phương pháp xấp xỉ biên xác định nghiệm gần đúng của phương trình laplace với điều kiện biên kì dị

Đối với bài toán này đã có nhiều côngtrình nghiên cứu về các phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ như phươngpháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn của các tác giả trên thế giớicông bố

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀM THỊ ĐIỂM

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ BIÊN XÁC ĐỊNH NGHIỆMGẦN ĐÚNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VỚI ĐIỀU

KIỆN BIÊN KÌ DỊ

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2011

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Mục lục

1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm 4

1.1.1 Không gian Ck(Ω) 4

1.1.2 Không gian Lp(Ω) 4

1.1.3 Không gian W1,p(Ω) 5

1.1.4 Vết của hàm 6

1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm 8

1.2 Khái niệm nghiệm yếu đối với phương trình Elliptic cấp hai 10 1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu của phương trình 10

1.2.2 Phát biểu các bài toán biên 11

1.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu 13

1.3 Phương pháp biến phân xây dựng gần đúng nghiệm yếu 16

2 Phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt (BAMs) đối với bài toán biên có biên kì dị 20 2.1 Cơ sở của phương pháp 20

2.2 Các phương pháp xấp xỉ biên (BAMs) 22

2.2.1 Cơ sở phương pháp 22

2.2.2 Các phương pháp BAMs 23

2.3 Ứng dụng của phương pháp BAMs cho bài toán Motz 24

2.3.1 Các phương pháp BAMs 25

2.4 Đánh giá sai số 26

2.4.1 Penalty BAMs 28

Các ký hiệu

k kV Chuẩn xác định trên không gian V

Mở đầu

Khi mô hình bài toán mô tả các quá trình trong các môi trường liên tụcthường dẫn đến các bài toán biên với các loại điều kiện biên khác nhau.Trong trường hợp khi trên một biên chỉ gồm một loại điều kiện biên, ta

sẽ gặp bài toán biên hỗn hợp yếu Đối với bài toán này đã có nhiều côngtrình nghiên cứu về các phương pháp xác định nghiệm xấp xỉ như phươngpháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn của các tác giả trên thế giớicông bố nhiều năm qua Tuy nhiên trong trường hợp khi trên một đoạnbiên gồm hai loại điều kiện biên được phân cách tại một điểm nào đó trênbiên, ta sẽ gặp bài toán biên hỗn hợp mạnh hay còn gọi là bài toán biênvới điều kiện biên kì dị Do tính chất thay đổi của điều kiện biên sẽ sinh

ra điểm kì dị tại điểm phân chia Đối với bài toán này, các phương phápthông thường này sẽ gặp khó khăn Năm 2006, các tác giả Z C Li, Y L.Chan, G C Georgiov, C Xenophontos khi nghiên cứu về bài toán Motz

đã đưa ra các phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt thường được gọi là cácphương pháp BAMs [1] Ngoài phương pháp trên việc tìm nghiệm xấp xỉđối với bài toán với biên kì dị có thể sử dụng các sơ đồ lặp trên cơ sở củaphương pháp chia miền [2, 3, 4]

Nội dung chính của luận văn là trình bày cơ sở của phương pháp xấp

xỉ biên xác định nghiệm gần đúng của bài toán biên với điều kiện biên

kì dị bằng các phương pháp BAMs, đánh giá sai số của các phương pháptương ứng cùng các kết quả thực nghiệm đối với bài toán Motz, đồng thờiđưa ra phương pháp xấp xỉ theo tư tưởng chia miền xác định nghiệm củabài toán Motz tương ứng cũng như trường hợp tổng quát, tiến hành thựcnghiệm tính toán, so sánh độ chính xác giữa hai phương pháp xấp xỉ biên

theo BAMs và phương pháp chia miền đối với bài toán Motz Luận văngồm 3 chương với những nội dung cơ bản như sau:

Chương 1: Luận văn trình bày các kiến thức quan trọng về các khônggian hàm và đặc biệt là không gian Sobolev, các bất đẳng thức cơ bản,khái niệm về nghiệm yếu, định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu,phương pháp biến phân xác định nghiệm yếu thông qua bài toán cực trịphiếm hàm Đây là các kiến thức quan trọng để trình bày các nội dungtrong chương 2 của luận văn

Chương 2: Luận văn trình bày cơ sở toán học của các phương pháp xấp

xỉ biên đặc biệt (các phương pháp BAMs) bao gồm mối quan hệ giữa bàitoán Galerkin và bài toán cực trị phiếm hàm, ứng dụng của các phươngpháp BAMs đối với các bài toán Motz đồng thời đưa ra các kết quả đánhgiá sai số của phương pháp, các kết quả thực nghiệm trong các trường hợp

cụ thể Các kết quả này đã được đưa ra trong tài liệu [1]

Chương 3: Luận văn trình bày phương pháp chia miền giải bài toánbiên với điều kiện biên hỗn hợp mạnh, sự hội tụ của phương pháp Xuấtphát từ sơ đồ lặp chia miền tổng quát, luận văn đưa ra kết quả áp dụngthuật toán chia miền giải bài toán Motz, tiến hành tính toán thử nghiệmtrên máy tính điện tử để xác định tốc độ hội tụ và độ chính xác của sơ

đồ lặp, so sánh kết quả với các phương pháp BAMs do các giả đã đưa ratrong tài liệu [1] Mở rộng việc áp dụng thuật toán trong trường hợp tổngquát từ đó đưa ra kết luận về tính hữu hiệu của phương pháp chia miềntrong việc xác định nghiệm xấp xỉ đối với các bài toán biên với điều kiệnbiên kì dị Các kết quả được tính toán số trong luận văn được lập trìnhtrên môi trường Matlab version 7.0 chạy trên máy tính PC

Mặc dù đã rất cố gắng song nội dung bản luận văn không thể tránhkhỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp

ý kiến của các Thầy Cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hoànthiện

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS VũVinh Quang đã tận tình hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình làm luận

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các Thầy Cô, các bạn bè, đồngnghiệp và gia đình đã luôn giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả trong suốtquá trình học tập và nghiên cứu

Chương 1

Các kiến thức cơ bản

1.1 Các kiến thức cơ bản về các không gian hàm

1.1.1 Không gian Ck(Ω)

một không gian Banach

1.1.2 Không gian Lp(Ω)

Z

Ω

| f (x) |p dx < ∞ (1.2)

mãn (1.2) và hai hàm là tương đương nếu chúng bằng nhau hầu khắp trên

Ω Vì

| f (x) + g(x) |p≤ (| f (x) | + | g(x) |)p ≤ 2p(| f (x) |p + | g(x) |p)

đối với mọi ϕ(x) ∈ C0k(Ω), k = k1 + k2 + + kn, ki ≥ 0 (i = 1, 2, , n).

W1,p(Ω) = {u | u ∈ Lp(Ω), ∂u

∂xi ∈ Lp(Ω), i = 1, 2, , n},

trong đó các đạo hàm trên là các đạo hàm suy rộng

Với p = 2, ta ký hiệu W1,2(Ω) = H1(Ω), nghĩa là

Không gian H01(Ω) được định nghĩa bởi H01(Ω) = W01,2(Ω)

Định lí 1.4 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz Khi đó

iii) Nếu p > n thì W01,p(Ω) ⊂ C0(Ω) là nhúng compact

Định lí 1.5 (Định lý vết)

đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính liên tục

γ : H1(Ω) −→ L2(∂Ω)

các tính chất sau:

i) Tập {u |∂Ω, u ∈ C∞(Rn)} trù mật trong H1/2(∂Ω)

k u kL2 (Ω)≤ CΩ k Ou kL 2 (Ω),

∀u ∈ H1(Ω), γ(u) = 0 trên Γ1

1.1.5 Không gian Sobolev với chỉ số âm

bởi

H−1(Ω) = (H01(Ω))0,

tức là không gian đối ngẫu của H01(Ω) Chuẩn của phần tử F ∈ H−1(Ω)

được xác định như sau

k F kH−1 (Ω)= sup

H 1 (Ω)\{0}

H −1 (Ω),H 1 (Ω)

trong đó infimum lấy trên tất cả các vecto (f0, f1, , fn) trong [L2(Ω)]n+1

thoả mãn điều kiện (1.3)

là không gian Banach được định nghĩa bởi

H−1/2(∂Ω) = (H1/2(∂Ω))0,

F ∈ H−1/2(∂Ω) được xác định như sau

k F kH−1/2 (∂Ω)= sup

H −1/2 (∂Ω)\{0}

H −1/2 (∂Ω),H 1/2 (∂Ω)

Bổ đề 1.5 Giả sử biên ∂Ω là liên tục Lipschitz Không gian H−1/2(∂Ω)

có các tính chất sau

ii) Tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục

v ∈ H(Ω, div) 7−→ v.n ∈ H−1/2(∂Ω),

−Z

−Z

của phương trình (1.4) nếu (1.6) được thoả mãn.

C2(Ω), f ∈ C(Ω) thì u là nghiệm cổ điển, tức là −4u = f

Chứng minh

ra

Z

Ω

(4u + f )ϕ dx = 0, ∀u ∈ D(Ω)

4u + f = 0 trong L2(Ω) Nhưng vì 4u liên tục nên 4u + f ≡ 0 trong

1.2.2 Phát biểu các bài toán biên

thoả mãn (1.8) với mọi v ∈ C0∞(Ω) ⊂ H01(Ω).

nghiệm theo nghĩa cổ điển

phân ta được

−Z

Nhận xét 1.3 Ta mới chỉ xét những trường hợp trên biên ∂Ω chỉ chomột loại điều kiện biên Trên thực tế có thể gặp các bài toán biên hỗn hợp

−4u = f với các điều kiện biên trên là hàmu ∈ H1(Ω)sao cho u−w ∈ V

( Nói cách khác là với mọi v ∈ H, bài toán biến phân B(v, z) = F (v) có

song tuyến tính đối xứng, liên tục Từ bất đẳng thức Fridrich

CZ

Vì ϕ ∈ H1/2(∂Ω) nên tồn tại w ∈ H1(Ω) sao cho w|∂Ω = ϕ.

tức là tồn tại duy nhất nghiệm yếu của bài toán (1.14)

Ta đánh giá nghiệm: Theo định lý Max-Milgram ta có

Ta thấy

|(f, v)L2 (Ω)|

k v kH1 (Ω)

≤k f kL2 (Ω),

Định lí 1.10 u là nghiệm của bài toán (1.15) khi và chỉ khi u là nghiệmcủa bài toán cực trị

J (v) = B(v, v) − 2F (v) −→ min, v ∈ V (1.16)

ta cần chứng tỏ J (u) < J (v)

Đặt v = u + h, h 6= 0, ta có

J (v) = J (u + h) = B(u + h, u + h) − 2F (u + h)

= B(u, u) + 2B(u, h) + B(h, h) − 2F (u) − 2F (h)

Vì B(u, u) = F (u) và B(u, h) = F (h) nên

Nhận xét 1.4 Định lí 1.10 cho phép đưa việc tìm nghiệm yếu của bài

về bài toán

J (v) = B(v, v) − 2F (v) −→ min

Giả sử e1, e2, , en, là một hệ cơ sở của không gian V Kí hiệu Vn làkhông gian con với cơ sở e1, e2, , en Ta có V1 ⊂ V2 ⊂ ⊂ Vn ⊂ ⊂ V

Hệ này có nghiệm duy nhất vì det(B(ei, ej))n×n 6= 0.

Ta sẽ chứng tỏ rằng hệ này thu được từ điều kiện

α(n)i eik = 0 tức là dãy các nghiệm của bài toán

Chương 2

Phương pháp xấp xỉ biên đặc biệt (BAMs) đối với bài toán biên có

biên kì dị

2.1 Cơ sở của phương pháp

Xét bài toán sau

I(u, λ) = 1

2[B(v, v) + G(v, v; λ, λ)] − F (v)

= 12

Z Z

Ω

(5v)2ds + 1

2Z

phân kép trong bài toán Galerkin được đưa về các tích phân trên biên

∂Ω

v∂v

∂ndl +

12Z

=Z

2.3 Ứng dụng của phương pháp BAMs cho bài toán

Motz

Bài toán Motz là một bài toán Laplace chuẩn, nó thường được sử dụng

để kiểm tra các phương pháp số với các điều kiện biên kì dị

Bài toán Motz được phát biểu như sau

θ

i, ∀i = 1, 2,

θi,

Bài toán cực tiểu hóa:

IH(v) = 1

2Z

Để phân tích sai số của các phương pháp BAMs, đối với bài toán Motz,

C1β ≤ γ ≤ C2β

Trong đó c và C là các hằng số dương Chúng ta cần chú ý là sự phân tích

hạn cho các hệ số kì dị như sau

| ai − aNi |≤ C k u − uN kL2 (Ω),

trong đó C là hệ số độc lập với N

Bổ đề 2.1 Cho v thỏa mãn bài toán (2.8) và Γ1 được cho từ giả thiết(2.9), ta có

0,AB

o, ∀v ∈ VN

Cuối cùng

k u − uPN kH≤k u − v kH + k v − uPN kH≤ Cn k u − v kH +1

ω

∂u

∂n

0,AB

o

ta có kết quả cần chứng minh

phương trình (2.10) Khi đó tồn tại hằng số C > 0 và độc lập với N saocho

k u − uPN kH≤ Cn k rN k

1 2 0,Γ ∗

... data-page="29">

2.3 Ứng dụng phương pháp BAMs cho toán

Motz

Bài toán Motz tốn Laplace chuẩn, thường sử dụng

để kiểm tra phương pháp số với điều kiện biên kì dị

Bài tốn... data-page="18">

Nhận xét 1.3 Ta xét trường hợp biên ∂Ω chomột loại điều kiện biên Trên thực tế gặp toán biên hỗn hợp

−4u = f với điều kiện biên hàmu ∈ H1(Ω)sao cho u−w ∈ V