phương trình vi phân đại số chỉ số 1, 2 và phương trình liên hợp của nó

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMPHẠM THÁI SƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐỀ TÀI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 1, 2 VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHẠM THÁI SƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

ĐỀ TÀI

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 1, 2

VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01

Người hướng dẫn: TS Đào Thị Liên

Thái Nguyên - 2010

MỤC LỤC

Mục lục 1

Lời cảm ơn 2

Mở đầu 3

Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 1 VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ 6

1.1 Một số khái niệm cơ bản 6

1.2 Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 7

1.3 Phân rã phương trình 9

1.4 Các phép chiếu chính tắc 10

1.5 Cách giải phương trình vi phân đại số chỉ số 1 14

1.6 Phương trình liên hợp của phương trình chỉ số 1 17

1.7 Tính giải được duy nhất của phương trình liên hợp 18

1.8 Định nghĩa chỉ số cho phương trình liên hợp 26

1.9 Hệ nghiệm cơ bản 28

1.10 Mối quan hệ giữa các hệ nghiệm cơ bản 36

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CHỈ SỐ 2 VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ 40

2.1 Đặt vấn đề 40

2.2 Khái niệm cơ bản 43

2.3 Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình chỉ số 2 50

2.4 Các phép chiếu chính tắc 56

2.5 Ma trận cơ bản 57

2.6 Phương trình liên hợp 59

Kết luận 66

Tài liệu tham khảo 67

Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy côgiáo viện Toán học Việt Nam, các thầy cô giáo trong khoa sau Đại học vàkhoa Toán trường Đại học Sư Phạm - Đại Học Thái Nguyên đã dạy bảo

em tận tình trong suốt quá trình học tập tại trường

Bản luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếusót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô, các bạn đồngnghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2010

Học viên

Phạm Thái Sơn

MỞ ĐẦU

Trong vài thập kỷ gần đây, một vấn đề thời sự đang được nhiều nhà toánhọc quan tâm thuộc lĩnh vực phương trình vi phân, kể cả phương diện lýthuyết cũng như áp dụng, đó là phương trình vi phân đại số Phương trình

vi phân đại số được xuất phát từ nhu cầu giải quyết các bài toán thực tế kỹthuật và là sự mở rộng của phương trình vi phân thường

Luận văn này tập hợp các kết quả về phương trình vi phân đại số chỉ

số 1, chỉ số 2 và phương trình liên hợp của chúng Trong lý thuyết phươngtrình vi phân thường, xét phương trình:

z∗(t)x(t) = z∗(t0)x(t0)

Hoặc ta xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

dx

với A ∈ C(I, L(Cm, Cm)), trong đó I = [t0, +∞) Phương trình dạng

dy

với A∗(t) = A−T(t) được gọi là phương trình vi phân liên hợp của phươngtrình (3)

Trong trường hợp A suy biến ta có phương trình vi phân đại số Khi

đó người ta đã đạt được nhiều kết quả quan trọng về sự tồn tại duy nhấtcủa nghiệm của phương trình liên hợp cũng như các mối quan hệ giữa cácnghiệm cơ bản, trong đó đặc biệt đáng chú ý là đồng nhất thức Lagrange.Trong các bài báo [2] và [3], K.Balla đã chứng minh được rằng: mỗiphương trình vi phân đại số tuyến tính thuần nhất chỉ số 1 với các hệ sốkhả vi, tồn tại một phương trình vi phân đại số mà ta gọi là phương trình

vi phân đại số liên hợp của nó, sao cho với bất kỳ cặp nghiệm nào củaphương trình vi phân đại số gốc và phương trình vi phân đại số liên hợpđều thỏa mãn một đồng nhất thức mà nó có thể xem như một tương tự hóacủa đồng nhất thức Lagrange

Bài báo [1] của K.Balla và R.Marz đã phát triển tiếp các kết quả đã đạtđược của hai bài báo trên Bằng cách giảm nhẹ tính khả vi của các hệ số,các tác giả đã chỉ ra rằng phương trình liên hợp của phương trình vi phânđại số chỉ số 1 giải được chỉ khi tính trơn xuất hiện trong định nghĩa - điềukiện này yếu hơn tính khả vi của các hệ số Đồng thời các tác giả cũngchứng minh được một đồng nhất thức tương tự đồng nhất thức Lagrange,với các phép chiếu khả vi tùy ý, kết quả được trình bày trong không gianphức

Thay cho một ma trận duy nhất xảy ra trong thiết lập tiêu chuẩn, thuậtngữ đầu tiên của phương trình vi phân tuyến tính là sự xuất hiện của cặp

ma trận Khi đó khái niệm chỉ số được đưa ra cho các hệ phương trình Các

hệ số được giả thiết là liên tục và chỉ một vài không gian con có cùng sốchiều là phải khả vi liên tục Cách giải của bài toán có chỉ số cao hơn được

chứng minh nhờ vào phương trình có chỉ số thấp hơn Nghiệm đại diệnphải dựa trên nghiệm của một số phương trình vi phân thường chính quiđược xác định duy nhất bởi các dữ kiện của bài toán Các giả thiết cho cáchgiải phải thống nhất cả phương trình gốc và phương trình liên hợp của nó.

Cả hai phương trình có các chỉ số giống nhau và đồng thời triệt tiêu Matrận nghiệm cơ bản thỏa mãn mối ràng buộc là tổng quát hóa đồng nhấtthức Lagrange

Bản luận văn này được chia làm 2 chương:

Chương 1: Phương trình vi phân đại số chỉ số 1 và phương trình liênhợp của nó

Chương này trình bày các kiến thức cơ sở, khái niệm về phương trình viphân đại số chỉ số 1 và phương trình liên hợp của nó; chứng minh các tínhchất quan trọng của các phép chiếu chính tắc, chứng minh sự tồn tại duynhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình liên hợp.Chương 2: Phương trình vi phân đại số chỉ số 2 và phương trình liênhợp của nó

Chương này nêu ra các khái niệm về phương trình vi phân đại số chỉ số

2 và phương trình liên hợp của nó; đưa ra cách giải của bài toán giá trị banđầu đối với phương trình vi phân đại số chỉ số 2; trình bày mối quan hệgiữa các hệ nghiệm cơ bản của phương trình chỉ số 2 và phương trình liênhợp của nó

Do thời gian thực hiện luận văn không nhiều, kiến thức và kinh nghiệmnghiên cứu khoa học còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế và thiếu sót Tác giả mong nhận được sự góp ý và những ý kiếnphản biện của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ

CHỈ SỐ 1 VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN HỢP CỦA NÓ

1.1.1 Định nghĩa Phương trình

A(t)x0(t) + B(t)x(t) = q(t) (1.1.1)trong đó

+ A, B ∈ C(I, L(Cm, Cm)), detA(t) = 0, ∀t ∈ I

+ x = colon(x1, , xm), q(t) = colon(q1(t), , qm(t)),

được gọi là phương trình vi phân đại số tuyến tính

Phương trình vi phân đại số tuyến tính được gọi là có dạng chuẩn nếu

1.1.3 Định nghĩa Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của ma trận hằng A nếu

nó là số bé nhất thỏa mãn kerAk = kerAk+1 Kí hiệu chỉ số của ma trận A

là ind(A), thế thì

ind(A) = minnk : kerAk = kerAk+1o

1.1.4 Định nghĩa Cặp ma trận hằng {A, B} được gọi là chính quy nếu

det(zA + B) không đồng thời triệt tiêu với mọi z, tức là tồn tại z0 ∈ C saocho det(z0A+ B) 6= 0

1.1.5 Định nghĩa Nếu cặp {A, B} chính quy và det(cA + B) 6= 0 với mọi

c∈ C thì ind(cA + B)−1A được gọi là chỉ số của cặp {A, B} Như vậy

ind {A, B} = ind(cA + B)−1A với c ∈ C

1.2.1 Định nghĩa Phương trình

A(Px)0+ (B − AP0)x = q (1.2.1)trong đó A, B : I −→ L(Cm, Cm), f : I −→ Cm là những ma trận hàm thỏamãn các giả thiết sau:

(T1) dimimA(t) = r < m, ∀t ∈ I

(T2) Cặp ma trận (A(t), B(t)) là chính quy chỉ số 1 với ∀t ∈ I

(T3) Tồn tại một phép chiếu Q ∈ C1(I, L(Cm, Cm)) lên kerA,

được gọi là phương trình vi phân đại số tuyến tính chỉ số 1 chuyển được

(index-1 tractable).

1.2.2 Ví dụ Xét phương trình

A(Px)0+ (B − AP0)x = q (1.2.2)trong đó

m= 2, Q là phép chiếu bất kỳ lên kerA, P = I − Q.

là phép chiếu lên kerA

Thậy vậy, rõ ràng Q ∈ C1(I, L(C2, C2)) và ∀x ∈ kerA : x = (−tz, z)T thì

Qx= −t −t(t + 1)

−1 1 − t

!

−tzz

Vậy (1.2.2) là phương trình vi phân đại số chỉ số 1

1.2.3 Định nghĩa Giả sử A, B ∈ C(I, L(Cm, Cm)), q ∈ C(I, Cm) Một hàm

x ∈ C1A(I, Cm) được gọi là một nghiệm của phương trình (1.2.1) nếu nóbiến (1.2.1) thành đồng nhất thức

1.3 Phân rã phương trình.

i Xét phương trình (1.2.1) A(Px)0+ (B − AP0)x = q

Đặt B0 = B − AP0, A1 = A + B0Q Theo [8] Định lý 13 phụ lục A ta có A1khả nghịch Nhân hai vế của (1.2.1) lần lượt với PA−11 và QA−11 ta được

ii Ta có Lsz= z0+ (PA−11 B0− P0)z với z ∈ C1(I, Cm) là hoàn toàn xácđịnh và bài toán giá trị ban đầu







Lsz= g g∈ C(I, Cm)z(t0) = z0 t0 ∈ I, z0 ∈ Cm (1.3.3)

có nghiệm duy nhất trong C1(I, Cm) Hơn nữa, nghiệm z ∈ imP(t) nếu

z0 ∈ imP(t0) và g(t) ∈ imP(t) Thật vậy, do phương trình (1.2.1) khôngphụ thuộc vào cách chọn phép chiếu P nên Ls cũng không phụ thuộc vàocách chọn phép chiếu P Với g ∈ imP(t), ∃h : I → Cm sao cho g = Ph.Xét q = A1h ⇒ h = A−11 q ⇒ g = PA−11 q Ta có bài toán giá trị ban

có nghiệm duy nhất Px ∈ C1(I, Cm) Do tính duy nhất nghiệm của bài toángiá trị ban đầu đối với phương trình vi phân thường ta được z = Px ∈ imP.

˜

P∗ = ˜P, Q˜∗ = ˜Q, PQ˜ = P ˜Q= 0

⇒ P ˜P= P, PP˜ = ˜P, Q ˜Q = ˜Q, QQ˜ = Q,

AP0 = A(P2)0 = AP0(I − Q) + APP0 = 2AP0 = 2AP0− AP0Q

P∗ = AA+ Ta có ind {A∗(t), B∗(t)} = ind {A(t), B(t)} Dễ thấy

ind {A∗(t), −B∗(t)} = 1 và A∗1(t) khả nghịch ∀t ∈ I nên giả thiết (T2) đượcthỏa mãn Ta có

A∗1Q∗ = −B∗Q∗ ⇒ Q∗∗B= −Q∗∗A∗∗1

Hơn nữa

QA−11 = −A∗−1∗1 Q∗∗ (1.4.2)Thật vậy, nhân trái từng vế (1.4.2) với A∗∗1 và nhân phải từng vế (1.4.2)với A1 ta được

A∗∗1QA−11 A1 = A∗∗1Q= −Q∗∗BQ,

−A∗∗1A∗−1∗1 Q∗∗A1 = −Q∗∗(A + BQ − AP0Q) = −Q∗∗BQ.

Từ đó

Qs = QA−11 B= −A∗−1∗1 Q∗∗B= A∗−1∗1 Q∗∗A∗∗1, Ps = I − Qs = A∗−1∗1 P∗∗A∗∗1

(1.4.3)

Rõ ràng Qs= QA−11 Bkhông phụ thuộc cách chọn phép chiếu Q∗, nhưng

Qs = A∗−1∗1 Q∗∗A∗∗1 lại không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu Q Đểkhẳng định điều đó ta có bổ đề sau

1.4.2 Bổ đề Giả sử dimimP∗ = r, các phép chiếu Ps, Qs như trong (1.4.3)

là hoàn toàn xác định không phụ thuộc vào cách chọn phép chiếu Q hoặc

Q∗ Hơn nữa, dimimPs = r, dimimQs = m − r.

Chứng minh.

Theo chứng minh trên, rõ ràng Qs(Ps) là hoàn toàn xác định không phụthuộc vào cách chọn phép chiếu Q hoặc Q∗

dimimPs = dimimA∗−1∗1 P∗∗A∗∗1= dimimP∗∗ = r

(do dimimA∗−1∗1 = dimimA∗∗1= m) ⇒ dimimQs = m − r

1.4.3 Chú ý.

Qs = QA−11 B= A∗−1∗1 Q∗∗A∗∗1, Ps = A∗−1∗1 P∗∗A∗∗1= A∗−1∗1 (A∗1P∗)∗ = A∗−1∗1 A.Nói chung Q∗ 6= Q∗, P∗ 6= P∗, ˜P∗ 6= ˜P∗ (vì Q và Q∗ đều là các phép chiếutùy ý) Đặc biệt ta có

Chứng minh. Do Qs là phép chiếu chính tắc lên kerA nên imQs ⊂ kerA.Lại do dimimQs = m − r = dimkerA (theo Bổ đề 1.4.2) ⇒ imQs = kerA.

Từ công thức (1.4.2) QA−11 = −A∗−1∗1 Q∗∗ suy ra

A∗−11 Q∗ = −Q∗A−1∗1 ⊂ imQ∗ = kerA∗ ⇒ Q∗s = A∗−11 Q∗A∗1 ⊂ kerA∗

1.5 Cách giải phương trình vi phân đại số gốc chỉ số 1.

Ta viết lại phương trình (1.2.1) chỉ số 1 dưới dạng

Nghịch đảo của G1 là tồn tại và gộp với G−11 dẫn đến

P−(Px)0+ Q0x+ G−11 (B − AP0)P0x= G−11 q (1.5.1)Nhân P0 và Q0 lần lượt vào hai vế của phương trình (1.5.1) ta được

R(Px)0+ PG−11 (B − AP0)P0x= PG−11 q, (1.5.2)

Q0x+ Q0G−11 (B − AP0)P0x= Q0G−11 q (1.5.3)

Vì vậy, một nghiệm x ∈ CP1 (nếu nó tồn tại ) có thể có dạng

x= P0x+ Q0x= P−Px+ Q0x= (I − Q0G−11 (B − AP0))P−Px+ Q0G−11 q,trong đó Px thỏa mãn phương trình vi phân thường

(Px)0− R0Px+ PG−11 (B − AP0)P−1Px= PG−11 q (1.5.4)Phương trình sau là phương trình tương đương với phương trình (1.5.2) khi

RP= P Nhân 2 vế phương trình

u0− R0u+ PG−11 (B − AP0)P−u= PG−11 u (1.5.5)với (I − R) ta được

((I − R)u)0− (I − R)0(I − R)u = 0

Do đó, mỗi nghiệm u của phương trình (1.5.5) thỏa mãn u = Ru nếu

u(˜t) = R(˜t)u(˜t) đúng tại một số điểm ˜t ∈ I Nói cách khác, imR = imP códạng là một không gian con bất biến của phương trình (1.5.5)

1.5.1 Định nghĩa Phương trình (1.5.5) được gọi là phương trình vi phân

thường chính qui của phương trình (1.2.1) chỉ số 1

Để tiện cho các định lý sau ta gọi nó là chỉ số 1, tức là N0∩ S0= {0}, làtương đương với N0⊕ S0 = Cm Điều này cho phép ta xét một phép chiếuđặc biệt P0c lên S0 dọc theo N0 Nếu P0 là tùy ý, cố định phép chiếu dọctheo N0, ta được

P0c = I − Q0G−11 (B − AP0) (1.5.6)

rõ ràng P0c là liên tục

1.5.2 Định lý Cho phương trình (1.2.1) là chỉ số 1 chuyển được.

i) Với mỗi q ∈ C(I,Cm), d ∈ imP(t0), t0 ∈ I, bài toán giá trị ban đầu

A(Px)0+ (B − AP0)x = q, P(t0)x(t0) = d (1.5.7)

có nghiệm duy nhất trong CP1.

ii) (1.2.1) có nhiễu chỉ số 1 ( has perturbation index-1).

iii) Có đúng một nghiệm của phương trình thuần nhất qua mỗi điểm

(t0, x0), t0 ∈ I, x0 ∈ S0(t0).

Chứng minh.

i) Đầu tiên ta tìm nghiệm xác định duy nhất u ∈ C1 của phương trình

vi phân thường chính qui với điều kiện ban đầu u(t0) = d, rồi ta xây dựnghàm

x= P0cP−u+ Q0G−11 q∈ C (1.5.8)

Có Px = PP0cP−u= PP−u= Ru = u ∈ C1 và P(t0)x(t0) = u(t0) = d Khi

đó (1.5.2) - (1.5.3) sẽ biểu diễn x thỏa mãn phương trình vi phân đại số.Giả sử rằng ˜x∈ C1

Pcũng là một nghiệm của bài toán (1.5.7) khác nghiệm

x được xây dựng ở trên Khi đó, ˆx = ˜x− x thỏa mãn (1.5.7) với q = 0 và

d = 0 Từ phương trình (1.5.4) ta được P ˆx = 0 Do đó P0xˆ = P−Pxˆ = 0.Phương trình (1.5.3) trở thành

Q0xˆ= 0 tức là ˜x= x + ˆx= x + P0xˆ+ Q0xˆ= 0, điều này trái với giả thiết

ii) Cho I là một khoảng compact Ta so sánh nghiệm xq của phươngtrình (1.5.7) và nghiệm x ∈ C1P của phương trình thuần nhất có chung điềukiện ban đầu Cho các nghiệm tương ứng uq và u của phương trình vi phânthường chính qui Bất đẳng thức

Bài toán ma trận này sẽ được giải trong mục kế tiếp Tuy nhiên, khiđiều kiện ban đầu (1.5.9) được thiết lập ta có thể đưa vào phép biến đổi,nói chung x(t0) 6= x0 Sự trùng hợp ngẫu nhiên x(t0) = x0 xảy ra nếu x0 làthích hợp nghĩa là nếu Q0cx0 = Q0G−11 q(t0)

1.6 Phương trình liên hợp của phương trình chỉ số 1.

Không gian hàm C1∗A(I, Cm) = φ ∈ C(I, Cm) : A∗φ ∈ C1(I, Cm) làhoàn toàn xác định và không phụ thuộc vào P, P∗ với

1.6.3 Định nghĩa Một hàm φ ∈ C1∗A(I, Cm) được gọi là một nghiệm của(1.5.1) nếu nó biến (1.5.1) thành đồng nhất thức

1.6.4 Chú ý.

+ Trường hợp đặc biệt A = I, ta xét các phương trình thuần nhất códạng Lx = 0 ⇔ x0 = −Bx, L∗φ = 0 ⇔ φ0 = B∗φ Khi đó ta trở lại kháiniệm phương trình liên hợp đối với phương trình vi phân thường

+ Nếu A khả vi thì L∗ có thể được viết dưới dạng

Ta đã biết bài toán giá trị ban đầu







A(Px)0+ (B − AP0)x = qP(t0)x(t0) = Px0

với giả thiết A, B ∈ C(I, L(Cm, Cm)), q ∈ C(I, Cm) có nghiệm duy nhất

P∗ω ∈ C1(I, Cm) Từ L∗sω = h, nhân trái hai vế với P∗ ta được

Vậy phương trình L∗φ = P∗h luôn luôn có nghiệm φ = P∗su, trong đó

u= A+∗P∗ω , ω là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.7.3).

∀x ∈ imP∗, ∃y ∈ Cm : P∗y= x Xét z = A∗1A∗−11 y∈ Cm ta có

A∗A−1∗1z= A∗A−1∗1A∗1A∗−11 y= A∗A∗−11 y= P∗y= x ⇒ x ∈ imA∗A−1∗1

Từ đó ta có imP∗s = im(A∗−1∗1 A)∗ = imA∗A−1∗1 = imP∗

1.7.4 Định lý Với các giả thiết (T1), (T2), (T3), với φ0∈ Cm

φ1(t0) = P∗s(t0)A+∗(t0)P∗(t0)ω(t0) = P∗s(t0)A+∗(t0)P∗(t0)A∗1(t0)φ0

= P∗s(t0)A+∗(t0)A∗(t0)φ0 = P∗s(t0) ˜P∗(t0)φ0

= A∗−11 (t0)A∗(t0) ˜P∗(t0)φ0 = A∗−11 (t0)A∗(t0)φ0 = P∗s(t0)φ0.Xét φ = φ1− Q∗sA∗−11 s∈ C(I, Cm) Khi đó ta có A∗φ = A∗φ1 ∈ C1(I, Cm)

Vậy φ là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.7.8), φ ∈ C1∗A(I, Cm).

1.7.5 Định lý Với các giả thiết (T1, (T2), (T3)), với φ0 ∈ Cm bất kỳ và s ∈

C(I, Cm) thì nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.7.8) là duy nhất.

Do ψ0− B∗A∗−11 ψ = 0 là phương trình vi phân thường thuần nhất với giátrị ban đầu bằng 0 nên có nghiệm duy nhất

ψ = 0 ⇒ φ1− φ2 = A∗−11 = 0 ⇒ φ1 = φ2

Từ Định lý 1.7.4 và 1.7.5 ta thấy các giả thiết (T1)-(T3) là điều kiện đủ

để bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình liên hợp (1.6.8) có nghiệmduy nhất





∀x2 ∈ Cm

⇒ b1 = b3 = 0, b2 = 1

(T3) Hiển nhiên Q ∈ C1(I, L(Cm, Cm)) nên (T3) thỏa mãn.

Gọi ω là nghiệm của bài toán giá trị ban đầu







(∗∗)





.Tính A+ (ma trận nghịch đảo Moore-Penrose của A)

φ ∈ C1∗A(I, Cm), theo Định lý 1.7.5 nghiệm đó là duy nhất.

Với các giả thiết (T1)-(T3), phương trình L∗φ = s chưa là phương trình

vi phân đại số dạng chuẩn, do đó ta chưa nói đến chỉ số của nó Để định

nghĩa chỉ số cho phương trình liên hợp, ta mở rộng định nghĩa phươngtrình vi phân đại số chỉ số 1 bao gồm cả phương trình dạng L∗φ = s Xétphương trình

∗0 −B∗

I −A∗

!, q = p

0

! Rõ ràng A∗, B∗, q

đều liên tục

+ Hiển nhiên (T1) đúng

⇒ (T 2) đúng Vậy G khả nghịch hay {A∗, B∗} chính qui chỉ số 1.

1.8.2 Định nghĩa Từ định lý trên ta có thể đi đến kết luận phương trình

(1.8.2) là phương trình vi phân đại số chỉ số 1 nếu A∗, B∗ thỏa mãn các giảthiết (T1)-(T3)

Xét phương trình vi phân đại số thuần nhất chỉ số 1

Theo 1.3 ta có (1.9.1) được phân rã thành hệ phương trình

là nghiệm của phương

trình L∗φ = 0 thỏa mãn φ (t0) = P∗s(t0)φ0 = φ0 (do φ0 ∈ imP∗s(t0)) và

φ = P∗sA+∗P∗ω ∈ P∗s Ta có mọi nghiệm của phương trình L∗φ = s đềuthuộc imP∗s

Thật vậy, giả sử φ là nghiệm của (1.9.3), theo phương trình (1.6.3) ta

có Q∗sφ = Q∗A−1∗1s Với s = 0 suy ra Q∗sΦ = 0 ⇔ P∗sφ = φ hay φ ∈ imP∗s.Đặt S∗ = imP∗s Theo Bổ đề 1.4.1 ta có dimS∗ = dimimP∗s = r Mặt kháctheo Hệ quả 1.4.4 ta có imQ∗s(t) = kerA∗(t)

⇒ Cm = S∗(t) ⊕ kerA∗(t) (1.9.4)

nên

Cm = imP∗s(t) ⊕ kerP∗s(t) = S∗(t) ⊕ imQ∗s(t) = S∗(t) ⊕ kerA∗(t)

Trong phần đầu tiên, các toán tử L, L∗ chỉ được định nghĩa trong cáckhông gian C1A(I, Cm), C1∗A(I, Cm) và các nghiệm cũng chỉ được nghiêncứu trong các không gian đó Bây giờ, ta mở rộng các định nghĩa để nghiêncứu các ma trận hàm cơ bản của các phương trình (1.9.1) và (1.9.3) Vớimục đích đó ta đưa ra những khái niệm ban đầu như sau:

Đầu tiên với mỗi q, ta xác định cơ sở

n

e(1)q , , e(q)q

ocủa Cq sao chospan

n

e(1)q , , e(q)q o= Cq

1.9.2 Định nghĩa Cho 2 số nguyên q và s:

* Hàm fqs : Cs⊗ ⊗ Cs

q

→ L(Cq, Cs) được định nghĩa sao cho

fqs(x(1), , x(q))e(i)q = x(i) đúng ∀(x(1), , x(q)) ∈ Cs, ∀t ∈ I và e(i)q với

I được định nghĩa sao cho:

Fqs(x(1), , x(q))(t)eiq= fqs(x(1)(t), , x(q)(t))e(i)q = x(i)(t) đúng ∀x(1), , x(q),

∀t ∈ I và e(i)q với i = 1, , q

Khi s = m ta kí hiệu fq = fqm, Fq = Fqm

1.9.3 Định nghĩa.

* Một tập hợp nx(1), , x(k)o, các hàm x(i) ∈ CA1(I,Cm), i = 1, , kđược gọi là tập nghiệm cơ bản của (1.9.1) nếu mỗi x(i) là một nghiệm của(1.9.1) với i = 1, , k, và spannx(1), , x(k)o= S

∗A(I, Cm),

i = 1, , l, được gọi là tập nghiệm cơ bản của (1.9.3) nếu mỗi φ(i) làmột nghiệm của (1.9.3) với i = 1, , l và span(φ(1), , φ(l)) = S∗ hayimFq(φ(1), , φ(l)) = S∗

* Một hàm Φ : I → L(Cl, Cm) được gọi là một hệ nghiệm cơ bản của(1.9.3) nếu Φ = Fq(φ(1), , φ(l)) trong đó nφ(1), , φ(l)o là một tậpnghiệm cơ bản của (1.9.3)

1.9.5 Chú ý Ta có dimS = dimS∗ = r < m.

* Rõ ràng với k > m, l > m hoặc k < r, l < r thì việc sử dụng hệ nghiệm

cơ bản là không hợp lý

* Các tập nghiệm cơ bản xác định với r ≤ k ≤ m, r ≤ l ≤ m

+ Sự tính toán sẽ tiến hành thuận lợi nhất khi k = m, l = m

+ Nếu r < k ≤ m, r < l ≤ m thì tập nghiệm cơ bản gồm các nghiệmkhông độc lập tuyến tính (Điều này ngược với phương trình vi phânthường và các phương trình liên hợp của chúng, khi A = I, r = m) Từ

đó để định nghĩa các hệ nghiệm cơ bản điều kiện đủ là k = r, l = r Bởivậy ta nêu ra khái niệm hệ nghiệm cơ bản lớn nhất và hệ nghiệm cơ bảnnhỏ nhất như sau:

1.9.6 Định nghĩa Ta gọi những hệ nghiệm cơ bản Y và Φ là những hệ

nghiệm cơ bản nhỏ nhất khi k = r, l = r

Ta gọi những hệ nghiệm cơ bản Y và Φ là những hệ nghiệm cơ bản lớnnhất khi k = m, l = m

1.9.7 Chú ý Khi Y và Φ lần lượt là những hệ nghiệm cơ bản của (1.9.1),

(1.9.3) thì

Y ∈ C1

A(I, L(Ck, Cm)) =Y ∈ C(I,L(Ck, Cm)) : PY ∈ C1(I, L(Ck, Cm))

Φ ∈ C1∗A(I, L(C1, Cm)) =Φ ∈ C(I, L(C1, Cm)) : A∗Φ ∈ C1(I, L(C1, Cm)) tương ứng với các chỉ số k là l

Ta nhắc lại rằng với k ≥ r, sự tồn tại lý thuyết của hệ nghiệm cơ bản của(1.2.1) là tầm thường nhờ sự phân tích Cm = S(t) ⊕ kerA(t) và tính giảiđược duy nhất của bài toán giá trị ban đầu Ta có bổ đề sau:

1.9.8 Bổ đề Với k ≥ r, luôn luôn tồn tại Y ∈ C1A(I, L(Ck, Cm)) là hệ nghiệm

cơ bản của (1.9.1).

Chứng minh. Ta xây dựng hệ nghiệm cơ bản bằng cách sử dụng sơ đồnhư dưới đây

Giả sử p(i)k ∈ C1(I, Cm), i = 1, , k là nghiệm của bài toán giá trị banđầu







Lsz= 0z(t0) = ˆp(i)k

(1.9.5)

trong đó Lsz = z0+ (PA−11 B0− P0)z, P = I − Qvới Q ∈ C1(I, L(Cm, Cm))

là phép chiếu bất kỳ lên kerA,t0 ∈ I bất kỳ cố định,

n

ˆ

p(1)k , , ˆp(k)k

obất kỳ cố định : span

nˆ

p(1)k , , ˆp(k)k

o

= imP(t0)(do k ≥ r).Khi đó cùng với phép chiếu Q∗ ∈ C1(I, L(Cm, Cm)) bất kỳ lên kerA∗, ta có

A1, A∗1∈ C(I, L(Cm

, Cm)) sao cho

A1 = A + B0Q, A∗1 = A∗(−B∗0)Q∗ = A∗(−B∗)Q∗ là những ma trận hàmkhả nghịch Đặt

trong đó ˆp(i)k ∈ imP(t0) có nghiệm p(i)k ∈ imP

(theo kết luận 1.3.ii)

⇒ Pp(i)k = p(i)k với ∀i = 1, , k Mặt khác

A∗−1∗1 A1p(i)k = A∗−1∗1 A1Pp(i)k = A∗−1∗1 Ap(i)k = Psp(i)k

⇒ Ls(PA∗−1∗1 A1p(i)k ) = Ls(PPsp(i)k ) = Ls(Pp(i)k ) = Ls(p(i)k ) = 0 Lại có

Qs(A∗−1∗1 A1p(i)k ) = QsPsp(i)k = 0

Do đó, theo phân rã phương trình (1.9.1) ta có A∗−1∗1 A1p(i)k là nghiệm của(1.9.1) Từ (1.9.6) suy ra

Y = A∗−1∗1 A1Fk(p(1)k , , p(k)k ) = Fk(A∗−1∗1 A1p(1)k , , A∗−1∗1 A1p(k)k )