BÀI TẬP (full): GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG) LƯỢNG GIÁC CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC CUNGLƯỢNG GIÁC CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?. a Nếu a âm thì ít nhất một trong các số cosa, sinaphải âm b Nếu a dương thì sin a = 1 cos-

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC (CUNG)

LƯỢNG GIÁC CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) Nếu a âm thì ít nhất một trong các số cosa, sinaphải âm

b) Nếu a dương thì sin a = 1 cos- 2a

c) Các điểm trên đường tròn lượng giác xác định bởi các số thực sautrùng sau: ;7 13; và 71

Tìm Các điểm của đường tròn lượng giác xác định bởi số a trong

mỗi trường hợp sau:

a) cosa = 1 sin- 2a b) sin2a =sina

ì a ³ïï

íï a ¹

ïî , khi đó M nằm ở nửađường tròn lượng giác phía trên trục hoành (bao gồm cả trục hoành), nhưng

M không nằm trên trục tung

Xác định dấu của các số sau:

a) sin156 ;cos( 80 );tan0 0 17 và tan5560

8

æ p÷öç

- ççè- ÷÷øb) sin ;cos 3 ,

a) * sin156 Do 00 0 <1560<180 , nên sin1560 0 >0

* cos( 80 ).Do 90- 0 - 0<- 800<90 , nên cos( 80 ) 00 - 0 >

b)* sin Do 0 nên 3 , nên sin 0

8

p

=a 3

Tính các giá trị lượng giác của góc a trong mỗi trường hợp sau:

a) sin4a +sin2acos2a

b) 1 cos2 1

1 cossin

17 3cot

21 Xét góc lượng giác (OA, OM) = a, trong đó M là điểm không nằm

trên các trục tọa độ Ox, Oy Hãy lập bảng dấu của sina, cosa, tana, theo vị

trí của M thuộc các góc phần tư I, II, III, IV trong hệ tọa độ Oxy Hỏi M ởtrong góc phần tư nào thì:

a) của sina, cosa cùng dấu? b) sina, tana khác dấu?

-a) Khi M thuộc góc phần tư thứ I và thứ III thì sinavà cosacùng dấu

b) Khi M thuộc góc phần tư thứ II và III thì sinavà tanakhác dấu

2

2 2

a) Chứng minh: cos4a - sin4a =2cos4a - 1

Ta có: cos4a - sin4a =(cos2a +sin2a)(cos2a - sin2a =) 2cos2a - 1b) Chứng minh: 1 cot4 22 14

2 2 2

23 Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc a:

a) sin4a +4cos2a + cos4a +4sin2a

b) 2 sin( 6a +cos6a -) (3 cos4a +sin4a)

a +

sin a +4cos a = sin a +4 1 sin- a = sin a - 4sin a +4

(2 sin2 ) 2 sin2 (vì sin2 1) (1)

* cos4a +4sin2a = cos4a +4 1 cos( - 2a =) cos4a + -4 4cos2a

(2 cos2 ) 2 cos2 (vì cos2 1) (2)

Vậy biểu thức không phụ thuộc a

b) 2 sin( 6a +cos6a -) (3 cos4a +sin4a)

3 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦ CÁC GÓC (CUNG

CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT

24 Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

a) Khi a đổi dấu (tức thaya bởi -a) thì cosa và sina đổi dấu tana

không đổi dấu

b) Với mọi a, sin2a = 2sina

g) Đúng, vì cos2 cos sin

a) sin 102 0+sin 202 2 +sin 302 0+ + sin 802 0 (8 số hạng);

b) cos100 +cos200+cos300+ + cos1800 (18 số hạng);

c) cos3150 +sin 3300 +sin 2500- 1600

GIẢI:

a) sin 102 0+sin 202 0+sin 302 0+sin 402 0+sin 502 0+sin 602 0+sin 702 0+sin 802 0

Ta có: sin 102 0+sin 802 0 =sin 102 0 +sin (902 0- 10 )0

Vậy tổng của đề bài là 4

b) cos100 +cos200+cos300+ + cos1800

Ta có: cos100+cos1700=cos100+cos(1800- 10 ) cos100 = 0- cos100=0

Mà cos1800 =- Vậy tổng của đề bài là -11

c) cos3150+sin 3300+sin 2500- cos1600

GIẢI:

* cos( 250 )- 0 =cos2500=cos(1800 +70 )0 =- sin 200 » - 0,342

* sin(520 ) sin(3600 = 0+160 ) sin1600 = 0=sin 200 » 0,342

28 Xét hệ tọa độ vuông góc Oxy gắn với đường tròn lượng giác.

Kiểm nghiệm rằng điểm M với tọa độ 4 3;

5 5

æ - ÷öç

+ Tọa độ điểm xác định bởi số 4

* tan 11 tan 2 3 tan2 0 vì 2

* sin( 1050 ) sin( 3.360- 0 = - 0 +30 ) sin300 = 0>0 vì 00<300 <900

* cos16 cos 3 cos 0 vì 0

1 3 1 1 3sin cos tan =- 3 ;cot

=

a - a (khi các biểu thức đã có nghĩa)

b) tan2a - sin2a =tan2asin2a

c) 2(1 sin )(1 cos )- a + a = -(1 sina +cos )a 2

GIẢI:

a) Chứng minh: 1 2sin cos2 2 1 tan

1 tancos sin

sin

cos

a-

b) Chứng minh: tan2a - sin2a =tan2asin2a

Ta có: tan2a - sin2a =tan2a - tan2a.cos2a

sin cos sin cos 3sin cos 3sin cos

sin cos 3sin cos sin cos

a) Tính AM2 bằng hai cách khác nhau để suy ra cos2a = -1 2sin2a

b) Tính diện tích của tam giác A’MA bằng hai cách khác nhau để suy

ra sin 2a =2sin 2 cosa a

c) Chứng minh sin 1 2 2 ,cos 1 2 2

a)Gọi H là chiếu của M lên AA’

Xét tam giác vuông AMA’ ta có:

nên AM =AA' sin a =4sin a

Vậy, 4sin2a =2(1 cos2 )- a Û 2sin2a = -1 cos2a Û cos2a = -1 2sin2a

uur là giao điểm của tia OP

với đường tròn lượng giác đó

b) Tính tọa độ của điểm M và từ đó suy ra cô sin, sin của góc lượnggiác (Ox, OP)

uurGọi (x ; y ) là tọa độ Mm m

p p

(x ; y ) là tọa độ P

MàOPuur2 =| OP | nên OMuur 2 uuur2 =1

Suy ra| OM | 1uuur = , nghĩa là M thuộc đường tròn tâm O, bán kính 1

Vậy, M la giao điểm của OP và đường tròn lượng giác

4 MỘT SỐ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

38 Hỏi mỗi khẳng định sau có đúng không?

Với mọi a b, ta có

a) cos(a +b =) cosa +cosb b) sin(a - b =) sina - sinb

c) sin(a +b =) sin cosa b+cos sina b

d) cos(a - b =) cos cosa b- sin sina b

b) Sai, vì giả sử nếu a và

pa

75 Sử dụng 150 =450- 300, hãy tính các giá trị lượng giác góc 150

(đối chiếu với kết quả bài tập 29)

40 Chứng minh rằng:

a) sin cos 2 sin

4

æ p÷öç

a + a = ççèa + ÷÷ø

b) sin cos 2 sin

4

æ p÷öç

a = a Î ççè p÷÷ø, hãy tính các giá trị lượng giác của

góc 2 và góc

2

aa

a =

c) sin 6 sin 42 sin 66 sin 780 0 0 0 1

-b) Chứng minh: cos cos3 cos5 1

(1) sin cos cos3 cos5 1sin

(1) sin 6 cos6 sin(900 0 0 48 ).sin(900 0 24 ).sin(900 0 12 )0 1 cos60

43 Dùng công thức biến đổi tích thành tổng, chứng minh:

a) cos75 cos150 0 sin 75 sin150 0 1

4

b) cos75 sin150 0 2 3

4-

=

cos sin(a b- g +) cos sin(b g- a +) cos sin(g a - b =) 0

cos (sin cos cos sin ) cos (sin cos sin cos )

cos (sin cos sin cos ) 0

cos sin cos cos sin cos cos sin cos sin cos

cos sin cos cos sin cos 0

Cộng (a), (b), (c) theo từng vế ta được:

cos sin(a b- g +) cos sin(b g- a +) cos sin(g a - b =) 0

Nhận xét:

- Cách 1 gọn hơn, nhưng không đúng yêu cầu đề bài

- Cách 2 gọn hơn, nhưng theo đúng yêu cầu đề bài

44 Đơn giản các biểu thức sau:

a - a (khi các biểu thức có nghĩa)

Ta có:

cos cos7 2sin 4 sin( 3 ) 2sin 4 sin3

tan 4sin 7 sin 2cos 4 sin3 2cos 4 sin3

sin(2 ) sin 2 cos cos2 sin

2sin cos (1 2sin )sin

2sin (1 sin ) (1 sin )sin

cos(2 ) cos2 cos sin 2 sin

(2cos 1)cos 2sin cos

(2cos 1)cos 2(1 cos )cos

=-* tan 20 tan 40 tan800 0 0 sin 20 sin 40 sin8000 00 00

cos20 cos40 cos80

ta có:

2 2 2 2 4 2 6A.sin sin cos sin cos sin cos

a) coss (2 a + +x) cos x 2cos cos x cos(2 - a a +x)

b) sin 4x sin10x sin11x sin 3x sin 7x sin x-

2cos ( x) cos x cos x.cos(2 x) cos x

1cos ( x) cos2( x) cos2

21cos ( x) (2cos ( x) 1) cos2x

Vậy, giá trị biểu thức không phụ thuộc x

b) sin 4x sin10x sin11x sin 3x sin 7x sin x-

50 Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC có ba góc A, B, C thỏa mãn

sin A=cosB cosC+ thì tam giác ABC vuông

b) Nếu tam giác ABC có ba góc A, B, C thỏa mãn

sin A=2sin BcosC thì tam giác ABC cân

c) sin 2a +sin 2b+sin 2g=4sin sin sina b g

d) cos2a +cos2b+cos2g= -1 2cos cos cosa b g

GIẢI:

1 cos2 1 cos2 1 cos2

VT cos cos cos

3 cos2 cos2 cos2 3 2cos( ).cos( ) 2cos 1

1 cos( ).cos( - )+cos

1 cos cos( ) cos 1 cos cos( ) cos

1 cos cos( ) cos ( )

= - gë a - b - p- a +b =û 1 cos cos(- g( a - b +) cos(a +b))

1 cos 2cos cos 1 2cos cos cos VP

52 a) Chứng minh rằng nếu a và b khác k (k )

2

p+ p Î ¡ thì

cos cos2 sin

a - a

=

Tương tự:

1 tan 3 tan 2cos2 cos3 sin

cos cos2 cos2 cos3 cos7 cos8 sin

cos cos 2cos cos a (1)

sin sin 2sin sin b (2)

(sin sin )(cos cos ) ab

sin cos sin cos sin cos sin cos ab

a <a < là parabol

có phương trình: y 2g 2 x2 (tan )x,

2y cos

a trong đó g là gia tộc trọngtrường (g» 9,8m / s )2 (giả sử lực cản của không khí không đáng kể) Gọitầm xa của quỹ đạo là khoảng cách từ o đến giao điểm khác O của quỹ đạovới trục Ox (h.62)

=Khi v= 80m/s thì giá trị lớn nhất đó là: