Phương pháp vectơ giải toán Hình KG

ĐẶT VẤN ĐỀ Hình học không gian là một chủ đề tương đối khó đối với học sinh, khó cả cách tiếp cận vấn đề và cả trong tìm lời giải bài toán.. Làm sao để học sinh học hình học không gian d

A ĐẶT VẤN ĐỀ

Hình học không gian là một chủ đề tương đối khó đối với học sinh, khó cả

cách tiếp cận vấn đề và cả trong tìm lời giải bài toán Làm sao để học sinh học hình học không gian dễ hiểu hơn, hoặc chí ít cũng giải được một số bài tập điển hình nào đó là câu hỏi thường trực đối với giáo viên bộ môn Toán mà từng

ngày, từng giờ tìm câu trả lời

Vectơ cùng với các tính chất của nó giúp cho việc nghiên cứu hình học định lượng hơn, một phần nào đó giúp ta giải một số bài toán hình học được thuận lợi Để học sinh thấy và khai thác được điểm mạnh của vectơ giải các bài toán

hình học, tôi mạnh dạn chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh sử dụng phương

pháp vectơ giải một số bài toán hình học không gian” ngõ hầu trao đổi với

các bạn đồng nghiệp những kinh nghiệm của mình trong lĩnh vực này Đề tài chỉ xin đưa ra một số ví dụ cho các dạng toán sau:

 Chứng minh các điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song

 Chứng minh đồng phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng

 Chứng minh quan hệ vuông góc; tính góc và độ dài đoạn thẳng

 Chứng minh các hệ thức hình học

B HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ GIẢI

MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

I Nội dung chủ đề vectơ trong chương trình Toán THPT

Ở chương trình lớp 10 vectơ được áp dụng để chứng minh các hệ thức

lượng trong tam giác và trong đường tròn Nó cũng là cơ sở để trình bày phương pháp tọa độ trên mặt phẳng

Chương 1 – Vectơ, trình bày các khái niệm cơ bản nhất về vectơ (vectơ,

vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ bằng nhau) và các phép toán cộng, trừ vectơ, nhân vectơ với một số Đồng thời trình bày những kiến thức mở đầu

về tọa độ: trục và hệ trục tọa độ trong mặt phẳng, tọa độ của vectơ, của điểm đối với trục và hệ trục tọa độ

Chương 2 – Tích vô hướng của vectơ và ứng dụng, bao gồm: định nghĩa, tính

chất, biểu thức tọa độ của tích vô hướng, hệ thức lượng trong tam giác

Ở chương trình lớp 11, vectơ trong không gian là một bài trong Chương III

– Quan hệ vuông góc trong không gian Các phép toán và tính chất của vectơ

trong không gian được hiểu tương tự như vectơ trong mặt phẳng, nên không trình bày một cách tỉ mỉ Chỉ có một khái niệm mới là sự đồng phẳng của ba vectơ Việc đưa vectơ trong không gian vào chương trình giúp cho việc chứng minh một số tính chất về quan hệ vuông góc thuận lợi hơn và là một trong những yêu cầu giảm tải của chương trình phân ban 2006

Chương trình lớp 12 có đưa vào khái niệm tích có hướng (còn gọi là tích vectơ) của hai vectơ, kí hiệu là a b; 





hoặc a b

, được xác định bởi biểu thức

tọa độ, để làm cơ sở viết phương trình mặt phẳng

II Sử dụng phương pháp vectơ để giải các bài toán hình học

Dùng vectơ và các phép toán vectơ chúng ta có thể giải nhanh gọn một số bài tập hình học Sau đây là một số kết quả thường được sử dụng:

 Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D nằm trên một mặt phẳng ta chứng

minh các vectơ AB, AC

, AD đồng phẳng, tức là ABk AC l AD 

 Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD song song (có thể trùng nhau)

ta chứng minh các vectơ AB và CD cùng phương, tức là ABkCD

 Để chứng minh đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P), hoặc nằm

trên mặt phẳng (P) ta lấy trong (P) hai vectơ a và b không cùng phương

và chứng minh ba vec tơ AB

, a

, b

đồng phẳng; hoặc tìm một vectơ c

trong (P) sao cho AB

và c

cùng phương

 Để chứng minh đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD ta chứng minh  AB CD  0

 Để tính độ dài của đoạn thẳng AB ta hãy biểu diễn vectơ AB

theo các vectơ đã biết và tính  AB AB Khi đó AB  AB AB

 Để tính góc AOB ta xét tính vô hướng OAOB  và dùng công thức

cos

OA OB AOB

OA OB



 

 

III Một số ví dụ hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp vectơ giải một

số bài toán hình học không gian

A Chứng minh các điểm thẳng hàng, hai đường thẳng song song

Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh hai vectơ AB

và

AC



cùng phương, tức là ABk AC

Để chứng minh hai đường thẳng phân biệt AB và CD song song, ta chứng minh  k , ABkCD

Ví dụ 1

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác A’BD và CB’D’ Chứng minh rằng A, G, G’, C’ thẳng hàng

Bước 1: Phân tích bài toán

Để chứng minh A, G, G’, C’ thẳng hàng, ta chứng minh các vectơ AG

, ' '

C G, AC' cùng phương

Chọn một hệ vectơ cơ sở (gồm 3 vectơ không đồng phẳng) sao cho thuận lợi

nhất cho việc biểu diễn AG

, C G' '

, AC' theo hệ vectơ cơ sở đó, thông thường

ta chọn ba vectơ gắn với ba cạnh của hình hộp cùng chung một đỉnh Chú ý giả thiết G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác A’BD và CB’D’

Bước 2 Thực hiện giải bài toán

Đặt ABa, ADb, AA'c

Ta có: AC'  a b c  

(1)

Vì G là trọng tâm tam giác A’BD nên:

'

     

(2)

Vì G’ là trọng tâm tam giác CB’D’ nên:

b a

G' G

C

C'

B'

B

C G C C C B   C D    a b c  

(3)

3

 

, tức

là A, G, C’ thẳng hàng

Từ (1) và (3) suy ra: ' ' 1 '

3

C G  AC , tức là A, G’, C’ thẳng hàng

Vậy bốn điểm A, G, G’, C’ thẳng hàng

Ví dụ 2

Cho hai tia Ax, By chéo nhau, M di chuyển trên Ax, N di chuyển trên By Giả

sử AM BN , I là điểm chia trong MN theo tỉ số IM k

IN  Chứng minh I di chuyển trên một tia cố định

Bước 1 Phân tích bài toán

Để chứng minh I di chuyển trên một tia cố định, ta cần dự đoán tia cố định

đó, muốn vậy ta xét một vài trường hợp đặc biệt:

- Khi M trùng với A, N trùng với B, gọi O là điểm chia trong đoạn AB theo

tỉ số OA k

- Lấy M0Ax và N0By sao cho AM0BN0 và gọi I0 là điểm chia

trong đaọn M0N0 theo tỉ số 0 0

0 0

I M

k

Do vậy, điểm I di chuyển trên tia OI0

Để chứng minh điều này, ta xét trường hợp M di chuyển trên Ax, N di chuyển trên By và AM BN, I là điểm chia trong MN theo tỉ số IM k

IN  , ta

chứng minh O, I0, I thẳng hàng Hay các vectơ OI0

và OI

cùng phương

Bước 2 Thực hiện giải bài toán

Gọi O là điểm chia trong đoạn AB theo tỉ số OA k

OB ; tức là: OA kOB 0

  

Lấy M0Ax và N0By sao cho AM0BN0 và gọi I0 là điểm chia trong

đoạn M0N0 theo tỉ số 0 0

0 0

I M

k

I N  ; tức là:

M I k N I 

 

Đặt aOB, bAM0

, cBN0 với

b  c

Khi đó: OI0 OAAM0M I0 0

   

(1)

OI   0 OBBN0N I0 0

(2)

Từ (2) suy ra:

kOI 0k OB BN   0N I0 0

(3)

Vì OA kOB 0 và M I0 0k N I0 00 nên từ (1) và (3) suy ra:



k

  

Vì AM0BN0, AM BN nên AM t AM.0t b.

; BN t BN.0t c.



Do đó I nằm trên OI 0 (đpcm)

Ví dụ 3

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Tìm điểm M thuộc đoạn AC và điểm N thuộc đoạn C’D sao cho MN song song với BD’

Bước 1 Phân tích bài toán

Đường thẳng MN song song với BD’, tức là có số thực k sao cho

'

MN k BD



Giả sử điểm M thuộc đoạn AC và điểm N thuộc đoạn C’D xác định bởi các

hệ thức MCm AC

, C N' nC D'

Biểu diễn MN

và BD'

qua hệ vectơ cơ sở, thay vào đẳng thức MNk BD' ta tìm được m và n

x

y

I0

N0

Mo

I O

A

B

M

N

Bước 2 Thực hiện giải bài toán

Đặt BA a, BB'b, BCc

Giả sử điểm M thuộc đoạn AC và

điểm N thuộc đoạn C’D xác định bởi

các hệ thức MCm AC

, C N' nC D'

Theo giả thiết MN//BD’ nên có số k

sao cho

MN k BDk a b c  k a kb kc 

Mặt khác

     



Từ (1) và (2) ta có

1 3 1

2 3

n











Vậy, điểm M và n xác định bởi các hệ thức: 1

3

 

3

C N C D

B Chứng minh đồng phẳng, đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh bốn điểm A, B, C, D nằm trên một mặt phẳng ta chứng minh

các vectơ AB

, AC, AD

đồng phẳng, tức là ABk AC l AD 

Để chứng minh đường thẳng AB song song với mặt phẳng (P), hoặc nằm trên

mặt phẳng (P) ta lấy trong (P) hai vectơ a

và b

không cùng phương và chứng

minh ba vec tơ AB

, a, b đồng phẳng; hoặc tìm một vectơ c trong (P) sao cho

AB



và c

cùng phương

Ví dụ 4

Cho tứ diện ABCD, I là trung điểm của AB, J là trung điểm của cạnh CD, M

chia trong AD theo tỉ số MA k

MD  , N chia trong BC theo tỉ số

NB k

Chứng minh I, J, M, N đồng phẳng

c

b a

N

C

C'

B' B

M

Bước 1 Phân tích bài toán

Để chứng minh I, J, M, N đồng

phẳng, ta chứng minh IJ

, IM

và IN

đồng phẳng Hay có sự biểu diễn

IJ mIM nIN

  

Muốn vậy, ta chọn một hệ vectơ cơ

sở và biểu diễn các vectơ IJ

, IM

, IN

theo chúng, từ đó ta suy ra I, J, M, N

đồng phẳng

Bước 2 Thực hiện giải bài toán

Đặt ABa, ACb, ADc

Từ giả thiết M chia trong AD theo tỉ số MA k

MD  , N chia trong BC theo tỉ số NB

k

NC  , ta có:

k



      

hay

1

k

k





 

k



hay BN 1k b a

k





Từ đó:

1

k

k



 

(1)



(2)

IJ  ICID     IAACIAAD   a b c

(3)

Từ (1), (2) và (3) ta thấy:

Vậy I, J, M, N đồng phẳng

c b

a

M

N

I

J

A

B

C

D

Ví dụ 5

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AD, BB’, C’D’ Chứng minh rằng đường thẳng C’D song song với mặt phẳng (MNP)

Bước 1 Phân tích bài toán

Để chứng minh C’D song song với

mặt phẳng (MNP), ta chứng minh ba

vectơ C D '

, MN

, MP

đồng phẳng

Nghĩa là phải chỉ ra sự tồn tại hai số

C Dx MPy MN

Bước 2 Thực hiện giải bài toán

Đặt ABa, ADb, AA'c

Ta có:

MN MA AB BN    a b c

MPMD DD D P a b c

C DC D D D  a c 

Giả sử C D' x MP.y MN.

a c x a b c y a b c

          

a c x y a  x y b  x y c

1 1

2

0

1 1

2



















  

C D  MP MN

c

b a

N

P

M

C

C'

B' B

Từ đó suy ra ba vectơ C D' , MN, MP

đồng phẳng Dễ thấy C’ không thuộc mặt phẳng (MNP) nên suy ra C’D song song với mặt phẳng (MNP)

C Chứng minh quan hệ vuông góc; tính góc và độ dài đoạn thẳng

Để chứng minh đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD ta chứng minh  AB CD  0

Để tính độ dài của đoạn thẳng AB ta hãy biểu diễn vectơ AB

theo các vectơ

đã biết và tính  AB AB

Khi đó AB  AB AB

Để tính góc AOB ta xét tính vô hướng OA OB  và dùng công thức

cos

OA OB

AOB

OA OB



 

 

Ví dụ 6

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD va BB’ Chứng minh rằng MN A C'

Bước 1 Phân tích bài toán

Để chứng minh MN A C' , ta chỉ cần khẳng định tích vô hướng

MN A C 



Muốn vậy, ta chọn hệ vectơ

cơ sở thích hợp, biểu diễn các vectơ MN

, '

A C



qua hệ vectơ đó và tính tích

'

MN A C



Bước 2 Thực hiện giải bài toán

Đặt ABa

, AD b

, AA'c

, ta có:

MN MA AB BN     b a  c

A CA BA D A A a b c  

     

Vì ABCD.A’B’C’D’ là hình lập phương nên: a b. b c.c a  0 và

a  b  c x

(với x là độ dài cạnh hình lập phương)

Từ đó ta có:

c

b a

N M

C

C'

B' B

 

'



                 

0

Vậy MNA C'

, suy ra MN A C'

Ví dụ 7

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Một mặt phẳng đi qua D’ song song với DA’ và AB’ cắt đường thẳng BC’ tại M Tính độ dài D’M

Bước 1 Phân tích bài toán

Chọn một hệ vectơ cơ sở, từ giả thiết của bài toán ta sẽ biểu diễn được D M '

qua hệ vectơ cơ sở Từ đó độ dài đoạn thẳng D M'  D M' 2

Bước 2 Thực hiện giải bài toán

Đặt  D A' ' x

,  D D'  y

,  D C' ' z

Một mặt phẳng đi qua D’M song song với DA’ và AB’ nên ba vectơ D M'

, '

A D



và AB'

đồng phẳng, tức là D M'  p A D q AB ' '

Hay D M'  p b a.q c b. p a.p q b q c . 

(1)

Ba điểm B, C’, M thẳng hàng nên

 

hay  BB'B C' 'k C D DM '  

 

           

 

1

kp

p

k p q

q

k q













c

b

a

C'

C

D D'

M

Vậy ' 1 1.

D M   a b c

Ta có

2

            

2

a

Ví dụ 8

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ Tìm góc giữa hai đường thẳng AB’

và BC’, biết '

5

AB

Bước 1 Phân tích bài toán

Biểu diễn hai vectơ AB' và BC' theo

một hệ vectơ cơ sở đã chọn và tính tích vô

hướng  AB B C' '

Ta lại có:





   

từ đây ta xác định được giữa hai đường

thẳng AB’ và BC’

Bước 2 Thực hiện giải bài toán

Đặt AB ; x AA'a

, AB b

, ACc

, với

5

x

a 



, b  c x

Ta có: AB' a b 

BC BB B C AB BC  a c b   a b c

        

2

3

AB BC  a b a b c   a a b a c b a b   b c  x   

          

2

a

A'

B'

C

A

B C'

2 2 2 6

Do vậy:



2

3

x

AB B C

AB B C



 

 

Suy ra, góc giữa hai đường thẳng AB’ và BC’ là α với cos 1

4

 

D Chứng minh các hệ thức hình học

Ví dụ 9

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K là trung điểm của cạn SC Mặt phẳng qua AK cắt

các cạnh SB, SD lần lượt tại M và N

Bước 1 Phân tích bài toán

Mặt phẳng qua AK cắt các cạnh SB, SD

lần lượt tại M và N, tức là bốn điểm A, K,

M, N đồng phẳng Từ đó tồn tại hai số m

và n sao cho: AK m AM.n AN. Hay

SK  m n SA m SM  n SN

   

(*)

SD y

SN  , biểu diễn SK



, SA, SN theo ba vectơ không đồng

phẳng là: SAa, SBb, SCc Thay vào (*), đồng nhất hai vế, ta tìm được

x y

Bước 2 Thực hiện giải bài toán

Đặt SA a, SBb, SCc là ba vectơ không đồng phẳng

SD y

SN  , ta cần chứng minh xy 3

N

M c

b a

K

B

A

S

Ta có: SM 1SB 1b

 

; SN 1SD 1c

  

;

      

Theo giả thiết có: A, K, M, N đồng phẳng nên tồn tại hai số m và n sao cho:

  

     

1

1 2

1

2

2 1

2

2 1

2

m n

m n m

x

n

y





















 





(điều phải chứng minh)

IV Một số bài tập rèn luyện

Bài 1 Cho tứ diện ABCD Gọi B0, C0, D0 lần lượt là trọng tâm của các tam giác ACD, ADB và ABC Gọi G và G0 là trọng tâm của tam giác BCD và

B0C0D0 Chứng minh ba điểm A, G0, G thẳng hàng

Bài 2 Cho bốn điểm A, B, C, D trong không gian Gọi M, N là trung

điểmlần lượt của các đoạn thẳng BC, AD Chứng minh rằng nếu

1

2

MN  AB CD thì AB/ /CD

Bài 3 Cho hai tia Ax và By chéo nhau Trên Ax và By lần lượt lấy hai điểm M

và N sao cho AM kBN , k là một số dương Tìm tập hợp trung điểm của đoạn

thẳng MN

Bài 4 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Trên đoạn thẳng BD và AD’

lần lượt lấy hai điểm thay đổi M và N sao cho DM AN  x 0 x a 2 Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định

Bài 5 Cho tứ diện đều ABCD cạnh a Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, O

là trung điểm AG