phương pháp dùng hàm biến thực để nghiên cứu các không gian nội suy

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010 Học viên Bùi Văn Anh Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn... Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên ht

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tìnhcủa PGS.TSKH Nguyễn Minh Trí Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và lòng thànhkính nhất đến Thầy Thầy không chỉ hướng dẫn em nghiên cứu khoa học mà cònthông cảm, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trìnhlàm luận văn

Cũng nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đã động viên tôitrong quá trình học tập Tôi xin cảm ơn vợ của tôi, người đã bên tôi, động viên vàtạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tâp và nghiên cứu

Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các thầy, cô giáo trong viện Toán họcViệt Nam và các thầy, cô giáo trong khoa sau Đại học, khoa Toán trường Đại học

Sư Phạm - Đại học Thái Nguyên đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình emhọc tập tại trường

Bản luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Emrất mong được sự góp ý của các thầy cô và các đồng nghiệp để luận văn được hoànthiện hơn

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010

Học viên

Bùi Văn Anh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết các không gian nội suy được bắt đầu nghiên cứu một cách có hệ thốngbởi J.Peetre [6], J.L.Lions [5] và A.P.Calderon [2] và các chuyên gia khác từ nhữngnăm 1960 Những định lý của Riesz - Thorin và Marcinkiewicz là những kết quả sơkhai, nền tảng cho lý thuyết nội suy Lý thuyết nội suy được ứng dụng trong nhiềunhánh của Giải tích Gần đây trong công trình của T.Tao, một bất đẳng thức nộisuy cũng đã được dùng bởi [4]

Trong luận văn này tôi sẽ giới thiệu phần cơ sở của lý thuyết nội suy Tài liệutham khảo chính được sử dụng là quyển sách [3] Trong quyển sách này nhiều định

lý không được chứng minh trọn vẹn, bởi vậy có nhiều chỗ chúng tôi phải chứng minhchi tiết và chặt chẽ Luận văn gồm ba chương Trong Chương 1, chúng tôi trình bàycác khái niêm và tính chất cơ bản của không gian Sobolev Trong Chương 2, chúngtôi trình bày các khái niệm và tính tính chất cơ bản của không gian nội suy Chương

3 là chương quan trọng nhất của luận văn, trình bày phương pháp nội suy thực.Chúng tôi trình bày phương pháp - K và phương pháp - J, Định lý tương đương củahai phương pháp đó, những tính chất cơ bản của không gian Aθ,q, Định lý quan hệ,Định lý đảo, một công thức cho phương pháp nội suy - K, Định lý compact và cácứng dụng của phương pháp nội suy vào không gian Sobolev, không gian Lp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN SOBOLEV1.1 Định nghĩa.

1.1.1 Chuẩn Sobolev Chúng ta định nghĩa một hàm ||.||m,p, ở đây m là một sốnguyên dương và 1 ≤ p ≤ ∞, như sau

||u||m,p=

X

(a) Hm,p(Ω) ≡ làm đầy {u ∈ Cm(Ω) : ||u||m,p < ∞}, với chuẩn ||u||m,p,

(b) Wm,p(Ω) ≡ {u ∈ Lp(Ω) : Dαu ∈ Lp(Ω) với 0 ≤ |α| ≤ m}, ở đây Dαu là đạo hàmsuy rộng,

(c) W0m,p(Ω) là bao đóng của không gian C0∞(Ω) trong không gian Wm,p(Ω)

Hiển nhiên W0,p(Ω) = Lp(Ω), và nếu 1 ≤ p < ∞ thì W00,p(Ω) = Lp(Ω) bởi vì C0∞(Ω)trù mật trong Lp(Ω) Với mọi m, chúng ta có dãy phép nhúng

W0m,p(Ω) → Wm,p(Ω) → Lp(Ω)

1.2 Các tính chất

1.2.1 Định lý Wm,p(Ω) là một không gian Banach

Chứng minh Cho un là một dãy Cauchy trong không gian Wm,p(Ω) Thì Dαun

là một dãy Cauchy trong không gian Lp(Ω) với 0 ≤ |α| ≤ m Vì Lp(Ω) là khônggian định chuẩn đầy đủ nên tồn tại hàm u và uα, 0 ≤ |α| ≤ m, sao cho un → u và

Dαun→ uα trong Lp(Ω) khi n → ∞ Ta có Lp(Ω) ⊂ L1loc(Ω) vì vậy un xác định mộtdãy Tun ∈ D0(Ω) Với mọi φ ∈ D(Ω), theo bất đẳng thức H¨older ta có

|Tun(φ) − Tu(φ)| ≤

Z

Ω

|un(x) − u(x)||φ(x)|dx ≤ ||φ||p0||un− u||p,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ở đây p0 là số liên hợp của p Do đó Tun(φ) → Tu(φ) với mọi φ ∈ D(Ω) khi n → ∞.Tương tự, TDα u n(φ) → Tuα(φ) với mọi φ ∈ D(Ω) Do đó

1.2.2 Hệ quả Hm,p(Ω) ⊂ Wm,p(Ω)

Chứng minh Xét tập hợp S = {φ ∈ Cm(Ω) : ||φ||m,p < ∞}, thì S là tập con của

Wm,p(Ω) Vì Wm,p(Ω) là đầy đủ, nên ánh xạ đồng nhất trên S có thể thác triển lênmột phép đẳng cự từ bao đóng của S trong Wm,p(Ω) đến Hm,p(Ω)(làm đầy của S)

Vì vậy ta có thể đồng nhất Hm,p(Ω) với bao đóng đó 

1.2.3 Định lý Cho A là một tập con của Rn và cho A là lớp các tập mở trong Rnphủ A, nghĩa là, A ⊂S

U ∈AU Thì có một lớp Ψ của các hàm ψ ∈ C0∞(Rn) có nhữngtính chất dưới đây

(i) Với mọi ψ ∈ Ψ và với mọi x ∈ Rn, 0 ≤ ψ(x) ≤ 1

(ii) Nếu K b A, mọi hàm ψ ∈ Ψ đều triệt tiêu trên K

(iii) Với mọi ψ ∈ Ψ tồn tại U ∈ A sao cho supp(ψ) ⊂ U

(iv) Với mọi x ∈ A, ta có P

ψ∈Ψψ(x) = 1

Ta gọi Ψ là một C∞ -phân hoạch đơn vị của A theo phủ mở A

Chứng minh Trước hết giả sử A là compact Khi đó có một lớp hữu hạn cáctập hợp trong A sao cho nó phủ A, tức là A ⊂ SN

j=1Uj Ta có thể xây dựngđược các tập compact Kj, j = 1, 2, , N mà Kj ⊂ Uj, j = 1, 2, , N sao cho

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

ở đậy kí hiệu A0 là phần trong của tập A Hiển nhiên Aj là một phủ của Aj

và vì vậy có một C∞ - phân hoạch đơn vị Ψj của Aj theo phủ mở Aj Tổngσ(x) =P∞

j=1

P

φ∈ψ jφ(x) chỉ gồm hữu hạn những số hạng khác không với mỗi x ∈ A.Khi đó Ψ = {ψ : ψ(x) = φ(x)σ(x), với φ ∈ Ψj nếu x ∈ A, ψ(x) = 0, x /∈ A} có những tínhchất của định lý

Cuối cùng, nếu A bất kì, thì A ⊂ B, với B là hợp tất cả các tập U ∈ A, B làtập mở Với mọi phân hoạch đơn vị của B thì cũng là phân hoạch đơn vị của A 

1.2.4 Bổ đề Cho Jε được định nghĩa trong 2.28[1], 1 ≤ p < ∞ và u ∈ Wm,p(Ω).Nếu Ω0 là một tập con compact đóng trong Ω, thì limε→0+Jε∗ u = u trong Wm,p(Ω0)

Chứng minh Cho ε < dist(Ω0, ∂Ω), và ˜u là sự mở rộng của u bên ngoài Ω Nếu

Chứng minh Theo Hệ quả 1.4 ta chỉ cần chứng minh Wm,p(Ω) ⊂ Hm,p(Ω), tức làphải chứng minh {φ ∈ Cm(Ω) : ||φ||m,p < ∞} trù mật trong Wm,p(Ω) Thật vậy nếu

u ∈ Wm,p(Ω) và ε > 0, thì luôn tồn tại φ ∈ C∞(Ω) sao cho ||φ − u||m,p < ε, do đó

0 (Uk) và P∞

k=1ψk(x) = 1 trên Ω

Nếu 0 < ε < (k+1)(k+2)1 , thì Jε∗ (ψku) có giá trong Vk = Ωk+2 ∩ (Ωk−2)c b Ω Vì

ψku ∈ Wm,p(Ω) nên chúng ta có thể chọn εk thoả mãn 0 < εk< (k+1)(k+2)1 , sao cho

||Jεk ∗ (ψku) − ψku||m,p,Ω= ||Jεk ∗ (ψku) − ψku||m,p,Vk < ε

2k.Đặt φ =P∞

k=1Jεk ∗ (ψku) Trên một tập bất kỳ Ω0 b Ω chỉ có hữu hạn số hạng củatổng đó khác không Vì vậy φ ∈ C∞(Ω)

Theo Định lý 1.48[1] về sự hội tụ đều thì ||u − φ||m,p,Ω < ε 

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

CHƯƠNG 2 NHỮNG TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA

KHÔNG GIAN NỘI SUYTrong chương này chúng ta đưa ra một số định nghĩa và kí hiệu cơ bản Chúng

ta thảo luận một vài kết quả tổng quát của không gian nội suy Một điều quan trọng

là định lý Aronszajn-Gagliardo

2.1 Phạm trù và hàm tử

Một phạm trù C cấu tạo từ các vật A, B, C, và các cấu xạ R, S, T, Giữa cácvật và các cấu xạ có quan hệ được định nghĩa, T : A → B và S : B → C thì có mộtcấu xạ ST là tích của S và T, sao cho ST : A → C thoả mãn luật kết hợp sau(1) T (SR) = (T S)R

Hơn nữa, với mọi vật A trong C, có một cấu xạ I = IA, sao cho với mọi cấu xạ

T : A → A ta có

(2) T I = IT = T

Trong phần này chúng ta thường làm việc với phạm trù các không gian vectơtôpô Cấu xạ là các ánh xạ liên tục, ST là ánh xạ tích, I là ánh xạ đồng nhất Vớiphạm trù các không gian vectơ tôpô chúng là các toán tử tuyến tính liên tục.Cho C1 và C là hai phạm trù Hàm tử F từ C1 vào C, nghĩa là, mọi vật A trong

C1 và F (A) trong C, mọi cấu xạ T trong C1 tương ứng với cấu xạ F (T ) trong C Nếu

T : A → B thì F (T ) : F (A) → F (B) và

(3) F (ST ) = F (S)F (T ),

(4) F (IA) = IF (A)

2.2 Không gian vectơ định chuẩn

Trong phần này chúng ta xét phạm trù các không gian vectơ tôpô

Cho A là một không gian vectơ thực hoặc phức Thì A được gọi là một không gianvectơ định chuẩn nếu có một hàm(một chuẩn) ||.||A xác định trên A sao cho

(1) ||a||A ≥ 0 và ||a||A= 0 nếu a = 0,

(2) ||λa||A= |λ|||a||A, λ là một hằng số,

(3) ||a + b||A ≤ ||a||A+ ||b||A

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Nếu A là một không gian vectơ định chuẩn thì có một tôpô trên A Một lân cậncủa phần tử a là tập hợp tất cả các phần tử b thuộc A sao cho ||b − a||A < ε vớihằng số ε > 0.

Cho A và B là hai không gian vectơ định chuẩn Một ánh xạ T từ A vào Bgọi là một toán tử tuyến tính bị chặn nếu với mọi a, b ∈ A và mọi λ ∈ K ta có

T (λa) = λT (a), T (a + b) = T (a) + T (b) và

||T ||A,B = sup

a6=0

||T a||B

||a||A .Hiển nhiên toán tử tuyến tính bị chặn là liên tục và ta cũng dễ dàng chứng minhđược không gian tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ từ A vào B là một khônggian vectơ định chuẩn với chuẩn ||.||A,B

Chúng ta xét phạm trù N tất cả các không gian vectơ định chuẩn Các vật trong

N là các không gian vectơ định chuẩn và các cấu xạ là các toán tử tuyến tính bịchặn Hiển nhiên N là phạm trù con của phạm trù các không gian vectơ tôpô

2.2.1 Bổ đề Giả sử A là một không gian vectơ định chuẩn Thì A là đầy đủ nếu vàchỉ nếuP∞

k=1||an||A< ∞ kéo theo có một phần tử a ∈ A sao cho ||a−PN

n=1an||A→ 0khi N → ∞

Chứng minh Giả sử A là đầy đủ và P ||an||A hội tụ Xét dãy bν = Pν

n=1anthì (bν) là một dãy Cauchy trong A, do A đầy đủ nên (bν) hội tụ về a ∈ A, suy ra

P∞

n=1an= a ∈ A

Ngược lại, giả sử (aν) là một dãy Cauchy trong A Khi đó với mỗi n ∈ N, tồn tại knsao cho với mọi l, m ≥ kn ta đều có ||al− am||A< 21n, như vậy ta được dãy (aνj) saocho ||al − am||A < 21j suy ra P∞

j=1aνj− aνj−1 thuộc A, suy ra dãy

2.3 Cặp không gian.

Cho A0 và A1 là hai không gian vectơ tôpô Ta nói A0 và A1 là cặp so sánh đượcnếu có một không gian vectơ tôpô Hausdorff A sao cho A0 và A1 là không gian concủa A Thì có các tổng A0+ A1 và giao A0∩ A1 Tổng xét tất cả các phần tử a ∈ Asao cho có thể viết dưới dạng a = a0+ a1 với a0 ∈ A0 và a1 ∈ A1

2.3.1 Bổ đề Giả sử A0 và A1 là một cặp không gian vectơ định chuẩn so sánhđược Thì A0 ∩ A1 là một không gian vectơ định chuẩn với chuẩn được định nghĩanhư sau

(1) ||a||A0∩A1 = max(||a||A0, ||a||A1)

Hơn nữa, A0+ A1 cũng là một không gian vectơ định chuẩn với chuẩn,

(2) ||a||A0+A1 = infa=a0+a1(||a0||A0 + ||a1||A1)

Nếu A0 và A1 là đầy đủ thì A0∩ A1 và A0+ A1 cũng là các không gian đầy đủ

Chứng minh

*) Chứng minh A0∩ A1 là không gian vectơ định chuẩn

Với mọi a ∈ A0∩A1, ta có ||a||A0∩A1 ≥ 0 và ||a||A0∩A1 = 0 ⇔ ||a||A0 = 0 và ||a||A1 = 0

⇔ a = 0

Với mọi a ∈ A0∩ A1, λ ∈ K, ta có

||λa||A0 = |λ|||a||A0 và ||λa||A 1 = |λ|||a||A1, suy ra

||λa||A0∩A1 = max(|λ|||a||A0|λ|||a||A1) = |λ|||a||A0∩A1

Với mọi a, b ∈ A0∩ A1, ta có

||a + b||A0 ≤ ||a||A0 + ||b||A0 và ||a + b||A1 ≤ ||a||A1 + ||b||A1

Từ đó suy ra

||a + b||A0∩A1 ≤ max(||a||A0 + ||b||A0, ||a||A1 + ||b||A1) ≤ ||a||A0∩A1 + ||b||A0∩A1

Vậy A0∩ A1 là không gian vectơ định chuẩn

*)Chứng minh A0+ A1 là không gian vectơ định chuẩn

Hiển nhiên ||a||A 0 +A 1 ≥ 0 với mọi a ∈ A0+ A1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Với mọi a, b ∈ A0+ A1, a = a0+ a1, b = b0+ b1,ta có

||a0+ b0||A0 + ||a1+ b1||A1 ≤ ||a0||A0 + ||a1||A1 + ||b0||A0 + ||b1||A1 nên

n=1a0nhội tụ trong A0 và chuỗi

Như vậy chuỗi P∞

n=1an hội tụ trong A0 + A1, suy ra A0 + A1 là không gian địnhchuẩn đầy đủ

*)Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được A0 ∩ A1 là không gian định chuẩn đầy

đủ 

Cho C là phạm trù con của của phạm trù các không gian tuyến tính định chuẩn

N , chúng ta giả sử ánh xạ T : A → B là ánh xạ tuyến tính bị chặn từ không giantuyến tính định chuẩn A vào không gian tuyến tính định chuẩn B Gọi C1 là phạmtrù các cặp so sánh được A = (A0, A1) nghĩa là A0 và A1 là so sánh được và A0+ A1

và A0∩ A1 là các không gian trong C1, cấu xạ T : (A0, A1) → (B0, B1) trong C1 làtoán tử tuyến tính bị chặn từ A0+ A1 vào B0 + B1 sao cho

TA0 : A0 → B0 và TA1 : A1 → B1 là các ánh xạ trong C

Ở đây, TA có nghĩa là hạn chế của T trên không gian con A

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Ví dụ 1 Pham trù C = B các không gian Banach và coi C1 là tất cả các cặp

so sánh được (A0, A1) Theo Mệnh đề 2.3.1 chúng ta có, nếu A0 và A1 là cặp so sánhđược thì A0+ A1 và A0∩ A1 cũng là các không gian Banach

Ví dụ 2 Phạm trù C tất cả các không gian L1,w định nghĩa bởi chuẩn

||f ||L1,w =

Z

|f (x)|w(x)dx

ở đây w(x) > 0 Ta có L1,w 0 ∩ L1,w 1 = L1,w 0, với w0(x) = max(w0(x), w1(x)) và

L1,w0+ L1,w1 = L1,w00, trong đó w00(x) = min(w0(x), w1(x)), chúng ta coi C1 là tất cảcác cặp (L1,w0, L1,w1)

2.4 Định nghĩa không gian nội suy

Trong phần này C có nghĩa là phạm trù con của N sao cho C là đóng đối với toán

tử tổng P và giao 4 Chúng ta coi C1 là phạm trù tất cả các cặp so sánh được Acủa không gian C

2.4.1 Định nghĩa Cho A = (A0, A1) là một cặp trong C1 Khi đó, một không

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

gian A sẽ được gọi là một không gian trung gian giữa A0 và A1 nếu

Với bao hàm liên tục Không gian A được gọi là không gian nội suy giữa A0 và A1

(hay đối với cặpA) nếu thêm điều kiện

(2) T : A → A kéo theo T : A → A

Tông quát, cho A và B là hai cặp trong C1 Ta nói rằng hai không gian A và B

là không gian nội suy với cặp A và B nếu A và B là các không gian trung gian đốivới A và B và

+) 4(A) và 4(A) là các không gian nội suy đối với cặp A và B

+) P(A) và P(A) là các không gian nội suy đối với cặp A và B

Thật vậy, chỉ cần chọn A = 4(A) (hoặc A =P(A)) và B = 4(B)(hoặc B = P(B))

Ta nói A và B là các không gian nội suy chính xác nếu điều kiện sau xảy ra(4) ||T ||A,B ≤ max(||T ||A0,B0, ||T ||A1,B1)

A và B là các không gian nội suy đều nếu điều kiện sau xảy ra

Định lý Riesz-Thorin nói rằng Lp là không gian nội suy giữa Lp 0 và Lp 1 mà chínhxác của số mũ θ nếu

2.4.2 Định lý Xét phạm trù B Giả sử A và B là các không gian nội suy đối với

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

cặp A và B Khi đó A và B là các không gian nội suy đều.

Chứng minh Xét tập hợp tất cả các ánh xạ T trong C1 sao cho T : A → B

Vì vậy T là toán tử tuyến tính bị chặn từ A vào B Biểu thị này được trang bị chuẩn

max(||T ||A,B, ||T ||A0,B0, ||T ||A1,B1) bởi L1, và tương đương với chuẩn max(||T ||A0,B0, ||T ||A1,B1)bởi L2 Dễ dàng kiểm tra L1 và L2 là các không gian Banach.(Sử dụng tính chất

không gian trung gian.) Ánh xạ đồng nhất i : L1 → L2 hiển nhiên là song ánh tuyến

tính bị chặn Theo Định lý Banach i−1 : L2 → L1 cũng bị chặn Điều này có nghĩa là

||T ||A,B ≤ max(||T ||A,B, ||T ||A0,B0, ||T ||A1,B1) ≤ C max(||T ||A0,B0, ||T ||A1,B1)

Với C độc lập với T, nghĩa là A và B là các không gian nội suy đều 

2.4.3 Định nghĩa Một hàm tử nội suy (hoặc một phương pháp nội suy) trên

C có nghĩa là một hàm tử F : C1 → C thoả mãn nếu A và B là cặp trong C1, thì

F (A) và F (B) là không gian nội suy đối với cặp A và B Hơn nữa chúng ta có

F (T ) = T với mọi T : A −→ B

Ta nói F là hàm tử nội suy đều(tương tự chính xác) nếu F (A) và F (B) là không

gian nội suy đều(tương tự chính xác) đối với cặp A và B

Ta nói F là hàm tử nội suy chính xác của số mũ θ nếu F (A) và F (B) là không gian

nội suy chính xác của số mũ θ

Theo Định lý 2.4.2 mọi hàm tử nội suy F trên B là đều, có nghĩa là ||T ||F (A),F (B)≤

C max(||T ||A0,B0, ||T ||A1,B1) với C là hằng số và nó phụ thuộc vào cặp A và B

Thật vậy, vì F là hàm tử nội suy nên F (A) và F (B) là không gian nội suy, và do ta

xét trên pham trù các không gian Banach nên F (A) và F (B) nội suy đều, suy ra F

là hàm tử nội suy đều

Nếu C không phụ thuộc vào cặp A và B ta nói rằng F là hàm tử nội suy bị chặn

Chú ý C = 1 thì F là hàm tử nội suy chính xác

2.5 Định lý Aronszajn-Gagliardo

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2.5.1 Định lý( Aronszajn-Gagliardo) Xét phạm trù B của tất cả các khônggian Banach Cho A là một không gian nội suy với cặp A Khi đó tồn tại một hàm

tử nội suy đều F0 trên B thoả mãn F0(A) = A

Chú ý rằng F0(A) = A có nghĩa là F0(A) và A có phần tử như nhau và chuẩn trênchúng tương đương

Chứng minh Trước hết cho X = (X0, X1) là một cặp trong B1

Nếu T : A → X chúng ta có

||T ||A,X = max(||T ||A0,X0, ||T ||A1,X1)thì X = F0(X) được viết bởi x ∈ P(X) có cách biểu diễn x = PjTjaj, trong đó

Tj : A −→ X, aj ∈ A

Đặt NX(x) =P

j||Tj||A,X||aj||A Ta có NX(x) là một chuẩn trên X

*)Trước hết ta chứng minh X là không gian trung gian đối với cặp X

Để chứng minh 4(X) ⊂ X, chúng ta xét ϕ là một phiếm hàm tuyến tính bị chặntrên P(A) sao cho ϕ(a1) = 1 với a1 ∈ A cố định

Cho x ∈ 4(X) cố định, đặt T1a = ϕ(a)x (1), khi đó

||T1a||Xj = ||ϕ(a)x||Xj = |ϕ(a)|||x||Xj ≤ C||a||P(A)||x||Xj

(do ϕ bị chặn trênP(A) nên ||ϕ|| ≤ C và |ϕ(a)| ≤ ||ϕ||.||a||P(A))

Ta có ||T1||Aj,Xj ≤ C.||x||Xj, suy ra ||T1||A,X = max(||T1||Aj,Xj)

Sử dụng Mệnh đề 2.2.1, giả sửP∞

ν=0||x(ν)||X hội tụ thì chuỗi P∞

ν=0||x(ν)||P(X) cũnghội tụ, vì X ⊂P(X), suy ra chuỗi P∞ν=0x(ν)= x ∈P(X), (vì P(X) là đầy đủ).Cho x(ν)=P

jTj(ν)a(ν)j là biểu diễn thoả mãnP

j||Tj(ν)||A,X.||a(ν)j ||A< ||x(ν)||X+2−ν,

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Cuối cùng, với sự biểu diễn đó chúng ta có

||x −Pn

ν=0x(ν)||X ≤ P∞

ν=n+1

P∞ j=0||T(ν)||A,X

j||A ≤ P∞

ν=n+1(||x(ν)||X + 2−ν) →0(n → ∞) Như vậy x =P∞

ν=0x(ν)∈ X, suy ra X là không gian định chuẩn đầy đủ.Tiếp theo ta chứng minh F0 là hàm nội suy chính xác

jSTjaj là một biểu diễn của Sx

Ta có ||STj||A,Y ≤ ||S||Xj,Yj||Tj||A,X ≤ max(M0, M1)||Tj||A,X do đó

P

j||STj||A,Y||aj||A≤ max(M0, M1)||Tj||A,X||aj||A với mọi aj ∈ A,

suy ra ||Sx||Y ≤ max(M0, M1)||x||X, suy ra ||S||Y ≤ max(M0, M1)

Vậy F0 là một hàm tử nội suy chính xác

*) Chứng minh F0(A) = A

Nếu a ∈ F0(A) có biểu diễn a = P

jTjaj, ở đây Tj : A → A thì ||Tjaj||A ≤C.||Tj||A,A.||aj||A Vì vậy A là một không gian nội suy với cặp A và A là đóng phùhợp với Định lý 2.4.2 và ||a||A ≤ P

j||Tj||A,A.||aj||A = ||a||A, suy ra A ⊂ F0(A) 

2.5.2 Hệ quả Xét phạm trù B Cho A là một không gian nội suy với cặp A

và cho F0 là một hàm tử nội suy được xây dựng trong chứng minh của Định lý 2.5.1.Thì F0(X) ⊂ G(X) với bất kì hàm tử nội suy G thoả mãn G(A) = A

jTjaj là một biểu diễn của x ∈ X = F0(X) thì

Tj : A → X Đặt Y = G(X), vì A và Y là các không gian nội suy đều với cặp

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

A và X nên ta có ||Tjaj||Y ≤ C.||Tj||A,X.||aj||A, ở đây

||Tj||A,X = max(||Tj||A0,X0, ||Tj||A1,X1)

Do đó ||x||Y ≤ C.P

j||Tj||A,X.||aj||A theo định nghĩa của không gian X thì X ⊂ Y,suy ra F0(X) ⊂ G(X) 

2.6 Một điều cần thiết cho không gian nội suy

Trong phần này chúng ta xét phạm trù C = N của tất cả các không gian tuyếntính định chuẩn C1 là phạm trù tất cả các cặp so sánh được của C

Với t > 0 cố định, đặt

K(t, a) = K(t, a, A) = inf

a=a 0 +a 1

(||a0||A0 + t||a1||A1), a ∈X(A)

J (t, a) = J (t, a, A) = max(||a||A0, t||a||A1), a ∈ 4(A)

Ta chứng minh K(t, a) và J (t, a) là các chuẩn tương ứng trênP(A) và 4(A)

*) Chứng minh K(t, a) là chuẩn trên P(A)

Với mọi a ∈P(A) có biểu diễn a = a0+ a1, a0 ∈ A0, a1 ∈ A1 thì do ||a0||A 0 ≥ 0 và

||a1||A1 ≥ 0 nên K(t, a) ≥ 0, ngoài ra K(t, a) = 0 khi ||a0||A0 = ||a1||A1 = 0 tức tà

Với mọi a = a0+ a1, b = b0+ b1, ∈P(A),

do ||a0+ b0|| + t||a1+ b1|| ≤ ||a0|| + t||a1|| + ||b0|| + t||b1|| nên

Vậy K(t, a) là một chuẩn trênP(A)

*) Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được J (t, a) là chuẩn trên 4(A)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

2.6.1 Định lý Cho A và B là các không gian nội suy đều với cặp A và B Khi đónếu

J (t, b) ≤ K(t, a) với mọi t ∈ K, a ∈ Athì

b ∈ B, ||b||B ≤ C.||a||A.Hơn nữa nếu A và B là các không gian nội suy chính xác thì C = 1

Chứng minh Cho a ∈ A, b ∈ B và t ∈ K Xét toán tử tuyến tính T (x) = f (x)b, ởđây f là một phiếm hàm tuyến tính trên P(A) với f (a) = 1 và |f (x)| ≤ K(t,x)K(t,a) (Sựtồn tại của f là do Định lý Hanh-Banach)

Giả sử B là phạm trù các không gian Banach

2.7.1 Định lý Giả sử 4(A) là trù mật trong cả hai A0 và A1 thì

4(A)0 =X(A0) và X(A)0 = 4(A0)

Ở đây A0 = (A00, A01) và A0 là đối ngẫu của A

1, với mọi a0 = a00+ a01 ∈P(A0).

Suy ra |<a||a||0,a>|

4(A)

≤ ||a0||P(A0 ).Vậy a0 ∈ 4(A0) và ||a0||4(A)0 ≤ ||a0||P(A0 ) (*)

Ngược lại, lấy l ∈ 4(A)0 nghĩa là |l(a)| ≤ ||l||4(A)0||a||4(A), a ∈ 4(A)

l(a) = λ(a0, a1) =< a00, a > + < a01, a >=< a00+ a01, a >, a ∈ 4(A)

Do tính trù mật nên a00 và a01 xác định bởi giá trị trên 4(A) Đặt l = a00+ a01, ta có

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được

||a0||4(A0 ) = sup

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY THỰC

+) Ta có K(t, a) = infa=a0+a1(||a0||A0 + t||a1||A1) ≥ 0

+) Với 0 < t1 < t2 thì ||a0||A0 + t1||a1||A1 ≤ ||a0||A0 + t2||a1||A1

Suy ra K(t1, a) ≤ K(t2, a), suy ra K(t, a) tăng theo t > 0

+) Với t1, t2 > 0 và λ ∈ (0, 1) ta có

K(λt1 + (1 − λ)t2, a) = inf

a=a 0 +a 1

(||a0||A0 + (λt1+ (1 − λ)t2)||a1||A1)

= inf(λ||a1||A0 + λt1||a1||A1 + (1 − λ)||a0||A0 + (1 − λ)t2||a1||A1)

≤ λ(||a0||A0 + t1||a1||A1) + (1 − λ)(||a0||A0 + t2||a1||A1)

Do bắt đẳng thức trên đúng với mọi sự phân tích của a, nên

K(λt1+ (1 − λ)t2, a) ≤ λK(t1, a) + (1 − λ)K(t2, a)

Suy ra K(t, a) là hàm lõm đối với t

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

*)Chứng minh K(t, a) ≤ max(1,st)K(s, a) (*)

Nếu t ≤ s, suy ra ts ≤ 1, suy ra max(1, t

(||a0||A0 + t.||a1||A1) = K(t, a)

Vậy (*) đã được chứng minh

Hơn nữa, từ (1) ta có K(t, a) là một chuẩn tương đương trên P(A) với mỗi t > 0.Thật vậy, ta có ||a||P(A)= infa=a 0 +a 1(||a0||A 0 + ||a1||A 1) = K(1, a)

Nên với t > 0 thì K(t, a) ≤ max(1, t)K(1, a) = max(1, t)||a||P (A)

Và K(1, a) ≤ max(1,1t)K(t, a) ⇔ ||a||P(A) ≤ max(1,1

t)K(t, a)

Từ đó suy ra K(t, a) và K(1, a) = ||a||P(A) là tương đương trênP(A)

Ví dụ Hàm t → K(t, a), a ∈P(A) có một nội suy hình học như sau Xét tập hợpΓ(a) = {x = (x0, x1) ∈ R2|∃a0+ a1 = a, ai ∈ Ai, i = 0, 1; ||ai||Ai ≤ xi}

Dễ dàng kiểm tra được Γ(a) là một tập lồi trên R2 và

(2) K(t, a) = infx∈Γ(a)(x0+ tx1) = infx∈∂Γ(a)(x0+ tx1)

Thật vậy, lấy x = (x0, x1), y = (y0, y1) ∈ Γ(a) và λ ∈ (0; 1) Ta có

λx + (1 − λ)y = (λx0+ (1 − λ)y0, λx1+ (1 − λ)y1)

Theo giả thiết ∃a0+ a1 = a, b0+ b1 = a, với ai, bi ∈ Ai, i = 0, 1 sao cho

||ai||Ai ≤ xi, ||bi||Ai ≤ yi suy ra

||λa0+ (1 − λ)b0||A 0 ≤ λ||a0||A 0 + (1 − λ)||b0||A 0 ≤ λx0+ (1 − λ)y0 và

||λa0+ (1 − λ)b0||A0 ≤ λ||a0||A0 + (1 − λ)||b0||A0 ≤ λx0+ (1 − λ)y0

Suy ra tồn tại c0 = λa0 + (1 − λ)b0 ∈ A và c1 = λa1 + (1 − λ)b1 ∈ A sao cho

||c0|| ≤ λx0 + (1 − λ)y0, ||c1|| ≤ λx1+ (1 − λ)y1, suy ra λx + (1 − λ)y ∈ Γ(a)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Vậy Γ(a) là tập lồi trong R2, từ đây ta cũng có

Theo Bổ đề 3.1.1 chúng ta thấy rằng điều kiện là có nghĩa trong trường hợp 0 <

θ < 1, 1 ≤ q ≤ ∞ và 0 ≤ θ ≤ 1, q = ∞ Với những giá tri này của θ và q, chúng taxétAθ,q;K = Kθ,q(A) là không gian tất cả các phần tử a ∈P(A) sao cho (4) xảy ra.Chúng ta đặt

(5) ||a||θ,q;K = Φθ,q(K(t, a))

Trong định lý dưới đây được hiểu là, nếu T : A → B thì Kθ,q(T ) = T

3.1.2 Định lý Kθ,q là một hàm tử nội suy chính xác với số mũ θ trên phạm trù

N Hơn nữa, chúng ta có

(6) K(s, a; A) ≤ γθ,q.sθ||a||θ,q;K

Chứng minh Từ K(t, a; A) là một chuẩn trên P(A) và Φθ,q có tất cả ba tínhchất của chuẩn, dễ thấy rằng Kθ,q(A) là một không gian vectơ định chuẩn Để chứngminh (6) ta sử dụng công thức (1) của Bổ đề 3.1.1 mà ta có thể viết dưới dạng

min(1,t

s)K(s, a) ≤ K(t, a).

Áp dụng Φθ,q cho bất đẳng thức này, chúng ta có

Φθ,q(min(1,st)K(s, a)) ≤ Φθ,q(K(t, a)) = ||a||θ,q;K

hay Φθ,q(min(1,ts))K(s, a) ≤ ||a||θ,q;K

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Bây giờ chúng ta chú ý rằng, với s > 0 thì

∞ 1

Trong (6) với s = 1 thì K(1, a) ≤ γθ,q||a||θ,q;K,

tức là ||a||P(A)≤ γθ,q||a||θ,q;K, suy ra Kθ,q(A) ⊂P(A) (*)

Bao hàm thức 4(A) ⊂ Kθ,q(A) là hiển nhiên, vì từ K(t, a) ≤ min(1, t)||a||4(A)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Suy ra

||a||θ,q;K = Φθ,q(K(t, a))

= Φθ,q(min(1, t)||a||4(A))

= ||a||4(A)Φθ,a(min(1, t))

= ||a||4(A)Γθ,q.Suy ra 4(A) ⊂ Kθ,q(A) (**)

Từ (*) và (**) suy ra Kθ,q(A) là không gian trung gian giữa 4(A) và P(A)

+) Còn lại ta chứng minh Kθ,q(A) là một hàm tử nội suy với số mũ θ

ra Đặc biệt tính chất nội suy xảy ra với mọi toán tử T sao cho T (a0+ a1) = b0+ b1,

ở đây ||bj||Bj ≤ Mj||aj||Aj, j = 0, 1

Có một vài cách có ích khác nhau của phương pháp nội suy Kθ,q Trong mục nàychúng ta chỉ nói đến phương pháp Kθ,q rời rạc, chúng ta sẽ thay thế tính liên tụccủa biến t bởi biến ν Quan hệ giữa t và ν là t = 2ν Sự rời rạc này sẽ mở ra mộtphương pháp tốt hơn

Ta định nghĩa không gian λθ,q của tất cả các dãy (αν)∞−∞ sao cho

Ta có một định nghĩa phương pháp J mà tương đương với phương pháp K trong

phần trước Chúng ta sẽ xây dựng dưới đây

Với t > 0 cho trước, chúng ta đặt

J (t, a) = J (t, a; A) = max(||a||A0, t||a||A1), ∀a ∈ 4(A)

Hiển nhiên J (t, a) là một chuẩn trên 4(A)

3.2.1 Bổ đề Với mỗi a ∈ 4(A) thì J (t, a) là một hàm nhận giá trị không âm,

tăng và là hàm lồi theo t, thoả mãn

(1) J (t, a) ≤ max(1,t

s).J (s, a)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

(2) K(t, a) ≤ min(1,st).J (s, a).

Không gian Aθ,q;J = Jθ,q(A) được định nghĩa như sau

Những phần tử a ∈ Jθ,q(A) là thuộc P(A) mà có thể biểu diễn bởi

(3) a =R0∞u(t)dtt (hội tụ trong P(A)),

với u(t) là đo được với giá trị trong 4(A) và

(4) Φθ,qJ (t, u(t))< ∞

Ở đây chúng ta xét 0 < θ < 1, 1 ≤ q ≤ ∞ và 0 ≤ θ ≤ 1, q = 1 Ta đặt

(5) ||a||θ,q;J = infuΦθ,q J (t, u(t))
,

ở đây infimum lấy theo tất cả u sao cho (3) và (4) xảy ra

Chứng minh

+) Hiển nhiên J (t, a) ≥ 0, tăng theo t

+) Lấy t1, t2 > 0 tuỳ ý, và λ ∈ (0; 1), ta chứng minh

J (λt1+ (1 − λ)t2, a) ≤ λJ (t1, a) + (1 − λ)J (t2, a)

Ta có

J (λt1+ (1 − λ)t2, a) = max(||a||A0, (λt1+ (1 − λt2))||a||A1)

= max(λ||a||A0 + (1 − λ)||a||A0, λt1||a||A1 + (1 − λ)t2||a||A1)

≤ max(λ||a||A0, λt1||a||A1) + max((1 − λ)||a||A0, (1 − λ)t2||a||A1)

≥ max(||a||A0, t||a||A1) = J (t, a)

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn