đề tài một số bài toán về cực trị hình học

Ở trường THCS, trong dạy học Toán cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí…thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên với lòng biết ơn sâu sắc em xin chân thành gửi tới cô giáo Dương Minh Ngọc cô đã tận tâm nhiệt tình chỉ bảo, hướng dẫn động viên giúp đỡ em

trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành đề tài này

Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo trong tổ bộ môn Toán đã tạođiều kiện thuận lợi cho em hoàn thành đề tài

Em xin chân thành cảm ơn!

Vinh, ngày tháng năm 2014

Sinh viên

Nguyễn Thị Thương

MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

4 Giả thuyết khoa học

5 Nhiệm vụ nghien cứu

6 Phương pháp nghiên cứu

7 Đóng góp của đề tài

8 Bố cục của đề tài

B NỘI DUNG

Chương 1 Cơ sở lý thuyết

Chương I Cơ sở lý thuyết

1 Cực trị hình học

1.1 Khái niệm

1.2 Phương pháp chung để giải bài toán cực trị hình học1.2.1 Phương pháp định hướng để giải bài tập cực trị hình học1.2.2 Một số kiến thức hỗ trợ để giải bài tập cực trị hình học1.2.2.1 Bất đẳng thức tam giác

1.2.2.2 Đường vuông góc và đường xiên

Chương II Các dạng bài tập

Phương pháp 1: Tìm cực trị nhờ đánh giá độ dài vectơ

Phương pháp 2: Tìm cực trị nhờ đánh giá bình phương vô hướng vectơ

Phương pháp 3:Tìm cực trị nhờ đánh giá tích vô hướng hai vectơ

C KẾT LUẬN……… ……… 39

D DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 40

A MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong trường phổ thông môn Toán có một vị trí rất quan trọng Các kiến thức

và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt các môn học khác, hoạt động có hiệu quả trong mọi lĩnh vực Đồng thời môn Toán còn giúp họcsinh phát triển những năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức và thẩm mỹ của người công dân Ở trường THCS, trong dạy học Toán cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các khái niệm, các định lí…thì việc dạy học giải các bài toán có tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp dạy học Toán ở trường phổ thông Đối với học sinh THCS, có thể coi việc giải toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán.Các bài toán về cực trị trong hình học rất đa dạng, phong phú và có một ý nghĩa rất quan trọng đối với các em học sinh ở bậc học THCS Để giải quyết các bài tập toán về cực trị người ta phải bằng các cách giải thông minh nhất, tìm ra các biện pháp hữu hiệu và phù hợp nhất với trình độ kiến thức ở bậc học THCS để giải quyết các bài tập toán loại này Các bài toán cực trị đã gắn toán học với thực tiễn vìviệc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất chính là việc tìm những cái tối ưu thường đặt ra trong đời sống và kỹ thuật.Ngay trong tự nhiên, những hình có dạng đều, chúng mang những tính chất rất đặc biệt, trong nó chứa ẩn những tính chất “cực trị” mà các hình khác không có được như tam giác đều, hình vuông, lục giác đều hoặc hình tròn, khối cầu,….Ngày nay những bài toán cực trị vẫn được quan tâm vànghiên cứu.Những phương pháp giải và các dạng bài tập này trong hình học rất đặctrưng và bắt nguồn từ lý thuyết cơ bản của toán học

Chính vì vậy mà chuyên đề “Một số bài toán về cực trị hình học” rất thiết

thực với những ai muốn tìm hiểu về toán sơ cấp Đây là một trong những phần rất

phức tạp khó hiểu nhưng khi đi sâu vào tìm hiểu chúng thì mỗi người lại cảm thấythú vị nhờ tính độc đáo, thấy được cái hay ở trong các dạng toán Mỗi dạng sẽ cónhững phương pháp giải khác nhau mang tính chất khoa học tư duy lôgic cao.

Là một sinh viên trường Cao đẳng Sư phạm Nghệ An, là một giáo viên giảng dạy trong tương lai thì việc truyền tải kiến thức, tìm ra cách giải toán nhanh gọn dễ hiểu là yếu tố rất cần thiết không thể thiếu Vì vậy, để đảm bảo kiến thức

giảng dạy sau này, em đã chọn đề tài “Một số bài toán về cực trị hình học” Đề

tài này chỉ giới thiệu về một số bài tập tìm cực trị cơ bản thường gặp trong hình học phẳng và hình học vectơ.Trong mỗi phương pháp sẽ có các ví dụ minh họa.Và cuối cùng là phần bài tập tổng hợp với các bài tập giải bằng những phương pháp khác nhau

2 Mục đích nghiên cứu

- Bước đầu làm quen, tập duyệt nghiên cứu khoa học

- Nâng cao kiến thức về môn hình học sơ cấp và thực hành giải toán

- Có cách nhìn tổng quát hơn môn hình học sơ cấp và thực hành giải toán

- Lôi cuốn thu hút học sinh giáo viên tìm tòi các bài toán liên quan đến cực trịhình học

- Dùng làm tài liệu cho quá trình học tập và giảng dạy sau này

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết về cực trị hình học

- Nghiên cứu tài liệu tham khảo

- Giáo viên, sinh viên lớp k34 toán – lý, toán – tin Trường CĐSP NGHỆ AN

- Thời gian thực hiện đề tài: Từ tháng 9/2014 đến tháng 11/2014

4 Giả thuyết khoa học

- Nếu đề tài được thực hiện thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng học tập mônmôn hình học sơ cấp và thực hành giải toán nói chung và cực trị hình học nóiriêng

- Có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên CĐSP toán tin - toán lýTrường CĐSP NGHỆ AN

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu tìm hiểu đặc điểm, nội dung giáo trình môn hình học sơ cấp vàthực hành giải toán nói chung và cực trị hình học nói riêng

- Đưa ra các dạng bài toán và các phương pháp giải các bài toán về cực trịhình học

6 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp lí luận: nghiên cứu lí thuyết trong giáo trình và trong các tàiliệu tham khảo

- Phương pháp thực hành, luyện tập từ lý thuyết áp dụng và bài tập

- Phương pháp điều tra, quan sát

- Phương pháp thu thập và xử lí thông tin

- Phương pháp so sánh, đối chiếu

7 Tính mới của đề tài

- Một số dạng bài tập nâng cao về cực trị hình học

- Hệ thống được các dạng bài tập và phương pháp giải các dạng bài tập

- Qua mỗi dạng rút ra được các nhận xét

8 Bố cục của đề tài

PHẦN A: MỞ ĐẦU

PHẦN B: NỘI DUNG

PHẦN C: KẾT LUẬN

PHẦN D: DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHẦN B NỘI DUNG

CHƯƠNG I : CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Cực trị hình học

1.1 Khái niệm

Đó là những bài toán có dạng sau:

Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một đại lượng hình học y (độ dài của một

đoạn thẳng, tổng của hai hay nhiều đoạn thẳng, độ lớn của một góc, chu vi của mộthình, diện tích của một hình v.v ) sao cho:

y1 ≤ y ≤ y2

Trong đó y1, y2 là các giá trị cố định hoặc không thay đổi của y đồng thời phải chỉ

rõ vị trí hình học của y (hoặc hình có chứa y ) để tại đó y đạt giá trị cực tiểu

y = y1 hoặc cực đại y = y2

1.2 Phương pháp chung để giải bài toán cực trị hình học

1.2.1 Phương pháp định hướng để giải bài tập cực trị hình học

Người ta thường giải toán cực trị trong hình học theo hai cách sau đây:

Cách 1:

Vẽ một hình có chứa đại lượng hình học mà ta phải tìm cực trị, thay các điềukiện của đại lượng đó bằng các điều kiện tương đương (có khi phải chọn một đại lượng nào đó trong hình làm ẩn số, dựa vào mối quan hệ giữa ẩn số đó với các đại lượng khác trong hình, những đại lượng này có thể do đầu bài cho sẵn, nhưng cũng

có thể do ta làm xuất hiện trong quá trình đi tìm lời giải của bài toán Biểu thị ẩn

số theo các đại lượng đã biết, các đại lượng không đổi rồi biến đổi tương đương biểu thức vừa tìm được để cuối cùng xác định được giá trị của đại lượng cần tìm từ

đó suy ra vị trí của hình để đạt cực trị)

H O C

D

h 1

H O A

P

Người ta thường dùng cách này khi đầu bài được cho dưới dạng: "Tìm một hình

nào đó thỏa mãn các điều kiện cực trị của bài toán"

Cách 2:

Đưa ra một hình (theo yêu cầu đầu bài) rồi chứng minh mọi hình khác có chứa yếu tố (mà ta phải tìm cực trị) lớn hơn hoặc bé hơn yếu tố tương ứng trong hình đã đưa ra

Người ta thường dùng cách chứng minh này khi hình dạng của hình có cực trị đã được nói rõ trong đầu bài

OHP vuông tại H  OH < OP  CD > AB

Như vậy trong tất cả các dây đi qua P , dây vuông góc

với OP tại P có độ dài nhỏ nhất

+Cách 2 :

Xét dây AB bất kỳ đi qua P ( h.2) Kẻ OH  AB

Khi đó dây AB vuông góc với OP tại P.

1.2.1.1 Dạng chung của bài toán cực trị hình học :

“ Trong tất cả các hình có chung một tính chất , tìm những hình mà một đại lượng nào đó ( độ dài đoạn thẳng , số đo góc, số đo diện tích …) có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.” và có thể được cho dưới các dạng :

a) Bài toán về dựng hình

Ví dụ : Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn , xác định vị trí của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.

b) Bài toán vể chứng minh

Ví dụ : Chứng minh rằng trong các dây đi qua điểm P trong một đường tròn (O), dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất.

c) Bài toán về tính toán

Ví dụ : Cho đường tròn (O;R) và điểm P nằm trong đường tròn có OP = h , Tính độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P.

1.2.1.2 Hướng giải bài toán cực trị hình học :

a) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất ta

phải chứng tỏ được :

+Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≤ m ( m là hằng số )

+Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m

b) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất ta

phải chứng tỏ được :

+Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≥ m ( m là hằng số )

+Xác định vị trí của hình H trên miền D để f = m

1.2.2 Một số kiến thức hỗ trợ để giải bài tập cực trị hình học

1.2.2.1 Bất đẳng thức tam giác

Với 3 điểm bất kỳ A,B,C ta luôn có

AB+AC≥BC

Dấu bằng xảy ra khi A thuộc BC

1.2.2.2 Đường vuông góc và đường xiên

1 Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng, đoạn vuông góc với đường thẳng có độ dài ngắn nhất

2 Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm tới một đường thẳng, đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại

3 Nếu tam giác cân có góc ở đỉnh không đổi thì cạnh cạnh đáy nhỏ nhất khi cạnh

bên nhỏ nhất, cạnh đáy lớn nhất khi cạnh bên lớn nhất

1.2.2.5 Bất đẳng thức Cauchy và một số hệ quả

Bất đẳng thức Cauchy là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình

nhân của n số thực không âm được phát biểu như sau:

Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng

khi chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học là vuông góc) nhau thì tích trong của chúng bằng zero.

Như vậy, có vẻ như bất đẳng thức này cho thấy có mối liên quan giữa khái niệm

"góc của hai vector" với khái niệm tích trong, mặc dầu các khái niệm của hình học Euclide có thể không còn mang đầy đủ ý nghĩa trong trường hợp này, và ở mức độ nào đấy, nó cho thấy ý niệm các không gian tích trong là một sự tổng quát hoá của không gian Euclide

Một hệ quả quan trọng của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: tích trong là một hàm liên tục

Một dạng khác của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz được phát biểu dưới đây bằng cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn ở đây được hiểu là chuẩn trên không gian tích trong

h.4a

A

BH

bh.5

A

B

Ch.3

Câu 1: Cho hình vuông ABCD Trên các cạnh AB,BC ,CD,DA ta lấy theo thứ tự

các điểm E,F,G,H sao cho AE = BF = CG = DH Xác định vị trí của các điểm E,F,G,H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất

Giải :

HAE = EBF = FCG = GHD

Gọi O là giao điểm của AC và EG Tứ giác AECG có AE = CG, AE //CG nên

là hình bình hành suy ra O là trung điểm của AC và EG , do đó O là tâm của cảhai hình vuông ABCD và EFGH

HOE vuông cân : HE2 = 2OE2  HE = OE 2

Chu vi EFGH = 4HE = 4 2 OE Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất  OE nhỏ nhất

Kẻ OK AB  OE ≥OK ( OK không đổi )

OE = OK  E ≡ K

Do đó minOE = OK

Kết luận: Như vậy , chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E,F,G,H là

trung điểm của AB , BC, CD, DA

Câu 2: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By

vuông góc với AB Qua trung điểm của M của AB có hai đường thẳng thay đổiluôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D xác định vị trí củacác điểm C,D sao cho tam giác MCD có diện tích

nhỏ nhất Tính diện tích tam giác đó

Giải:

Gọi K là giao điểm của CM và DB

Kết luận : Vậy min SMCD = a2 Các điểm C,D được xác định trên Ax; By sao cho

AC = BC =a

Câu 3: Cho hình vuông ABCD Trên các cạnh AB, BC, CD, DA ta lấy theo thứ tự

các điểm E, F, G, H sao cho AE= BF= CG= DH Xác định vị trí của các điểm E, F,

G, H sao cho tứ giác EFGH có chu vi nhỏ nhất

Tương tự ta có: HE= EF= FG= GH nên tứ giác EFGH là hình thoi.

HAE= EBF còn suy ra AHE BEF

Ta lại cóAHE AEH  90 ê0n nBEF AEH 900

Do đó: HEF  900 Như vậy hình thoi EFGH là hình vuông

Gọi O là giao điểm của AC và EG Tứ giác AECG có AE= CG, AE// CG nên là hình bình hành, suy ra O là trung điểm của AC và của EG, do đó O là tâm của cà hai hình vuông ABCD và EFGH

HOE vuông cân: HE2 2.OE2  HE OE 2

Chuvi EFGH= 4.HE= 4 2.OE Do đó chu vi EFGH nhỏ nhất  OE nhỏ nhất

Kẻ OK AB Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên: OE OK( độ dài OK không đổi) nên OE= OK E K

Do đó min OE= OK

Kết luận : Như vậy, chu vi tứ giác EFGH nhỏ nhất khi và chỉ khi E, F, G, H là

trung điểm của AB, BC, CD, DA

Câu 4: Cho đoạn thẳng AB có độ dài 2a Vẽ về một phía của AB các tia Ax và By

vuông góc với AB Qua trung điểm M của AB có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt Ax, By theo thứ tự ở C, D Xáx định vị trí của các điểm

C, D sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất

Giải:

Gọi K là giao điểm của CM và DB

MAC= MBK(g-c-g)  MC= MK

DCK có đường cao DM là trung tuyến nên là tam giác cân, suy ra HDM MDB

Kẻ MH CD Do M thuộc tia phân giác cùa góc D nên: MH= MB= a

Câu 5: Cho tam giác ABC có góc B là góc tù, điểm D di chuyển trên cạnh BC

Xác đ5nh vị trí của điểm D sao cho tổng các khoảng cách từ B và từ C đến đường thẳng Ad có giá trị lớn nhất

Giải:

Gọi S là diện tích ABC Khi D di chuyển trên cạnh BC ta có:

ABD ACD

S S S

Đường xiên AD nhỏ nhất  hình chiếu HD nhỏ nhất.

Ta có HD HB ( do ABD 900) và HD = HB khi và chỉ khi DB

Kết luận: Như vậy khi D trùng B thì tổng các khoảng cách từ B và từ C đến AD có

giá trị lớn nhất

1.2 Bài tập tương tự

Câu 1

: Cho hình bình hành ABCD Qua A vẽ đường thẳng d không cắt hình bình

hành Gọi B’, C’, D’, lần lượt là hình chiếu vuông góc của các điểm B, C, D trên đường thẳng d

Xác định vị trí của đường thẳng d để tổng BB’ + CC’ + DD’ có giá trị lớn nhất

Kết luận: d vuông góc AC tại A.

Câu 2 : Cho tam giác ABC có góc B là góc tù, điểm D di chuyển trên cạnh BC

Xác đ5nh vị trí của điểm D sao cho tổng các khoảng cách từ B và từ C đến đường thẳng Ad có giá trị lớn nhất

Kết luận : Như vậy khi D trùng B thì tổng các khoảng cách từ B và từ C đến AD

có giá trị lớn nhất

O

x

AB

AE

D

C

GH

I

KMh.13

Phương pháp 2: Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc

Kiến thức cần nhớ:

Với ba điểm A,B,C bất kỳ ta có : AC +CB ≥ AB

AC +CB = AB  C thuộc đoạn thẳng AB

2.1 Bài tập áp dụng

Câu 1: Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó Xác định điểm B thuộc tia Ox,

điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và tổng AB +AC là nhỏ nhất

Xảy ra đẳng thức khi và chỉ khi C AD

Kết luận: Vậy min(AC+AB) =AD Khi đó C là giao điểm của AD và Oy , B thuộc

tia Ox sao cho OB = OC

Câu 2: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD Xác định vị trí các

điểm F thuộc cạnh AB , G thuộc cạnh BC , H thuộc cạnh CD sao cho tứ giácEFGH có chu vi nhỏ nhất

Giải :

Gọi I ,K, L theo thứ tự là trung điểm của EF, EG , EH (h.12).

AEF vuông tại A có AI là trung tuyến  AI =1/2EF

CGH vuông tại C có CM là trung tuyến  CM =1/2GH

IK là đường trung bình của EFG  IK = 1/2FG

KM là đường trung bình của EGH  KM = 1/2EH

Do đó : chu vi EFGH = EF +FG +GH +EH =2(AI + IK + KM + MC)

Ta lại có : AI + IK + KM + MC ≥ AC

Suy ra chu vi EFGH ≥ 2AC ( độ dài AC không đổi )

Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC  A,I,K,M,C thẳng hàng

Khi đó ta có EH//AC,FG//AC, AEI EAI ADB   nên EF//DB , tương tự GH//DB

Kết luận:.Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành có các cạnh song song với các

đường chéo của hình chữ nhật ABCD (h.13)

Câu 3: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD Xác định vị trí các

điểm: F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứ giác EFGH

có chu vi nhỏ nhất

Giải:

Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH

AEF vuông tại A có AI là trung tuyến  AI=

1

2 EF

K I

2 GH

IK là đường trung bình của EFG  IK=

1

2 FG Tương tự KM=

1

2 EH

Do đó: chu vi EFGH= EF + FG + GH +HE= 2(AI + IK + KM + MC)

Ta lại có: AI + IK + KM + MC  AC (so sánh độ dài đoạn thẳng và đường gấp khúc)

Suy ra: chu vi EFGH  2AC ( không đổi)

Kết luận : Chu vi EFGH nhỏ nhất bằng 2AC  A, I, K , M, C thẳng hàng

2.2 Bài tập tương tự

Câu 1 : Cho tam giác ABC nhọn Dựng một tam giác có chu vi nhỏ nhất nội

tiếpABC, tức là có ba đỉnh nằm trên ba cạnh của tam giác ấy

Kết luận : Vậy chu vi tam giác MNP nhỏ nhất khi M, N, P là chân ba đường cao

của tam giác ABC Do tam giác ABC nhọn nên M, N, P thuộc biên của tam giác

Câu 2 : Cho tam giác đều ABC và trung điểm M của AB Trước tiên An chọn một

điểm N trên BC, tiếp đó Bình chọn một điểm P trên AC Mục tiêu của An là muốn

M

tổng d = MN + NP + PM lớn nhất, còn Bình muốn tổng d nhỏ nhất Hỏi rằng nếu

cả hai đều có cách chọn tốt nhất thì N và P là những điểm nào?

Kết luận: Do cả hai người đều chơi tối ưu nên An chọn N trùng B để có tổng d lớn

nhất, sau đó Bình chọn P là giao điểm của BD và AC

Phương pháp 3: Áp dụng bất đẳng thức trong đường tròn tìm cực trị

a-Kiến thức cần nhớ:

a1) AB là đường kính , CD là dây bất kỳ  CD ≤ AB (h.14)

C