phương trình toán tử tham số hiệu chỉnh và sự hội tụ

“Kết quả số của phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình toán tử đơn điệu”... Nghiệm hiệu chỉnh và tham số hiệu chỉnh 20 2.1 Hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu... Trong đề tài luận

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Công trình đựoc hoàn thành tại :

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ THU THUỶ

Phản biện 1: GS.TS Nguyễn Bường

Phản biện 2: GS.TS Trần Vũ Thiệu

Luận văn được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận văn họp tại:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC – ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Ngày 07 tháng 11 năm 2010

Có thể tìm hiểu luận văn tại Trung tâm học liệu Đại học Thái Nguyên

và thư viện Trường Đại học Khoa học

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC

LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN VĂN

Nguyễn Thị Thu Thuỷ và Đặng Tú Hồi (2010) “Kết quả số của

phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình toán tử đơn điệu” Tạp chí

Khoa học và Công nghệ, Đại học Thái Nguyên, 70(08), tr.61 - 64

Mục lục

Chương 1 Bài toán đặt không chỉnh và phương trình toán tử đơn

1.1 Bài toán đặt không chỉnh 7

1.1.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh 7

1.1.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh 8

1.2 Phương trình toán tử đơn điệu 14

1.2.1 Toán tử đơn điệu 14

1.2.2 Phương trình với toán tử đơn điệu 16

1.2.3 Phương pháp hiệu chỉnh 18

Chương 2 Nghiệm hiệu chỉnh và tham số hiệu chỉnh 20 2.1 Hiệu chỉnh phương trình toán tử đơn điệu 20

2.2 Tham số hiệu chỉnh 25

2.3 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 28

2.4 Kết quả số 33

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học

và Quan hệ Quốc tế, Khoa Toán -Tin Trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tậptại Trường

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Tiến sĩ Nguyễn ThịThu Thuỷ, cô đã rất tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tác giả trong suốt thời giantác giả thực hiện luận văn và trực tiếp hướng dẫn tác giả hoàn thành luậnvăn này

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn theosát động viên, chia sẻ những khó khăn trong cuộc sống, giúp tác giả có điềukiện tốt nhất trong quá trình học tập và làm luận văn

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2010

Tác giả

Đặng Tú Hồi

Mở đầu

Rất nhiều bài toán của thực tiễn, khoa học, công nghệ dẫn tới bài toán

đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa Hadamard, nghĩa là bài toán (khidữ kiện thay đổi nhỏ) hoặc không tồn tại nghiệm, hoặc nghiệm không duynhất, hoặc nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu Do tínhkhông ổn định này của bài toán đặt không chỉnh nên việc giải số của nógặp khó khăn Lý do là một sai số nhỏ trong dữ kiện của bài toán có thểdẫn đến một sai số bất kỳ trong lời giải

Trong đề tài luận văn này chúng tôi nghiên cứu bài toán đặt không chỉnhdưới dạng phương trình toán tử

trong đó A : X −→ X∗ là một toán tử đơn điệu đơn trị h-liên tục từ khônggian Banach phản xạ X vào không gian liên hợp X∗ của X Để giải loại bàitoán này, ta phải sử dụng những phương pháp ổn định, sao cho khi sai sốcủa các dữ kiện càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gần với nghiệm

đúng của bài toán xuất phát Năm 1963, A N Tikhonov [10] đưa ra phươngpháp hiệu chỉnh nổi tiếng và kể từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh

được phát triển hết sức sôi động và có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế.Nội dung chủ yếu của phương pháp này là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh chophương trình toán tử (0.1) trong không gian Hilbert thực H dựa trên việctìm phần tử cực tiểu xh,δ

α của phiếm hàm Tikhonov

Fαh,δ(x) = kAh(x) − fδk2 + αkx∗ − xk2 (0.2)trong đó α > 0 là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h và δ, x∗ là phần tửcho trước đóng vai trò là tiêu chuẩn chọn và (Ah, fδ) là xấp xỉ của (A, f)

Hai vấn đề cần được giải quyết ở đây là tìm phần tử cực tiểu của phiếmhàm Tikhonov và chọn tham số hiệu chỉnh α = α(h, δ) thích hợp để phần

do F Browder đề xuất là sử dụng một toán tử M : X → X∗ có tính chất

h-liên tục (hemicontinuous), đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh Us,

ánh xạ đối ngẫu tổng quát của X, là một toán tử có tính chất như vậy Bằngphương pháp này, Ya I Alber [2] nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh

Ah(x) + αUs(x − x∗) = fδ (0.3)cho bài toán (0.1)

Việc chọn tham số hiệu chỉnh α = α(δ) thích hợp cho phương trình hiệuchỉnh (0.3) khi Ah ≡ Ađã được nghiên cứu trong [2] ở đó người ta chỉ rarằng tham số α phụ thuộc vào δ được đánh giá bởi đẳng thức

ρ(α) = ˜Kδp, 0 < p < 1, ˜K ≥ 1,với ρ(α) = αkxδ

αk Phương trình hiệu chỉnh (0.3) cùng cách chọn tham số

α = α(δ) như trên là một thuật toán hiệu chỉnh Tikhonov cho phương trìnhtoán tử không chỉnh (0.1) Năm 2005, Nguyễn Bường [6] đã nghiên cứuviệc chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh theo nguyên lí độ lệch suy rộngtrên cơ sở giải phương trình

ρ(α) = δpα−q, 0 < p ≤ qcho bài toán (0.1) khi xét phương trình hiệu chỉnh (0.3) trong trường hợp

Ah ≡ A

Mục đích của đề tài luận văn nhằm đọc hiểu và trình bày lại phươngpháp giải ổn định phương trình toán đơn điệu với các nội dung sau:

1 Trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov hiệu chỉnh phươngtrình toán tử đơn điệu trong không gian Banach phản xạ thực X

2 Nêu sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và phương pháp chọn tham số hiệuchỉnh

3 Đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh ứng với tham số hiệu chỉnh

đã chọn

4 Đưa ra một ví dụ số minh họa

Nội dung của đề tài được trình bày trong hai chương Chương 1 giớithiệu một số kiến thức cơ bản nhất về bài toán đặt không chỉnh và phươngtrình toán tử đơn điệu

Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonovcho phương trình toán tử đơn điệu, trình bày cách chọn giá trị của tham sốhiệu chỉnh và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh này ở phầncuối của chương là một kết quả số có tính chất minh họa

Mét sè ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t

X kh«ng gian Banach thùc

X∗ kh«ng gian liªn hîp cña X

Rn kh«ng gian Euclide n chiÒu

R(A) miÒn gi¸ trÞ cña to¸n tö A

xk → x d·y {xk} héi tô m¹nh tíi x

xk * x d·y {xk} héi tô yÕu tíi x

Chương 1

Bài toán đặt không chỉnh và phương trình toán tử đơn điệu

1.1 Bài toán đặt không chỉnh

1.1.1 Khái niệm về bài toán đặt không chỉnh

Chúng tôi trình bày khái niệm về bài toán đặt không chỉnh trên cơ sởxét một bài toán ở dạng phương trình toán tử

A(x) = f, (1.1)

ở đây A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach X vào không gianBanach Y , f là phần tử thuộc Y Sau đây là một định nghĩa của Hadamard(xem [1] và tài liệu dẫn):

Định nghĩa 1.1.1 Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gian

Y Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt chỉnh (well-posed) nếu

1) phương trình A(x) = f có nghiệm với mọi f ∈ Y ;

2) nghiệm này duy nhất;

3) và nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

Nếu ít nhất một trong các điều kiện trên không thoả mãn thì bài toán(1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed) Đối với các bài toánphi tuyến thì điều kiện thứ hai hầu như không thoả mãn Do vậy hầu hếtcác bài toán phi tuyến đều là bài toán đặt không chỉnh Hơn nữa điều kiệncuối cùng cũng khó thực hiện được, vì vậy ta có định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.1.2 Cho A là một toán tử từ không gian X vào không gian

Y Bài toán (1.1) được gọi là bài toán đặt không chỉnh nếu nghiệm củaphương trình (1.1) không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu

R(f ), được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ) nếu với mỗi ε > 0tồn tại một số δ(ε) > 0 sao cho từ ρY(f1, f2) ≤ δ(ε) cho ta ρX(x1, x2) ≤ ε,

1.1.2 Ví dụ về bài toán đặt không chỉnh

Trước khi trình bày một số ví dụ về bài toán đặt không chỉnh, trong mụcnày chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản của giải tích hàm có liênquan đến nội dung nghiên cứu của đề tài Các khái niệm này được thamkhảo trong các tài liệu [1], [4], [9] và [12]

trong đó ứng với mỗi phần tử x ∈ X ta có một số kxk gọi là chuẩn của x,thỏa mãn các điều kiện sau:

1) kxk > 0, ∀x 6= 0, kxk = 0 ⇔ x = 0;

2) kx + yk ≤ kxk + kyk, ∀x, y ∈ X (bất đẳng thức tam giác);

3) kαxk = |α|.kxk, ∀x ∈ X, α ∈ R.

Không gian định chuẩn đầy đủ gọi là không gian Banach

Ví dụ 1.1.1 Không gian Lp[a, b] với 1 ≤ p < ∞ là không gian Banach vớichuẩn

kϕk =

Z b a

|ϕ(x)|pdx

1p, ϕ ∈ Lp[a, b]

gian Banach X được gọi là hội tụ đến phần tử x0 ∈ X khi n → ∞, nếu

kxn− x0k → 0khi n → ∞, ký hiệu là xn → x0 Sự hội tụ theo chuẩn đượcgọi là hội tụ mạnh

Dãy {xn} ⊂ X được gọi là hội tụ yếu đến x0 ∈ X, ký hiệu là xn * x0,nếu với ∀f ∈ X∗, không gian liên hợp của X, ta có f(xn) → f (x0), khi

i) X là không gian hữu hạn chiều;

ii) {xn} ⊂ M với M là một tập compact trong X

không gian liên hợp của X và gọi X∗∗ = L(X∗, R) là không gian liên hợpthứ hai của X Ta cho tương ứng với mỗi x ∈ X một phiếm hàm tuyến tính

liên tục x∗∗ trên X∗∗ nhờ hệ thức

∗∗

ở đây hf, xi là kí hiệu giá trị phiếm hàm tuyến tính liên tục f ∈ X∗ tại

x ∈ X Ta có kxk = kx∗∗k Đặt h(x) = x∗∗, nếu h : X → X∗∗ là toàn ánhthì không gian X được gọi là không gian phản xạ

Ví dụ 1.1.2 Không gian Lp[0, 1], p > 1 là không gian phản xạ Mọi khônggian định chuẩn hữu hạn chiều đều phản xạ

Định lý 1.1.1 (xem [12]) Nếu X là không gian Banach thì các khẳng địnhsau là tương đương:

1) X phản xạ;

2) Mọi dãy giới nội là compact yếu, nghĩa là ∀ {xn} ⊂ X : kxnk ≤

K ⇒ ∃ {xnk}, xnk * x ∈ X;

3) Hình cầu đơn vị đóng trong X là compact yếu;

4) Mỗi tập bị chặn đóng yếu trong X là compact yếu;

5) Mỗi tập lồi đóng bị chặn trong X là compact yếu

xạ và trong X sự hội tụ yếu các phần tử (xn * x) và sự hội tụ chuẩn(kxnk → kxk) luôn kéo theo sự hội tụ mạnh (kxn − xk → 0)

Ví dụ 1.1.3 Không gian Hilbert có tính chất E-S

Với toán tử r : X → Y từ không gian Banach X vào không gian Banach

Y, ta sẽ viết r(x) = O(kxk) với x → θX, nếu r(x)/kxk → 0 khi x → θX

Kí hiệu L(X, Y ) là tập tất cả các toán tử tuyến tính liên tục T : X → Y

• Đạo hàm Fréchet: Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach

X vào không gian Banach Y Toán tử A được gọi làkhả vi Fréchet tại điểm

x ∈ X, nếu tồn tại T ∈ L(X, Y ) sao cho

A(x + h) = A(x) + T h + O(khk), h → 0với mọi h thuộc một lân cận của điểm θ Nếu tồn tại, thì T được gọi là đạohàm Fréchet của A tại x, và ta viết A0(x) = T

Định nghĩa 1.1.3 Toán tử (phi tuyến) A được gọi là liên tục mạnh, nếu nó

ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu thành dãy hội tụ mạnh tức là nếu xn * x suy ra

Thật vậy, giả sử {xn} là một dãy chỉ hội tụ yếu đến x, xn * x, xn 6→ x

và yn = A(xn), y = A(x) Khi đó, do tính liên tục mạnh của A suy ra

yn → y và nghiệm của phương trình A(x) = f không phụ thuộc liên tụcvào dữ kiện ban đầu

Tuy nhiên, cũng có một vài trường hợp đặc biệt cho phương trình toán

tử với toán tử liên tục mạnh Chẳng hạn, nếu miền xác định D(A) của

toán tử A là hữu hạn chiều thì mọi dãy hội tụ yếu đều hội tụ mạnh, do đóchứng minh trên không áp dụng được Và nếu ta xét một toán tử tuyến tínhcompact với miền ảnh R(A) hữu hạn chiều thì toán tử ngược A−1 nói chung

là liên tục và khi đó bài toán giải phương trình A(x) = f là bài toán đặtchỉnh

Ví dụ 1.1.5 (xem [1]) Xét phương trình tích phân Fredholm loại I

Z b aK(x, s)ϕ(s)ds = f0(x), x ∈ [a, b], (1.2)

ở đây nghiệm là một hàm ϕ(x), vế phải f0(x)là một hàm cho trước, K(x, s)

là hạch của tích phân Giả thiết hạch K(x, s) cùng với ∂K(x, s)

∂x liên tụctrên hình vuông [a, b] ì [a, b] Ta xét hai trường hợp sau:

A : C[a, b] → L2[a, b]

ϕ(x) 7→ f0(x) =

Z b aK(x, s)ϕ(s)ds

Sự thay đổi của vế phải được đo bằng độ lệch trong không gian L2[a, b], tức

là khoảng cách giữa hai hàm f0(x) và f1(x) trong L2[a, b] được cho bởi

ρL2 [a,b](f0, f1) =

 Z b a

|f0(x) − f1(x)|2dx

12.Giả sử phương trình (1.2) có nghiệm là ϕ0(x) Khi đó với vế phải

f1(x) = f0(x) + N

Z b aK(x, s)sin(ωs)dsthì phương trình này có nghiệm

 Z b aK(x, s)sin(ωs)ds

2dx

12

Tương tự, ta cũng chỉ ra khoảng cách giữa hai nghiệm ϕ0 và ϕ1 trong khônggian L2[a, b] có thể lớn bất kì Thật vậy,

ρL2 [a,b](ϕ0, ϕ1) =

 Z b a

|ϕ0(x) − ϕ1(x)|2dx

12

= |N |

 Z b asin2(ωx)dx

2ωsin(ω(b − a))cos(ω(b + a)).

Dễ dàng nhận thấy rằng hai số N và ω có thể chọn sao cho ρL 2 [a,b](f0, f1)rất nhỏ nhưng ρL 2 [a,b](ϕ0, ϕ1) lại rất lớn

Vì tính không duy nhất của nghiệm của bài toán (1.1), nên người tathường có một tiêu chuẩn cho sự lựa chọn của nghiệm Ta sẽ sử dụng

nghiệm x0 có x∗-chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là ta tìm nghiệm thoả mãn

A(x0) = f,và

hA(x) − A(y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ X (1.3)Toán tử A được gọi là đơn điệu chặt (strictly monotone) nếu dấu bằng chỉxảy ra khi x = y Trong trường hợp A là toán tử tuyến tính thì tính đơn

điệu tương đương với tính không âm của toán tử

một hàm không âm δ(t) không giảm với t ≤ 0, δ(0) = 0 và

hA(x) − A(y), x − yi ≥ δ kx − yk
, ∀x, y ∈ D(A)

Nếu δ(t) = cAt2 với cA là một hằng số dương thì toán tử A được gọi là đơn

điệu mạnh

Ví dụ 1.2.1 Toán tử tuyến tính A : RM

→ RM được xác định bởi

A = BTB,

với B là một ma trận vuông cấp M, là một toán tử đơn điệu.

• Toán tử h-liên tục, d-liên tục: Toán tử A được gọi là h-liên tục

A được gọi là d-liên tục (demicontinuous) trên X nếu từ xn → x suy ra

Định lý 1.2.1 (xem [9]) Cho A là một toán tử h-liên tục, đơn điệu và bức

từ không gian Banach phản xạ X vào X∗ Khi đó phương trình A(x) = f

có nghiệm với mọi f ∈ X∗

2) U là ánh xạ đơn trị khi và chỉ khi X∗ là không gian lồi chặt Trongtrường hợp X là không gian Hilbert thì U = I, toán tử đơn vị trong X

ánh xạ đối ngẫu là một trong những ví dụ về toán tử đơn điệu, nó tồntại trong mọi không gian Banach.

Định lý 1.2.2 (xem [4]) Nếu X∗ là không gian Banach lồi chặt thì ánh xạ

đối ngẫu chuẩn tắc U : X → X∗ là toán tử đơn điệu, bức và d-liên tục.Hơn nữa, nếu X là không gian Banach lồi chặt thì U là toán tử đơn điệuchặt

Sau đây là một kết quả của lý thuyết toán tử đơn điệu được sử dụng trongphần sau

Bổ đề 1.2.1 (xem [1] và tài liệu dẫn) Cho X là một không gian Banachthực, f ∈ X∗ và A là một toán tử h-liên tục từ X vào X∗ Khi đó, nếu

Ví dụ 1.2.3 Xét phương trình toán tử (1.1) với A là một ma trận vuông cấp

f = fδ2 =

10.0001 10.0001 10.0001 10.0001 10.0001

T

∈ R5thì phương trình vô nghiệm Ta thấy một thay đổi nhỏ của hệ số trongphương trình ban đầu đã kéo theo những thay đổi đáng kể của nghiệm.1.2.3 Phương pháp hiệu chỉnh

Giả sử A−1 không liên tục và thay cho f ta chỉ biết fδ thoả mãn

kfδ − f k ≤ δ

Bài toán đặt ra là dựa vào thông tin về (A, fδ) và sai số δ, tìm một phần tửxấp xỉ nghiệm đúng x0 Rõ ràng không thể xây dựng phần tử xấp xỉ xδ theoqui tắc xδ = A−1fδ do A−1 có thể không xác định hoặc A−1 tồn tại nhưngkhông liên tục, nên A−1fδ không xấp xỉ nghiệm đúng x0

Tham số δ chỉ cho ta mức độ sai số của vế phải của phương trình (1.1).Vì vậy một điều nảy sinh là liệu có thể xây dựng một phần tử xấp xỉ phụthuộc vào một tham số nào đó và tham số này được chọn tương thích với δsao cho khi δ → 0 thì phần tử xấp xỉ này hội tụ đến nghiệm đúng x0 Tacũng có thể thấy rằng nếu được thì từ f0 ∈ Y ta có phần tử xấp xỉ tươngứng thuộc X Tức là tồn tại một toán tử nào đó tác động từ không gian Yvào không gian X

Định nghĩa 1.2.1 Cho A : X → Y là một toán tử từ không gian Banach

X vào không gian Banach Y Toán tử T (f, α), phụ thuộc vào tham số α,tác động từ Y vào X được gọi là một toán tử hiệu chỉnh cho phương trình(1.1), nếu:

- Tồn tại hai số dương δ1 và α1 sao cho toán tử T (fδ, α) xác định với mọi

α ∈ (0, α1) và với mọi fδ ∈ Y thoả mãn

kfδ − f k ≤ δ, δ ∈ (0, δ1);

- Tồn tại một hàm α = α(δ, fδ) phụ thuộc vào δ sao cho với mọi  > 0,luôn tìm được δ() ≤ δ1 để với mọi fδ ∈ Y thoả mãn

kfδ− f k ≤ δ ≤ δ()thì kxδ

α− x0k ≤ , ở đây x0 là nghiệm có x∗-chuẩn nhỏ nhất của bài toán(1.1) và xδ

limδ→0α(δ, fδ) = 0

Rõ ràng nghiệm hiệu chỉnh ổn định với dữ liệu ban đầu Như vậy việc tìmnghiệm xấp xỉ phụ thuộc liên tục vào dữ kiện của phương trình (1.1) gồmcác bước:

1) Xây dựng toán tử hiệu chỉnh T (f, α);

2) Chọn giá trị của tham số hiệu chỉnh α dựa vào thông tin của bài toán

về phần tử fδ và mức sai số δ