rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán ở trường thcs bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm số và phương trình

HỒ MAI LOAN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN Ở TRƯỜNG THCS BẰNG CÁCH KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC... HỒ MAI LOAN RÈN L

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

………

HỒ MAI LOAN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Ở TRƯỜNG THCS BẰNG CÁCH KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ

GIỮA HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

………

HỒ MAI LOAN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN

Ở TRƯỜNG THCS BẰNG CÁCH KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ

GIỮA HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy - học Bộ môn Toán

Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN ANH TUẤN

THÁI NGUYÊN - 2010

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo - Tiến sĩ Nguyễn

Anh Tuấn, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực

hiện đề tài

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ phương pháp dạy Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Quốc gia Hà Nội, các thầy cô giáo trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, khoa Sau đại học Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu cũng như toàn thể các đồng nghiệp Trường THCS Nguyễn Công Trứ, Ba Đình, Hà Nội đã quan tâm và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi thực hiện đúng kế hoạch học tập và nghiên cứu

Xin chân thành cảm ơn các học viên trong lớp Cao học Toán Khóa 16

và các bạn đồng nghiệp xa gần về sự động viên, khích lệ cũng như trao đổi về chuyên môn trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2010

Hồ Mai Loan

TỪ VIẾT TẮT NỘI DUNG

Trang

MỞ ĐẦU 0

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1

II MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU 2

1 Mục đích nghiên cứu: 2

2 Nhiệm vụ nghiên cứu: 2

III GIẢ THUYẾT KHOA HỌC 2

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 3

1 Phương pháp nghiên cứu lý luận 3

2 Phương pháp điều tra quan sát 3

3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm 3

4 Phương pháp thống kê toán học 3

V CẤU TRÚC LUẬN VĂN 3

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 4

1.1 Một số vấn đề về kỹ năng và rèn luyện kỹ năng qua môn Toán 4

1.1.1 Kỹ năng: 4

1.1.2 Kỹ năng giải toán: 5

1.1.3 Sự cần thiết rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh: 5

1.2 Chủ đề “Hàm số và phương trình” ở THCS 6

1.2.1 Nội dung kiến thức của chủ đề “Hàm số và phương trình” trong chương trình SGK THCS 6

1.2.2 Những kiến thức cơ bản của HS khi học chủ đề “Hàm số và phương trình”: 7 1.3 Tình hình dạy và học về giải toán vận dụng mối liên hệ giữa hàm số

khai thác vận dụng mối quan hệ giữa hàm số với phương trình để giải

toán 18

1.4 Kết luận chương 1 19

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN Ở TRƯỜNG THCS BẰNG CÁCH KHAI THÁC MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH 21

2.1 Sơ lược về mối quan hệ giữa hàm số và phương trình: 21

2.1.1 Về tập xác định của chúng: 21

2.1.2.Về nghiệm của phương trình và sự biến thiên của hàm số: 21

2.1.3 Về các phép biến đổi và các biểu thức trong hàm số và phương trình : 21

2.1.4 Về đồ thị của hàm số và số nghiệm của phương trình: 22

2.2 Một số kỹ năng trong giải toán bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm số và phương trình: 22

2.3 Định hướng (nguyên tắc) xây dựng hệ thống bài toán: 26

2.4 Hệ thống bài toán và biện pháp rèn luyện kỹ năng 26

2.4.1 Dạng toán 1: 27

2.4.1.1 PP giải và những kỹ năng cần thiết 28

2.4.1.2 Minh họa qua một số ví dụ : 29

2.4.2 Dạng toán 2: 34

2.4.2.1 PP giải và những kỹ năng cần thiết 34

2.4.2.2.Minh họa qua một số ví dụ : 36

2.4.3 Dạng toán 3……… 41

2.4.3.1 PP giải và những kỹ năng cần thiết:……… 42

2.4.3.2 Minh họa qua một số ví dụ 43

2.4.4.2 Minh họa qua một số ví dụ: 48

2.4.5 Dạng toán 5 52

2.4.5.1 PP giải và những kỹ năng cần thiết 52

2.4.5.2.Minh họa qua một số ví dụ: 54

2.4.6.Dạng toán 6:………

2.4.6.1 PP giải và những kỹ năng cần thiết 57

2.4.6.2 Minh họa qua một số ví dụ:………

2.5 Kết luận chương 2: 59

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 61

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm 61

3.1.1 Mục đích của thực nghiệm sư phạm 61

3.1.2 Nhiệm vụ của thực nghiệm 61

3.2 Phương pháp thực nghiệm 61

3.3 Kế hoạch và nội dung thực nghiệm 62

3.4 Tiến hành thực nghiệm 63

3.4.1 Nội dung giáo án lên lớp 1: 63

3.4.2 Nội dung giáo án lên lớp 2: 70

3.5.Kết quả thực nghiệm 76

3.5.1 Nhận xét của giáo viên qua tiết dạy thực nghiệm 76

3.5.2 Kết quả bài kiểm tra của học sinh 77

3.6 Kết luận chương 3 79

KẾT LUẬN 80

TÀI LIỆU THAM KHẢO 81

MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Luật Giáo dục nước Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam quy định:

„„Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh‟‟(Luật Giáo dục 1998, chương I, điều 24)

Thực tế cho thấy rèn luyện kỹ năng cho học sinh là một khâu quan trọng không thể tách rời của quá trình đào tạo ở trường THCS Đó là hoạt động cần thiết để học sinh biến tri thức nhân loại thành vốn hiểu biết và khả năng của riêng mình, đặc biệt quá trình rèn luyện kỹ năng thực hiện tốt thì chất lượng học tập mới mang lại hiệu quả cao

Hàm số và phương trình trong chương trình toán trường THCS là nội dung hay, có khả năng rèn luyện tư duy của học sinh nhưng cũng lại được xem là phần khó học và khó dạy Lý do là học sinh chưa được rèn luyện đầy đủ kỹ năng còn giáo viên đã đổi mới phương pháp dạy học nhưng vẫn chưa làm cho học sinh chủ động và có hứng thú trong học tập Do đó chúng tôi thấy rằng, thông qua việc rèn luyện kỹ năng cho học sinh qua một chủ đề cụ thể, từ đó học sinh xây dựng được cho mình phương pháp tư duy lô-gíc

năng giải một số dạng toán ở trường THCS bằng cách khai thác mối liên

hệ giữa hàm số và phương trình”

II MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

1 Mục đích nghiên cứu:

toán ở trường THCS bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm số và phương trình thông qua:

+ Xác định một số kỹ năng giải toán bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm số và phương trình;

+ Xây dựng hệ thống bài tập để rèn luyện kỹ năng giải toán bằng cách

khai thác mối liên hệ giữa hàm số và phương trình cho HS ở trường THCS

2 Nhiệm vụ nghiên cứu:

+ Nghiên cứu cơ sở lý luận: Nghiên cứu lý luận về rèn luyện kỹ năng

toán học, nghiên cứu mục tiêu, nội dung dạy học chủ đề „„hàm số và phương trình‟‟ ở trường THCS

+ Nghiên cứu thực tiễn: Tình hình thực tiễn dạy và học phần „„hàm số và

phương trình‟‟ ở THCS về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

+ Xác định một số kỹ năng: Giải toán bằng cách khai thác mối liên hệ

giữa hàm số và phương trình;

+ Xây dựng hệ thống bài tập: Để rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán

ở trường THCS bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm số và phương trình

+ Thực nghiệm sư phạm: Để kiểm chứng phương án đề ra

III GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu xác định một số kỹ năng chủ yếu và xây dựng hệ thống bài toán chọn

lọc như trong luận văn thì có thể rèn luyện kỹ năng giải một số dạng toán ở

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Phương pháp nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu lý luận về rèn luyện kỹ năng toán học, các phương pháp dạy học theo xu hướng mới, nghiên cứu mục tiêu, nội dung dạy học phần

„„hàm số và phương trình‟‟ ở trường THCS

2 Phương pháp điều tra quan sát

Điều tra tình hình thực tiễn „„hàm số và phương trình‟‟ ở trường THCS

về vấn đề rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Soạn một số bài dạy theo hướng tăng cường rèn luyện kỹ năng giải

một số dạng toán ở trường THCS bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm

số và phương trình cho học sinh

- Dạy thực nghiệm các bài soạn để kiểm nghiệm tính khả thi của đề tài

4 Phương pháp thống kê toán học

Xử lý các số liệu điều tra và kết quả thực nghiệm phương pháp bằng thống kê toán học

V CẤU TRÚC LUẬN VĂN

Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Xây dựng hệ thống bài toán rèn luyện kỹ năng giải một số dạng

toán ở trường THCS bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm số

và phương trình

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Một số vấn đề về kỹ năng và rèn luyện kỹ năng qua môn Toán

1.1.1 Kỹ năng:

Theo G.Polia: “Trong toán học kỹ năng là khả năng giải các bài toán,

thực hiện các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”

Theo tâm lý học, kỹ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó theo một mục đích trong những điều kiện nhất định.Nếu ta tạm thời tách tri thức và kỹ năng để xem xét riêng từng cái thì tri thức thuộc phạm

vi nhận thức, thuộc về khả năng “biết” còn kỹ năng thuộc phạm vi hành động, thuộc khả năng “biết làm”

Trong từ điển Tâm lí học do Vũ Dũng chủ biên đã định nghĩa “ Kỹ năng”

là năng lực vận dụng có kết quả tri thức về phương thức hành động đã được chủ thể lĩnh hội để thực hiện những nhiệm vụ tương ứng

Bất kỳ kỹ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức

Kỹ năng sử dụng mối liên hệ giữa hàm số và phương trình để giải toán phải dựa trên cơ sở: nắm chắc các khái niệm có liên quan, vững vàng trong lập luận và ngôn ngữ chính xác trong lời giải Rèn luyện kỹ năng có vai trò đặc biệt quan trọng đối với sự phát triển trí tuệ

Các bài tập đặt ra: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình…, nhiệm vụ đặt ra hay bị che phủ bởi những yếu tố phụ, làm lệch hướng tư duy, các em cứ suy nghĩ theo lối mòn cũ, đôi khi quá phức tạp mà không nghĩ dùng phương pháp mới có nhiều ưu điểm hơn Các yếu tố này đều

Trong giải toán GV cần tổ chức để học sinh biết cách tìm tòi nhận ra yếu

tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng Khả năng bao quát vấn

đề Hình thành được một mô hình khái quát để giải quyết các bài tập cùng loại Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng Biết qui lạ về quen, biết khái quát hóa, đặt biệt hóa…Để hình thành một kỹ năng cho HS, cần phải tổ chức cho các em tập luyện những hoạt động tương ứng với kỹ năng đó

1.1.2 Kỹ năng giải toán:

- Kỹ năng giải toán là kỹ năng vận dụng các tri thức toán học để giải các bài tập toán học

- Kỹ năng dựa trên cơ sở tri thức Kỹ năng và tri thức thống nhất với nhau trong hoạt động

- Kỹ năng giải toán dựa trên cơ sở tri thức toán học (bao gồm kiến thức, phương pháp) Do đó nói đến kỹ năng giải toán không thể tách rời hiểu biết tri thức và phương pháp toán học.Bởi đó là điều kiện cần cho HS tiến hành các hoạt động toán học từ đó hình thành nên kỹ năng

1.1.3 Sự cần thiết rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh:

Mục đích của dạy học môn Toán là:

- Truyền thụ tri thức, kỹ năng Toán học và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn;

- Phát triển năng lực trí tuệ chung;

- Giáo dục tư tưởng chính trị phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ;

- Bảo đảm chất lượng phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu

về toán;

Những yêu cầu về đổi mới dạy học môn Toán ở trường THCS là: tăng cường rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực trí tuệ và kỹ năng vận dụng toán học vào thực tiễn Do vậy cần thiết xây dựng các biện pháp nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh góp phần thực hiện nhiệm vụ bộ môn

1.2.2 Những kiến thức cơ bản của HS khi học chủ đề “Hàm số và phương trình”:

* Những kiến thức và kỹ năng cơ bản của HS khi học chủ đề

+ Hàm số có thể được cho bằng công thức :

VD: Thời gian t(h) của một vật chuyển động đều trên quãng đường 50

km tỉ lệ nghịch với vận tốc V(km/h) theo công thức: t = 50/V

Khi y là hàm số của x ta có thể viết: y = f(x), y = g(x) …

VD: y = 2x+3 ta có thể viết y = f(x) = 2x+3, và khi đó thay cho câu

“khi x bằng 3 thì giá trị tương ứng của y là 9” ta viết f(3) = 9

Học sinh biết cách tính thành thạo các giá trị của hàm số khi cho trước biến số, biết biểu diễn các cặp số (x;y) trên mặt phẳng toạ độ

+ Kĩ năng vẽ đồ thị: Ở THCS học sinh được vẽ đồ thị của hàm số:

y = ax+b (SGK Toán 9-Tập một)

y=ax2 (a0) (SGK Toán 9-Tập hai)

Học sinh phải có những kỹ năng nhƣ tìm tập xác định, xét sự đồng biến, nghịch biến, lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị

y = 0 khi x = 0 , y = 0 là giá trị nhỏ nhất của hàm số

- Nếu a < 0 : Hàm số y = ax2 nghịch biến khi x > 0, đồng biến khi x < 0;

Ví dụ :

biết rằng đồ thị của nó đi qua điểm A(1,-1)

Vẽ đồ thị của hàm số với a vừa tìm đƣợc

b) Tìm điểm thuộc parabol nói trên có hoành độ bằng 3

c) Tìm điểm thuộc parabol có tung độ bằng -3

d) Tìm điểm thuộc parabol có tung độ gấp đôi hoành độ

b) Thay x = 3 vào y = -x2 ta được y = -9 Điểm phải tìm là B(3,-9)

*Những kiến thức và kỹ năng cơ bản của học sinh khi học chủ đề

Học sinh nắm được quy tắc nhân với một số: Trong một phương trình,

ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0

Cách giải phương trình : ax+ b = 0 (a0)

2

b x a

  

Ví dụ: Giải phương trình bậc nhất

4x  3 2

 4x  2 3 (Áp dụng quy tắc chuyển vế)

1

x x

  

   ( Áp dụng quy tắc nhân với một số )

4 2

Nếu >0 phương trình vô nghiệm

2

b x a

 

Trong các trường hợp cụ thể của a,b,c để giải phương trình

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình bậc hai

+Học sinh dựa vào công thức tính nghiệm để giải và biện luận

Nếu hệ số a = 0 phương trình (*) trở thành phương trình bậc nhất: bx+c = 0

Nếu hệ số a0, tính ( hoặc  ')

Nếu  0 (hoặc  '>0) phương trình có hai nghiệm phân biệt:

2 1,2

4 2

Nếu <0 (hoặc  '<0): phương trình vô nghiệm

Nếu =0 (hoặc  '=0) phương trình có nghiệm kép:

2

b x a

b) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 mà

+ Để tìm giá trị nhỏ nhất theo m cần đưa về dạng f 2 (m)+M

Để tìm giá trị lớn nhất theo m cần đưa về dạng N- f 2 (m)

Kỹ năng giải hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn:

- Kỹ năng viết nghiệm tổng quát của phương trình bậc nhất 2 ẩn và vẽ đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của các phương trình;

- Kỹ năng đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình (bằng phương pháp hình học);

- Số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, tìm tập nghiệm của các

hệ đã cho bằng cách vẽ hình và biết thử lại để khẳng định kết qủa;

- Kỹ năng giải hệ phương trình bằng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số (học sinh không bị lúng túng khi gặp các trường hợp đặc biệt hệ

vô nghiệm hoặc vô số nghiệm)

Ví dụ: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn (bằng phương pháp thế)

Kỹ năng giải bất phương trình bậc nhất:

- Kỹ năng1 Học sinh sử dụng quy tắc chuyển vế: Khi chuyển một

hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta phải đổi dấu hạng tử đó;

- Kỹ năng2 Học sinh sử dụng quy tắc nhân với một số: Khi nhân hai vế

của bất phương trình với cùng một số khác 0 , ta phải : Giữ nguyên chiều bất

phương trình nếu số đó dương, đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm

Ví dụ: Giải bất phương trình sau

3x+2 > 8

3x > 8-2 (sử dụng quy tắc chuyển vế)

3x > 6  x > 2 (sử dụng quy tắc nhân với một số dương)

1.3 Tình hình dạy và học về giải toán vận dụng mối liên hệ giữa hàm số

và phương trình ở THCS

1.3.1.Về vị trí vai trò của rèn luyện kĩ năng giải toán

100% giáo viên và 98% học sinh đuợc hỏi ý kiến đã khẳng định rằng:

Trong quá trình đào tạo ở trường THCS hoạt động rèn luyện kĩ năng của học

sinh rất cần thiết vì nó quyết định trực tiếp đến kết quả học tập Chính vì vậy

việc giáo viên tổ chức tốt hoạt động rèn luyện kĩ năng cho học sinh có ý nghĩa

rất lớn đối với kết quả học tập, cũng như việc rèn luyện cho học sinh phát huy

được tính tư duy sáng tạo

Kết quả về nhận thức rèn luyện kĩ năng của giáo viên và học sinh

(%)

Giáo viên (%)

Số liệu ở bảng trên cho thấy:

- Đối với học sinh: Hầu hết các em đã nhận thức khá đầy đủ về ý nghĩa của việc rèn luyện kĩ năng đối với kết quả học tập, đặc biệt có 56% học sinh đã thấy tự tin trong học tập;

- Đối với giáo viên: Đã đánh giá rất cao về việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh, 100% giáo viên đã nhận thấy rằng rèn luyện kĩ năng giúp học sinh làm chủ được kiến thức của bản thân

khai thác vận dụng mối quan hệ giữa hàm số với phương trình để giải toán

* Đối với GV: -Khi dạy dạng toán “hàm số và phương trình” còn gặp khó khăn khi hướng cho HS cách giải sao cho nhanh gọn ,dễ hiểu

- GV chưa biết khai thác được mối liên hệ giữa hàm số và phương trình

để giải dạng toán một cách triệt để nhất

- Nếu GV có kỹ năng để giải dạng toán này thì bài toán trở nên đơn giản hơn đối với HS

Kết quả điều tra hiểu biết của GV về tổ chức rèn luyện kỹ năng giải một số

dạng toán ở trường bằng cách THCS khai thác mối liên hệ giữa hàm số và phương trình

Rèn luyện kĩ năng bằng cách khai

thác mối liên hệ giữa hàm số và

Không thường xuyên

Không vận dụng

Qua phân tích các phiếu cho thấy tỷ lệ giáo viên áp dụng việc rèn luyện

kỹ năng giải một số dạng toán ở trường THCS bằng cách khai thác mối liên

hệ giữa hàm số và phương trình, cũng như việc vận dụng việc rèn luyện kỹ năng này ở mức độ trung bình

* Đối với HS

-Xác định hàm số trong bài toán về PT, HPT, BPT còn lúng túng

-Việc thiết lập được hàm số trong bài toán về PT, HPT, BPT còn gặp nhiều khó khăn nên dẫn đến, việc HS giải bài toán bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm số và phương trình chưa đạt hiệu quả cao

1.4 Kết luận chương 1

Xuất phát từ cơ sở lý luận và thực tiễn đã trình bày ở trên, có thể thấy: -Việc rèn luyện kỹ năng cho học sinh giải toán bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm số và phương trình ở trường THCS chưa đạt hiệu quả cao Giáo viên chưa khai thác triệt để kiến thức giữa hàm số và phương trình từ đó dẫn đến khả năng học sinh giải toán bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm

số và phương trình còn gặp nhiều khó khăn

- Từ đó cần thiết đưa ra một số dạng toán bằng cách khai thác mối liên

hệ giữa hàm số và phương trình, tiến hành giải toán nhằm rèn luyện cho học sinh THCS kỹ năng giải một số bài toán theo hướng này

CHƯƠNG 2

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT

SỐ DẠNG TOÁN Ở TRƯỜNG THCS BẰNG CÁCH KHAI THÁC MỐI

LIÊN HỆ GIỮA HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH

2.1 Mối quan hệ giữa hàm số và phương trình:

2.1.2.Về nghiệm của phương trình và sự biến thiên của hàm số:

+ Nếu hàm số y = f(x) là đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên

D thì số nghiệm của phương trình trên D: f(x) = k không nhiều hơn một, và f(x) = g(x) khi và chỉ khi x = y với mọi x,yD

+ Nếu y = f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến), y = g(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f(x) = g(x) nhiều hơn một

+ Nếu y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục D thì

f(x) > g(x) x > y ( x < y)

2.1.3 Về các phép biến đổi và các biểu thức trong hàm số và phương trình :

Phép biến đổi tương đương, phép biến đổi hệ quả, phép biến đổi đồng nhất với PT, HPT, BPT; các tính toán, biến đổi với biểu thức xác định hàm số

đều tác động lên những biểu thức (các vế của PT, HPT, BPT, công thức xác định hàm số) Chẳng hạn:

+ Tìm tập xác định của hàm số; tập xác định của PT, HPT, BPT;

+ Xét tính chẵn, lẻ của hàm số ;

+ Tìm cực trị của hàm số ;

+ Sự biến thiên của hàm số ;

2.1.4 Về đồ thị của hàm số và số nghiệm của phương trình:

Mỗi đường (thẳng, cong) trong mặt phẳng tương ứng với một phương trình của nó; Mỗi hàm số tương ứng với một đường biểu diễn (đồ thị)

+ Nếu (d) tiếp xúc (P) thì phương trình có nghiệm kép;

+ Nếu (d) không cắt (P) thì phương trình vô nghiệm;

2.2 Một số kỹ năng trong giải toán bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm số và phương trình:

Kỹ năng 1: Phát hiện hàm số trong các bài toán về PT, HPT, BPT giải

HS biết tiến hành những hoạt động sau:

+ phát hiện được tương ứng giữa các đại lượng

+ nhận dạng hàm số có trong bài toán và biến đổi về dạng đó

Kỹ năng 2: Thiết lập hàm số trong các bài toán về PT, HPT, BPT giải

bằng PP hàm số HS biết tiến hành những hoạt động sau:

+ xác định được giá trị biến đổi và đặt là biến x;

+ xác định được giá trị tương ứng biến đổi phụ thuộc vào x và đặt là y; + biểu diễn được giá trị của y qua x;

+ viết công thức biểu diễn hàm số bằng ký hiệu toán học

Kỹ năng 3: Nghiên cứu và lợi dụng hàm số trong các bài toán về PT,

HPT, BPT giải bằng PP hàm số HS biết tiến hành những hoạt động:

+ Dựa vào yêu cầu của bài toán ban đầu để lựa chọn những đặc điểm, tính chất của hàm số và sử dụng các kỹ thuật khảo sát hàm số để nghiên cứu

+ Lợi dụng kết quả nghiên cứu hàm số ở bước trên để giải bài toán

Kỹ năng 4 : Nghiên cứu và lợi dụng PT, HPT, BPT trong các bài toán về

hàm số giải bằng công cụ PT, HPT, BPT HS biết tiến hành những hoạt động:

+Phát hiện phương trình trong bài toán hàm số

+Biến đổi thiết lập phương trình

+ Dựa vào yêu cầu của bài toán ban đầu để lựa chọn những đặc điểm, tính chất của phương trình và sử dụng các kỹ thuật của phương trình để nghiên cứu

+ Lợi dụng kết quả nghiên cứu phương trình ở bước trên để giải bài toán

Ví dụ: (Sử dụng những kỹ năng mà tác giả đã nêu ở phần trên)

Giải và biện luận phương trình bậc hai bằng phương pháp đồ thị:

nên từ đó HS vẽ đồ thị của hàm số: y = f(x) (kỹ năng 3)

+Bước 3: Tương tự HS vẽ đồ thị của hàm số: y =g(m) song song với 0x(vì

y = g(m) đồ thị là đường thẳng cắt oy tại m) trên cùng hệ tọa độ với y = f(x)

+Bước 4:Để biện luận nghiệm phương trình bậc hai theo tham biến m dựa vào đồ thị, HS sẽ xác định được vị trí tương đối của :y=f(x) và

y=g(m),bằng cách xác định được đỉnh của đồ thị :y=f(x)(kỹ năng3)

+Bước 5: Dựa vào đồ thị nhận xét vị trí tương đối giữa y=f(x) và y=g(m)

+Bước 6: Kết luận nghiệm của phương trình dựa vào đồ thị (kỹ năng 3)

phát hiện được sự tương ứng giữa các đại lượng,nhận dạng hàm số có trong ví dụ: y=ax2

và: y=ax+b ).(Sử dụng kỹ năng 1)

- HS thiết lập được hàm số bằng cách

- HS xác định được: 2

4

yx  là hàm số bậc hai, vận dụng vào kiến

- Để biện luận nghiệm phương trình bậc hai theo tham biến m dựa vào

đồ thị, HS sẽ xác định được vị trí tương đối của : 2

+) Nếu A ở trên I  (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt  m> 4

- Kết luận: Nếu m > 4 Phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Nếu m < 4 Phương trình vô nghiệm

Nếu m = 4 Phương trình có nghiệm kép

2.3 Định hướng (nguyên tắc) xây dựng hệ thống bài toán:

+ Nguyên tắc 1: Trên cơ sở tôn trọng chương trình, SGK Toán, hệ thống bài tập ở SGK và SBT để lựa chọn và sắp xếp

+ Nguyên tắc 2: Tập trung vào các dạng bài toán thể hiện được những

kỹ năng cơ bản khi giải toán bằng cách khai thác mối liên hệ giữa hàm số và phương

2.4 Hệ thống bài toán rèn luyện kỹ năng

Một số dạng toán khai thác mối liên hệ giữa hàm số và phương trình

Dạng toán 1: Viết phương trình đường thẳng thoả mãn điều kiện cho trước

Dạng toán 2: Tìm giá trị của tham số khi biết quan hệ giữa đường thẳng với đường thẳng, hoặc đường thẳng và đường cong trong mặt phẳng toạ độ

Dạng toán 3: Bài tập về diện tích một hình được giới hạn bởi các đường

giao nhau trên mặt phẳng toạ độ

+ Ở THCS dạng toán tìm diện tích một hình đa giác được giới hạn bởi

các đường giao nhau trên mặt phẳng tọa độ chỉ đơn giản là tìm diện tích một

tam giác, mà đỉnh là giao của đường thẳng (d): y = ax + b và parabol (P): y = ax2 với gốc tọa độ

+ Ở THPT dạng toán tìm diện tích một hình được giới hạn bởi các

đường giao nhau trên mặt phẳng tọa độ chính là tính diện tích toàn phần, khi

tính diện tích áp dụng phương pháp tích phân

đồ thị

Dạng toán 5: Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp

đồ thị

Dạng toán 6: Tìm Max, Min của hàm số y = f(x) sử dụng công cụ

phương trình, hệ phương trình, bất phương trình để giải

2.4.1 Dạng toán 1:

Viết phương trình đường thẳng thoả mãn điều kiện cho trước

Cho điểm A(x y0 , 0) thuộc đường thẳng (d): y = ax+b, hay vị trí tương đối của

đường thẳng với đường thẳng , hay vị trí tương đối giữa đường thẳng với

đường cong (P): y = ax2

Tìm các hệ số của đường thẳng (bằng cách dựa vào đề bài để thiết lập

các hệ phương trình tương ứng), từ đó viết được phương trình đường thẳng

(d) : y = ax+b

2.4.1.1 PP giải và những kỹ năng cần thiết

Gọi phương trình đường thẳng là (d): y = ax+b.(*)

a)Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm A((x y0, 0)cho trước và song song với một đường thẳng cho trước (d‟): y = a‟x+b‟

Nếu điểm A(x y0, 0)  y = ax+b (sử dụng kỹ năng 1)

Vì điểm B(x B;y B)  (d): y = a x+b(sử dụng kỹ năng 1)

nên thoả mãn y B ax B b (2) (sử dụng kỹ năng 2)

nên ta sẽ tính được x

Viết được phương trình đường thẳng

2.4.1.2 Minh họa qua một số ví dụ :

Ví dụ 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;2) B(3;4)

a) Tìm hệ số a của đường thẳng đi qua A và B

b) Xác định hàm số biết đồ thị của nó là đường thẳng đi qua A và B

Giải:

a) GV dẫn dắt cho HS phát hiện được hàm số trong bài toán bằng cách:

Giả sử đường thẳng đi qua A và B có dạng: y = ax + b (1)(sử dụng kỹ năng 1)

Khi đó : Dạng tổng quát của đường thẳng (d): y = ax+b

- GV tiếp tục cho HS thiết lập được hàm số trong bài toán

GV hướng dẫn cho HS.Vì A(x A,y A) (d): y = ax+b (sử dụng kỹ năng 1)

Nên tọa độ của điểm A đều thỏa mãn :y A ax Ab

HS thay các tọa độ A(1;2) vào (d):y A ax Ab (sử dụng kỹ năng 2)

HS thay tọa độ điểm A vào (d): 2 = a.1+b (*)

Tương tự vì B(x B,y B) (d): y = ax+b, nên tọa độ điểm B đều thỏa mãn:

B B

y ax b (sử dụng kỹ năng 2)

HS thay tọa độ điểm B(3;4) vào đường thẳng: y B ax Bbkhi và chỉ khi:

4 = a 3 + b  b = 4 – 3a.(**)

- GV hướng cho HS lợi dụng mối liên hệ giữa hàm số và phương trình

GV nhắc lại cho HS vì A và B đều thuộc đường thẳng (d) nên thỏa mãn HPT

a b





 

Hệ số a của đường thẳng đi qua A và B là 1

Hàm số: y = x+1có đồ thị là đường thẳng đi qua A và B (a=1,b=1)

(sử dụng kỹ năng 3).Vận dụng lý thuyết về hàm số vẽ đồ thị : y = x+1 đi qua

Giải:

a) - GV dẫn dắt cho HS phát hiện được hàm số trong bài toán bằng cách:

Giả sử đường thẳng đi qua A và B có dạng (d): y = ax + b (1).(sử dụng kỹ

năng 1) Khi đó: Dạng tổng quát của đường thẳng (d): y = ax+b

- GV tiếp tục cho HS thiết lập được hàm số trong bài toán

GV hướng dẫn cho HS.Vì A(x A,y A)  (d): y = ax+b (sử dụng kỹ năng 1)

Nên tọa độ của điểm A đều thỏa mãn (d) :y A ax Ab HS thay các tọa độ A(-2;3) vào (d): y A ax Ab (sử dụng kỹ năng 2):HS thay tọa độ điểm A vào

b) - HS phải phát hiện được hàm số trong bài toán bằng cách:

GV hướng dẫn cho HS vì phương trình đường thẳng có dạng tổng quát

(d) : y = ax + b(1) (sử dụng kỹ năng 1)

Vì B(x B,y B)  (d): y=a x+b.(sử dụng kỹ năng2), điểm B(-4;-1)-4a+b= -1(*)

- HS phải thiết lập được hàm số trong bài toán bằng cách:

'

a a