phương pháp điều khiển tối ưu để giảm tác động các loại hóa chất độc hại dùng trong trồng trọt

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LÊ THỊ MINH TÂN PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐỂ GIẢM TÁC ĐỘNG CÁC LOẠI HÓA CHẤT ĐỘC HẠI DÙNG TRONG TRỒNG

Trang 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

LÊ THỊ MINH TÂN

PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐỂ GIẢM TÁC ĐỘNG CÁC LOẠI HÓA CHẤT ĐỘC HẠI

DÙNG TRONG TRỒNG TRỌT

Chuyên nghành: Khoa học máy tính

M· sè: 60.48.01

LUẬN VĂN THẠC SĨ: KHOA HỌC MÁY TÍNH

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS LÊ HUY THẬP

Thái Nguyên - 2010

Trang 2

Tôi xin cam đoan các số liệu và kết quả nêu trong Luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác Trừ các phần tham khảo đã được nêu rõ trong Luận văn

Tác giả

Lê Thị Minh Tân

Trang 3

Trước tiên, em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc của mình tới thầy Lê Huy Thập – Tiến sỹ, Nghiên cứu viên chính Viện Công nghệ thông tin, người đã tận tình giúp đỡ em hoàn thành luận văn tốt nghiệp này

Em xin bày tỏ sự biết ơn của mình tới các thầy, cô trong Viện Công nghệ thông tin và Khoa Công nghệ thông tin – Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt kiến thức, phương pháp khoa học và kinh nghiệm cho em trong suốt những năm học vừa qua

Em cũng xin cảm ơn người thân, bạn bè, đồng nghiệp, những người đã nhiệt tình ủng hộ, giúp đỡ, động viên em trong suốt thời gian tiến hành nghiên cứu và thực hiện luận văn

Trong luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót, hạn chế, em rất mong nhận được sự chỉ bảo, góp ý của các thầy cô và các bạn để có thể sửa chữa, hoàn thiện trong thời gian tới

Trang 4

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT iii

DANH MỤC CÁC BẢNG iii

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài 1

3 Phạm vi nghiên cứu và ứng dụng 1

4 Ý nghĩa khoa học 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc của luận văn 2

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ TỐI ƯU 3

1.1 Giới thiệu về bài toán tối ưu 3

1.2 Giới thiệu một số dạng bài toán tối ưu 3

1.2.1 Bài toán vận tải (BTVT) 5

1.2.1.1 Phát biểu bài toán 5

1.2.1.2 Sự tồn tại nghiệm tối ưu 7

1.2.1.3 Tiêu chuẩn nhận biết phương án cực biên 7

1.2.2 Bài toán cái túi 10

1.2.2.2 Thuật toán giải bài toán cái túi 10

1.2.3 Ứng dụng vào nghành nông nghiệp 11

1.2.4 Bài toán quy hoạch phi tuyến và nghiệm tối ưu của nó 13

1.2.4.2 Nghiệm tối ưu 15

CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU 19

Trang 5

2.1 Giới thiệu khái quát phương pháp giải bài toán điều khiển tối ưu bằng

phương pháp nhân tử Lagrange 19

2.1.1 Giới thiệu 19

2.1.2 Bài toán thiết kế hệ thống nối đất chống sét trong các công trình xây dựng 20

2.1.3 Bài toán xây dựng mạng cấp và phân phối nước tối ưu 22

2.2 Giới thiệu khái quát phương pháp quy hoạch động Belman 25

2.2.1 Phương pháp phương trình truy toán và các nguyên tắc cơ bản của quy hoạch động 25

2.2.1.1 Bài toán phân phối một chiều và phương pháp phương trình truy toán 25

2.2.1.2 Các nguyên tắc cơ bản của quy hoạch động 27

2.2.2 Quá trình nhiều giai đoạn và phương trình hàm 28

2.2.2.1 Quá trình nhiều giai đoạn 28

2.2.2.2 Xây dựng phương trình hàm 30

2.2.3 Sơ đồ tính 31

CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐỂ GIẢM TÁC ĐỘNG CỦA CÁC LOẠI HÓA CHẤT ĐỘC HẠI DÙNG TRONG TRỒNG TRỌT 32 3.1 Các lý luận và giả thiết để xây dựng bài toán 32

3.2 Phát biểu bài toán điều khiển tối ưu 33

3.2.1 Các ký hiệu và dẫn luận 33

3.2.2 Phát biểu bài toán điều khiển tối ưu 40

3.3 Giải bài toán điều khiển tối ưu 41

3.4 Phân tích mối quan hệ giữa các tham số 43

CÀI ĐẶT THỬ NGHIỆM 50

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN 53

TÀI LIỆU THAM KHẢO 54

Trang 6

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC BẢNG

sâu bệnh

36

đƣợc xử lý

37

Trang 7

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đã có một số mô hình nói về quan hệ giữa phát triển kinh tế và môi

trường như: [2], [6], [7],… được in vào các năm 1973, 1991,… Nhưng tất cả các công trình đã công bố trên chưa đề cập đến tác động của thiên dịch vào môi trường

Dựa vào các kết quả nghiên cứu mô hình, chúng ta có thể kịp thời đưa

ra giải pháp cải tạo công nghệ trồng trọt, công nghệ sản xuất và chiến lược sử dụng thuốc trừ sâu và các loại hoá chất độc hại khác đồng thời với việc bảo

vệ, phát triển số lượng, chất lượng thiên dịch nhằm để giảm lượng tồn dư thuốc trừ sâu, tránh thảm họa tràn ngập các chất thải hoá học trong môi trường sống như nước ngầm, sông ngòi, kênh rạch và không khí,…do đó tôi

tiến hành nghiên cứu đề tài: “Phương pháp điều khiển tối ưu để giảm tác

động các loại hóa chất độc hại dùng trong trồng trọt” nhằm bước đầu

nghiên cứu hướng giải quyết các vấn đề nói trên

2 Mục tiêu nghiên cứu và tính cấp thiết của đề tài

Luận văn đưa ra mô hình đánh giá dư lượng thuốc trừ sâu dựa trên các chỉ tiêu như: sự phát triển dân số, nhu cầu lương thực, sự phát triển của thiên dịch, cải tiến công nghệ sản xuất để tìm ra chiến lược giảm tối đa sử dụng thuốc trừ sâu tức là giảm tối đa tác hại vào môi trường sống

Trang 8

Trên cơ sở các tham số thu được, chúng ta nghiên cứu bài toán điều khiển tối ưu Sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange để giải bài toán điều khiển tối ưu đã đặt ra Từ đó tìm ra phương pháp cải tiến công nghệ và phát triển thiên dịch để đạt được mục tiêu của bài toán

4 Ý nghĩa khoa học

Kết hợp giữa phương pháp thống kê và bài toán điều khiển tối ưu với các kiến thức trồng trọt, môi trường, thiên dịch,… để đưa ra một mô hình điều khiển mới phục vụ cho công tác nghiên cứu môi trường

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp thống kê để tìm ra các tham số như: hệ số tăng trưởng của dân số, tăng trưởng của thiên dịch, tốc độ phân hủy của chất thải,…

- Sử dụng hai phương pháp quy hoạch động và phương pháp giải tích

để giải bài toán điều khiển tối ưu

6 Cấu trúc của luận văn

MỞ ĐẦU

CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU

CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU

CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ĐỂ GIẢM TÁC ĐỘNG CỦA CÁC LOẠI HÓA CHẤT ĐỘC HẠI DÙNG TRONG TRỒNG TRỌT

CÀI ĐẶT THỬ NGHIỆM

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trang 9

1.1 Giới thiệu về bài toán tối ưu

Bài toán tối ưu hóa tổng quát được phát biểu như sau:

Cực đại hóa (cực tiểu hóa) hàm:

D = xX g i(x)(,,)b i,i1,m

được gọi là miền ràng buộc (hay miền chấp nhận được) Mỗi điểm x = (x1,

x2, , xn) D được gọi là một phương án (hay một lời giải chấp nhận được) Một phương án x* D đạt cực đại (hay cực tiểu) của hàm mục tiêu, cụ thể là: f(x*) f(x), x D (đối với bài toán max)

f(x*) f(x), x D (đối với bài toán min)

được gọi là phương án tối ưu (lời giải tối ưu) Khi đó giá trị f(x*) được gọi là giá trị tối ưu của bài toán

1.2 Giới thiệu một số dạng bài toán tối ưu

Một trong những phương pháp hiển nhiên nhất để giải bài toán đặt ra là phương pháp điểm diện: tính giá trị hàm mục tiêu f(x) trên tất cả các phương

án, sau đó so sánh các giá trị tính được để tìm ra giá trị tối ưu và phương án tối ưu của bài toán Tuy nhiên, cách giải quyết này khó có thể thực hiện được,

Trang 10

ngay cả khi kích thước của bài toán (số biến n và số ràng buộc m) là không lớn, bởi vì tập D thông thường gồm một số rất lớn các phần tử, trong nhiều trường hợp còn là không đếm được

Vì vậy, phải có những nghiên cứu trước về mặt lý thuyết để có thể tách

ra từ bài toán tổng quát những lớp bài toán “dễ giải” Các nghiên cứu lý thuyết đó thường là:

- Nghiên cứu các tính chất của các thành phần bài toán (hàm mục tiêu, các hàm ràng buộc, các biến số, các hệ số,…);

- Các điều kiện tồn tại lời giải chấp nhận được;

- Các điều kiện cần và đủ của cực trị;

- Tính chất của các đối tượng nghiên cứu

Các tính chất của các thành phần của bài toán và đối tượng nghiên cứu giúp ta phân loại các bài toán Một bài toán tối ưu (quy hoạch toán học) được gọi là:

- Quy hoạch tuyến tính (QHTT) nếu hàm mục tiêu f(x) và tất cả các hàm ràng buộc gi(x), i = 1 ,m là tuyến tính Một trường hợp riêng quan trọng của QHTT là bài toán vận tải (BTVT);

- Quy hoạch tham số (QHTS) nếu các hệ số trong biểu thức của hàm mục tiêu và của các ràng buộc phụ thuộc vào tham số;

- Quy hoạch động (QHĐ) nếu các đối tượng xét là các quá trình có nhiều giai đoạn nói chung, hay các quá trình phát triển theo thời gian nói riêng;

- Quy hoạch phi tuyến (QHPT) nếu f(x) hoặc có ít nhất một trong các hàm gi(x) là phi tuyến hoặc cả 2 trường hợp đó cùng xảy ra;

- Quy hoạch rời rạc (QHRR) nếu miền ràng buộc D là tập rời rạc Trong trường hợp riêng khi các biến chỉ nhận giá trị nguyên ta có quy hoạch nguyên (QHN);

Trang 11

- Quy hoạch đa mục tiêu (QHĐMT) nếu trên cùng một miền ràng buộc

ta xét các hàm mục tiêu khác nhau

1.2.1 Bài toán vận tải (BTVT)

1.2.1.1 Phát biểu bài toán

Có m địa điểm A1, A2, , Am cùng sản xuất một loại hàng hóa với các lượng hàng tương ứng là a1, a2,… , am

Có n nơi tiêu thụ loại hàng đó B1, B2, ., Bn với các yêu cầu tương ứng là b1, b2, , bn

Để đơn giản ta sẽ gọi

Ai là điểm phát i, i = 1 ,m

Bj là điểm thu j, j = 1 ,n

Hàng có thể chở từ một điểm phát bất kỳ (i) đến một điểm thu bất kỳ (j)

Ký hiệu: cij – chi phí chuyên chở một đơn vị hàng từ điểm phát (i) đến điểm thu (j);

Trang 12

Định nghĩa: Vectơ X thỏa (1.9), (1.10) gọi là một phương án của BTVT

Một phương án đạt cực tiểu (1.8) gọi là phương án tối ưu

Trang 13

ứng với các xij > 0 là độc lập tuyến tính

1.2.1.2 Sự tồn tại nghiệm tối ưu

Định lý 1.1: Bài toán vận tải luôn có phương án tối ưu

Chứng minh :

1) Trước hết ta chứng minh bài toán vận tải luôn có phương án

2) Sau đó chứng minh rằng miền ràng buộc giới nội

S

b a

S

b a

1

= bj , j = 1 ,n

b) Vì các hệ số trong (1.5), (1.6) và các đại lượng trong ai, bj không âm và hữu hạn nên mọi xij đều bị chặn trên Thực vậy, xij không thể lớn hơn các số tương ứng ai hay bj

Vì vậy miền ràng buộc là khác rỗng và giới nội (ta có đa diện lồi) Đa diện này có một số hữu hạn đỉnh vì vậy theo thuật toán đơn hình, xuất phát từ một phương án cực biên, sau một số hữu hạn bước ta phải đi tới phương án cực biên tối ưu

1.2.1.3 Tiêu chuẩn nhận biết phương án cực biên

Lập 1 bảng T gồm m hàng và n cột Tại các ô (i, j) ta ghi các số cij

Trang 14

(i1, j1), (i2, j1), (i2, j2), , (is, js), (is+1, js) (1.12)

(đi theo cột trước) Mỗi cặp các ô liền nhau trong dây chuyền được xếp trong 1 hàng hoặc trong 1 cột

Dây chuyền được gọi là kín hay là 1 chu trình nếu:

Trang 15

Một phương án X của BTVT đã cho được gọi là không thoái hóa nếu G = m+n-1 Ngược lại gọi là thoái hóa nếu G < m+n-1

Nếu một tập hợp con thực sự của G lập thành chu trình thì ta có một chu trình con của G

Định lý 1.2: Hệ thống vector Pij của BTVT là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi các ô tương ứng với các vector của hệ thống không tạo thành chu trình

Chứng minh

Cần: Ký hiệu Pij = P ij(i, j)G Giả sử Pij là hệ độc lập tuyến tính, ta phải chứng minh G không lập thành chu trình

Bằng phản chứng, nếu có một chu trình tạo nên bởi các ô tương ứng với một

số vector của hệ Pij thì nó có dạng:

(i1, j1), (i1, j2), (i2, j2), , (is, js), (is, js+1) với js+1 = j1

Khi đó rõ ràng:

Pi1j1 - Pi1j2 + Pi2j1 - - Pisjs - Pisj1 = 0

Tức là hệ Pij phụ thuộc mâu thuẫn với giả thiết

Đủ: Giả sử G không lập thành chu trình Ta phải chứng minh hệ Pij là độc lập tuyến tính

Bằng phản chứng giả sử Pij là phụ thuộc tuyến tính Mỗi vector Pij có dạng:

(1,2, ,i, ,m,m1, ,mj, ,mn)

Với thành phần 1 mj= 1, còn các tọa độ khác bằng 0

Nếu hệ Pij phụ thuộc tuyến tính, tức là có một tổ hợp tuyến tính của các vector

Pij = 0 Điều đó chứng tỏ rằng các ô (i, j) tương ứng với hệ thống pij lập thành chu trình

Điều này trái với giả thiết Vậy hệ Pij là độc lập tuyến tính

Hệ quả: Vector X là phương án cực biên khi và chỉ khi tập các ô sử dụng

tương ứng không lập thành chu trình

Trang 16

Chứng minh Thật vậy, coi BTVT là một QHTT thì X là phương án cực biên

khi và chỉ khi các vector Pij ứng với xij > 0 là độc lập tuyến tính Theo định lý 1.2 thì điều đó xảy ra khi và chỉ khi tập các ô sử dụng tương ứng không lập thành chu trình

1.2.2 Bài toán cái túi

Một người du lịch muốn đem theo một cái túi nặng không quá b kg, có

kg và giá trị cj, người du lịch muốn chất vào túi các đồ vật sao cho tổng giá trị

j x c

n j x

b x a

j j

n

j j j

, 1 ,

, 1 , 0

1

1.2.2.2 Thuật toán giải bài toán cái túi

Ta sẽ xây dựng thuật toán giải bài toán cái túi dựa trên phương pháp quy hoạch động

Đối với mỗi số nguyên k và số (k = 1 ,n;   0 ,b) ta định nghĩa hàm số:

j

j x a x c

1 1

Chú ý rằng khi k = n và  = b ta có bài toán xuất phát Ở đây Fk( ) là

giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu khi các đồ vật được chọn từ k loại đầu tiên

và trọng lượng cái túi là 

(1.14)

(1.16)

Trang 17

Ký hiệu Z+ là tập các số nguyên không âm

1 1

,1,,



Tiếp tục quá trình ta sẽ tính được Fk(), k = 1,  0 ,b

1.2.3 Ứng dụng vào nghành nông nghiệp

Một loạt những bài toán thực tế nông nghiệp được đưa đến mô hình quy hoạch toán học, chẳng hạn đó là những bài toán về phân bổ hợp lý diện tích trồng trọt, về việc hợp lý hóa vỗ béo gia súc, về chuyên môn hóa sản xuất nông nghiệp, về sơ đồ làm việc của các máy nông nghiệp

ë đây chúng ta đưa ra 2 bài toán: bài toán kiện toàn cấu trúc hợp lý nghành chăn nuôi và bài toán xác định cơ cấu gieo trồng cây lương thực

Bài toán 1: Kiện toàn cấu trúc nghành chăn nuôi

Khả năng của chăn nuôi bị ràng buộc chủ yếu vào thức ăn Trong những lý luận dưới đây giả thiết rằng khẩu phần hợp lý để vỗ béo những loại gia súc khác nhau đã được xác định

Trang 18

Việc mô hình hóa bài toán đòi hỏi những ký hiệu sau:

x

s k

b x b

j

n

j

k j kj

, , 2 , 1 , 0

,

2 , 1 , 1

Bài toán 2: Cơ cấu gieo trồng cây lương thực

Trong những trường hợp khi mà những yêu cầu về lương thực cho người và về sản phẩm chăn nuôi đã cố định trước xuất hiện bài toán chuyên môn hóa gieo trồng cây lương thực Cần phải xác định diện tích được dùng cho những loại cây lương thực riêng sao cho với chi phí nhỏ nhất cũng thỏa mãn khẩu phần cần thiết của việc cung cấp lương thực Ở đây thường kể đến những ràng buộc về dự trữ lao động, về trạm máy kéo, về nhiên liệu, phân bón, về thủy nông và những yếu tố khác bảo đảm lương thực

Ta đưa vào những ký hiệu sau:

xj - lượng hecta ruộng dành cho cây lương thực loại j, j = 1, 2, ,n;

dj - diện tích trồng trọt cực đại mà do những điều kiện tự nhiên (chất đất, khí hậu) có thể dành cho loại cây thứ j;

dj - diện tích trồng trọt tối thiểu dùng cho cây lương thực thứ j theo yêu cầu cơ cấu lương thực;

Trang 19

aij - sản lượng thức ăn loại i trên một hecta trồng trọt loại cây thứ j, j =

bk - dự trữ những yếu tố sản xuất loại k;

cj - giá thành lương thực loại j từ một hecta trồng trọt;

xj - diện tích chung dành cho các loại cây lương thực

Bài toán xác định cơ cấu tối ưu trồng cây lương thực như vậy sẽ quy về xác định những đại lượng xj (j = 1, 2, ,n) sao cho dạng tuyến tính sau đạt cực tiểu:

j x c

1.2.4 Bài toán quy hoạch phi tuyến và nghiệm tối ưu của nó

Bài toán QHPT tổng quát có thể diễn tả dưới dạng:

x h

m i

x g

j

i

, , 2 , 1

; 0 ) (

, , 2 , 1

; 0 ) (

Trong đó ít nhất 1 trong các hàm f(x), {gi(x)}, {hj(x)} là phi tuyến

chuyển về bất đẳng thức  bằng cách nhân 2 vế với (-1)

Nếu bài toán chỉ có dạng (1.27) thì ta có bài toán QHPT không ràng buộc Có những khi ta gặp bài toán dạng như sau:

M = {x D g i(x)  0 ;h j(x)  0 ; i 1 , 2 , ,m; j 1 , 2 , ,p} (1.31)

(1.28) (1.29)

Trang 20

Trong đó D là tập lồi trong Rn

Nếu các hàm f(x), {gi(x)}, {hj(x)} là những hàm lồi thì ta có quy hoạch lồi, là một trường hợp riêng quan trọng của phi tuyến Nếu hàm f(x) là một dạng toàn phương, còn các ràng buộc là tuyến tính thì ta có quy hoạch toàn phương lại là 1 trường hợp riêng của quy hoạch lồi

Nhiều khi người ta biến đổi bài toán có ràng buộc về bài toán không có ràng buộc bằng cách dùng một hàm bổ trợ Hàm bổ trợ này biểu diễn qua các hàm số của bài toán và bản thân nó trở thành hàm mục tiêu có các cực tiểu không điều kiện trong một miền nào đấy Người ta thay đổi dần thông số, và chính bằng cách đó làm tăng ảnh hưởng của các ràng buộc lên hàm bổ trợ và như vậy, người ta xây dựng được 1 dãy bài toán không có ràng buộc mà nghiệm của chúng hội tụ đến nghiệm của bài toán xuất phát Để đơn giản ta nêu ra tư tưởng cơ bản một cách hình thức Xét bài toán:

f

1

)()()

Phép chọn đầu tiên thường liên quan đến các thủ tục, trong đó các ràng buộc chỉ thỏa mãn đối với nghiệm tối ưu tìm được, nghĩa là tận cùng các quá

Trang 21

trình Trong một cách chọn khác đòi hỏi ràng buộc được hoàn thành trong tiến trình của các quá trình

Trong một số trường hợp phương pháp trên được diễn tả như sau:

Chọn dãy {t(k)} sao cho tk  0 và tkkhi k Tính điểm cực tiểu

xk của hàm x,  (t k)đối với k = 1, 2, , trong các điều kiện tương ứng xk đó tồn tại và là điểm tối thiểu không điều kiện của hàm x,  (t k) Về nguyên tắc nhận được:

* limx x

k

k 



Phương pháp các nhân tử Lagrange, áp dụng cho bài toán ràng buộc đẳng thức:

Đây là phương pháp biến đổi bài toán (1.34), (1.35) về bài toán không

có ràng buộc Dễ thấy rằng phép biến đổi đó thực hiện một cách khá đơn giản bằng cách đặt j (t)=j(hằng số) và G(y) = y trong x,(t) Như vậy phương pháp các nhân tử Lagrange cổ điển là một ví dụ cổ điển của phương pháp hàm

bổ trợ không ràng buộc

1.2.4.2 Nghiệm tối ưu

Để cho gọn ta viết bài toán dưới dạng:

Min {f(x) xM}

Một điểm x* thỏa mãn:

f(x*)  f(x), xM gọi là một nghiệm tối ưu toàn cục của bài toán

Một điểm x‟ mà đối với nó tồn tại một lân cận W sao cho:

f(x‟)  f(x), xW gọi là nghiệm tối ưu cục bộ (địa phương)

Trang 22

Khi bài toán là quy hoạch lồi, nghĩa là hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc đều là các hàm lồi thì cực tiểu địa phương cũng là cực tiểu toàn cục Điều đó không còn đúng trong trường hợp tổng quát Một bài toán gọi là đa cực trị khi nó có nhiều điểm cực tiểu địa phương với các giá trị khác nhau của hàm mục tiêu

Khác với các bài toán tuyến tính và các bài toán quy hoạch lồi, trong các bài toán QHPT tổng quát, miền ràng buộc có thể không lồi, có thể vô hạn đỉnh, hàm mục tiêu có thể đạt cực trị không những ở trên biên mà cả ở trong miền ràng buộc và hơn nữa có thể có một số cực trị địa phương Các nguyên nhân đó cắt nghĩa cho việc không tồn tại các phương pháp chung cho phép giải bất kỳ bài toán QHPT nào

Nhưng mặt khác QHPT lại mở rộng rất nhiều khả năng đặt các bài toán

kỹ thuật và kinh tế thực tiễn Tiêu chuẩn trong các bài toán kế hoạch hóa tối

ưu thường là làm cực đại lợi nhuận, cực tiểu giá thành, cực tiểu chi phí cơ bản

và các biến biểu thị khối lượng sản xuất các loại sản phẩm khác nhau Trong

số các ràng buộc có đưa vào hàm sản xuất đặc trưng cho mối liên hệ giữa sản phẩm và chi phí nhân lực, vật liệu mà khối lượng của chúng chỉ có hạn Để giải quyết những bài toán như vậy bằng các phương pháp của QHTT thông thường ta phải giả thiết bằng lợi nhuận, giá thành, chi phí cơ bản cho một đơn

vị sản phẩm, cũng như chi phí riêng mỗi loại tài nguyên được xét là các hằng

số, không phụ thuộc vào khối lượng sản xuất Giả thiết như vậy trong nhiều trường hợp là đơn giản quá mức Trong thực tế giá thành và do đó (với giá không đổi) tiền lãi một đơn vị sản phẩm không như nhau với khối lượng sản xuất khác nhau Tăng sản lượng sản phẩm thường cho phép giảm giá thành của nó Chi phí cơ bản riêng trong chừng mực nhất định cũng phụ thuộc vào khả năng sản xuất Đưa những phụ thuộc như vậy vào bài toán kế hoạch hóa tối ưu sẽ là cho hàm mục tiêu của nó trở nên phi tuyến Với quy mô sản xuất

Trang 23

khác nhau, các chi phí về lao động, về tài sản cố định, vật liệu, nhiên liệu, điện năng tính cho một đơn vị sản phẩm không phải bao giờ cũng là hằng số Điều đó cũng nói lên sự cần thiết phải đưa các hệ thức phi tuyến vào hệ ràng buộc của bài toán kinh tế được giải như vậy, ngay việc phân tích tổng quát nhất vấn đề kế hoạch hóa tối ưu cũng xác nhận ý nghĩa thực tiễn của các phương pháp QHPT

Có nhiều phương pháp giải QHPT nên ta cần phân loại chúng Có thể chia ra 5 nhóm giải sau (để dễ lập luận ta giả sử xét bài toán min f(x))

1 Các phương pháp Gradien: Trong trường hợp bài toán không có ràng buộc phương pháp Gradien đã được nhà toán học Pháp là Côsi nêu ra Đối với trường hợp chung thực chất của phương pháp như sau: Ta đã biết rằng Gradien của hàm mục tiêu f(x) tại phương án x bất kỳ là vectơ nằm trong hướng tăng cục bộ của f(x) Vậy phải chuyển động theo hướng ngược với hướng Gradien của f(x), nghĩa là theo hướng giảm nhanh nhất Trên hướng đó

ta cứ đi, chừng nào hàm mục tiêu chưa tăng Sau khi tìm được điểm mới ta lại tìm hướng mới

2 Phương pháp hướng chấp nhận được: Thực chất của phương pháp là với mỗi điểm x thuộc miền ràng buộc có thể tồn tại một tập hướng chấp nhận được Chọn một trong các hướng chấp nhận được mà theo đó hàm mục tiêu giảm và không bao giờ đi ra khỏi miền ràng buộc

3 Phương pháp hàm phạt: Thực chất của phương pháp này là: biến đổi bài toán phi tuyến có ràng buộc thành 1 dãy các bài toán không có ràng buộc

Cụ thể là thay hàm f(x) bằng cách thêm vào những hàm trọng số (toàn bộ phần thêm gọi là hàm phạt) sao cho tại những điểm x mà trong 1 chừng mực nào đó còn thỏa mãn các ràng buộc thì giá trị của hàm phạt khá bé và sao cho:

f(x) f(x)* khi xx*

Trang 24

Khi dùng các phương pháp hàm phạt do giữ vững mối điều hòa giữa các ràng buộc và các hàm trọng số đó mà ta có thể đạt được hiệu quả tối ưu lớn nhất

4 Phương pháp tổ hợp và tìm kiếm ngẫu nhiên:

Hoặc nêu ra tất cả các phương án, hoặc tìm tiêu chuẩn bỏ bớt 1 số phương án mà chắc chắn chúng không cho nghiệm Thay việc giải bài toán phi tuyến bằng quá trình ngẫu nhiên theo kiểu xích Markov và dùng phương pháp Monter - Carlo (phương pháp thống kê)

5 Phương pháp cực tiểu hóa hàm lõm:

- Phương pháp cắt và phương pháp chia nón,

- Phương pháp xấp xỉ ngoài

6 Quy hoạch lồi đảo

Xét trường hợp miền ràng buộc D bị khoét: xD\int C (C lồi)

7 Phương pháp chuyển bài toán về quy hoạch D.C

Cơ sở của phương pháp này là xét các hàm liên tục f(x): MR có thể biểu diễn thành hiệu của 2 hàm lồi trên M, gọi là các hàm D.C

Một quy hoạch D.C là một bài toán cực trị có dạng:

Min {f(x): xD ; gi(x)  0 ;i 1 ,m} Trong đó D là tập lồi đóng trong Rn

và f, gi (i = 1 ,m ) là các hàm D.C

Trang 25

CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KHIỂN

TỐI ƯU

2.1 Giới thiệu khái quát phương pháp giải bài toán điều khiển tối ưu bằng phương pháp nhân tử Lagrange

2.1.1 Giới thiệu

Nếu trong các ràng buộc của QHPT không có ràng buộc bất đẳng thức

và các điều kiện không âm hay rời rạc của các biến, m < n; các hàm liên tục

và có đạo hàm ít nhất là cấp 2 thì bài toán có dạng:

Trang 26

Cụ thể là:

Nếu tại điểm dừng:

2.1.2 Bài toán thiết kế hệ thống nối đất chống sét trong các công trình xây dựng

Hệ thống nối đất chống sét trong các công trình xây dựng là một dàn lưới các thanh sắt đan hình chữ nhật , trong đó các thanh được hàn liền với nhau, đường chu vi của hình chữ nhật lại được hàn với các cọc sắt đóng sâu dưới đất

Kí hiệu:

l1- chiều dài thanh ngang ;

lc- chiều dài cọc;

n1- số thanh ngang ;

a- khoảng cách giữa thanh và các cọc ;

h- chiều sâu của rãnh để chôn dàn sắt ;

- góc nghiêng của thành rãnh so với mặt thẳng đ ứng (ở mặt rãnh thì mở, ở đáy rãnh thì thu hẹp bề ngang của rãnh lại );

p- điện trở suất của đất: p = 300m, R0 = 1

A Xây dựng hàm mục tiêu

Trong thành phần của hàm mục tiêu gồm :

1 Chi phí vật liệu cọc : k1

a

l1

4 lc, k1- tiền công đơn vị (đ/m);

Trang 27

2 Chi phí vật liệu thanh : k2n1l1, k2- giá vật liệu (đ/m);

3 Chi phí nhân công đào rãnh : k3V, trong đó k3- tiền công (đ/m3)

V =

2

2 4 ,

, k5- tiền công (đ/1 mối hàn)

Vậy hàm mục tiêu chi phí có dạng :

l p

l l n d

h

l h d

l a p

l l

c c c

c c

c

1

1 1 1

lg

73,2)44

34lg5,0

2(lg

4.73,

Trong đó: dc- độ dài của cọc

Trang 28

2.1.3 Bài toán xây dựng mạng cấp và phân phối nước tối ưu

- Hệ thống cấp nước bao gồm các nhà máy nước gắn với các hệ thống giếng khai thác Để xây dựng 1 nhà máy nước đòi hỏi phải biết nhiều lĩnh vực khác nhau như địa chất , thủy văn, thống kê…

- Hệ thống phân phối nước bao gồm các đường ống , trạm bơm và tháp nước Đặc trưng cho 1 đường ống là các thông số sau đây : độ dài ống, đường kính ống, độ nhám của ống , lưu lượng nước lưu thông , vận tốc dòng chảy , độ giảm á p, xác suất hư hỏng , giá thành đường ống Việc phân phối nước phụ thuộc vào các nút được chọn , lưu lượng phân phối trên các cạnh , nhu cầu của từng khu vực

Bài toán đặt ra là:

Xây dựng hệ thống cấp và phân phối nước đá p ứng yêu cầu thực tế sao cho tổng chi phí là ít nhất

Giải bài toán qua 2 giai đoạn:

Giai đoạn 1 Giải bài toán cân bằng thủy lực tìm phân phối ban đầu của mạng

Nội dung chính của phương pháp như sau :

Như ta đã biết tại mỗ i đỉnh của mạng lượng nước đi tới nút I phải bằng lượng nước từ đó truyền đi (hoặc lấy ra ) và trong một vòng độc lập tổng đại số của các độ giảm áp trên các cạnh của vòng bằng 0 Từ đó, ta lập được 1 hệ phương trình đại số với các ẩn số là các lượng nước q ij giữa các nút i và sau đó giải hệ phương trình này

Trang 29

   / ( 12 /  / )

Lik+ P(H0 + 

dđ ik

H0- thủy đầu của trạm cấp nước;

Hik - độ giảm trên cạnh (i, k);

Q- lưu lượng toàn phần;

P- tiêu chuẩn kinh tế;

Hàm W là một hàm 2 biến không lồi, không lõm, hơn nữa chiều của dòng chảy không được xác định trước cho nên không thể giải bài toán tối ưu theo cả 2 biến được

Có thể sử dụng một trong các cách tiếp cận sau:

kính của ống Đây là phương pháp của Mosnhin

Nhược điểm của phương pháp Mosnhin là chỉ cho nghiệm gần tối ưu

Cách 2 Xem xét các trạng thái làm việc của mạng – mỗi cạnh của mạng ứng

với 2 trạng thái làm việc: bình thường và không bình thường – tách ra những

Trang 30

trạng thái “trội” là những trạng thái mà ảnh hưởng của nó đến mạng mang tính chất quyết định Mục đích của phương pháp là đánh giá kỳ vọng thiếu hụt công suất và lưu lượng nước của hệ thống cấp và phân phối nước, trong đó để

ý đến các trạng thái trội Việc làm này giúp ta quản lý và vận hành hệ thống được tốt hơn Các công thức cơ bản là:

- Kỳ vọng thiếu hụt lưu lượng nước hàng năm:

m

i

i P x







1

trong đó pi – Xác suất để hệ thống tồn tại ở trạng thái i;

- Lượng thiệt hại hàng năm do cung cấp nước thiếu tin cậy gây nên:

n

j

j a E





 1

trong đó: E j- lượng thiếu hụt lưu lượng đối với nút j;

aj - suất thiệt hại do thiếu hụt lưu lượng đối với nút j

Cách 3 Xác định các nút quan trọng cần ưu tiên cung cấp nước (bệnh viện,

nhà máy nguyên tử, các xí nghiệp sản xuất lớn…) Đối với mỗi nút tiêu thụ ta tìm được 2 đường đi ngắn nhất từ nơi cung cấp nước tới nó Trên đường đi ngắn nhất 1 ta phân phối 75% lượng nước mà đỉnh nó cần thiết, còn trên đường thứ 2 phân phối 25% lượng nước còn lại Làm như vậy đối với tất cả các điểm ta sẽ thu được phân phối ban đầu thỏa mãn m - 1 phương trình cân bằng thủy lực tại các nút Sau đó bằng phương pháp Mosnhin giải bài toán với những qij cố định - tìm được đường kính dij tối ưu

Một cách tiếp cận khác của bài toán

Cho một mạng cấp nước gồm k nhà máy (trạm cấp) Mỗi một điểm cấp

và tiêu thụ nước sẽ được coi là một nút của mạng Giả sử các nhu cầu ở nút i

Định dạng
Số trang	60
Dung lượng	736,32 KB