phương pháp lặp giải bài toán không thuần nhất giữa phương trình elliptic và phương trình song điều hòa

20 2 Các phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán cấp hai và cấp bốn 24 2.1 Phương pháp lặp giải bài toán cấp hai trên tư tưởng chia miền... 2.1.2 Phương pháp chia miền giải bài t

ĐINH NHƯ NGỌC

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG THUẦNNHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG

TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2010

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐINH NHƯ NGỌC

PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG THUẦNNHẤT GIỮA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC VÀ PHƯƠNG

TRÌNH SONG ĐIỀU HÒA

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

Mục lục

1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm 4

1.1.1 Không gian Ck(Ω) 4

1.1.2 Không gian Lp(Ω) 4

1.1.3 Không gian W1,p(Ω) 5

1.1.4 Biên liên tục Lipschitz 7

1.1.5 Vết của hàm 8

1.1.6 Không gian Sobolev với chỉ số âm 11

1.2 Phương pháp lặp và các sơ đồ lặp cơ bản 12

1.2.1 Lược đồ lặp hai lớp 12

1.2.2 Lược đồ dừng, định lý cơ bản về sự hội tụ của phép lặp 15

1.3 Khái niệm nghiệm yếu đối với phương trình Elliptic cấp hai 17 1.3.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình 17

1.3.2 Phát biểu các bài toán biên 18

1.3.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu 20

2 Các phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ của bài toán cấp hai và cấp bốn 24 2.1 Phương pháp lặp giải bài toán cấp hai trên tư tưởng chia miền 24

2.1.1 Cơ sở của phương pháp chia miền 24

2.1.2 Phương pháp chia miền giải bài toán biên elliptic 28 2.2 Phương pháp xấp xỉ xác định giá trị biên đối với bài toán

song điều hòa 36

3 Bài toán không thuần nhất và phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ 45 3.1 Mô hình toán học của bài toán không thuần nhất 45

3.2 Phương pháp xấp xỉ dựa trên sơ đồ Dirichlet-Neumann 51 3.3 Phương pháp xấp xỉ dựa trên sơ đồ xấp xỉ biên 58

3.4 Các kết quả thực nghiệm 61

Kết luận 66

Danh mục công trình đã công bố 67

Tài liệu tham khảo 68

Phụ lục 84

Các ký hiệu

Rn Không gian Euclide n chiều

Ω Miền giới nội trong không gian Rn

Ck(Ω) Không gian các hàm có đạo hàm cấp k liên tục

L2(Ω) Không gian các hàm đo được bình phương khả tích

W1,p(Ω) Không gian Sobolev với chỉ số p

H1/2(∂Ω) Không gian Sobolev với chỉ số 1/2

H01(Ω) Không gian các hàm có vết bằng không trên ∂Ω

H−1(∂Ω) Không gian đối ngẫu với H01(Ω)

H−1/2(∂Ω) Không gian đối ngẫu với H1/2(∂Ω)

k kV Chuẩn xác định trên không gian V

(.)V Tích vô hướng xác định trên không gian V

Cγ(Ω) Hằng số vết

Mở đầu

Phương trình cấp bốn mà tiêu biểu là phương trình song điều hoàxuất hiện trong ngành cơ học chất rắn với mô hình chuyển dịch ngangcủa tấm đàn hồi hoặc trong ngành cơ học chất lỏng với mô hình dòngchảy với phương trình Navier-Stokes trong môi trường chất lỏng khôngnén được, khi được ghép với các phương trình bậc hai sẽ xuất hiện môhình không thuần nhất mô tả sự dịch chuyển ngang của cấu trúc tấmđàn hồi đa hợp mà nó được làm bởi hai thành phần khác nhau, mộtthành phần là tấm uốn và thành phần còn lại là màng mỏng Đây làmột mô hình hỗn hợp đang được các nhà toán học trên thế giới quantâm Năm 2005, trong tài liệu [4], tác giả P Gervasio đã mô tả mô hìnhtoán học của bài toán không thuần nhất và đưa ra phương pháp xácđịnh nghiệm gần đúng dựa trên một sơ đồ lặp Ngoài phương pháp trên,

để giải mô hình bài toán không thuần nhất có thể sử dụng phương phápphân rã bài toán về một bài song điều hoà và hai bài toán elliptic và

từ đó đề xuất sơ đồ lặp bằng cách xác định nghiệm xấp xỉ của bài toánsong điều hoà dựa trên phương pháp xấp xỉ biên và xác định nghiệm củahai bài toán elliptic trên cơ sở phương pháp chia miền Cơ sở lý thuyếtnày đã được một số tác giả Việt Nam đưa ra trong các năm qua

Nội dung chính của luận văn sẽ mô tả mô hình toán học của bài toán,nghiên cứu các phương pháp giải và đề xuất sơ đồ lặp xác định nghiệmxấp xỉ trên cơ sở phân hoạch về hai bài toán cấp hai và cấp bốn, thựchiện tính toán bằng số xác định nghiệm xấp xỉ Luận văn gồm 3 chương:Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về các không gian hàm

và đặc biệt là không gian Sobolev, các khái niệm cơ bản về nghiệm yếu

đối với phương trình elliptic, lý thuyết về phương pháp lặp giải phươngtrình toán tử Những kiến thức quan trọng này làm cơ sở để trình bày

và nghiên cứu về lý thuyết các mô hình toán học được trình bày trongcác chương tiếp theo của luận văn

Chương 2: Trình bày cơ sở của phương pháp chia miền tổng quát,các kết quả lý thuyết của phương pháp chia miền đối với phương trìnhelliptic cấp hai dựa trên tư tưởng xác định giá trị đạo hàm trên biênphân cách, lý thuyết về phương pháp xấp xỉ xác định giá trị biên đối vớibài toán song điều hòa Đây là những kết quả đã được các tác giả ViệtNam công bố trong các năm qua Các kết quả này là cơ sở lý thuyếtchính để đề xuất sơ đồ lặp tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán không thuầnnhất trong chương 3 của luận văn

Chương 3: Mô tả mô hình toán học của bài toán không thuần nhất,trình bày phương pháp xấp xỉ dựa trên sơ đồ Dirichlet-Neumann do tácgiả P Gervasio đề xuất Xuất phát từ các lý thuyết trong chương 2, luậnvăn đề xuất một phương pháp tìm nghiệm xấp xỉ mới đối với bài toánkhông thuần nhất bằng việc phân rã bài toán về 1 bài toán song điềuhoà và 2 bài toán elliptic tương ứng và từ đó xây dựng phương pháp lặpxác định nghiệm xấp xỉ, tính toán thử nghiệm trên máy tính điện tử.Phương pháp này có thể coi là ngược với phương pháp do P Gervasio

đã đưa ra

Các kết quả bằng số được lập trình trong môi trường MATLAB vớinhiều ví dụ khác nhau để kiểm tra tính đúng đắn của sơ đồ lặp đã đềxuất

Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránhkhỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp

ý kiến của các Thầy Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoànthiện

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS VũVinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làmluận văn

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô, các bạn bè, đồngnghiệp và gia đình đã luôn giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả trongsuốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Tác giả

Chương 1

Các kiến thức cơ bản

1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm

1.1.1 Không gian Ck(Ω)

Giả sử Ω là một miền bị chặn trong không gian Euclid n chiều Rn và

Ω là bao đóng của Ω Ký hiệu Ck(Ω), (k = 1, 2, ) là tập các hàm cóđạo hàm đến cấp k kể cả k trong Ω, liên tục trong Ω Ta đưa vào Ck(Ω)chuẩn

k u kCk (Ω)= X

pαp=k

trong đó α = (α1, α2, , αn) được gọi là đa chỉ số, là vecto với các tọa

độ nguyên không âm, | α |= α1 + α2 + + αn, Dαu = ∂

α 1 +α 2 + +α nu

∂xα1

1 ∂xαn

n

Sự hội tụ theo chuẩn này là sự hội tụ đều trong Ω của các hàm và tất

cả đạo hàm của chúng đến cấp k, kể cả k Tập Ck(Ω) với chuẩn (1.1) làmột không gian Banach

1.1.2 Không gian Lp(Ω)

Giả sử Ω là một miền trong Rn và p là một số thực dương Ta ký hiệu

Lp(Ω) là lớp các hàm đo được f xác định trên Ω sao cho

Z

Ω

Trong Lp(Ω) ta đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp trên Ω Nhưvậy các phần tử của Lp(Ω) là các lớp tương đương các hàm đo được thoảmãn (1.2) và hai hàm là tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắptrên Ω Vì

| f (x) + g(x) |p≤ (| f (x) | + | g(x) |)p ≤ 2p(| f (x) |p + | g(x) |p)nên rõ ràng Lp(Ω) là một không gian vecto Ta đưa vào Lp(Ω) phiếmhàm k kp được xác định bởi

k u kp=

ZΩ

Định nghĩa 1.2 Cho Ω là miền trong Rn Giả sử u(x), v(x) là hai hàmkhả tích địa phương trong Ω sao cho ta có hệ thức:

Rn Không gian Sobolev W1,p(Ω) được định nghĩa như sau:

W1,p(Ω) = {u | u ∈ Lp(Ω), ∂u

∂xi ∈ Lp(Ω), i = 1, 2, , n},trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng

Với p = 2, ta ký hiệu W1,2(Ω) = H1(Ω), nghĩa là

k ∂u

∂xi kLp (Ω) ii) Không gian H1(Ω) là không gian Hilbert với tích vô hướng

(u, v)H1 (Ω) = (u, v)L2 (Ω) +

nXi=1

1.1.4 Biên liên tục Lipschitz

Định nghĩa 1.4 Miền Ω được gọi là có biên liên tục Lipschitz nếu nógiới nội và tồn tại các hằng số dương α, β và một số hữu hạn m các hệtọa độ địa phương x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1 và m hàm ar(x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1), r =

1, 2, , m liên tục trong các khối n − 1 chiều K(r)

| x(r)i |< α, i = 1, 2, , n − 1sao cho:

i)Mỗi điểm x của biên ∂Ω có thể biểu diễn trong ít nhất một hệ toạ

độ dạng: x = (x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1, ar(x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1))

ii) Các điểm x = (x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1, x(r)n ) thoả mãn

| x(r)i |< α, i = 1, 2, , n − 1và

ar(x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1) < x(r)n < ar(x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1) + β,

hoặc

ar(x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1) − β < x(r)n < ar(x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1)

nằm trong Ω hoặc nằm ngoài Ω

iii) Mỗi hàm ar(x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1), r = 1, 2, , m thoả mãn điều kiệnLipschitz trên khối K(r), tức là với mọi (x(r)1 , x(r)2 , , x(r)n−1), (y1(r), y2(r), , yn−1(r) )

∈ K(r) tồn tại hằng số dương L sao cho

| ar(x(r)1 , , x(r)n−1)−ar(y1(r), , yn−1(r) ) |≤ L(x(r)1 −y(r)1 )2+ +(x(r)n−1−yn−1(r) )2

1

2.Chú ý 1.1 Miền có biên Lipschitz có pháp tuyến ngoài hầu khắp nơi,các hàm ar(x(r)1 , , x(r)n−1) có đạo hàm cấp một giới nội hầu khắp nơi

Ví dụ 1.1 Các miền đơn giản với biên liên tục Lipschitz: hình tam giác,hình tứ giác, hình vành khăn

Định lí 1.4 (Định lý nhúng)

Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz Khi đó:

Không gian H01(Ω) được định nghĩa bởi H01(Ω) = W01,2(Ω)

Định lí 1.5 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz Khi đó:

Định nghĩa 1.6 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz Không gian

H1/2(∂Ω) được gọi là miền giá trị của ánh xạ vết γ, tức là

H1/2(∂Ω) = γ(H1(Ω))

Khi đó, Cγ(Ω) được gọi là hằng số vết.

Bổ đề 1.2 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz Không gian H1/2(∂Ω)

Chứng minh.

Giả sử I là một khoảng trong Rn chứa Ω, u ∈ H01(Ω) Ta ký hiệu ˜u là

mở rộng bởi 0 của u vào I Ta có ˜u ∈ H01(Ω) và

k u kL2 (Ω)=k ˜u kL2 (I); k Ou kL 2 (Ω)=k O˜u kL2 (I) (1.6)

Để chứng minh định lý đúng với Ω là khoảng bất kỳ trong Rn, khôngmất tính tổng quát ta chứng minh định lý đúng với Ω = (0, a)n

Với mọi u ∈ C0∞(Ω) ta có

u(x) = u(x0, xn) =

Z x n 0

∂u

∂xn(x0, t) dt

Ta lại có

| u(x) |2=

Z xn0

∂u

∂xn(x

0, t) 1dt

... lặpgiải phương trình tốn tử Đây kiến thức quan trọng sử dụng

để nghiên cứu trình bày kết số phương pháp xác địnhnghiệm xấp xỉ phương trình elliptic cấp hai phương trình song? ?iều hồ, lý thuyết... 2

Các phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ toán cấp hai cấp bốn

2.1 Phương pháp lặp giải toán cấp hai tư

tưởng chia miền

2.1.1 Cơ sở phương pháp chia... yk, yk−1,

Phương pháp lặp gọi phương pháp lặp bước haibước xấp xỉ yk+1 tính thơng qua hai giá tr? ?lặp trước

Dạng tắc lược đồ lặp hai lớp

Bkyk+1