặt tròn xoay đối với các hình phẳng giới hạn bởi những

đường cong cho dưới dạng tham số và cho trong toạ độ cực mà các bạn chưa gặp trong trường THPT Từ đó các bài toán chúng tôi đưa ra sẽ là tài liệu giúp các bạn có thêm tư liệu để học tốt hơn phần tích phân

Chương 3 ứng dụng của tích phân trong vật lý Trong chương này ta sẽ xét một vài ứng dụng của tích phân trong các ngành khác như Vật lý Đây cũng là mối liên hệ liên môn giữa Toán học và các ngành khác, giữa Toán học và đời sống thực tế Trong Vật lý, tích phân được ứng dụng để tính:

3.1 Sơ đồ tổng quát về ứng dụng của tích phân trong Vật lý

Giả sử cần tính đại lượng A ứng với khoảng biến thiên x từ a đến b Khi đó muốn tính A ta làm theo các bước sau:

+ Lấy x∈ [a b; ], cho x số gia khá bé dx Tìm phần chính dA của đại lượng A ứng với khoảng [x, x+dA], dA = f(x).dx

+ Lấy tích phân của dA từ a đến b:

( )

b a

A=∫ f x dx , với f(x) là hàm liên tục trên [a b; ]

Phương pháp này thường được dùng để giải nhiều bài toán vật lý, kỹ thuật 3.2 Moment tĩnh, moment quán tính và toạ độ trọng tâm

* Moment tĩnh

Trong cơ học người ta gọi: Moment tĩnh M o hoặc M x hoặc Mxy của chất điểm M đối với điểm O hoặc trục Ox hoặc mặt phẳng xOy là tích của khối

lượng m của chất điểm M và khoảng cách d từ M đến điểm O hoặc trục Ox hoặc mặt phẳng xOy

Với d i là khoảng cách từ M i đến điểm O, hoặc trục Ox, hoặc mặt phẳng xOy

* Toạ độ trọng tâm x0 ; y0 của hệ trong mặt phẳng xOy được định nghĩa bởi công thức:

O, hoặc trục Ox, hoặc mặt phẳng xOy: I o =m d 2 ;I x =m d 2 ;I y =m d 2

Moment quán tính của hệ gồm n chất điểm M1, M2 , ,M n có khối lượng tương ứng là m1,m2 , ,m n bằng tổng các moment quán tính của các chất điểm

a≤ ≤ Xét một yếu tố s∆ của cung và lấy một điểm M(x ; y) trên yếu tố đó

Theo giả thiết khối lượng của ∆ = ∆s s.ρ = ∆s.1 Coi khối lượng đó tập chung tại

điểm M thì các moment tĩnh ∆M o ;∆M x ;∆M y của yếu tố s∆ được định nghĩa

Theo giả thiết thì khối lượng của cung đường cong m = s.1, s là độ dài cung

1 ( ')

b a

1 ( ')

b a

M y m

- Xét hình thang cong giới hạn bởi các đường y= f x( )≥ và liên tục, trục 0

Ox, đường thẳng x = a, x = b

Xét một yếu tố s∆ của hình coi gần đúng là hình chữ nhật chiều rộng là dx

chiều dài là y Lúc đó khối lượng của s∆ là y.dx.1 Bây giờ ta coi khối lượng này tập chung tại tâm hình chữ nhật thì moment tĩnh ∆M x của s∆ được định nghĩa

b y a

Theo công thức tính moment tĩnh của hình phẳng ta có:

Vì nửa đường tròn đồng chất nên theo tính đối xứng suy ra trọng tâm (x0 ; y0)

của nó phải ở trên trục Oy, nghĩa là x0 = mà 0 x0 M y

m

= ⇒M y =m x 0 = 0

Theo công thức tính M x ta có: 1 ( ')2

b x a

0

1sin 2

Xét một yếu tố s∆ của hình tròn gồm giữa hai đường tròn bán kính là r và

Tìm moment quán tính I x của đoạn parabol (P) có dây cung bằng a còn độ võng

đối với dây bằng h

0

13

105 a h

=

Bài tập 5:

Tìm moment quán tính của tấm hình elip thuần nhất với các bán trục là a, b đối với các trục chính của nó

Bài giải

Các trục chính của tấm là các trục toạ độ

Ta có phương trình tham số của elip: sin