phương trình truyền nhiệt với lý thuyết nửa nhóm và chuyển động brown

3 1 Lý thuyết nửa nhóm và phương trình truyền nhiệt 5 1.1 Hàm mũ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach.. Mở đầuLý thuyết nửa nhóm của toán tử tuyến tính trên không gian

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Mục lục

Mở đầu 3

1 Lý thuyết nửa nhóm và phương trình truyền nhiệt 5 1.1 Hàm mũ của toán tử tuyến tính bị chặn trong không gian Banach 5

1.1.1 Ý tưởng 5

1.1.2 Định nghĩa 6

1.1.3 Các tính chất 6

1.1.4 Phương trình thuần nhất 7

1.1.5 Phương trình không thuần nhất 8

1.2 Khái niệm nửa nhóm 9

1.2.1 Định nghĩa Các ví dụ 9

1.2.2 Toán tử sinh 10

1.3 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt và nửa nhóm 22

1.3.1 Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt 22 1.3.2 Nửa nhóm của bài toán truyền nhiệt 24

1.3.3 Định lí Hille - Yosida với nửa nhóm truyền nhiệt 26 1.3.4 Toán tử sinh của nửa nhóm truyền nhiệt 30

2 Chuyển động Brown 34 2.1 Khái niệm chuyển động Brown 34

2.1.1 Quá trình Markov 34

2.1.2 Ví dụ 36

2.2 Mối quan hệ của chuyển động Brown với lý thuyết nửa nhóm 36

2.2.1 Chuyển động Brown sinh ra nửa nhóm co 36

Mở đầu

Lý thuyết nửa nhóm của toán tử tuyến tính trên không gian Banachxuất hiện đầu thế kỉ XX và phát triển mạnh vào những năm 1948 vớiđịnh lý sinh Hille – Yosida, và đạt tới hoàn chỉnh vào những năm 1957với sự ra đời cuốn “ Semigroups and Functional Analysis” của E Hille

và R S Philips

Vào những năm của thập kỉ 70, 80 thế kỉ XX nhờ vào sự cố gắngnghiên cứu của nhiều trường Đại học và nhiều trung tâm nghiên cứu lýthuyết nửa nhóm đã đạt tới trạng thái hoàn hảo

Lý thuyết nửa nhóm trở thành một công cụ quan trọng trong toánhọc nghiên cứu phương trình vi phân, phương trình hàm, trong vật lílượng tử, cơ học

Trong Luận văn này tôi xin trình bày ứng dụng của lý thuyết nửanhóm vào phương trình truyền nhiệt và chuyển động Brown dựa trên tàiliệu [1]

Cấu trúc của đề tài gồm hai chương:

Chương I: Lý thuyết nửa nhóm và phương trình truyền nhiệt.Trong phần này giới thiệu kiến thức chuẩn bị như : Hàm mũ và các tínhchất của hàm mũ, biểu diễn nghiệm tổng quát của phương trình thuầnnhất phương trình không thuần nhất qua hàm mũ Khái niệm nửa nhómliên tục của toán tử, toán tử sinh và các bổ đề liên quan, trình bày bàitoán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt tìm hàm u(x, t), t > 0thỏa mãn phương trình truyền nhiệt Chứng minh định lí Hille – Yosidacho toán tử A sinh duy nhất một nửa nhóm co

Chương II: Chuyển động Brown

Ta biết chuyển động Brown nói riêng và quá trình Markov đóng một vaitrò quan trọng trong giải tích ngẫu nhiên Trong phần này xét các hạt

chuyển động xung quanh một tập con đo được và các hạt này không có

bộ nhớ, hay có tính Markov Biểu diễn mối quan hệ giữa chuyển độngBrown với lý thuyết nửa nhóm thông qua các Định lí 2.1 và Định lí 2.2.Mặc dù đã cố gắng rất nhiều trong quá trình viết Luận văn nhưng dotrình độ và thời gian hạn chế, điều kiện công tác ở miền núi xa xôi nênkhông tránh khỏi những thiếu sót về kiến thức cũng như việc sử lí vănbản Tác giả Luận văn rất mong nhận được những ý kiến đóng góp củathầy cô và các bạn đồng nghiệp để Luận văn được hoàn thiện hơn.Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướngdẫn GS.TS.Hà Tiến Ngoạn đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làmLuận văn

Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo Trường Đại Học KhoaHọc – Đại Học Thái Nguyên, Viện Toán học – Viện Khoa học và Côngnghệ Việt Nam, đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi trong quátrình tác giả học tập và nghiên cứu

Tác giả cũng xin trân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, tổ Toán – Lítrường THCS Quang Minh – Bắc Quang – Hà Giang và tập thể bạn bèđồng nghiệp cùng gia đình đã quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoànthành tốt Luận văn này

Thái Nguyên, tháng 7 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Đức Mậu

Chương 1

Lý thuyết nửa nhóm và phương

trình truyền nhiệt

không gian Banach

a3

Giả sử U là một không gian Banach, A ∈ L(U ) là không gian các toán

tử tuyến tính và bị chặn trên U Xuất phát từ (1.2) ta sẽ định nghĩatoán tử eA

= eA.eB

Tính chất 1.5 Với mọi A thuộc L(U) tồn tại (eA)−1 và (eA)−1 = e−A.Thật vậy : Ta có eA+(−A) = e0 = I suy ra (eA)−1 = e−A.

= AetA = etAA

Xét phương trình vi phân thuần nhất

trong đó A ∈ L(U ), u = u(t) là ẩn hàm nhận giá trị trong U

Định lý 1.1 Nghiệm tổng quát của phương trình (1.6) là

trong đó C ∈ U là vectơ bất kì.

Chứng minh

a) Giả sử u(t) có dạng (1.7) khi đó

u0(t) = (etAC)0 = (etA)0C = (AetA).C = A(etAC) = Au

b) Giả sử u(t) là nghiệm nào đó của (1.6)

Ta xét hàm số

Từ phương trình (1.7) suy ra

y0 = (e−tA)0u(t) + e−tAu0(t)

= −e−tAAu(x) + e−tAAu(t) = 0

Suy ra tồn tại C ∈ U sao cho y(t) ≡ C

Nhận xét : Xét bài toán Cauchy

u0 = Auu(t0) = u0.Nghiệm của bài toán trên là:

trong đó C(t) là hàm số cần tìm.

Từ phương trình (1.9) suy ra :

u0(t) = AetAC(t) + etAC0(t)thay vào phương trình (*) :

là toán tử tuyến tính liên tục thỏa mãn:

Khi đó họ {Tt}t≥0 là nửa nhóm liên tục.

Ví dụ 1.2 Với f ∈ B, Ttf = etAf , A ∈ L(B) khi đó {etA} là nửa nhómliên tục của toán tử

tính liên tuc trong không gian Banach B với chuẩn ||.|| được gọi là conếu ∀v ∈ B và ∀t ≥ 0,

Tiếp theo ta nghiên cứu định nghĩa sau:

là toán tử sinh của nửa nhóm {Tt}.

Nhận xét: Khi đó D(A) là không rỗng vì chứa phần tử 0

có được từ tính chất co và đầy đủ của B Và

và cũng do đó

Iλ1 ≤ 2

Số hạng cuối cùng tích phân là liên tục trên s khi t → 0 và tiến đến

λJλv Điều này suy ra

DtTtv := lim

h→0

1

trong đó D(DtTt) là nửa không gian của B và giới hạn đó tồn tại

với ∀v ∈ D(A) và là liên tục theo t Khi đó theo bổ đề được phát biểu

và chứng minh dưới đây thì đạo hàm trái tồn tại và trùng với đạo hàm

phải, kéo theo tính khả vi.

Bổ đề 1.4 Cho f : [0, +∞) → B là liên tục và giả sử rằng ∀t ≥ 0, đạohàm phải d+f (t) := lim

h&0

1

h(f (t + h) − f (t)) tồn tại và liên tục (Tính liêntục của d+f có nghĩa rằng trên mỗi khoảng [0, T ] giới hạn đều theo t).Khi đó f là khả vi với đạo hàm bằng d+f

Đầu tiên ta chứng minh (λId − A) là khả nghịch, thứ nhất ta chỉ

ra rằng (λId − A) là đơn ánh Do đó ta cần loại trừ rằng có tồn tại

v0 ∈ D(A), v0 6= 0, với

Với v0 như vậy, chúng ta sẽ có (1.26)

và do đó

vì λ > 0, cho v0 6= 0 điều này vi phạm tính chất co

||Ttv0|| ≤ ||v0||

Dễ thấy (λId − A) là toàn ánh do đó (λId − A) là khả nghịch, λ > 0

Để có được (1.28) ta bắt đầu với (1.24) tức là

AJλv = λ(Jλ− Id)v,

và nhận được

trong D(A) bởi (1.23) và do (λId − A) là đơn ánh sau đó có ánh xạ

B là không gian Banach của các hàm liên tục và bị chặn đều trên [0, ∞]

Tại bước chứng minh cuối của Định lí 1.3 ta có thể nhìn thấy rằng ảnh

d

từ ϕ(x) = Ce−λx và ϕ ∈ B, nhất thiết C = 0 và do đó g = Jλf.

Vậy ta có được toán tử sinh A theo (1.39) với D(A) chứa một cách chính

Bây giờ chúng ta nghiên cứu nửa nhóm truyền nhiệt

e−|x−y|24t

!dtf (y)dy

và so sánh điều này với



Bổ đề tiếp theo sẽ bao hàm ϕ ≡ 0 đòi hỏi g = Jλf

Bổ đề 1.6 Cho λ > 0 Không tồn tại ϕ 6= 0 với

cùng với (1.52) - (1.55), điều đó suy ra

Theo giả thiết ϕ bị chặn vì thế

X

ν=2

hν−1ν! .

vì biểu thức trên dần về 0 khi cho h → 0, h là toán tử sinh của nửanhóm {e(tL)}t≥0

Theo cách tương tự cho (1.65), chứng minh cho bổ đề sau:

Bổ đề 1.8 Cho L, M : B → B là toán tử tuyến tính liên tục thỏa mãngiả thiết của Bổ đề 1.6 và giả sử

Khi đó

và nửa nhóm

Bài toán Cauchy cho phương trình truyền nhiệt

Giả sử f (x) ∈ Cb0(Rd) là hàm số liên tục và bị chặn trong Rd Khi đónghiệm của bài toán Cauchy (1.68) và (1.69) được biểu diễn bởi côngthức sau:

A, B là các hằng số bất kì.

Rõ ràng A, B phụ thuộc λ Vậy u(x, t) có dạng

Tích phân (1.73) theo tham biến λ từ −∞ đén +∞ ta thu được

u(x, t) =

+∞

Z

−∞

Hàm này là nghiệm của phương trình (1.68) nếu như tích phân (1.74)hội tụ đều và có đạo hàm được dưới dấu tích phân hai lần theo x mộtlần theo t

Ta chọn các hàm A(λ) và B(λ) sao cho (1.74) thỏa mãn điều kiện

U (x, 0) = f (x), x ∈ Rd,cho t = 0 ta thu được:

f (y)e−a2λ2tcosλ(y − x)dy.

Thay đổi thứ tự tích phân và sử dụng công thức

4a2

Ta thấy rằng hàm u(x, t) phải có dạng (1.70)



Ta xét không gian Banach B = Cb0(Rd) với chuẩn

||f ||C0

Với mỗi t > 0 trong không gian Cb0(Rd) ta xét toán tử sau

co trong không gian Cb0

f (x +√

4tr) − f (x)

dr

≤

Z

|x−y|>δ

P (τ, x, y)(g(y) − g(x))dy

≤

...

t < τ ≤ s, phương trình Chapman - Kolmogorov sau thỏa mãn

Ta giả thiết trình thời gian,... data-page="37">

Định nghia 2.2 Quá trình Markov P(t, x, E) gọi theokhông gian với phép tịnh tiến i : Rd → Rd,

Qua trình Markov gọi chuyển động Brown ∀δ > ∀x ∈

Rd,... dãy(xν)ν∈N ⊂ [0, ∞) với

(1.107) f, g ∈ B tồn δ > cho

Ta thực phân tích cho nửa nhóm truyền nhiệt, trườnghợp tốn tử sinh toán tử Laplace,