Dùng phương pháp tích phân j (j INTEGRAL) để tính toán khả năng phá hủy của một kết cấu hai vật liệu

Dùng phương pháp tích phân j (j INTEGRAL) để tính toán khả năng phá hủy của một kết cấu hai vật liệu

Giáo viên hướng dẫn : Th.s Trần Thanh Hải

Sinh viên thực hiện : Nguyễn Xuân Tiến

HÀ NỘI – 2012

LỜI NÓI ĐẦU

Từ xưa tới nay, sự phá hủy của các công trình, các chi tiết máy móc luôn để lạihậu quả to lớn về người và vật chất Điều này càng đúng hơn trong thời buổi côngnghệ khoa học và kĩ thuật ngày càng phát triển như hiện nay Với các công trình lớn,hay các dây truyền hiện đại, sự phá hủy của các chi tiết sẽ gây ra hậu quả vô cùngnghiêm trọng Chính vì lý do này, Cơ học phá hủy là môn học ngày càng được pháttriển và nghiên cứu rộng rãi Nhiệm vụ của nó là tìm ra các nguyên nhân gây ra sự pháhủy của vật liêu, từ đó có thể đưa ra các biện pháp cải tiến hoặc ngăn chặn sự phá hủyxảy ra

Hiện nay, Cơ học phá hủy là môn học ít được đề cập đến trong hệ thống giảngdạy của các trường kỹ thuật của nước ta Chính vì lý do này, em quyết định lựa chọn

đề tài “DÙNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN J (J-INTEGRAL) ĐỂ TÍNH TOÁN KHẢ

NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU” để tìm hiểu rõ hơn về cơ chế

gây nên sự phá hủy của vật liệu cũng như dự đoán được sự phát triển của các vết nứtcủa vật liệu

Trong đề tài cũng đề cập đến một môn học khác nữa, đó là “ Phương pháp phần

tử hữu hạn” Đây có thể nói là một phương pháp phổ biến nhất để giải các bài toán kỹ

thuật Với phương pháp phần tử hữu hạn, việc tính toán các bài toán cơ học như: phântích trạng thái ứng suất, biến dạng trong các kết cấu cơ khí, các chi tiết trong ô tô, máybay, tàu thủy, khung nhà cao tầng, dầm cầu, những bài toán của lý thuyết trường như:

lý thuyết truyền nhiệt, cơ học chất lỏng, thủy đàn hồi, khí đàn hồi, điện từ trường trởnên dễ dàng hơn Dựa trên nền tảng của phương pháp phần tử hữu hạnkết hợp với sựphát triển mạnh mẽ của ngành công nghệ phần mềm đã tạo ra các phần mềm CAE tíchhợp vào hệ thống máy tính khiến cho việc giải các bài toán kỹ thuật trở nên đơn giảnhơn rất nhiều lần

Qua quá trình hoàn thành đề tài đồ án tốt nghiệp này, bản thân em nhận thấy thuđược rất nhiều thức về cơ học phá hủy, cũng như quá trình cơ bản để giải một bài toán

cơ học Đồng thời qua đồ án này, em cũng được tìm hiểu sâu hơn về phần mêm Ansys– Một phần mềm CAE tương đối phổ biến ở nước ta cũng như trên thế giới

Sau một quá trình nghiên cứu tìm hiểu, với sự cố gắng của bản thân cùng với sự chỉ

bảo, hướng dẫn tận tình của thầy giáo Th.s Trần Thanh Hải, em đã hoàn thành đề tài

này Trong quá trình hoàn thành, do kiến thức bản thân còn hạn hẹp nên đề tài vẫn còntồn tại nhiều thiếu sót Em rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của các thầy, cô vàcác bạn để đề tài được hoàn thiện hơn.

Hà Nội, ngày 20 tháng 05 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Xuân Tiến

Lớp Cơ – Điện Tử K47 ĐHGTVT

TÓM TẮT ĐỒ ÁN

Tên đề tài: “DÙNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN J (J-INTEGRAL) ĐỂ TÍNH TOÁN

KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU”

Nội dung đề tài:

- Tìm hiểu về cơ học phá hủy

- Nghiên cứu về phương pháp PTHH

- Tìm hiểu về phần mềm Ansys

- Ứng dụng phần mềm Ansys để giải bài toán tính tỉ lệ giải phóng năng lượng củavết nứt của một kết cấu hai vật liệu (Bi-material)

Đề tài được bố cục như sau:

Chương 1: Tổng quan về cơ học phá hủy: Giới thiệu các vấn đề cơ bản nhất về cơ

học phá hủy ( Fracture Mechanics) Đưa ra các nguyên nhân gây ra phá hủy, cũng nhưcác nhân tố ảnh hưởng đến sự phá hủy của vật liệu

Chương 2: Phương pháp phần tử hữu hạn: Giới thiệu các nội dung cơ bản về

phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), cơ sở lý thuyết của phương pháp PTHH vàmột số phương trình đặc trưng của phương pháp PTHH

Chương 3: Tổng quan về phần mềm ansys: Giới thiệu về phần mềm Ansys, ứng dụng

của ansys trong việc giải các bài toán kỹ thuật

Chương 4: Tính toán khả năng phá hủy của một kết cấu hai vật liệu material):Giới thiệu các phương pháp tính toán tỉ lệ giải phóng năng lượng khi hình

(Bi-thành vết nứt và ứng suất tại vùng gần đỉnh vết nứt Tính toán tỉ lệ giải phóng nănglượng vết nứt của một kết cấu hai vật liệu bằng phương pháp J-Integral thông qua phầnmềm ansys

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 2

TÓM TẮT ĐỒ ÁN 4

MỤC LỤC 5

DANH SÁCH HÌNH VẼ 8

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC PHÁ HỦY 10

1 Giới thiệu về cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) 10

1.1 Khái niệm về cơ học phá hủy 10

1.2 Phân loại cơ học phá hủy 12

1.3 Nguyên nhân gây ra phá hủy 13

2 Các chế độ phá hủy (Fracture modes) 15

3 Ứng suất tập trung tại đỉnh vết nứt, hệ số cường độ ứng suất 16

3.1 Bài toán Westergaard 16

3.2 Hệ số cường độ ứng suất K (Stress intensity factor) 17

3.3 Trường ứng suất và chuyển vị tại gần đỉnh vết nứt 17

3.4 Sự phụ thuộc của hệ số cường độ ứng suất vào cấu trúc của vết nứt và phụ tải .19

3.5 Tiêu chuẩn phá hủy thứ nhất 22

4 Năng lượng cân bằng trong vết nứt, Tỉ lệ năng lượng giải phóng 22

4.1 Cân bằng năng lượng trong vết nứt 22

4.2 Lý thuyết Griffith 23

4.3 Tỷ lệ giải phóng năng lượng G 25

4.4 Tiêu chuẩn phá hủy thứ hai 26

4.5 Mối quan hệ giữa K và G 26

5 Tích phân J (J-Integral) – Tỷ lệ năng lượng giải phóng phi tuyến 26

5.1 Định nghĩa 26

5.2 Tỷ lệ năng lượng giải phóng phi tuyến.[8] 28

5.3 Sự bất biến của tích phân J 31

5.4 Tiêu chuẩn phá hủy thứ ba 31

5.5 Mối quan hệ giữa J, K và G 31

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 32

1 Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn 32

1.1 Khái niệm chung 32

1.2 Nội dung của phương pháp 33

1.3 Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn 34

1.4 Hàm xấp xỉ - Hàm dạng - Phép nội suy 37

2 Các phương trình cơ bản của phương pháp PTHH 42

2.1 Ma trận độ cứng phần tử , véc tơ tải phần tử 42

2.2 Ghép nối phần tử - ma trận cứng và véc tơ tải tổng thể 44

3 Ví dụ 46

CHƯƠNG 3: TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM ANSYS 49

1 Giới thiệu về phần mềm ansys 49

1.1 Giới thiệu chung 49

1.2 Ứng dụng của Ansys 51

2 Giải bài toán cơ học kết bằng phần mềm ansys 57

2.1 Các bước phân tích của bài toán kết cấu bằng phần mềm Ansys 58

2.2 Hai phương pháp làm việc với Ansys 59

3 Ví dụ 59

CHƯƠNG 4: TÍNH TOÁN KHẢ NĂNG PHÁ HỦY CỦA MỘT KẾT CẤU HAI VẬT LIỆU (BI – MATERIAL) 64

1 Phương pháp phân tích phá hủy 64

1.1 Phương pháp thực nghiệm 64

1.2 Phương pháp tương quan chuyển vị (Displacement Correlation Methods) 66

1.3 Phương pháp tích phân kín nứt hiệu chỉnh (Modified Crack Closure Integral) 68

1.4 Phương pháp tích phân J (J – Integral) 69

2 Tính toán khả năng phá hủy của kết cấu hai vật liệu bằng phương pháp tích phân J 71

2.1 Nội dung và phương pháp triển khai bài toán 71

2.2 Code lệnh chương trình giải bài toán bằng ansys 75

2.3 Kết quả 80

2.4 Kết luận 83

KẾT LUẬN 84

TÀI LIỆU THAM KHẢO 85

DANH SÁCH HÌNH VẼ

Hình 1.1 – Các mẫu thử có và không có vết nứt 11

Hình 1.2 – So sánh cơ học phá hủy và sức bền vật liệu 11

Hình 1.3 – Biểu đồ ứng suất – chuyển vị trong thí nghiệm kéo đứt mẫu thử kim loại 13 Hình 1.4 – Quá trình hình thành vết nứt 13

Hình 1.5 –Sự nứt do chẻ thớ trong vật liệu 14

Hình 1.6 – Sự nứt giữa các hạt 14

Hình 1.7 – Sự nứt giữa các hạt có sự xuất hiện của các lỗ trống 15

Hình 1.8 – Sự nứt giữa các hạt có sự xuất hiện của các lỗ trống 15

Hình 1.9 – Chế độ phá hủy cơ bản 15

Hình 1.10 – Bài toán Westergaard 16

Hình 1.11 - Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục 19

Hình 1.12 - Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục 20

Hình 1.13 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục 20

Hình 1.14 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục 21

Hình 1.15 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục 21

Hình 1.16 – Khe nứt của tấm phẳng chịu ứng suất đều 23

Hình 1.17 – Tích phân J 27

Hình 1.18 - vết nứt hai chiều được bao quanh bởi biên Г 28

Hình 2.1 – Mô hình các phần tử đơn giản 35

Hình 2.2 – Dạng nội suy của các hàm xấp xỉ theo phương pháp Lagrange 38

Hình 2.3 – Chọn dạng đa thức theo tam giác pascal 41

Hình 2.4 – Tính dầm chịu uốn bằng phương pháp PTHH 46

Hình 3.1 – Màn hình khởi động Ansys 49

Hình 3.2 – Kết cấu trong trường hợp tải tĩnh 52

Hình 3.3 – Phân tích va chạm của một thí nghiệm đối với ô tô 53

Hình 3.4 – Phân bố nhiệt trong kết cấu 54

Hình 3.5 – Mật độ dòng chảy điện từ của van kiểm soát chất lỏng solenoid 55

Hình 3.6 – Trường dòng chảy trong ống dẫn và phân bố áp suất của thùng trộn 56

Hình 3.7 – Đồ thị áp suất mức áp âm 56

Hình 3.7 – Kết cấu khung giàn 59

Hình 3.8 – Mô hình của giàn khi chưa chia lưới 60

Hình 3.9 – Mô hình kết cấu khi đã được phần tử hóa 61

Hình 3.10 – Mô hình của kết cấu khi đã đặt điều kiện biên và tải trọng 62

Hình 3.11 – Bảng kết quả phản lực tại các gối 62

Hình 3.12 – Chuyển vị của kết cấu 62

Hình 3.13 – Biểu đồ chuyển vị của các nút trong kết cấu 63

Hình 3.14 Biểu đồ ứng suất của kết cấu 63

Hình 4.1 – Các mô hình thực nghiệm đo giới hạn phá hủy 64

Hình 4.2 – Mô hình thực nghiệm đo KIC 65

Hình 4.3 – Thiết bị dùng để đo KIC 66

Hình 4.4 – Phương pháp tương quan chuyển vị 66

Hình 4.5 – Phương pháp suy biến điểm phần tư 67

Hình 4.6 – Phương pháp VCCT 68

Hình 4.7 – Tích phân J 69

Hình 4.8 – Các dạng biến đổi của tích phân J 70

Hình 4.9 – Kết cấu hai vật liệu (Bimaterial) 71

Hình 4.10 – Mô hình một nửa của kết cấu 72

Hình 4.11 – Mô hình của kết cấu bằng Ansys 80

Hình 4.12 – Biểu đồ biến dạng của kết cấu 81

Hình 4.13 – Biểu đồ chuyển vị của các nút phần tử 81

Hình 4.14 – Cường độ ứng xuất vùng gần đỉnh vết nứt 82

Hình 4.15 – Bảng Giá trị của các tham số 82

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CƠ HỌC PHÁ HỦY

1 Giới thiệu về cơ học phá hủy (Fracture Mechanics)

1.1 Khái niệm về cơ học phá hủy

Phá huỷ là vấn đề mà xã hội phải đối mặt kể từ khi con người bắt đầu xây dựngnhững kiến trúc.Ngày nay vấn đề này thực sự trở nên quan trọng hơn nhiều bởi sự ảnhhưởng của phá hủy là rất lớn do sự phụ thuộc của con người ngày càng nhiều vào khoahọc kĩ thuật và máy móc

May mắn thay,sự tiến bộ trong lĩnh vực cơ học phá huỷ đã và đang giúp chúng tagiảm thiểu đáng kể các nguy hiểm tiềm ẩn gây ra bởi sự phá hủy của các kết cấu trongcác công trình, máy móc…Nhiệm vụ của môn Cơ học phá hủy là tìm ra nguyên nhântại sao vật liệu bị phá huỷ và khả năng ngăn chặn,bảo vệ được sự phá huỷ của các kếtcấu đó

Cơ học phá hủy là một lĩnh vực của cơ học nói chung, chuyên nghiên cứu sự hình thành của vết nứt trên vật liệu của kết cấu cơ học Cơ học phá hủy là một lĩnh vực đóng vai trò quan trọng trong việc cải thiện hiệu suất của vật liệu và các thành phần

cơ học của kết cấu.

Cơ học phá hủy (Fracture Mechanics) là môn khoa học chuyên nghiên cứu về độ

bền tuổi thọ của vật liệu, chi tiết máy hoặc cấu kiện khi có các vết nứt Cho phép định lượng mối quan hệ giữa tính chất vật liệu, ứng suất, sự hiện diện của các vết nứt có thể gây phá hủy kết cấu và cơ chế lan truyền các vết nứt Nó sử dụng các phương pháp phân tích cơ học vật rắn để tính toán động lực trên một vết nứt và những thử nghiệm của cơ học vật rắn để mô tả đặc điểm chống lại phá hủy kết cấu[1]

Hầu hết các thành phần kỹ thuật và các kết cấu cơ học chứa khuyết tật hình họcnhư các liên kết bằng ren, khe hở của chi tiết trục, răng của bánh răng…Kích thước vàhình dạng của chúng đóng vai trò quan trọng bởi vì chúng xác định độ bền của cấutrúc vật liệu Thông thường, độ bền của các thành phần hoặc cấu trúc có chứa cáckhuyết tật bị ảnh hưởng bởi hai yếu tố: ứng suất và độ bền uốn Tuy nhiên, cách tiếp

cận này thường sẽ cho kết quả không chính xác nếu khuyết tật có đặc trưng hình họclớn Để giải thích điểm này, chúng ta hãy xem xét các trường hợp sau (hình1.1):

Hình 1.1 – Các mẫu thử có và không có vết nứt

Tất cả các mẫu có cùng độ dày Các lực cần thiết để phá vỡ bốn mẫu được sắp xếptheo thứ tự sau: F4 < F3 < F1 < F2

Rõ ràng, các kích thước của các khuyết tật ở các mẫu C và D ảnh hưởng lớn đến

độ bền của mẫu, làm giảm độ bền của mẫu

So với phương pháp tiếp cận sức bền vật liệu, phương pháp cơ học phá hủy(Fracture mechanics) bị ảnh hưởng bởi ba yếu tố: ứng suất, kích thước phá hủy và độbền phá hủy Trong phương pháp tiếp cận này, độ bền phá hủy thay thế độ bền uốnphù hợp tính chất vật liệu nhiệm vụ của cơ học phá hủy là phải xác định giới hạn của

ba yếu tố trên

Hình 1.2 – So sánh cơ học phá hủy và sức bền vật liệu

1.2 Phân loại cơ học phá hủy

Đối với vật liệu không thay đổi theo thời gian, Fracture Mechanics có thể được

chia thành cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính (Linear Elastic Fracture Mechanics) (LEFM) và cơ học phá hủy đàn hồi dẻo (Elasto Plastic Fracture Mechanics

(EPFM) LEFM được áp dụng để tính toán cho các vật liệu có tính đàn hồi không biếndạng (đàn hồi tuyến tính), chúng bị phá hủy khi chưa xảy ra biến dạng hoặc biến dạngcòn nhỏ, với các vật liệu như: thép cường độ đàn hồi cao, thủy tinh, đá, bêtông LEFM cho kết quả tính toán có độ chính xác khá cao Tuy nhiên, đối với vật liệu

dễ uốn như thép carbon thấp, thép không gỉ, hợp kim nhôm, polyme, vv, tính dẻo luônxảy ra trước phá hủy Tuy nhiên, khi tải trọng nhỏ, LEFM vẫn cho kết quả gần đúng.EPFM được áp dụng cho để tính toán cho các kết cấu có vật liệu có tính chất đàn hồi-dẻo EPFM là trường hợp mà khi xuất hiện vết nứt, vật liệu đã có sự biến dạng (chảydẻo)

Dựa theo tính chất của vật liệu của kết cấu Cơ học phá hủy được chia thành cácdạng sau:

 Vật liệu có tính chất độc lập tuyến tính theo thời gian (Linear time – independent

materials) : Cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính

 Vật liệu có tính chất độc lập phi tuyến theo thời gian (Nonlinear time –

independent materials) : Cơ học phá hủy đàn hồi phi tuyến

 Vật liệu có tính chất thay đổi theo thời gian (Time – dependent materials) : Động

lực học cơ học phá hủy, cơ học phá hủy nhớt đàn hồi, cơ học phá hủy nhớt dẻo

1.3 Nguyên nhân gây ra phá hủy

 Độ bền của tổ chức vết nứt

Hình 1.3 – Biểu đồ ứng suất – chuyển vị trong thí nghiệm kéo đứt mẫu thử kim loại

Phá hủy ở vật liệu thường được chia làm hai dạng:

 Phá hủy giòn (Brittle): Vật liệu bị phá hủy khi biến dạng còn rất nhỏ

 Phá hủy dẻo (Ductile): Vật liệu bị phá hủy khi có biến dạng lớn và có sự chảydẻo

Đối với một số loại vật liệu như kim loại, bên trong có tồn tại những lỗ hổng vi

mô Khi vật liệu bị biến dạng do gia tải, những lỗ trống này sẽ phát triển và đến mộtlúc nào đó chúng sẽ giao nhau và tạo thành vết nứt gây phá hủy vật liệu

Hình 1.4 – Quá trình hình thành vết nứt

 Các thông số vật lý và cấu trúc vi mô làm biến đổi độ bền của vật liệu:

 Sự nứt do chẻ thớ (Cleavage fracture): là hiện tượng phân tách vật liệu xảy ra do

sự phá vỡ các liên kết nguyên tử dọc theo những bề mặt tinh thể nhất định Sựnứt xảy ra tại những bề mặt mà sự liên kết nguyên tử tại đó yếu và khoảng cáchgiữa các mặt lớn Dạng nứt này có thể xảy ra ở tinh thể lập phương tâm khối nhưsắt hay thép carbon thấp Đối với vật liệu đa tinh thể, vết nứt sẽ chuyển hướngkhi nó gặp biên của tinh thể khác Mặt phẳng nứt tại mỗi tinh thể có sự phảnchiếu cao Khi quan sát toàn bộ mặt vết nứt sẽ thấy những vùng lấp lánh

Hình 1.5 –Sự nứt do chẻ thớ trong vật liệu

 Sự nứt giữa các hạt (Intergranular fracture: Sự rạn nứt xảy ra dọc theo biên tinh

thể Do hiện tượng phân tách của những tinh thể giòn và sự kết tủa tại những biêncủa tinh thể dẫn đến sự liên kết yếu tại biên giữa các tinh thể

Hình 1.6 – Sự nứt giữa các hạt

Sự nứt giữa các hạt được chia làm hai loại:

+ Sự phân tách tại biên tinh thể kèm theo sự xuất hiện của những lỗ trống Hiệntượng này xảy ra trong suốt quá trình phá hủy của một số loại thép hay hợpkim nhôm

Hình 1.7 – Sự nứt giữa các hạt có sự xuất hiện của các lỗ trống

+ Sự phân tách không có lỗ trống xuất hiện trong suốt quá trình phá hủy củathép hóa giòn ở nhiệt độ cao hay vật liệu khó nóng chảy như tungsten hayphá hủy rão

Hình 1.8 – Sự nứt giữa các hạt có sự xuất hiện của các lỗ trống

2 Các chế độ phá hủy (Fracture modes)

Trong kỹ thuật ta thường gặp ba chế độ phá hủy cơ bản

Hình 1.9 – Chế độ phá hủy cơ bản

 Dạng mở rộng (mode I) các bề mặt phá hủy bị tách theo phương Y

 Dạng trượt (mode II) các bề mặt trượt lên nhau theo phương X

 Dạng trượt xoay (mode III) các bề mặt trượt lên nhau và xé ra theo phương Z.Ngoài ra còn có các dạng phá hủy khác là các biến thể của 3 chế độ trên Trong đóchế độ I là loại phổ biến nhất thường gặp trong hư hỏng kỹ thuật

3 Ứng suất tập trung tại đỉnh vết nứt, hệ số cường độ ứng suất.

3.1 Bài toán Westergaard

Khi vết nứt xuất hiện, tại vùng gần đỉnh của vết nứt có xuất hiện ứng suất tậptrung, để biểu thị cho mức độ tập trung của ứng suất tại vùng gần đỉnh của vết nứtngười ta dùng hệ số K được gọi là hệ số cường độ ứng suất

Xét bài toán khe nứt elip trong tấm phẳng có kích thước lớn vô hạn (Westergaard)

Hình 1.10 – Bài toán Westergaard

(1.1)(1.2)

(1.3)

3.2 Hệ số cường độ ứng suất K (Stress intensity factor)

Hệ số cường độ ứng suất là đại lượng đặc trưng cho mức độ tập trung ứng suất tạivùng gần đỉnh vết nứt và được xác định bằng công thức sau:

(1.4)Với σ ij là các ứng suấtgần đỉnh vếtnứt, tương ứng với 3 dạng phá hủy ta sé cố các

Kết hợp (1.1) và (1.4) với θ=0 ta có:

(1.5)Kết quả (1.5) chỉ đúng trong trường hợp tấm phẳng vô hạn, đới với trường hợptấm phẳng hữu hạn với các mô hình nứt khác nhau thì :

(1.6)Với α là hàm phụ thuộc vào các dạng mô hình nứt khác nhau

3.3 Trường ứng suất và chuyển vị tại gần đỉnh vết nứt

 Chế độ phá hủy I :

Trường ứng suất:

(1.7)(1.8)

 là modun đàn hồi trượt.

Trường chuyển vị:

(1.20)

(1.21)Ngoài ra, trường ứng suất và trường chuyển vị còn được biểu diễn dưới dạng tọa

độ cực Với mô hình nứt dạng hỗn hợp ta áp dụng nguyên lý chồng chập tuyến tínhtrong hệ tọa độ vuông góc hay hệ tọa độ cực để tính

3.4 Sự phụ thuộc của hệ số cường độ ứng suất vào cấu trúc của vết nứt và phụ tải.

 Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục

Hình 1.11 - Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục

(1.22)

(1.23)

 Tấm phẳng với hai vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục

Hình 1.12 - Tấm phẳng với một vết nứt biên chịu ứng suất kéo đều đơn trục

 Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục

Hình 1.13 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục

(1.26)

(1.27)

 Tấm phẳng với vết nứt nghiêng, bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục

Hình 1.14 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục

(1.28)(1.29)

 Tấm phẳng với vết nứt biên chịu tải tập trung ở giữa và hai gối tựa

Hình 1.15 - Tấm phẳng với vết nứt bên trong chịu ứng suất kéo đều đơn trục

(1.31)

2 3/2

23

Với B là chiều dày của tấm

3.5 Tiêu chuẩn phá hủy thứ nhất

Theo lý thuyết cơ bản về tuyến tính, ứng suất tại đỉnh của vết nứt là vôcùng nhưng trong thực tế, luôn có vùng chảy dẻo tại đỉnh của vêt nứt ở đó giớihạn một ứng suất có giá trị hữu hạn Rất khó khăn để mô hình và tính toán ứngsuất thực tế trong vùng chảy dẻo và so sánh chúng với giá trị ứng suất cho phéplớn nhất của vật liệu để xác định liệu rằng một vêt nứt có phát triển hay không.Một kỹ thuật tiếp cận là thực hiện một loạt các thí nghiệm đê tìm ra một giátrị hệ số cường độ ứng suất KC (KC là một đặc tính của vật liệu đặc trưng cho sựchống lại sự phá hủy của vật liệu) tương ứng với mỗi vật liệu KC được gọi là độbền phá hủy của vật liệu Một vật được xác định khả năng nứt bằng cách sosánh Ki với KiC tương ứng (i=I,II,III) Sự phá hủy xảy ra khi Ki ≥KiC.

4 Năng lượng cân bằng trong vết nứt, Tỉ lệ năng lượng giải phóng

4.1 Cân bằng năng lượng trong vết nứt

Sự thay đổi khi một vật thể vết xuất hiện vết nứt là sự suất hiện thêm các bềmặt Khối nứt tạo ra các bề mặt mới (vết nứt) sẽ tiêu thụ năng lượng từ các bềmặt mang năng lượng cao hơn năng lượng của chi tiết và giải phóng ra nănglượng Sau đó quá trình nứt có tiếp tục diễn ra hay không còn phụ thuộc vàoviệc nó có chứa đủ năng lượng để tạo thêm các bề mặt trong khi vẫn duy trì sựcân bằng của nó Nói cách khác quá trình nứt diễn ra khi xảy ra sự mất cân bằngnăng lượng giữa các bề mặt với năng lượng của bản thân kết cấu, chi tiết

Theo định luật bảo toàn năng lượng: Công thực hiện trong một đơn vị thời

gian do tác dụng của tải trọng ( ) phải bằng tổng tỷ lệ của biến đổi nội năng

đàn hồi (internal elastic energy) ( ˙U E), năng lượng biến dạng dẻo (˙U P), động

năng (kinetic energy) ( ˙K) của vết nứt, và năng lượng cần thiết để tăng vết nứtcho một đơn vị thời gian (˙Γ) Nói cách khác[1]:

(1.33)

Nếu quá trình nứt xảy ra chậm, động năng K là không đáng kể ( ).Hơn nữa, vì tất cả thay đổi đều liên quan đến thời gian được gây ra bởi nhữngthay đổi kích thước các vết nứt, chúng ta có:

(1.34)với A là diện tích vết nứt Do vậy phương trình (1.33) có thể được viết lại như sau:

(1.35)

Phương trình (1.35) cho thấy việc giảm thế năng bằng với năng lượng tiêutan trong kết cấu dẻo và tạo ra bề mặt

Hình 1.16 – Khe nứt của tấm phẳng chịu ứng suất đều

Để khe nứt có thể tăng trưởng kích thước thì thế năng có trong tấm phẳngphải vượt qua năng lượng bề mặt của vật liệu Thuyết cân bằng năng lượng củaGriffith cho sự tăng trưởng của vùng nứt dưới điều kiện cân bằng được biểudiễn như sau:

(1.38)Với П0 là thế năng của tấm phẳng khi chưa nứtvà B là độ dày tấm phẳng Do sự hìnhthành khe nứt đòi hỏi sự tạo thành của hai mặt phẳng nên Ws được cho bởi:

(1.39)Với γS là năng lượng bề mặt của vật liệu

Ta có:

(1.40)(1.41)

4.3 Tỷ lệ giải phóng năng lượng G

Đối với các vật liệu đàn hồi tuyến tính – Linear elastic materials (vật liệu

giòn lý tưởng), năng lượng tiêu tan trong biến dạng dẻo là không đáng kể và cóthể được bỏ qua (˙U P =0) Do vậy, năng lượng để mở rộng một đơn vị của bề

mặt vết nứt G có thể được xác định:[1]

(1.44)Phương trình trạng thái cân bằng ở trên chính là thế năng trong vật thể cầnphải thắng năng lượng bề mặt của vật liệu (năng lượng cần thiết để vết nứt lớn

thêm ra) G còn được gọi là tỷ lệ giải phóng năng lượng đàn hồi hay độ cứngchống phá hủy.

Theo công thức (1.41) tỷ lệ giải phóng năng lượng trong mô hình nứt trênlà:

(1.45)Theo lý thuyết đàn hồi tuyến tính, với một vật thể có tải trọng không đổiluôn tuân theo quy luật (theo định lý Clapeyron):

4.4 Tiêu chuẩn phá hủy thứ hai

Vết nứt sẽ phát triển khi G tiến đến hoặc vượt một giá trị cực đại Gc:

(1.48)

Gc được gọi là độ bền phá hủy của vật liệu theo tiêu chuẩn năng lượng

4.5 Mối quan hệ giữa K và G

 Với mô hình phá hủy dạng I và II

(1.49)

(1.50) trong trường hợp ứng suất phẳng.

trong trường hợp biến dạng phẳng

 Với mô hình phá hủy dạng III

(1.51)Hay viết dưới dạng tổng quát

Để xác định được đại lượng năng lượng sao cho mô tả chính xác ứng xửđàn dẻo của vật liệu có độ bền cao, người ta đưa ra một cách tiếp cận khác đó làtích phân J (J-Integral) Tích phân J là một loại tích phân đường được JamesRice nghiên cứu và phát triển do sự khó khăn trong việc tính toán ứng suất đối

với các vết nứt kín trong vật liệu đàn hồi phi tuyến (nonlinear elastic) hay vật liệu đàn hồi dẻo (elastic plastic)

Xét mô hình với vêt nứt bị bao quanh bởi biên dạng tùy ý Γ có chiều ngượcchiều kim đồng hồ Tích phân J được xác định như sau :[8]

(1.53)Với :  – mật độ năng lượng biến dạng

– thành phần vector lực tác dụng đều – thành phần vector chuyển vị

– phần tử vi phân dọc theo biên

Hình 1.17 – Tích phân J

 Trong đó mật độ năng lượng được định nghĩa như sau:

(1.54)

ở đây, và là các tensor ứng suất và biến dạng

 Các thành phần vector lực tác dụng đều được tính như sau

(1.55)Với n j là các thành phần vector pháp tuyến của biên dạng Γ

5.2 Tỷ lệ năng lượng giải phóng phi tuyến [8]

Xét một vết nứt hai chiều được bao quanh bởi biên Г Bên trong là vùngdiện tích Ω.Bỏ qua sự tác dụng của lực thể tích, thế năng được cho bởi côngthức sau:

(1.56)

Hình 1.18 - vết nứt hai chiều được bao quanh bởi biên Г

Khi vết nứt phát triển, sự thay đổi của thế năng như sau :

(1.57)(1.58)

chịu tác dụng của áp lực nên công thức (1.58) được viết lại như sau :

(1.59)

Và do một số thành phần tích phân bị triệt tiêu nên công thức (1.59) có thểđược viết lại trên toàn biên Гnhư sau :

Ta có :

(1.61)

Do khi vết nứt phát triển một đoạn a thì :

Thế phương trình (1.61) vào phương trình (1.60), dẫn đến :

(1.62)Mặt khác, từ công thức tính mật độ năng lượng biến dạng (1.54) ta có :

(1.63)Mặt khác ta cũng có :

(1.64)Các thành phần biến dạng được cho bởi công thức :

(1.65)Thay (1.65) vào (1.64) ta được :

(1.66)

Do dó:

(1.67)

(1.69)Thế phương trình (1.67) vào phương trình (1.69) ta có:

(1.70)Thế phương trình (1.70) vào phương trình (1.62), phương trình (1.62) trởthành:

(1.71)

Áp dụng công thức Green và nhân 2 vế cho (-1) ta được:

(1.72)(1.73)

Với

Như vậy từ phương trình (1.73) ta có :

(1.74)

Do đó tích phân J được xem như là tỷ lệ giải phóng năng lượng phi tuyến

5.3 Sự bất biến của tích phân J

Tích phân J được xem là một đường độc lập khi :

 Không có lực thể tích bên trong miền lấy tích phân

 Không có áp lực lên mặt vết nứt

 Ứng xử của vật liệu là đàn hồi (tuyến tính hoặc phi tuyến)

 Trong trường hợp có lực thể tích hoặc có áp lực lên mặt vêt nứt thì một vài thông

số khác phải được thêm vào tích phân

Tích phân J =0 đối bất kỳ đường biên kín, đối với tích phân đường biên bao quanhvết nứt,lúc này tích phân J sẽ khác 0 và trở thành tích phân đường độc lập

5.4 Tiêu chuẩn phá hủy thứ ba

Cũng giống như hai tiêu chuẩn phá hủy trên, khi giá trị của tích phân J vượtquá một giá trị cực đại Jc Jc cũng được coi như độ bền phá hủy theotiêu chuẩn năng lượng đối với vật liệu đàn hồi dẻo

5.5 Mối quan hệ giữa J, K và G

Đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính, tích phân J cũng giống như tỷ lệ nănglượng giải phóng G, cả hai đều có mối liên hệ với hệ số cường độ ứng suất nhưsau :

(1.75)

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

1 Giới thiệu về phương pháp phần tử hữu hạn

1.1 Khái niệm chung

Trong cơ học vật rắn, với các kết cấu phức tạp việc giải các bài toán cơ họcchúng ta thường gặp các bài toán yêu cầu xác định trường giá trị của một haynhiều đại lượng nào đó (chuyển vị, ứng suất, biến dạng…) trong một miền xácđịnh Khi xây dựng mô hình toán học cho kết cấu thực tế thường nhận đượcmột hay một hệ phương trình vi phân Với miền xác định, điều kiện biên và cácngoại lực phức tạp thì việc giải quyết bài toán bằng phương pháp giải tích là

không khả thi mà cần phải sử dụng các phương pháp số như phương pháp sai

phân hữu hạn, phương pháp phần tử hữu hạn, phần tử biên…

Trong các phương pháp trên, phương pháp phần tử hữu hạn là một phươngpháp mạnh trong việc phân tích kết cấu cơ học

Phương pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phương pháp số, đặc biệt

có hiệu quả để tìm dạng gần đúng của một hàm chưa biết trong miền xác định Vcủa nó dựa trên ý tưởng chia một vật thể phức tạp thành các phần tử nhỏ có kếtcấu đơn giản

Cơ sở của phương pháp này là làm rời rạc hóa các miền liên tục phức tạpcủa bài toán Các miền liên tục được chia thành nhiều miền con (phần tử).Các miền này được liên kết với nhau bởi các điểm nút Trên miền con này, dạngbiến phân tương đương với bài toán được giải xấp xỉ dựa trên các hàm xấp xỉtrên từng phần tử, thoả mãn điều kiện trên biên cùng với sự cân bằng và liên tụcgiữa các phần tử

Các hàm xấp xỉ này được biểu diễn qua các giá trị của hàm (hoặc giá trị củađạo hàm) tại các điểm nút trên phần tử Các giá trị này được gọi là các bậc tự docủa phần tử và được xem là ẩn số cần tìm của bài toán

Ưu điểm của phương pháp PTHH là có thể dùng nó để giải các bài toán kĩthuật phức tạp, dễ dàng công thức hóa và số hóa bài toán kỹ thuật, có thể ứngdụng để giải các bài toán phi tuyến Đồng thời Phương pháp PTHH có các

bước giải được hệ thống hóa rõ ràng nên được ứng dụng rộng rãi Tuy nhiênnhược điểm của phương pháp PTHH là kết quả tìm được chỉ mang tính xấp xỉ

và phụ thuộc vào các dạng phần tử và mật độ các phần tử được chọn Để khắcphục những nhược điểm này ta có thể áp dụng các phương pháp kiểm tra nhưtính toán lại bằng tay hay dùng thí nghiệm kiểm chứng lại

1.2 Nội dung của phương pháp

Để giải một bài toán biên trong miền V, ta chia thành một số hữu hạn các miềncon V e (e = 1, , n) sao cho hai miền con bất kì không giao nhau và chỉ có thể chungnhau đỉnh hoặc các cạnh Mỗi miền con V e được gọi là một phần tử hữu hạn

Người ta tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán biên ban đầu trong một không gian hữuhạn chiều các hàm số thoả mãn điều kiện khả vi nhất định trên toàn miền V Có thểchọn cơ sở của không gian này gồm các hàm số ψ1(x), , ψn(x) có giá trị trong một sốhữu hạn phần tử V e ở gần nhau Nghiệm xấp xỉ của bài toán ban đầu được tìm dướidạng:

c1ψ1(x) + + cnψn(x)Trong đó các ck là các số cần tìm

Thông thường, việc tìm các hệ số ck người ta đưa về việc giải một phương trìnhđại số với ma trận thưa (chỉ có các phần tử trên đường chéo chính và trên một sốđường song song nằm sát với đường chéo chính là khác không) nên dễ giải Có thể lấycạnh của các phần tử hữu hạn là đường thẳng hoặc đường cong để xấp xỉ các miền códạng hình học phức tạp Phương pháp phần tử hữu hạn có thể dùng để giải gần đúngcác bài toán biên tuyến tính, phi tuyến và các bất phương trình

Thông thường với bài toán cơ vật rắn biến dạng và cơ kết cấu tùy theo ýnghĩa vật lý của hàm xấp xỉ, người ta có thể phân tích bài toán theo 3 dạng môhình sau:

 Trong mô hình tương thích: Người ta xem chuyển vị là đại lượng cần tìm trước

và hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phân tử Các

ẩn số được xác định từ hệ phương trình được thiết lập trên cơ sở nguyên lý thếnăng toàn phần dừng, hay nguyên lý biến phân Lagrange

 Theo mô hình cân bằng: Hàm xấp xỉ được biểu diễn dạng gần đúng phân bố của

ứng suất hay nội lự trong phần tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trìnhthiết lập trên cơ sở nguyên lý năng lượng hệ toàn phần dừng hay nguyên lý biếnphân về ứng suất (Nguyên lý Castigliano)

 Theo mô hình hỗn hợp: Coi các đại lượng chuyển vị ứng suất là 2 yếu tố độc

lập Các hàm xấp xỉ biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứngsuất trong phân tử Các ẩn số được xác định từ hệ phương trình thiết lập trên cơ

sở nguyên lý biến phân Reisner

Sau khi tìm được các ẩn số bằng việc giải một phương trình đại số vừanhận được thì cũng có nghĩa là ta tìm được các xấp xỉ biểu diễn đại lượng cầntìm trong tất cả các phần tử Và từ đó cũng tìm ra được các đại lượng còn lại

1.3 Trình tự phân tích bài toán theo phương pháp phần tử hữu hạn

Bước 1 : Rời rạc hóa miền khảo sát

Trong bước này miền khảo sát V được chia thành các miền con V e haythành các phần tử có dạng hình học thích hợp

Hình 2.1 – Mô hình các phần tử đơn giản

Với các bài toán cụ thể số phần tử, hình dạng hình học của phần tử cũngnhư kích thước các phần tử được xác định rõ Số điểm nút của mỗi phần tửkhông lấy được một cách tùy tiện mà tùy thuộc vào hàm xấp xỉ định chọn

Bước 2 : Chọn hàm xấp xỉ thích hợp

Vì đại lượng cần tìm chưa biết, nên ta giả thiết dạng xấp xỉ của nó sao chođơn giản đối với tính toán bằng máy tính nhưng phải thỏa mãn các tiêu chuẩnhội tụ và thường chọn ở dạng đa thức

Rồi biểu diễn hàm xấp xỉ theo tập hợp giá trị và có thể cả các đạo hàm của

Bước 4: Ghép nối các phần tử trên mô hình tương thức mà kết quả là hệ thống phương trình

(2.2)Trong đó:

: Ma trận độ cứng tổng thể (hay ma trận hệ số toàn miền)

: Vectơ tập hợp các giá trị đại lượng cần tìm tại các nút (còn gọi làvectơ chuyển vị nút tổng thể)

: Vectơ các số hạng tự do tổng thể (hay vectơ tải tổng thể )Rồi sử dụng điều kiện biên của bài toán, mà kết quả nhận được là hệphương trình sau:

(2.3)Đây chính là phương trình hệ thống hay còn gọi là hệ phương trình để giải

Bước 5: Giải phương trình đại số

(2.4)Với bài toán tuyến tính việc giải hệ phương trình đại số là không khó khăn Kếtquả là tìm được chuyển vị của các nút

Nhưng với bài toán phi tuyến thì nghiệm sẽ đạt được sau một chuỗi các bướclặp mà sau mỗi bước ma trận cứng thay đổi (trong bài toán phi tuyến vật lý)hay vectơ lực nút thay đổi (trong bài toán phi tuyến hình học)

Bước 6:Hoàn thiện: Tính giá trị của các đại lượng còn lại (ứng suất, biến dạng…)

1.4 Hàm xấp xỉ - Hàm dạng - Phép nội suy

1.4.1 Hàm xấp xỉ

Ý tưởng của phương pháp này là cần tìm các hàm thỏa mãn điều kiện biên

và xấp xỉ hóa đại lượng cần tìm tại điểm bất kỳ trong miền xác định V Ứngdụng vào phương pháp PTHH, chúng ta cần tìm các hàm thỏa mãn điều kiệnbiên của các phần tử tức là các hàm này cho kết quả đúng tại các nút của phần

tử và xấp xỉ hóa đại lượng cần tìm tại điểm bất kỳ trong miền con Vj.Điều nàycho phép ta khả năng thay thế việc tìm nghiệm vốn phức tạp trên toàn miền Vbằng việc tìm nghiệm trong phạm vi mỗi phần tử ở dạng hàm xấp xỉ đơn giản

Và vì vậy bước quan trọng đầu tiên cần nói đến là việc chọn hàm xấp xỉ đơngiản, thường chọn ở dạng đa thức vì những lý do sau:

 Đa thức khi được xem như một tổ hợp tuyến tính của các đơn thức thì tập hợpcác đơn thức thỏa mãn yêu cầu độc lập tuyến tính

 Hàm xấp xỉ dạng đa thức thường dễ tính toán, dễ thiết lập công thức khi xâydựng các phương trình của PPPTHH và tính toán bằng máy tính Đặc biệt vì dễđạo hàm, tích phân

 Có khả năng tăng độ chính xác bằng cách tăng số bậc của đa thức xấp xỉ (về mặt

lý thuyết thì đa thức bậc vô cùng sẽ cho nghiệm chính xác) Tuy nhiên trong thực

tế ta cũng chỉ lấy các đa thức xấp xỉ bậc nhất mà thôi

1.4.2 Phép nội suy

Trong phương pháp PTHH , các hệ số trong các hàm đa thức xấp xỉ được biểudiễn qua các giá trị của nó (cả những giá trị đạo hàm) tại các điểm nút được định trướctrên mỗi phần tử

Nói cách khác là hàm xấp xỉ được nội suy theo các giá trị ( hoặc cả các đạohàm) của nó tại các nút phần tử Kết quả là, trong phạm vi mỗi phần tử đạilượng cần tìm là hàm bất kì sẽ được xấp xỉ hóa bằng một đa thức nội suy quacác giá trị (hoặc cả các đạo hàm) của nó tại điểm nút của phần tử

Hình 2.2 – Dạng nội suy của các hàm xấp xỉ theo phương pháp Lagrange

Nội suy hằng số:

(2.5)Nội suy tuyến tính :

(2.6)Nội suy bậc hai :

Viết dưới dạng ma trận: (2.12)Hay:

(2.13)Trong đó : gọi là ma trận các đơn thức

gọi là véc tơ các tọa độ tổng quát hay véc tơ các tham số

Bài toán 2 – D (hai chiều)

là vec tơ các tham số hay vec tơ tọa độ tổng quát

1.4.4Chọn bậc của đa thức xấp xỉ hay hàm xấp xỉ

 Các đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn điều kiện hội tụ:

Do phương phápPTHH là một phương pháp số và do đó phải đảm bảo đượcrằng khi kích thước phần tử giảm đi thì kết quả sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác.Muốn vậy đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn 3 điều kiện sau:

 Liên tục trong phần tử ( ) Điều này hiển nhiên thỏa mãn khi xấp xỉ là đa thức

 Bảo đảm tồn tại trong phần tử trạng thái đơn vị (hằng số) và đạo hàm riêng của

nó đến bậc cao nhất mà phiếm hàm đòi hỏi

 Vì như ta đã biết, Phương pháp PTHH có thể được xem như một phương phápxấp xỉ khi cực tiểu hóa một hàm dạng:

(2.18)

 Trên biên phần tử, u và các đạo hàm của nó đến cấp (r-1) là liên tục

Với cơ học vật rắn biến dạng và kết cấu, các yêu cầu này có thể được hiểunhư yêu cầu liên tục của biến dạng, nói cách khác là phần tử biến dạng không

có sự đứt, gãy Như với dầm, tấm, vở đòi hỏi cả chuyển vị và đạo hàm cấp 1của chuyển vị là liên tục Nếu đa thức xấp xỉ thảo mãn tất cả 3 điều kiện này, thìnghiệm xấp xỉ sẽ hội tụ tới nghiệm chính xác khi sử dụng lưới phần tử mịn hơn.Tuy nhiên để thấy được điều này khi mịn hóa lưới phần tử cũng cần tuân theocác qui tắc sau:

 Lưới sau được mịn hơn trên cơ sở lưới trước, các điểm nút lưới trước cũng cómặt trong tập hợp các nút lưới sau

 Các phần tử có khích thước nhỏ hơn trước nhưng dạng hình học của phần tửvẫn phải như dạng cũ

 Dạng đa thức xấp xỉ là không đổi trong quá trình mịn hóa lưới phần tử

 Các đa thức xấp xỉ được chọn sao cho không làm mất tính đẳng hướng hình

học.

 Dạng đa thức được chọn từ tam giác Passcal ( cho bài toán 2 chiều), thápPasscal cho bài toán 3 chiều