Một số ứng dụng của công thức khai triển taylor vào giải toán

Trên thực tế chúng ta đã biết, để tính giá trị của một đa thức tại một điểm chỉ cần thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân và luỹ thừa, để tính giới hạn của một hàm số có thể dựa vào đị

Tr−êng §¹i häc hïng v−¬ng Khoa khoa häc tù nhiªn

Bé m«n to¸n -o0o -

Lª H¶i Ly

Mét sè øng dông cña c«ng thøc khai triÓn taylor vµo gi¶i to¸n

Kho¸ luËn tèt nghiÖp: §¹i häc S− ph¹m to¸n

Ng−êi h−íng dÉn: Cö nh©n TrÇn C«ng TÊn Gi¶ng viªn bé m«n To¸n – Khoa Khoa häc tù nhiªn

Phó Thä, th¸ng 5 n¨m 2008

1.2.5 Công thức khai triển của một số hàm sơ cấp thường gặp 8

Chương 2 ứng dụng công thức khai triển Taylor vào giải một số

2.1 ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính gần đúng 13 2.2 ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính giới hạn 15 2.3 ứng dụng công thức khai triển Taylor để tìm cực trị của hàm số 20 2.4 ứng dụng công thức khai triển Taylor để xét tính khả vi của hàm

Ch−¬ng 3 øng dông c«ng thøc khai triÓn Taylor vµo gi¶i mét sè

Lời nói đầu Trong chương trình Toán cao cấp ở các trường Đại học Sư phạm, Đại học Kỹ thuật hiện nay, học phần Giải tích đóng một vai trò quan trọng và được phân bố ngay từ những kỳ học đầu tiên của một số trường Đại học Với một chương trình học dài và lượng kiến thức lớn người học thường cảm thấy khó khăn khi học môn học này Một trong những vấn đề khó khăn mà người học gặp phải là việc vận dụng công thức khai triển của chuỗi vào giải toán, đặc biệt là việc vận dụng công thức khai triển Taylor Vấn đề đặt ra là làm thế nào để người học cảm thấy hứng thú khi học, ghi nhớ và vận dụng các công thức này trong việc giải toán Trên thực tế chúng ta đã biết, để tính giá trị của một đa thức tại một điểm chỉ cần thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân và luỹ thừa, để tính giới hạn của một hàm số có thể dựa vào định nghĩa, tính chất, định lý, quy tắc Lopitan, hay tìm cực trị của hàm bằng bảng biến thiên hoặc xét dấu với đạo hàm cấp hai, … Tuy nhiên, việc tính các giá trị gần đúng của các hàm số khác như hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit, … không dễ dàng và đơn giản như vậy hay cũng có một số hàm mà bằng các phương pháp trên chúng ta chưa thể tìm được giới hạn và điểm cực trị của chúng Khi đó vấn đề đặt ra tiếp theo là làm thế nào để tính giá trị, tính giới hạn, tính cực trị,… của các hàm số này

Trong các giáo trình giải tích hiện nay phương pháp hay được sử dụng nhất để giải quyết những vấn đề này là áp dụng công thức khai triển Taylor Chính vì vậy tôi chọn khoá luận: “Một số ứng dụng của công thức khai triển Taylor vào giải toán” Với việc hệ thống lại những áp dụng của công thức khai triển Taylor, khoá luận sẽ là tài liệu tham khảo giúp người học thấy rõ hơn vai trò và sự cần thiết của việc học tập môn học, cũng như thấy được sự cần thiết của việc thường xuyên theo dõi hệ thống các vấn đề và tăng cường thực hành vận dụng các kiến thức đã học là một điều không thể thiếu đối với người học toán

Ngoài phần mục lục, lời nói đầu, bài tập áp dụng và tài liệu tham khảo khoá luận gồm 3 chương:

Chương 2 ứng dụng công thức khai triển Taylor vào giải một số dạng toán hàm một biến

Chương 3 ứng dụng công thức khai triển Taylor vào giải một số dạng toán hàm hai biến

Chương 1 là một số lý thuyết đầu tiên về công thức Taylor và các công thức khai triển của một số hàm sơ cấp Chương 2 chúng ta sẽ nghiên cứu sâu hơn về ứng dụng của công thức Taylor với hàm một biến như: Tính gần đúng, tính giới hạn, tính khả

vi, tìm cực trị và chứng minh bất đẳng thức tích phân và các bài toán về tổ hợp Chương 3 chúng ta sẽ nghiên cứu một số ứng dụng của công thức Taylor với hàm hai biến như viết công thức khai triển, công thức xấp xỉ, tìm cực trị của hàm

Nhân dịp này em xin chân thành cảm ơn Thầy Trần Công Tấn cùng toàn thể các thầy cô giáo trong tổ bộ môn Toán, Trường Đại học Hùng Vương đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khoá luận này Trong quá trình thực hiện có thể không tránh khỏi những thiếu sót rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô

Em xin chân thành cảm ơn

Tác giả

Chương 1 cơ sở lý thuyết 1.1 Các định lý về giá trị trung bình

1.1.1 Định lý Rolle

Giả sử hàm số f: [a, b]→ R liên tục trên [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) Nếu f(a) = f(b) thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f’(c) = 0

1.1.2 Định lý Lagrange

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại

ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)

Đẳng thức (1) vẫn đúng trong trường hợp a > b Khi đó [a, b] được thay bởi

[b, a] và khoảng (a, b) được thay bởi (b, a)

Công thức (1) gọi là công thức Taylor Biểu thức

(n 1)

n 1 n

• Trong c«ng thøc (1) vµ c«ng thøc (2) thay b bëi x, ta ®−îc f(x) = P (x)n + R (x).n

( )

(n 1)

n n 10

1.2.3 C«ng thøc Taylor – Young

Định lý:

Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp n – 1 trên một lân cận của điểm x0 và

có đạo hàm cấp n tại x0 Khi đó:

1.2.5 Công thức khai triển của một số hàm sơ cấp thường gặp

Ta có: f′( )x = 1 =(1 x+ )ư1,

Đây là công thức khai triển nhị thức Newton đã biết

Ta xét một vài trường hợp đặc biệt:

áp dụng công thức Maclaurin với n = 2k, ta có:

1.2.6 Khai triển hàm thành chuỗi Taylor

Nếu hàm f(x) có thể khai triển trên khoảng (a – R, a + R) thành chuỗi luỹ thừa thì chuỗi này là chuỗi Taylor đối với hàm f(x)

Để hàm f(x) có thể khai triển thành chuỗi Taylor trên khoảng (a – R, a + R) điều kiện cần và đủ là hàm f(x) khả vi vô hạn và phần d− trong công thức Taylor đối với hàm này tiến tới 0 khi n→ ∞trên khoảng đó Khai triển có dạng:

II

n n

n 1

xln(1 x) ( 1) , ( 1 x 1)

Chương 2 ứng dụng công thức khai triển Taylor

vào giải một số dạng toán hàm một biến

2.1 ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính gần đúng

Trên thực tế chúng ta đã biết, để tính giá trị của một đa thức tại một điểm chỉ cần thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân và luỹ thừa Tuy nhiên, việc tính các giá trị của hàm số khác như các hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số logarit, … không dễ dàng và đơn giản như vậy Có khi chúng ta không thể tính được giá trị chính xác của một hàm số nhưng nhiều hàm số có thể tính xấp xỉ bởi những đa thức với sai số đủ nhỏ và có rất nhiều phương pháp tính xấp xỉ một hàm số bởi một đa thức, trong đó phương pháp được sử dụng phổ biến nhất hiện nay trong các giáo trình Giải tích là phương pháp sử dụng công thức khai triển Taylor Để thấy rõ hơn về ứng dụng khai triển Taylor vào tính gần đúng chúng ta xét các bài tập sau:

n n

vµ R6(0,5) = (0, 5)7

7! sin 0, 5.θ 3 2

ππ

Nhận xét: Chúng ta biết hiện nay khoa học kỹ thuật rất hiện đại, việc ra đời các loại máy tính đã giúp ích rất nhiều trong việc tính giá trị gần đúng của các hàm số Trong phần trình bày này tác giả chỉ muốn đưa ra để các bạn thấy công thức Taylor

đã có đóng góp như thế nào cho toán học khi mà khoa học kỹ thuật hiện đại chưa phát triển

2.2 ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính giới hạn

Chúng ta đã biết để tìm giới hạn của một hàm số có thể dựa vào định nghĩa, tính chất, định lý hay quy tắc Lopitan Tuy nhiên, cũng có một số hàm số mà bằng các phương pháp trên vẫn chưa thể tính được giới hạn của chúng Một trong các phương pháp chúng ta vẫn hay sử dụng hiện nay là dùng công thức Taylor Để hiểu rõ hơn về vấn đề này chúng ta xét các bài tập sau:

Bài tập 1 : Tính giới hạn của hàm số sau P(x) =

Lời giải

Ta thấy hàm số trên có dạng vô định 0

0 Trước hết ta xét các khai triển:

1(arcsin x) (1 x )

x o(x )3

1 x 2 Q(x)

3

2

1arctgx (1 x )

1 x

−

′ = = ++ thay α = − 1 và x bằng x2vào công thức Taylor trong mục 1.2.5c ta đ−ợc:

công thức Taylor trong mục 1.2.5a)

1 1 x x2 x3 o(x ), x3 0

Do đó tử số có khai triển

x o(x )3

−+

x 0

7lim Q(x)

4

Bài tập 3: Tìm giới hạn sau: ( ) ( )

3 cotgx x

f(x)=cos xe −ln 1 x− − theo công thức Taylor x

đến o x( )3 Sử dụng các khai triển ở 1.2.5 ta đ−ợc:

( ) ( )

x lim f(x) 0 e

−

Bài tập 4: Cho hàm số f liên tục trên [a – h, a + h] và có đạo hàm trên (a – h, a+

h) với h > 0 Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp 2 tại điểm a Hãy tính:

′ ′′

− = − + + , β(t)→0khi t→0

Do đó: f(a+ −t) 2f(a) f(a+ − =t) t f (a)2 ′′ +t [ (t)2 α +β(t)]

f(a t) 2f(a) f(a2 t) f (a) (t) (t)

và f(n 1+ )(a)≠ 0 Khi đó với 0≤ ≤p nvới phần d− dạng Yuong có dạng:

p 1

+

θ nếu f(n 1+ )(a)≠0

Lời giải

Ta có:

( ) p (p 1)

p 1

+

θ (đpcm)

Nhận xét: Nhờ vào những khai triển cơ bản ở mục 1.2.5 chúng ta đã giải quyết

được bài toán tìm giới hạn của một số hàm mà bằng định nghĩa, tính chất, định lý, quy tắc Lopitan chưa thể tìm giới hạn đó Nhưng để có thể làm được các bài toán trên chúng ta buộc phải ghi nhớ các công thức khai triển của một số hàm sơ cấp và vận dụng thật đúng chỗ Tuỳ vào từng bài và từng trường hợp mà chúng ta sử dụng phần dư của các khai triển dưới các dạng như Lagrange, Cauchy hay công thức Taylor – Young

2.3 ứng dụng công thức khai triển Taylor để tìm cực trị của hàm số

Định lý:

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp n tại điểm x0,

b NÕu n lÎ th× hµm sè f kh«ng cã cùc trÞ t¹i ®iÓm x0

Bµi tËp 1:T×m cùc trÞ cña hµm sè y = sinx – xcosx

+ Nếu n chẵn thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0

+ Nếu n lẻ thì hàm số không có cực trị tại điểm x = 0

Bài tập 4: Cho hàm số f(x) = (x x ) (x)− 0 nϕ trong đó ϕ là hàm số khả vi tại điểm

Vậy: +) Nếu n chẵn thì hàm số có cực trị tại x0 (Hơn nữa, khi ϕ(x )0 >0hàm số

có f(n)(x )0 = n! (x ) 0ϕ 0 > nên đạt cực tiểu tại x0 và khi ϕ(x )0 <0hàm số có

đó: y (0)′′′ =0; y (1)′′′ = >6 0tức là tại x = 1 hàm số không có cực trị (vì n = 3 lẻ) Đặt (3x−2) (x)ϕ +x(x 1) (x)− ϕ′ =ψ(x)ta đ−ợc y(4) =ψ(x)+xψ′(x)do đó

(4)

y (0)=ψ(0)= −2 (0)ϕ = −24<0suy ra hàm số đạt cực đại tại x1=0(vì n = 4 chẵn)

Kết luận: Hàm số đạt cực tiểu tại x3 4

Hàm số đạt cực đại tại x1=0 và ymax = y(0) 1=

Nhận xét: Nhờ vào định lý trên chúng ta dễ dàng tìm đ−ợc điểm cực trị của hàm

số mà không phải thông qua bảng biến thiên Tuy nhiên trong khi vận dụng định lý trên chúng ta cũng cần lưu ý đối với những bài toán như ở bài tập 5, nếu chúng ta vội vàng kết luận sau khi đã tính các giá trị tại đạo hàm cấp hai đó, chúng ta sẽ làm mất

đi điểm cực trị tại x = 0 Vì vậy đối với những dạng bài này cần tính đạo hàm cấp cao hơn và xét tính cực trị tại các đạo hàm đó để không bỏ sót những điểm cực trị mà bài toán yêu cầu

2.4 ứng dụng công thức khai triển Taylor để xét tính khả vi của hàm số

Ta đã định nghĩa vi phân của hàm số tại một điểm qua đạo hàm của hàm số tại

điểm đó Hàm số có vi phân tại một điểm khi nó có đạo hàm (hữu hạn) tại điểm đó Vì vậy, nếu hàm số có đạo hàm tại một điểm nào đó, người ta cũng nói rằng nó khả

vi tại điểm đó Hàm số có đạo hàm liên tục trên một khoảng gọi là khả vi liên tục trên khoảng đó Đối với hàm số một biến số khái niệm khả vi và có đạo hàm là hai khái niệm tương đương Để thấy được ứng dụng của công thức khai triển Taylor trong việc xét tính khả vi của hàm số ta xét các bài tập sau:

Bài tập 1: Xét tính khả vi của hàm số f(x) =

2 x

6 Bài tập 2: Ta xét hàm f được xác định trong các khoảng (0,1)và (1,+ ∞)bởi:

xlnx

hàm f liên tục và khả vi với mọi giá trị x > 0

Lời giải

Khi x dần tới 0 (về phía bên phải):

xlnx → ⇒ 0 f(x) → ⇒ 0 f liên tục phải tại 0 nếu f(0)= 0

Hàm f khả vi và có đạo hàm không tại x = 1 Với các giá trị x thuộc khoảng

(0,1)và (1,+ ∞)hàm f thương của các hàm liên tục và khả vi có mẫu thức khác 0 cũng liên tục, khả vi và:

Bài tập 3: 1) Ta xác định các hàm g và h bởi: g(x)=cos x nếu x > 0 và

h(x)=ch ưxnếu x < 0 Chứng minh rằng các hàm g và h liên tục và có đạo hàm cấp 1 và 2, tính các đạo hàm đó

2) Ta xác định hàm f bởi: f(x) = g(x) nếu x > 0, f(0) = 1và f(x) = h(x) nếu x < 0 Chứng minh rằng hàm f liên tục và khả vi hai lần với mọi giá trị của x

Nh− vậy ta chỉ cần khảo sát tính liên tục và tính khả vi của f tại giá trị x = 0 Bằng cách xét riêng các giới hạn bên phải và bên trái ta thấy: f(0) = g(0) = 1,

f(0−) = g(0−) = 1 suy ra f liên tục Khai triển sin xvà s h −x theo các luỹ thừa của

Ta thấy các đạo hàm bên trái và bên phải bằng nhau suy ra f khả vi tại 0 và

(k)

k 0

(b a)

f (a) k!

∫ Trong khá nhiều trường hợp ta có thể khảo sát tích phân này và

nhờ vậy ước lượng sự sai khác có thể có giữa f(b) và đa thức

k n

(k)

k 0

(b a)

f (a) k!

=

ư

(chẳng hạn với a b≤ ):

Bất đẳng thức (*) gọi là bất đẳng thức Taylor – Lagrange

Bài tập 1: Chứng minh rằng với mọi (n, x) ∈ ì ℕ ℝta có:

x

n 1 k

n x

k 0

x ex

Chuỗi hàm nhận đ−ợc hội tụ với mọi x, theo tính chất của chuỗi luỹ thừa lấy tích phân số hạng của chuỗi ta đ−ợc:

1

n 0

sin x

dx 1

x <

∫ (đpcm) Bài tập 3: Chứng minh bất đẳng thức sau bằng cách tính tích phân với sự chính xác

đến 0,001:

1

2 0

Chuỗi nhận đ−ợc có dạng Leibniz vì vậy nếu lấy k số hạng của chuỗi để nhận

đ−ợc giá trị gần đúng của tích phân đã cho thì sai số không v−ợt quá số hạng thứ

(k + 1) của chuỗi đó Từ điều kiện này ta tìm đ−ợc số k Ta có:

2 < ∫e dx < 3 Lời giải

Theo công thức I trong mục 1.2.6 thay x bởi 1

x ta có:

( )

1 x

4 x

2 2

4 x

1 4 x

n 1 2

2 < ∫e dx < 3 (đpcm) Bài tập 5: Chứng minh bất đẳng thức sau bằng cách tính tích phân với sự chính xác

đúng tích phân và đ−a bài toán đó về dạng bất đẳng thức Mục đích ở đây là muốn bạn đọc thấy rằng từ một vấn đề có thể có nhiều bài toán khác nhau, cách làm này sẽ giúp các bạn có cái nhìn bao quát hơn khi gặp những bài toán đó

p≤mta cã: Cpn m+ =C C0n pm+C C1n p 1m− + C+ p 1n− C1m+C Cpn 0m

Lêi gi¶i

Víi mäi sè t vµ mäi sè nguyªn d−¬ng m, n ta cã: (1 t)+ n m+ =(1 t) (1 t)+ n + m (1)

Theo c«ng thøc khai triÓn (1 x)n 1 nx n(n 1)x2 n(n 1) 1xn

Do (1) các hệ số của t , pp =0, n +mtrong các khai triển (2) và (3) bằng nhau

được: (1,1)10> +1 10.0,1=2 Vậy: (1,1)10>2

Nhận xét: ở phần này chúng ta gặp lại những bài toán phổ thông đơn giản về

phần tổ hợp Những bài toán mà trước đây chúng ta chưa hề có khái niệm về công

thức Taylor Giờ đây ở một mức độ cao hơn chúng ta hiểu thêm rằng công thức nhị

thức Newton là một dạng đặc biệt của công thức Taylor

Kết luận chương 2 Trong chương này tác giả trình bày với cấu trúc như sau:

2.1 ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính gần đúng

2.2 ứng dụng công thức khai triển Taylor để tính giới hạn

2.3 ứng dụng công thức khai triển Taylor để tìm cực trị của hàm số

2.4 ứng dụng công thức khai triển Taylor để xét tính khả vi của hàm số

2.5 ứng dụng công thức khai triển Taylor chứng minh các bất đẳng thức tích phân và các bài toán về tổ hợp

Với 27 bài tập có lời giải cụ thể trong 5 ứng dụng đã giúp chúng ta giải quyết được những vấn đề về tính gần đúng, tính giới hạn, tính cực trị, tính khả vi, các bài toán về bất đẳng thức tích phân và tổ hợp của một số hàm phức tạp

Chương 3 ứng dụng công thức khai triển Taylor

vào giải một số dạng toán hàm hai biến

3.1 Tóm tắt lý thuyết

Giả sử U là một tập hợp mở trong không gian ℝ2, f: U→ ℝlà một hàm số có các

đạo hàm riêng liên tục đến cấp n trên U, 0 , 0

0

M (x y )và M(x0+h y, 0 +k)là hai điểm của U Khi số thực t biến thiên từ 0 đến 1, điểm M0+tM M0 =(x0+ht y, 0+kt)



vạch nên đoạn thẳng M M0 Ta lấy h và k đủ nhỏ sao cho đoạn thẳng này nằm trọn trong