rèn luyện kỹ năng ứng dụng tích phân cho học sinh lớp 12 trung học phổ thông

+ Đề tài “Rèn luyện kĩ năng ứng dụng đạo hàm trong giải toán cho học sinh lớp 12 THPT thông qua hệ thống bài tập đã phân dạng” của Lý Hồng Hạnh, Đại học Thái Nguyên, năm 2006... Số hóa b

Trang 1

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Trang 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS BÙI VĂN NGHỊ

THÁI NGUYÊN - 2011

Trang 3

LỜI CẢM ƠN

Với tấm lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn khoa học PGS.TS.Bùi Văn Nghị đã tận tình hướng dẫn, hết lòng giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn này

Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo trong Tổ bộ môn Phương pháp giảng dạy môn Toán Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên, Đại học Sư phạm Hà Nội; Ban Chủ nhiệm khoa Toán, Ban Chủ nhiệm khoa Sau Đại học Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, thực hiện và hoàn thành luận văn

Tác giả cũng xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Lạng Sơn; Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp của Trường THPT Dân tộc Nội trú tỉnh Lạng Sơn cùng gia đình, bạn bè đã động viên để tác giả đạt được kết quả như ngày hôm nay

Tác giả luận văn

HOÀNG HỒNG HẠNH

Trang 4

MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN i

MỤC LỤC ii

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN vi

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Lịch sử nghiên cứu 1

3 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu 2

5 Mẫu khảo sát 2

6 Vấn đề nghiên cứu 3

7 Giả thuyết khoa học 3

8 Phương pháp nghiên cứu 3

9 Cấu trúc luận văn 3

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Kĩ năng và kĩ năng giải toán 4

1.1.1 Kĩ năng 4

1.1.2 Kĩ năng giải toán 6

1.1.2.1 Kĩ năng giải toán 6

1.1.2.2 Một số kĩ năng cần thiết khi giải toán 7

1.1.2.3 Cơ sở khoa học của việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh 10

1.1.2.4 Con đường hình thành và rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS 11

1.2 Bài tập toán và phương pháp dạy học giải bài tập toán 12

1.2.1 Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học 12

1.2.2.Các yêu cầu đối với lời giải 13

Trang 5

1.2.3 Phương pháp chung để giải bài toán 13

1.3 Dạy học nội dung “Ứng dụng tích phân” và việc rèn luyện kĩ năng giải Toán cho HS 15

1.3.1 Nội dung “Ứng dụng tích phân” 15

1.3.2 Mục đích, yêu cầu dạy học nội dung Ứng dụng tích phân 15

1.3.3 Các dạng bài tập của nội dung Ứng dụng tích phân 16

1.3.4 Tình hình dạy học nội dung Ứng dụng tích phân ở trường THPT 16

TÓM TẮT CHƯƠNG 1 17

CHƯƠNG 2 BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN CHO HS LỚP 12 THPT 18

2.1 Biện pháp 1: Biện pháp về Phương pháp dạy học 18

2.1.1 Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập của HS trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng 18

2.1.2 Trang bị các tri thức phương pháp cho HS 19

2.1.3 Rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua củng cố, luyện tập 19

2.2 Biện pháp 2 Trang bị vững chắc kiến thức và rèn luyện vững chắc kĩ năng cơ bản cho học sinh 21

2.2.1.Khái niệm và công thức tính diện tích hình thang cong 21

2.2.2.Khái niệm và công thức tính thể tích khối tròn xoay 22

2.2.3.Hệ thống bài toán 24

2.2.4 Hệ thống bài toán tham khảo 26

2.3 Biện pháp 3 Rèn luyện kĩ năng cho học sinh thông qua hệ thống bài toán theo mức độ khó dần, phức tạp dần 27

2.3.1 Tính diện tích hình thang cong, là đồ thị của hàm siêu việt 27

2.3.2 Tính diện tích hình phẳng, được giới hạn bởi hai đường cong, là đồ thị của các hàm đa thức, phân thức bậc nhỏ hơn ba 30

Trang 6

2.3.3 Tính diện tích hình phẳng, được giới hạn bởi hai đường cong, là đồ thị

của các hàm bậc cao, hàm lượng giác, hàm chứa căn thức, hàm mũ, logarit 33

2.3.4 Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong chứa tham số và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích đó 38

2.3.5 Tính diện tích hình phẳng, được giới hạn bởi nhiều hơn hai đồ thị hàm số 42

2.3.6 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do hình phẳng được giới hạn bởi đường cong có đồ thị là các hàm số bậc cao, hàm lượng giác, hàm chứa căn thức, hàm mũ, hàm lôgarit khi quay quanh trục Ox hoặc trục Oy 49

2.3.7 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong khi quay quanh trục Ox hoặc trục Oy 53

2.3.8 Ứng dụng tích phân tính tổng các k n C , chứng minh đẳng thức 61

2.3.9 Ứng dụng tích phân chứng minh Bất đẳng thức 71

2.4 Biện pháp 4: Khắc phục và sửa chữa sai lầm cho học sinh 76

Tóm tắt chương 2 80

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 81

3.1 Mục đích, tổ chức và nội dung thực nghiệm sư phạm 81

3.1.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 81

3.1.2 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 81

3.2 Đánh giá kết quả thực nghiệm sư phạm 82

3.2.1 Đề kiểm tra đánh giá (Thời gian 45 phút) 82

3.2.2 Thống kê kết quả kiểm tra 82

3.2.3 Đánh giá 83

3.2.4 Phân tích nguyên nhân 83

Tóm tắt chương 3 84

KẾT LUẬN 85

TÀI LIỆU THAM KHẢO 86

Trang 7

Trang 8

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Đvdt : Đơn vị diện tích Đvtt : Đơn vị thể tích

GV : Giáo viên

HĐ : Hoạt động

NXB : Nhà xuất bản THPT : Trung học phổ thông TNSP : Thực nghiệm sƣ phạm SGK : Sách giáo khoa

Trang 9

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Theo Luật Giáo dục Việt Nam năm 2005, phương pháp giáo dục cần

phải “Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người

học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”, “bồi

dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực

tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Từ đó, mục tiêu dạy học môn Toán là: Trang bị cho HS những tri thức, kĩ

năng, phương pháp toán học phổ thông, cơ bản, thiết thực; Góp phần phát

triển năng lực trí tuệ, bồi dưỡng phẩm chất trí tuệ cho HS; Góp phần hình

thành và phát triển các phẩm chất, phong cách lao động khoa học, biết hợp tác

lao động, có ý chí và thói quen tự học thường xuyên; Tạo cơ sở để HS tiếp tục

học cao đẳng, đại học, trung học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc

sống lao động

“Ứng dụng tích phân” là một nội dung tuy không phải là khó đối với

HS lớp 12 THPT, song thực tiễn cho thấy trong quá trình giải dạng toán này

HS cũng có không ít những biểu hiện sai lầm

Xuất phát từ những lí do trên chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu cho luận

văn là: “Rèn luyện kĩ năng ứng dụng tích phân cho học sinh lớp 12 THPT”

2 Lịch sử nghiên cứu

Hiện nay đã có một số đề tài luận văn Thạc sĩ gần gũi với đề tài này, như:

+) Đề tài “Rèn luyện kĩ năng giải toán về nguyên hàm, tích phân cho

học sinh kết hợp với sử dụng phần mềm Macromedia flash” của Nguyễn Văn

Thái Bình, Đại học sư phạm Hà Nội, năm 2004

+) Đề tài “Rèn luyện kĩ năng ứng dụng đạo hàm trong giải toán cho học

sinh lớp 12 THPT thông qua hệ thống bài tập đã phân dạng” của Lý Hồng

Hạnh, Đại học Thái Nguyên, năm 2006

Trang 10

+) Đề tài “Dạy học tích phân lớp 12 THPT bằng phương pháp khám phá có hướng dẫn” của Nguyễn Thị Thơ,Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2009

+) Đề tài “Rèn luyện kĩ năng vận dụng Phương pháp tọa độ giải toán HHKG 12” của Hoàng Thị Phương Thảo, Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2009

Những đề tài trên hoặc là gần gũi với nội dung “Ứng dụng đạo hàm”, hoặc là rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh nhưng với những chủ đề khác Đề tài mà chúng tôi lựa chọn nghiên cứu về biện pháp rèn luyện kĩ năng ứng dụng tích phân cho học sinh lớp 12 THPT, không trùng lặp với các đề tài

đã được công bố

3 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

+ Mục đích nghiên cứu: Đề xuất một giải pháp nhằm rèn luyện kĩ năng ứng dụng tích phân cho học sinh lớp 12 THPT

+ Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu hệ thống lí luận về kĩ năng, kĩ năng giải toán

- Nghiên cứu nội dung dạy học “Ứng dụng tích phân” lớp 12 THPT

- Nghiên cứu và đề xuất biện pháp rèn luyện kĩ năng ứng dụng tích phân cho học sinh lớp 12 THPT

- Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài

4 Đối tượng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: là quá trình rèn luyện kĩ năng ứng dụng tích phân cho học sinh lớp 12 THPT

- Phạm vi nghiên cứu: Chương Tích phân trong chương trình Giải tích lớp 12 THPT

- Khách thể nghiên cứu: chương trình, nội dung môn Toán THPT

5 Mẫu khảo sát

Một số lớp 12, trường THPT Dân tộc nội trú tỉnh Lạng Sơn

Trang 11

6 Vấn đề nghiên cứu

- Kĩ năng giải toán Ứng dụng tích phân

- Biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán Ứng dụng tích phân cho học sinh

7 Giả thuyết khoa học

Nếu vận dụng biện pháp rèn luyện kĩ năng giải toán “Ứng dụng tích phân” đề xuất trong luận văn thì học sinh sẽ nắm vững lí thuyết và có những

kĩ năng giải dạng toán này tốt hơn, nâng cao hiệu quả dạy học chủ đề này ở trường THPT

8 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí luận về rèn luyện và phát triển kĩ năng giải toán cho học sinh

- Phương pháp điều tra quan sát: Sử dụng phiếu điều tra về tình hình dạy và học nội dung “Ứng dụng tích phân” lớp 12 THPT

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: TNSP một số giáo án về “Ứng dụng tích phân” lớp 12 THPT và đánh giá kết quả rèn luyện kĩ năng giải dạng toán này cho học sinh, đánh giá tính khả thi và hiệu qủa của đề tài

- Phương pháp thống kê toán học: Dùng để xử lí số liệu trước và sau khi thực nghiệm sư phạm

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và phần kết luận, luận văn gồm 3 chương

Chương 1 Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2 Biện pháp nhằm rèn luyện kĩ năng giải toán “Ứng dụng tích

phân” cho học sinh lớp 12 THPT

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Trang 12

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Kĩ năng và kĩ năng giải toán

1.1.1 Kĩ năng

Theo Từ điển Hán Việt của tác giả Phan Văn Các thì “Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức khoa học vào thực tiễn” trong đó khả năng được hiểu

là “sức đã có (về một mặt nào đó) để có thể làm tốt công việc” [3] Như vậy,

kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định

Theo Polya.G “Trong toán học, kĩ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận thức”

Khi nói đến kĩ năng là nói đến sự sẵn sàng và năng lực hoàn thành công việc một cách có ý thức và độc lập với chất lượng cần thiết và trong thời gian tương ứng với những điều kiện mới “Mỗi kĩ năng bao gồm một hệ thống thao tác trí tuệ và thực hành thực hiện trọn vẹn hệ thống này sẽ đảm bảo đạt được mục đích đã đặt ra” [20]

- Cơ sở tâm lí của kĩ năng là sự thông hiểu mối quan hệ qua lại giữa mục đích hoạt động, các điều kiện và cách thức tiến hành hoạt động ấy

- Kiến thức là cơ sở của kĩ năng khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ thuộc tính bản chất, được thử thách trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với

tư cách là công cụ của hành động

- Không phải có tri thức là có kĩ năng tương ứng “Con đường đi từ chỗ

có tri thức (biết) đến chỗ có kĩ năng tương ứng (biết làm) là con đường luyện tập” [7] Như vậy, tri thức thuộc phạm vi nhận thức, thuộc về khả năng “biết” còn kĩ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc về khả năng “biết làm”

- Rèn luyện kĩ năng có vai trò đặc biệt quan trọng đối với sự phát triển trí tuệ, “Khó có thể phân biệt rạch ròi đâu là rèn luyện kĩ năng, đâu là phát triển trí tuệ”

Trang 13

Kĩ năng có các tính chất sau:

- Kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lí thuyết, đó là kiến thức, bởi vì cấu trúc của kĩ năng bao gồm: hiểu mục đích, biết cách đi đến kết quả, hiểu những điều kiện để triển khai các cách thức đó Kiến thức là cơ sở của kĩ năng khi các kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuộc tính bản chất của đối tượng, được thử nghiệm trong thực tiễn và tồn tại trong ý thức với tư cách là công cụ của hành động Như vậy kĩ năng giải toán cũng phải dựa trên cơ sở tri thức toán học (bao gồm kiến thức, kĩ năng, phương pháp) Do vậy nói đến kĩ năng giải toán không thể tách rời với phương pháp toán học nhằm hình thành và rèn luyện những kĩ năng đó

- Vai trò quan trọng của kĩ năng là góp phần củng cố kiến thức, cụ thể hóa, chính xác hóa lại kiến thức Điều này vừa là tính chất, đồng thời vừa là một mục tiêu quan trọng trong dạy học: chú ý đến rèn luyện và phát triển kĩ năng cho học sinh, từ đó làm cơ sở cho việc kiểm tra, củng cố lại kiến thức, dần từng bước tiếp thu kiến thức và kĩ năng mới phù hợp với sự phát triển trí tuệ và rộng hơn là phù hợp với yêu cầu của cuộc sống

- Kĩ năng chỉ có thể hình thành trong hoạt động và bằng hoạt động Kĩ năng và tri thức thống nhất trong hoạt động Tri thức là cần thiết để tiến hành các thao tác, độ thành thạo của các thao tác được hiểu như là kĩ năng, các thao tác này được thực hiện dưới sự kiểm tra của tri thức Con đường đi từ chỗ có tri thức đến chỗ có kĩ năng tương ứng là con đường luyện tập Nội dung của

sự luyện tập này rất phong phú Nói như vậy là để khẳng định vai trò quan trọng của việc tổ chức các hoạt động học tập trong quá trình hình thành và phát triển kĩ năng cho học sinh nhưng đồng thời cũng phải chú ý rằng các hoạt động phải được người học thực hiện nhiều lần, mang tính liên tục và đến một mức độ nhất định nào đó kĩ năng mới được hình thành

Trang 14

- Nói đến kĩ năng ta cũng cần phân biệt với kĩ xảo Kĩ năng và kĩ xảo

có điểm phân biệt tương đồng, đều là khả năng của con người được hình thành trên cơ sở của tri thức và của chủ thể trong quá trình tiến hành hoạt động và quá trình luyện tập, đều là cách thức của hành động Tuy nhiên kĩ năng và kĩ xảo có những điểm khác biệt như sau: Kĩ năng yêu cầu độ linh hoạt, sáng tạo của chủ thể cao trong khi kĩ xảo thiên về khuôn mẫu, máy móc

Kĩ xảo có trước và là tiền đề để có kĩ năng Kĩ năng có tính ổn định nhưng không bền vững như kĩ xảo Trong quá trình hoạt động, qua thời gian kĩ năng

có thể được bổ sung hoặc rút ngắn đi, hoặc thay đổi Kĩ năng thực hiện một hoạt động nào đó có thể mất đi sau một thời gian đồng thời cũng có thể được tái hình thành (thường thì sau một thời gian ngắn hơn thời gian hình thành kĩ năng đó)

- Như đã nói trên, kiến thức là cơ sở của kĩ năng, do đó mà tùy theo nội dung kiến thức truyền thụ cho học sinh mà ta có những yêu cầu rèn luyện kĩ năng tương ứng Con đường đi từ kiến thức đến kĩ năng là rất phong phú và nó phụ thuộc vào nhiều tham số như kiến thức xác định kĩ năng, mức độ chủ động, tích cực của HS Con đường tốt nhất và đảm bảo tính sư phạm là sự tham gia hoạt động và bằng hoạt động chủ động, tích cực, độc lập của chủ thể

1.1.2 Kĩ năng giải toán

1.1.2.1 Kĩ năng giải toán

Kĩ năng giải toán là khả năng vận dụng các kiến thức toán học để giải các bài tập toán học (tìm tòi, suy đoán, suy luận, chứng minh )

Kĩ năng giải toán dựa trên cơ sở tri thức toán học bao gồm: Kiến thức,

kĩ năng, phương pháp HS sau khi nắm vững lí thuyết trong quá trình tập luyện, củng cố, đào sâu kiến thức thì kĩ năng được hình thành, phát triển đồng thời nó cũng góp phần củng cố, cụ thể hóa tri thức toán học

Trang 15

Kĩ năng toán học được hình thành và phát triển thông qua việc thực hiện các hoạt động toán học và các hoạt động trong học tập môn Toán Kĩ năng có thể được rút ngắn, bổ sung, thay đổi trong quá trình hoạt động Với tư cách là cơ sở giáo dục toán học, tri thức có quan hệ mật thiết với việc thực hiện nhiệm vụ môn Toán Đặc biệt những tri thức phương pháp liên quan chặt chẽ đến việc rèn luyện kĩ năng, những tri thức giá trị, nhiều khi có liên hệ với việc gây động cơ hoạt động, điều đó cũng ảnh hưởng đến việc rèn luyện kĩ năng

Do tính trừu tượng trong toán học diễn ra trên nhiều cấp độ nên trong dạy học môn Toán cần quan tâm rèn luyện cho HS những kĩ năng trên những bình diện khác nhau:

- Kĩ năng vận dụng tri thức trong nội bộ môn Toán

- Kĩ năng vận dụng tri thức Toán học vào các môn học khác nhau

- Kĩ năng vận dụng Toán học vào đời sống

Kĩ năng trên bình diện thứ nhất là sự thể hiện mức độ thông hiểu tri thức toán học Không thể hình dung một người thông hiểu tri thức toán học

mà lại không biết vận dụng chúng để làm toán

Kĩ năng trên bình diện thứ hai thể hiện vai trò công cụ của toán học đối với những môn học khác, điều này cũng thể hiện mối liên hệ liên môn giữa các môn học trong nhà trường và đòi hỏi người GV dạy toán cần có quan điểm tích hợp trong việc dạy học bộ môn

Kĩ năng trên bình diện thứ ba là một mục tiêu quan trọng của môn Toán Nó cũng cho HS thấy rõ mối liên hệ giữa toán học và đời sống

1.1.2.2 Một số kĩ năng cần thiết khi giải toán

Hệ thống kĩ năng giải toán có thể chia thành 3 cấp độ: biết làm, thành thạo và sáng tạo khi giải các bài toán cụ thể

Trong giải toán HS cần có nhóm kĩ năng chung sau đây:

+) Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán: Phân tích bài toán, làm rõ các dữ kiện đặt ra, nếu bài toán có tính chất là một vấn đề thì cần tìm một khâu nào còn chưa biết một quy tắc tổng quát hoặc một phương pháp có yếu tố thuật

Trang 16

toán để giải bài toán, xác định đó là trọng tâm suy nghĩ tìm hướng giải Đây là

kĩ năng phát hiện và giải quyết vấn đề, là một trong những kĩ năng quan trọng nhất khi giải một bài toán có tính chất là một vấn đề Cần làm rõ các thành phần, mối liên hệ (tường minh hay không tường minh) qua các yếu tố (có hoặc không có) trong bài toán

+) Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướng giải bài toán: Huy động tri thức, kinh nghiệm của bản thân có liên quan để giải bài toán bao gồm hai dạng:

- Dạng 1 là những nội dung mà HS sản sinh ra một cách tích cực bằng các thao tác tư duy, bằng lao động trí óc và thực hành

- Dạng 2 là những ý tưởng chợt lóe sáng tự phát, được hiểu theo nghĩa bừng sáng của quá trình tư duy sáng tạo, chuyển dịch về những vấn đề quen thuộc đã có thuật giải: quy nạp, tìm kiếm, dự báo, bổ sung vào thuật giải đã có hoặc tìm kiếm thuật giải mới

+) Kĩ năng tự kiểm tra đánh giá tiến trình và kết quả bài toán, tránh sai lầm khi giải toán: Trong học tập giải toán, việc phát hiện và sửa chữa sai lầm

là một thành công của người học toán

+) Kĩ năng thu nhận, hợp thức hóa bài toán thành kiến thức mới của người giải toán

Ngoài ra, HS cần rèn luyện các nhóm kĩ năng cụ thể sau:

*) Nhóm kĩ năng thực hành:

+) Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán: Kĩ năng này được rèn luyện trong quá trình tìm tòi lời giải của bài toán Cần chú ý kĩ năng chuyển từ tư duy thuận sang tư duy nghịch để nắm vững và vận dụng kiến thức (một thành phần của tư duy toán học), kĩ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận

Trang 17

+) Kĩ năng tính toán: Đây là điều cần thiết trong thực tiễn cuộc sống Ở đâu cũng đòi hỏi kĩ năng tính toán như: tính đúng, tính nhanh, tính hợp lí Các đức tính đó để có được kĩ năng đó là: cẩn thận, chu đáo, nhanh trí, kiên trì, luôn có ý thức tìm tòi các phương pháp tính toán khác nhau Kĩ năng tính toán được rèn luyện qua các bài luyện tập, thông qua tính nhẩm, sử dụng bảng số, máy tính, thực hiện các phép tính gần đúng

+) Kĩ năng trình bày lời giải khoa học, sử dụng biểu đồ, sơ đồ, đồ thị, đọc và vẽ đồ thị chính xác, rõ ràng

+) Kĩ năng ước lượng, đo đạc có ý nghĩa giáo dục và có ý nghĩa thực tiễn: Để có kĩ năng đó cần rèn luyện cho HS thói quen ước lượng khi sử dụng dụng cụ đo trong thực tiễn Đặc biệt với kĩ năng vẽ hình HS phải được hình thành và rèn luyện kĩ năng vẽ hình chính xác, phù hợp với lý thuyết biểu diễn hình, vẽ cẩn thận, vẽ đẹp

+) Kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn: HS được rèn luyện kĩ năng này thông qua các bài toán có tính thực tiễn hoặc các bài toán có nội dung không phải dưới dạng thuần túy toán học mà dưới dạng một vấn đề thực

tế cần giải quyết

*) Nhóm kĩ năng về tư duy:

+) Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức trong giải toán: sắp xếp kiến thức theo trình tự giải, nhớ lại và huy động kiến thức, kinh nghiệm hữu ích để giải toán; phân loại bài toán để lựa chọn kế hoạch và phương pháp giải, tập hợp các dữ kiện, xác định ẩn, biểu thị qua các mối liên hệ, xác định rõ giả thiết, kết luận, phản ánh rõ các kí hiệu trong bài toán; biết sử dụng các phương pháp suy luận và các thao tác tư duy khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự trong tiến trình giải toán, biết giải quyết từng cái riêng, bộ phận trong bài toán từ đó đi đến giải quyết cái chung, tổng thể của bài toán và ngược lại

+) Kĩ năng tổng hợp: Liên kết các dữ kiện trong bài toán, khái quát các dấu hiệu, tóm tắt nội dung bài toán, xác định rõ giả thiết, kết luận, kết cấu lại

đề toán, định hướng tiến trình giải toán

Trang 18

+) Kĩ năng phân tích: Biết phân tích các quan hệ và cấu trúc của bài toán, nhận dạng ý trọng tâm, dự đoán, phân tích và khắc phục các sai lầm trong quá trình giải toán, phân loại các khả năng có lời giải hoặc cách đi đến lời giải, xác định trọng tâm cần giải quyết trong bài toán

+) Kĩ năng mô hình hóa: Hành động mô hình hóa bài toán là hành động chuyển bài toán thành mô hình và phân tích quan hệ toán học cũng như các phương pháp toán học sử dụng trên mô hình đó Đây là một kĩ năng cần thiết

để giải một bài toán có ứng dụng thực tiễn và các bài toán liên môn khác

+) Kĩ năng sử dụng thông tin: Nhận biết, thu thập và ghi nhận thông tin

từ nội dung bài toán Phân loại, sắp xếp và thể hiện qua các kênh thông tin trong hoạt động giải toán để tạo cơ sở huy động kiến thức, vốn kinh nghiệm

có liên quan hữu ích đến việc giải bài toán

1.1.2.3 Cơ sở khoa học của việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

+) Cơ sở tâm lý giáo dục: Quá trình học được tiến hành bằng sự kết

hợp giữa hoạt động dạy của thầy và các hoạt động học của trò, do đó các biện pháp sư phạm phải thông qua hoạt động dạy tác động và hoạt động học của

HS, làm cho HS có động cơ hoàn thiện tri thức và kĩ năng Nhân cách của HS trong đó có kết quả học tập chính là chất lượng sản phẩm mà nhà trường đào tạo cho xã hội Vì vậy cần chú ý đến hoạt động học, các biện pháp tập trung vào rèn luyện và phát triển các dạng hoạt động của HS, rèn luyện kĩ năng học tập của HS như kĩ năng nhận thức, kĩ năng thực hành, kĩ năng tổ chức hoạt động, kĩ năng tự kiểm tra, đánh giá Theo Lê Văn Hồng “Cơ sở tâm lí của kĩ năng là sự thông hiểu mối quan hệ qua lại giữa mục đích hoạt động, các điền kiện và cách thức hoạt động ấy” [9]

+) Cơ sở phương pháp dạy học bộ môn Toán: Phương pháp dạy học

môn Toán ở trường THPT phải luôn gắn liền với việc truyền thụ tri thức, kĩ năng với việc phát triển các năng lực của HS

Trang 19

Căn cứ vào nhiệm vụ của việc dạy học bộ môn, bên cạnh việc truyền thụ tri thức, rèn luyện kĩ năng thực hành Toán học, HS cần được rèn luyện kĩ năng vận dụng Toán học vào việc học tập bộ môn khác, vào thực tiễn cuộc sống Do đó cần thiết và có thể xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện các kĩ năng giải toán cho HS, góp phần thực hiện các nhiệm vụ bộ môn đồng thời đảm bảo tính liên môn trong dạy học

1.1.2.4 Con đường hình thành và rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS

Việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS phải nhằm vào việc biến các kiến thức và kĩ năng cơ bản trong từng chương, từng mục thành kiến thức và kĩ năng tổng hợp, hoàn chỉnh chuẩn bị cho mọi hoạt động học tập lao động và nghề nghiệp cho HS Trước hết người GV cần xác định rõ con đường hình thành kĩ

năng cho HS và và vai trò của mình trong qui trình đó nhờ sơ đồ sau đây:

Qui trình hình thành và phát triển kĩ năng giải toán cho HS

)giải)

HS thực hành, luyện tập (áp dụng phương pháp)

GV hướng dẫn quy trình (phương pháp)

GV gợi động cơ, hướng

HS vào các hoạt động Hoạt động của GV và HS

Trang 20

1.2 Bài tập toán và phương pháp dạy học giải bài tập toán

1.2.1 Vai trò của bài tập toán trong quá trình dạy học

Bài tập Toán học có vai trò quan trọng trong môn Toán, là giá mang hoạt động của HS Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định, bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lí, qui tắc/phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và hoạt động ngôn ngữ

Vai trò của bài tập thể hiện trên ba bình diện:

+) Trên bình diện mục đích dạy học, bài tập Toán học ở trường phổ

thông là giá mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục đích Mặt khác, những bài tập cũng thể hiện những chức năng khác nhau hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học môn Toán, cụ thể là:

- Hình thành, củng cố tri thức kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học, kể cả kĩ năng ứng dụng Toán học vào thực tiễn

- Phát triển năng lực trí tuệ: Rèn luyện những thao tác tư duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ

- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng hình thành những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

+) Trên bình diện nội dung dạy học, những bài tập Toán học là giá

mang những hoạt động liên hệ với những nội dung nhất định, làm cho bài tập

đó trở thành một phương tiện để cài đặt nội dung dưới dạng những tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho những tri thức nào đó đã được trình bày trong phần lí thuyết

+) Trên bình diện phương pháp dạy học, bài tập Toán học là giá mang

những hoạt động để người học kiến tạo những nội dung nhất định và trên cơ

sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác Khai thác tốt những bài tập như

Trang 21

vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau về phương pháp dạy học: đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt là về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện để đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, khả năng làm việc độc lập và trình độ phát triển của HS, giúp GV nắm được thông tin hai chiều trong quá trình dạy và học

1.2.2 Các yêu cầu đối với lời giải

Để phát huy tác dụng của bài tập Toán học, trước hết cần nắm vững các yêu cầu của lời giải Nói một cách vắn tắt, lời giải phải đúng và tốt Nói như vậy là bao hàm đủ các ý cần thiết, nhưng quá cô đọng Để thuận tiện cho việc thực hiện các yêu cầu của lời giải trong quá trình dạy học và đánh giá HS, có thể cụ thể hóa các yêu cầu, đương nhiên là phải chấp nhận các yếu tố trùng lặp nhất định trong các yêu cầu chi tiết:

- Kết quả đúng, kể cả ở các bước trung gian

- Lập luận chặt chẽ

- Lời giải đầy đủ

- Ngôn ngữ chính xác

- Trình bày rõ ràng, đảm bảo mĩ thuật

- Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lí nhất

- Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

1.2.3 Phương pháp chung để giải bài toán

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết của Polya [8] về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán như sau:

Trang 22

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài

Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung bài toán; phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, phải chứng minh; có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề bài

Bước 2: Tìm cách giải

Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng minh phản chứng, quy nạp Toán học, toán dựng hình, toán quĩ tích

Kiểm tra lại lời giải bằng cách xem kĩ lại từng bước thực hiện hoặc đặc biệt hóa kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức có liên quan

Tìm tòi những cách giải khác, so sánh chúng để được một cách giải hợp

lí nhất

Trả lời các câu hỏi hướng dẫn như: đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở một dạng hơi khác? Xét kĩ cái chưa biết và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc có cùng cái chưa biết hay có cái cho biết tương tự? Có biết một bài toán nào có liên quan không? Có thể áp dụng một định lí nào đó không? Có thể phát biểu bài toán một cách khác hay không? Nếu chưa giải được, hãy thử giải một bài toán có liên quan, có thể nghĩ ra một bài toán liên quan và dễ hơn được không? Hãy chọn một lời giải ngắn gọn, hợp lí nhất

Bước 3: Trình bày lời giải

Từ cách giải đã phát hiện được, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự thích hợp và thực hiện các bước đó

Trang 23

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải

Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải

Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề

1.3 Dạy học nội dung “Ứng dụng tích phân” và việc rèn luyện kĩ năng giải Toán cho HS

1.3.1 Nội dung “Ứng dụng tích phân”

Theo phân phối chương trình môn Toán THPT, phần Giải tích lớp 12 nâng cao HS được học với số tiết là 90 tiết, trong đó nội dung “Ứng dụng tích phân” chỉ được nghiên cứu trong 6 tiết trong chương III – SGK Giải tích 12,

cụ thể như sau:

Tiết theo phân

63 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng – Bài tập

64 Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng – Bài tập

66 Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể – Bài tập

67 Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể – Bài tập

1.3.2 Mục đích, yêu cầu dạy học nội dung Ứng dụng tích phân

Trên cơ sở mục đích của việc dạy học toán ở trường phổ thông, căn cứ vào nội dung ứng dụng tích phân trong chương trình giải tích lớp 12, ta có thể xác định được mục đích yêu cầu dạy học nội dung ứng dụng đạo hàm như sau:

Về kiến thức: Biết các công thức tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể, thể tích khối tròn xoay nhờ tích phân

Về kĩ năng: Tính được một số diện tích hình phẳng, thể tích của một số khối tròn xoay nhờ tích phân

Ngoài những yêu cầu trên, GV có thể cho HS thấy những ứng dụng khác của tích phân như chứng minh bất đẳng thức, tính một số tổng hữu hạn, tính giới hạn

Trang 24

1.3.3 Các dạng bài tập của nội dung Ứng dụng tích phân

+) Ứng dụng tích phân chứng minh một số bất đẳng thức

1.3.4 Tình hình dạy học nội dung Ứng dụng tích phân ở trường THPT

Để biết được tình hình thực tế của việc rèn luyện kĩ năng ứng dụng tích phân để giải một số bài toán trong chương trình cho HS lớp 12 THPT tác giả

đã phát phiếu thăm dò đến các thầy cô giáo trong tổ Toán trường THPT Dân tộc Nội trú tỉnh Lạng Sơn và một số thầy cô trường THPT Việt Bắc, THPT Cao Lộc của tỉnh Lạng Sơn với nội dung như sau:

Câu hỏi 1: Việc rèn luyện kĩ năng ứng dụng tích phân cho HS lớp 12

có thật sự quan trọng không? Tại sao?

Câu hỏi 2: Thầy cô có thường xuyên rèn luyện kĩ năng ứng dụng tích

phân cho HS lớp 12 hay không?

Câu hỏi 3: Thầy cô thường gặp khó khăn gì khi rèn luyện kĩ năng ứng

dụng tích phân cho HS lớp 12?

Kết quả thu được như sau:

Đối với câu hỏi 1: Đa số các thầy cô trả lời là thật sự rất quan trọng vì

nó có nhiều ứng dụng trong thực tế, hơn nữa trong các kì thi tốt nghiệp, tuyển sinh ta cũng gặp nhiều dạng toán này

Đối với câu hỏi 2: Câu trả lời của các thầy cô là không đồng đều, có

thầy cô thường xuyên rèn luyện kĩ năng này, nhưng cũng có những thầy cô không thường xuyên làm được việc này vì một số lí do

Đối với câu hỏi 3: Đa số các thầy cô nêu ra khó khăn do điều kiện thời

gian, số tiết trong phân phối chương trình ít, kĩ năng xác định hình của HS còn yếu, thiếu hệ thống bài tập tốt để thực hiện rèn luyện kĩ năng này

Trang 25

Trang 26

CHƯƠNG 2 BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN CHO HS LỚP 12 THPT

2.1 Biện pháp 1: Biện pháp về Phương pháp dạy học

Để rèn luyện được kĩ năng giải toán cho HS ta cần phải có một giải pháp đồng bộ về phương pháp dạy họcbao gồm các hoạt động sau:

2.1.1 Tổ chức các hoạt động học tập đảm bảo tính chủ động, tích cực, độc lập của HS trong quá trình chiếm lĩnh tri thức và rèn luyện kĩ năng

Mục tiêu quan trọng đầu tiên của việc tổ chức các hoạt động học tập là đảm bảo cho HS nắm vững một cách vững chắc và có hệ thống các kiến thức qui định trong chương trình Căn cứ vào chương trình, người GV cần phải xác định và chọn lọc các kiến thức, kĩ năng cơ bản cần được trang bị, hình thành, phát triển cho HS

Trên quan điểm hoạt động định hướng đổi mới phương pháp dạy học, trong quá trình dạy học người GV cần tổ chức các hoạt động học tập để HS tham gia, cụ thể là:

Tạo những tình huống gợi ra những hoạt động tương thích với nội dung và mục tiêu dạy học

HS hoạt động tự giác tích cực, chủ động, sáng tạo, có sự giao lưu giữa

GV với HS, giữa HS với HS

GV có tác động điều chỉnh hoạt động học tập, chẳng hạn như giúp đỡ

HS vượt qua những khó khăn bằng phân tách một hoạt động thành những thành phần đơn giản hơn, hoặc cung cấp cho HS một số tri thức phương pháp

và nói chung là điều chỉnh mức độ khó khăn của nhiệm vụ dựa vào sự phân bậc hoạt động

GV giúp HS xác nhận những tri thức đã đạt được trong quá trình hoạt động, đưa ra những bình luận cần thiết để HS hiểu những tri thức đó một cách sâu sắc, đầy đủ hơn

Trang 27

2.1.2 Trang bị các tri thức phương pháp cho HS

Trước hết GV cần rèn luyện cho HS thực hành giải toán theo quy định 4 bước của Pôlya rồi từ đó hình thành kĩ năng giải toán cho HS theo quy trình này

Khi đã có một quy trình giải toán chung nhất như trên, cộng với những tri thức phương pháp về những nội dung toán học cụ thể HS có thể tìm tòi, khám phá để tìm đến lời giải bài toán

Đối với những bài toán đã có thuật giải: GV cần căn cứ vào yêu cầu chung của chương trình cũng như tình hình thực tế để hoặc thông báo tường minh thuật giải hoặc có thể cho HS thực hiện các hoạt động học tập ăn khớp với tri thức phương pháp đó

Đối với những bài toán chưa có hoặc không có thuật giải: GV cần hướng dẫn để HS suy nghĩ, tìm tòi lời giải Qua đó trang bị cho HS một số tri thức về phương pháp giải toán Thông qua dạy HS giải một số bài toán cụ thể

mà dần dần hình thành cho HS cách thức, kinh nghiệm tiến tới nghệ thuật giải một lớp các bài toán có dạng quen thuộc Từ đó hình thành kĩ năng giải quyết loại bài toán đó

2.1.3 Rèn luyện kĩ năng giải toán thông qua củng cố, luyện tập

Cấu tạo của SGK ở phổ thông theo nguyên tắc: Mỗi nội dung Toán học mới đều dựa vào những nội dung đã học trước kia Vì vậy việc củng cố tri thức kĩ năng một cách có định hướng và có hệ thống có ý nghĩa to lớn trong việc dạy học toán Củng cố cần được thực hiện không chỉ đối với tri thức mà còn đối với cả kĩ năng, kĩ xảo, thói quen và thái độ

Trong môn Toán củng cố diễn ra dưới các hình thức: Luyện tập, đào

sâu, ứng dụng, hệ thống hóa và ôn

Luyện tập: Trước hết nhằm mục tiêu rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo Luyện

tập không phải chỉ đối với tính toán mà còn cả đối với việc dựng hình, vẽ đồ thị hàm số, giải phương trình và bất phương trình, sử dụng thước, máy tính

Trang 28

Đào sâu: Đào sâu trước hết nhằm vào việc phát hiện và giải quyết

những vấn đề liên quan đến những phương diện khác nhau, những khía cạnh khác nhau của tri thức, bổ sung, mở rộng và hoàn chỉnh tri thức

Những cách đặt vấn đề điển hình để đào sâu tri thức là: Nghiên cứu về

sự tồn tại và duy nhất, xem xét những trường hợp mở rộng, những trường hợp đặc biệt hoặc suy biến, nghiên cứu những mối liên hệ và phụ thuộc, lật ngược vấn đề, thay đổi hình thức phát biểu

Ứng dụng: Được hiểu là vận dụng những tri thức và kĩ năng được lĩnh

hội vào việc giải quyết những vấn đề trong nội bộ môn Toán cũng như trong thực tiễn Trong khâu ứng dụng cần rèn luyện cho HS năng lực phát triển và giải quyết vấn đề, lựa chọn bộ phận tri thức và kĩ năng thích hợp, tìm kiếm con đường giải quyết, lí giải và trình bày lời giải, kiểm tra đánh giá kết quả và sắp xếp kiến thức đạt được vào hệ thống tri thức đã có

Ngoài dạng bài tập chứng minh, tìm tòi, mặt quan trọng nữa là ứng dụng thực tế của Toán học Trong trường hợp này, cần làm nổi bật và dần dần khắc sâu cách tiếp cận và giải quyết vấn đề như sau:

- Toán học hóa tình huống thực tế

- Dùng công cụ toán học để giải quyết bài toán trong mô hình này

- Chuyển kết qủa trong mô hình toán học sang lời giải của bài toán thực tế Việc này làm cho HS thấy rõ mối quan hệ giữa toán học và thực tế góp phần giáo dục thế giới quan, thẩm mĩ cho HS

Hệ thống hóa: Nhằm vào việc so sánh, đối chiếu những tri thức đã đạt

được, nghiên cứu những điểm giống nhau và khác nhau, làm rõ những mối quan hệ giữa chúng Nhờ đó người học đạt được không chỉ những tri thức riêng lẻ mà còn cả hệ thống tri thức

Ôn: Tức là nhắc lại tri thức, luyện lại kĩ năng đã có Ôn giữ một vị trí

đặc biệt so với bốn hình thức khác nhau của củng cố, bởi vì nó thường được

Trang 29

kết hợp với các hình thức đó, thậm chí đan kết, hòa nhập vào các hình thức

đó Ôn lại không phải chỉ là những gì lĩnh hội được trong bài lí thuyết mà khi cần thiết có thể nhắc lại cả tri thức đã đạt được trong các khâu của củng cố

2.2 Biện pháp 2 Trang bị vững chắc kiến thức và rèn luyện vững chắc kĩ năng cơ bản cho học sinh

Sự vững chắc của kiến thức trong nội dung này thể hiện qua 4 vấn đề sau:

- Hiểu rõ khái niệm và công thức tính diện tích hình

- Hiểu rõ khái niệm và công thức tính thể tích khối tròn xoay

- Nhận biết và phân biệt được từng dạng công thức tính

- Tính đúng tích phân

Nội dung chi tiết của những vấn đề trên như sau:

2.2.1.Khái niệm và công thức tính diện tích hình thang cong

Nếu hàm số y f x  liên tục trên đoạn  a b; thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng ,

Trang 30

+) Nếu đồ thị (C) cắt trục hoành tại điểm

Các bước thực hiện giải dạng toán này là:

+) Giải phương trình hoành độ giao điểm: f x  0(*), tìm nghiệm thuộc đoạn  a b;

+) Nếu phương trình (*) vô nghiệm trên  a b; thì ta xét dấu f x  trên

 a b; để bỏ dấu giá trị tuyệt đối hoặc sử dụng trực tiếp công thức:

   

S f x dx  f x dx +) Nếu phương trình (*) có nghiệm

2.2.2.Khái niệm và công thức tính thể tích khối tròn xoay

+) Cho một vật thể trong không gian toạ độ Oxyz Gọi B là phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và

b Gọi S x  là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x a  x b Giả sử S S x  là một hàm số liên tục, khi đó thể tích V của B là

 

b

a

V S x dx

Trang 31

+) Cho hàm số y f x  liên tục, không âm trên đoạn  a b; Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng ,

xa xbquay quanh trục hoành tạo nên một khối tròn xoay Thể tích V của

d

c

V   f y dy

Trang 32

Các kĩ năng cơ bản cần thiết là:

+) Biết giải phương trình f x  0 tìm nghiệm trên đoạn  a b;

+) Xác định được miền hình phẳng được sinh ra

+) Biết cách sử dụng công thức tính thể tích vật tròn xoay hợp lí khi quay quanh Ox hay quay quanh Oy

2.2.3.Hệ thống bài toán

Bài 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 2

2

yx  x, trục hoành và hai đường thẳng x  1,x 2

x , biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục

Ox tại điểm có hoành độ x0  x 3 là một hình chữ nhật có hai kích thước là

Trang 33

Bài 3 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục hoành bởi

Bài 4 Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh Oy

của hình phẳng giới hạn bởi:





 có đồ thị là (C) Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (C), đường thẳng y 1, trục tung, trục hoành Cho (H) quay quanh trục tung ta sẽ được một khối tròn xoay, tính thể tích của khối tròn xoay này

Trang 34

2.2.4 Hệ thống bài toán tham khảo

1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y x

 



 có đồ thị là (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C ,y 0,x 0,x 1

3) Tính thể tích của phần hình trụ bán kính đáy R, giới hạn bởi đáy và một

mặt phẳng đi qua đường kính của đáy và hợp với đáy một góc α

4) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Ox của

miền (D) giới hạn bởi các đường:

y x

 



 (C) Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi (C), trục

Ox và hai đường thẳng x  1,x 0 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi (H) quay quanh Ox

6) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay quanh trục Oy hình

Trang 35

7) Cho (D) là hình phẳng giới hạn bởi (P): 2

2

y xx và trục Ox

a) Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay (D) quanh Ox

b) Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay (D) quanh Oy

2.3 Biện pháp 3 Rèn luyện kĩ năng cho học sinh thông qua hệ thống bài toán theo mức độ khó dần, phức tạp dần

Ngoài những dạng cơ bản ở mục trên, chúng ta có thể sắp xếp sự khó dần của dạng toán ứng dụng của tích phân theo thứ tự các dạng sau:

- Tính diện tích hình thang cong, là đồ thị của hàm siêu việt

- Tính diện tích hình phẳng, được giới hạn bởi hai đường cong, là đồ thị của các hàm đa thức, phân thức bậc nhỏ hơn ba

- Tính diện tích hình phẳng, được giới hạn bởi hai đường cong, là đồ thị của các hàm bậc cao, hàm chứa căn thức, hàm mũ, logarit

- Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong chứa tham số và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích đó

- Tính diện tích hình phẳng, được giới hạn bởi nhiều đường cong

- Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do hình phẳng được giới hạn bởi đường cong có đồ thị là các hàm số bậc cao, hàm lượng giác, hàm chứa căn thức, hàm mũ, hàm lôgarit khi quay quanh trục Ox hoặc trục Oy

- Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành do hình phẳng được giới hạn bởi hai đường cong khi quay quanh trục Ox hoặc trục Oy

 , trục hoành và hai đường thẳng x 1,xe

Trang 36

2

x x   x

Trang 37

b) Hệ thống bài toán tham khảo

8) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong 2

ln

yx x, trục Ox và hai đường thẳng x 1,xe

Trang 38

   

d

c

S  g y h y dy

Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, vẽ hai đồ thị (C1): y f x , (C2): yg x 

Trang 39

Ngoài ra, ta có thể áp dụng trực tiếp công thức sau:

+) Giải phương trình hoành độ giao điểm: f x g x (*), tìm nghiệm thuộc đoạn  a b;

+) Nếu phương trình (*) vô nghiệm trên  a b; thì ta xét dấu hiệu

Trang 40



 có đồ thị là (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C , Ox,x  1,x 1

11) Cho hàm số

2

3 1 1

y x

 



 có đồ thị là (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi  C ,y 0,x 0,x 1

Định dạng
Số trang	95
Dung lượng	1,55 MB