Sử dụng biểu diễn trực quan động để nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10.: Khóa luận tốt nghiệp toán học

trực quan động được thiết kế trên phần mềm The Geometer’s Skepchpad GSP, giáo viên có thể sử dụng có hiệu quả cao trong nhiều khâu của quá trình dạy toán như: Phát hiện vấn đề, khảo sát,

CHƯƠNG 1

MỞ ĐẦU

1 Giới thiệu

Giáo dục tính tích cực, chủ động và phát triển năng lực độc lập giải quyết vấn

đề cho học sinh là vấn đề cần được quan tâm trong mọi thời đại Công nghệ thông tin ngày càng có vai trò quan trọng trong mọi lĩnh vực, trong đó có giáo dục Nó đã, đang và sẽ có tác động trực tiếp đến nội dung, phương tiện và phương pháp dạy học Vì vậy, mỗi nhà trường THPT cần trang bị cho học sinh kỹ năng không ngừng tự bổ sung kiến thức và đổi mới tri thức, phát triển

kỹ năng tích cực học tập của học sinh, biết tự mình thu thập tri thức và vận dụng tri thức một cách sáng tạo Nhằm đáp ứng nhu cầu trên, hiện nay, các chương trình giáo dục toán phổ thông thường tạo điều kiện cho tất cả học sinh để: Xây dựng kiến thức toán thông qua giải quyết vấn đề; Giải quyết vấn đề nảy sinh từ toán học và những hoàn cảnh khác; Áp dụng và mô phỏng nhiều phương pháp thích hợp để giải quyết vấn đề; Theo dõi và phản ánh quá trình giải quyết vấn đề

Theo PISA (chương trình đánh giá Học sinh Quốc tế - Programme for International Student Assessment) thì học sinh lớp 10 đang ở lứa tuổi mười lăm, lứa tuổi vừa hoàn thành phổ cập chính thức bậc trung học cơ sở, cũng là giai đoạn chuyển tiếp có ý nghĩa quyết định, ở đó năng lực toán của học sinh

sẽ có ảnh hưởng lớn đến thành công của các em trong những năm học tiếp theo và nghề nghiệp sau này Do đó, để hình thành các năng lực về toán cho học sinh là điều rất quan trọng

Trong chương trình Đại số lớp 10, có rất nhiều khái niệm, định lý… khá trừu tượng và vẫn còn nhiều giáo viên dạy theo lối truyền thụ, thiếu mô hình trực quan động nên học sinh thường gặp khó khăn trong việc nắm khái niệm cũng như nhầm lẫn các khái niệm Khi đó, sẽ xảy ra trình trạng học sinh phải học thuộc định nghĩa, định lý và vận dụng máy móc vào giải bài tập mà không hiểu được bản chất của các khái niệm cơ bản Chúng tôi cho rằng, các phần

trực quan động được thiết kế trên phần mềm The Geometer’s Skepchpad (GSP), giáo viên có thể sử dụng có hiệu quả cao trong nhiều khâu của quá trình dạy toán như: Phát hiện vấn đề, khảo sát, giải quyết vấn đề, củng cố, kiểm tra và đánh giá, thông qua đó học sinh có thể phát hiện và giải quyết vấn

đề một cách dễ dàng, nhanh chóng

1.1 Nhu cầu nghiên cứu

Giải quyết vấn đề là mục tiêu chính của việc học toán Với học sinh, đó là kỹ năng

cơ bản cho công việc ở tương lai Khác với một số nước trên thế giới, các hoạt động tìm kiếm và sử dụng các biểu diễn trực quan động chưa có vị trí riêng trong nội dung dạy học hay các chủ đề của chương trình toán ở nước ta Do đó, đa số học sinh đều bỡ ngỡ khi tiếp xúc với các kiểu nhiệm vụ này, đặc biệt là sử dụng các biểu diễn trực quan động để giải quyết các vấn đề toán học và thực tế

Phương pháp dạy học luôn cần được đổi mới để phù hợp với các yêu cầu của thời đại và mỗi người giáo viên luôn mong muốn mang đến cho học sinh những giờ học thực sự hiệu quả, giáo viên truyền đạt đầy đủ kiến thức nhưng mất không quá nhiều thời gian, học sinh chủ động hoàn toàn Lấy ví dụ, để rút

ra được định lý về dấu của tam thức bậc hai, giáo viên phải có 6 đồ thị của hàm số bậc hai tương ứng với các trường hợp Câu hỏi đặt ra là: làm thế nào

để học sinh có thể rút ra được kết luận mà không phải dùng nhiều hơn một đồ thị? không mất quá nhiều thời gian trên lớp? Sử dụng biểu diễn trực quan động là một câu trả lời phù hợp

Để góp phần nâng cao chất lượng học tập, nâng cao các năng lực toán cho học sinh, việc đổi mới phương pháp cần được thực hiện theo hướng tích cực hoá người học, cần tổ chức cho học sinh học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, chủ động, tích cực và sáng tạo Thích hợp với định hướng đó có nhiều xu hướng dạy học nhằm nâng cao năng lực đại số với sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động trên máy tính

1.2 Đề tài nghiên cứu

Nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động trong việc nâng cao năng lực toán của học sinh THPT nói chung và trong việc nâng cao năng lực đại số của

học sinh lớp 10 nói riêng là một nhiệm vụ thiết thực, có ý nghĩa Các mô hình toán học động tỏ ra có hiệu quả trong việc hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức và nâng cao năng lực toán học cho học sinh Việc xây dựng các mô hình này cũng như áp dụng nó vào giảng dạy cần được thực hiện một cách phổ biến

Chúng tôi chọn đề tài: “Sử dụng biểu diễn trực quan động để nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10”

 Nắm bắt được năng lực đại số mà học sinh lớp 10 thể hiện khi giải quyết các vấn đề toán học và các vấn đề thực tế bằng cách sử dụng biểu diễn trực quan động

 Nghiên cứu vai trò của biểu diễn trực quan động đối với việc nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10

3 Câu hỏi nghiên cứu

Dựa vào các mục đích ở trên, nghiên cứu này sẽ trả lời ba câu hỏi sau:

 Câu hỏi nghiên cứu thứ nhất: Xây dựng những mô hình động về đại

số như thế nào để giáo viên và học sinh có thể sử dụng nhằm đạt hiệu cao trong giảng dạy và học tập?

 Câu hỏi nghiên cứu thứ hai: Những năng lực đại số nào mà học sinh

lớp 10 thể hiện khi giải quyết các vấn đề toán học và thực tế thông qua thao tác trên các biểu diễn trực quan động?

 Câu hỏi nghiên cứu thứ ba: Các bài toán có sử dụng biểu diễn trực

quan động có vai trò như thế nào đối với việc nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10?

4 Định nghĩa các thuật ngữ

 Trực quan hóa: Trực quan hoá là khả năng, quá trình và sản phẩm

của sự sáng tạo, giải thích, sử dụng và phản ánh dựa trên các hình vẽ, hình ảnh, đồ thị, sơ đồ, biểu bảng ở trong đầu chúng ta, trên giấy hay trên các công

cụ khoa học công nghệ, với mục đích mô tả và giao tiếp thông tin, tư duy và phát triển các ý tưởng chưa biết trước đó để đi đến việc hiểu toán (Arcavi,

2003, [14, tr 217)

 Biểu diễn: Có nhiều định nghĩa khác nhau về biểu diễn trong giáo

dục toán Hầu hết các nhà nghiên cứu giáo dục toán phân biệt giữa biểu diễn trong và ngoài, trong đó biểu diễn ngoài là những biểu hiện của các ý tưởng hoặc khái niệm như biểu đồ, bảng biểu, đồ thị, sơ đồ, ngôn ngữ… và biểu diễn trong là các mô hình nhận thức mà một người có được trong trí óc họ (Minh Phúc, 2010, [4])

 Biểu diễn bội: BDB là những biểu hiện bên ngoài của các ý tưởng và

khái niệm toán học nhằm cung cấp cùng một thông tin ở những dạng khác nhau (Minh Phúc, 2010, [4])

 Biểu diễn trực quan: Biểu diễn trực quan được xem là công cụ để

trực quan hoá nhằm hiểu được các đối tượng toán học trừu tượng

 Biểu diễn trực quan động: BDTQĐ trên máy tính là biểu diễn trực

quan trong đó cho phép sử dụng các thao tác động lên các đối tượng trong biểu diễn Với sự hỗ trợ của máy tính cùng các phần mềm hình học động GSP,

có thể thiết kế được các biểu diễn loại này để hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức toán (Minh Phúc, 2010, [4])

 Vấn đề: Vấn đề là tình huống đặt ra cho cá nhân hoặc nhóm để giải

quyết mà khi đối mặt với tình huống này họ không thấy ngay các phương pháp hoặc con đường để thu được lời giải (Trần Vui, 2006, [10])

 Suy luận: Suy luận chỉ quá trình một cá nhân có thể sử dụng các quy

tắc, các bằng chứng và những kiến thức đã có để suy ra các kết luận mới, xây dựng các giải thích hoặc đánh giá các kết luận khác (English, L D.,2004, [15])

 Tư duy: là cách nghĩ để nhận thức và giải quyết vấn đề Tư duy là quá

trình tâm lý nhờ đó con người phản ánh, nhận thức được các sự vật hiện tượng, các mối quan hệ của hiện thực qua những dấu hiệu căn bản của chúng

 Tư duy toán học: là khả năng của người học để đạt một kết luận có cơ

sở từ những dữ liệu toán học đã cho Đặc trưng quan trọng nhất của tư duy toán học là tính có vấn đề, tư duy phải được gắn với những tình huống có vấn

đề Học sinh phải đặt được giả thuyết, rồi từ những mối liên hệ trong tình huống có vấn đề để đi đến kết luận và lý giải kết quả đạt được Những kết quả này sẽ được tổng hợp thành những ý tưởng toán học mới Ở đây, chúng ta chia thành bốn thành phần chính là nhắc lại, hiểu, phê phán và sáng tạo Với quan điểm này thì quá trình suy luận toán học là một bộ phận của tư duy toán học,

nó nằm trên mức độ tư duy nhắc lại

 Tư duy logic: là tư duy theo các quy tắc của logic học, là cách tư duy

nhằm khám phá bản chất, tính tất yếu, tính quy luật của sự vật trong quá trình phát triển

 Tư duy sáng tạo: là cách nghĩ mới về sự vật, hiện tượng, về mối quan

hệ, suy nghĩ mới về cách giải quyết có ý nghĩa, có giá trị

 Tư duy phê phán: là khả năng xem xét các mối liên hệ, đánh giá mọi

khía cạnh của bài toán hay tình huống Tư duy phê phán thể hiện qua việc học sinh có khả năng nhận ra giả thiết và các yêu cầu của bài toán, hoặc phát hiện được tính hợp lý trong các điều kiện của bài toán, tính đầy đủ của lời giải Tư duy phê phán bao gồm các kỹ năng như tập trung vào các yếu tố của bài toán hay tình huống khó khăn, thu thập và sắp xếp thông tin

5 Ý nghĩa của nghiên cứu

 Thứ nhất: Nghiên cứu này sẽ cung cấp cho người dạy và người học những mô hình động có thể sử dụng trong giờ học nhằm hỗ trợ học sinh giải quyết một số vấn đề

 Thứ hai: Kết quả thăm dò sẽ cung cấp một cái nhìn khách quan về năng lực đại số của học sinh lớp 10 thể hiện khi giải quyết các bài toán bằng cách sử dụng biểu diễn trực quan động

 Thứ ba: Kết quả của nghiên cứu sẽ giúp chúng ta thấy được những vai trò của các biểu diễn trực quan động trong quá trình giúp học sinh giải quyết vấn đề

6 Cấu trúc khóa luận

Khóa luận bao gồm 5 chương, phần tài liệu tham khảo và các phụ lục

Chương 1: Mở đầu

Trong chương 1, chúng tôi đưa ra nhu cầu nghiên cứu, mục đích nghiên cứu, các câu hỏi nghiên cứu, định nghĩa các thành phần và ý nghĩa của việc nghiên cứu này

Chương 2: Những kết quả nghiên cứu liên quan

Trong chương 2, chúng tôi trình bày nền tảng lịch sử của vấn đề nghiên cứu, nền tảng lý thuyết gồm lý thuyết kiến tạo, lý thuyết về biểu diễn bội và lý thuyết về trực quan động Bên cạnh đó, tôi cũng giới thiệu cơ sở lý thuyết theo khuôn khổ đánh giá của PISA Cuối cùng là những kết quả nghiên cứu liên quan

Chương 3: Phương pháp và quy trình nghiên cứu

Trong chương 3, chúng tôi thiết kế quá trình nghiên cứu, nêu ra đối tượng nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, quy trình thu thập tài liệu, quy trình phân tích dữ liệu và các hạn chế

Chương 4: Kết quả nghiên cứu

Trong chương 4, chúng tôi trình bày những kết quả nghiên cứu của mình nhằm trả lời cho các câu hỏi nghiên cứu nêu ra ở chương 1

Chương 5: Kết luận, lý giải và ứng dụng

Trong chương này, trình bày kết luận cho ba câu hỏi nghiên cứu từ đó lý giải cho ba câu hỏi nghiên cứu, cuối cùng là những ứng dụng của nghiên cứu

7 Tóm tắt

Trong chương 1, chúng tôi trình bày mục đích và ý nghĩa của đề tài “Sử dụng biểu diễn trực quan động để nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10.”, đồng thời chúng tôi cũng phát biểu các câu hỏi nghiên cứu và định nghĩa

một số thuật ngữ cho khóa luận Chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức làm cơ

sở và định hướng cho nghiên cứu này ở chương 2

2 Nền tảng lý thuyết

2.1 Lý thuyết kiến tạo

Trong quá trình dạy học, điều quan trọng nhất không phải là giáo viên dạy những gì mà học sinh học được những gì Do đó, khi dạy người giáo viên không những quan tâm đến phương pháp, nội dung giảng dạy của mình mà còn phải chú ý đến việc học sinh học như thế nào Lý thuyết kiến tạo nhằm trả lời cho câu hỏi “con người học như thế nào?” Bằng cách xây dựng lý thuyết

từ những biểu diễn trực quan động, học sinh có thể nắm bắt tốt hơn các khái niệm, định lý, hệ quả và có thể đi từ nhận biết sang hiểu nó Về cơ bản, lý thuyết kiến tạo cho là việc học gắn liền với sự tương tác giữa hai yếu tố là đồng hóa và điều ứng

 Đồng hóa: nếu gặp một tri thức mới nhưng tương tự với cái đã biết

thì tri thức mới này có thể được kết hợp trực tiếp vào trong một sơ đồ nhận thức đang tồn tại mà nó rất giống với tri thức mới;

 Điều ứng: đôi khi một tri thức mới có thể hoàn toàn trái ngược với

những sơ đồ nhận thức đang có Những sơ đồ hiện có được thay đổi để tương hợp với thông tin trái ngược đó

Lý thuyết kiến tạo được trình bày theo hai nguyên tắc sau:

 Tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức chứ không phải được tiếp thu một cách thụ động từ môi trường bên ngoài;

 Nhận thức là quá trình điều ứng và tổ chức lại thế giới quan của chính mỗi người Nhận thức không phải là khám phá một thế giới độc lập đang tồn tại bên ngoài ý thức của chủ thể

Lý thuyết kiến tạo thể hiện niềm tin rằng tất cả các tri thức đều là sản phẩm của hoạt động nhận thức của chúng ta Kiến thức được kiến tạo khuyến khích tư duy phê phán, nó cho phép học sinh tích hợp các khái niệm theo nhiều cách khác nhau Và giáo viên đóng vai trò quan trọng trong việc giúp đỡ học sinh xây dựng kiến thức chính xác Đôi khi học sinh kiến tạo tri thức cho mình nhưng chỉ đúng trong trường hợp cụ thể Khi đó giáo viên cần phải đưa ra thêm những tình huống cho phép học sinh thử nghiệm kiến thức của mình Một khi học sinh nhận ra rằng tri thức được kiến tạo không đúng với tình huống mới, các em có thể điểu chỉnh

và kiểm tra tính đúng đắn cho phù hợp

Như vậy, lý thuyết kiến tạo đề cao tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong quá trình nhận thức Một môi trường học tập tích cực gắn liền với

sự hứng thú và sự tự giác trong nhận thức của học sinh Tích tích cực học tập liên quan mật thiết với động cơ học tập của học sinh Động cơ đúng tạo ra hứng thú Hứng thú và tự giác là hai yếu tố tâm lý tạo nên tính tích cực Phong cách học tập tích cực, độc lập và sáng tạo sẽ phát triển tính tự giác, hứng thú

và bồi dưỡng động cơ học tập (Trần Vui, 2006, [9])

2.2 Biểu diễn bội

2.2.1 Giới thiệu

Việc sử dụng biểu diễn bội có hoặc không có công nghệ thông tin là một trong những chủ đề chính của giáo dục toán trong những năm gần đây Biểu diễn bội cung cấp một môi trường hiệu quả cho học sinh nhận biết và hiểu những khái niệm toán, định lý, hệ quả được học Điều quan trọng đặt ra là những biểu diễn nào được dùng cho những khái niệm, định lý riêng biệt Các câu hỏi sau đây cần

có được những câu trả lời xác đáng: (1) Với một khái niệm đại số, một định lý,

sử dụng biểu diễn bội như thế nào để hỗ trợ học sinh nắm bắt khái niệm, định lý đó? (2) Các biểu diễn thao tác được đóng vai trò như thế nào trong hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức toán? (3) Học sinh chọn lựa các thao tác trên các biểu diễn như thế nào để giải quyết các vấn đề toán được đặt ra?

Biểu diễn trực quan động với thế mạnh của mình có thể thể hiện đồng thời nhiều loại biểu diễn khác nhau và hỗ trợ tốt cho học sinh khám phá kiến thức

2.2.2 Biểu diễn bội và vai trò của nó trong dạy học toán

Ozgun Koca (2003) đã đề xuất vai trò của các biểu diễn trong dạy học toán như sau:

 Các biểu diễn là một phần không tách rời của toán học;

 Các biểu diễn là những cụ thể hóa khác nhau của một khái niệm nào đó;

 Các biểu diễn được sử dụng để giảm bớt độ khó của vấn đề;

 Các biểu diễn nhằm làm cho toán học hấp dẫn và thú vị hơn

Biểu diễn như là một công cụ của tư duy Chúng ta biểu diễn một vấn đề hoặc khái niệm và dùng biểu diễn đó để tư duy Hơn nữa biểu diễn còn được xem như một phương pháp ghi nhớ và là một phương pháp để thông tin (Minh Phúc, 2010, [4])

Bruner (trong Tadao Nakahara, 2007) chỉ ra rằng có thể chia biểu diễn thành 3 phạm trù theo các giai đoạn phát triển của biểu diễn là: Biểu diễn thực tế  Biểu diễn biểu tượng  Biểu diễn ký hiệu Phân loại, mô tả của các biểu diễn được trình bày ở bảng sau, trong đó các biểu diễn được xếp từ dưới lên trên theo thứ tự từ cụ thể đến trừu tượng hơn:

Sử dụng các minh họa như hình vẽ, sơ

đồ, đồ thị trên mặt phẳng hai chiều hoặc giả lập ba chiều trên máy tính

Biểu diễn thực thao tác được

Thực hiện các thao tác lên các mô hình

ba chiều thực hoặc mô hình cho phép thao tác

Biểu diễn thực tế

Biểu diễn thực Dựa trên các trạng thái thực của đối

tượng

2.2.3 Những tiếp cận dạy học khái niệm theo biểu diễn bội

Lý thuyết kiến tạo đề xuất rằng học sinh phải kiến tạo tri thức cho bản thân bởi chính sự chủ động của các em Von Glasersfeld (1996) nhận thấy các kiến thức có được nhờ vào thế giới thực nghiệm được xây dựng bởi chính bản thân người học và không có kiến thức nào mang tính đơn trị Từ đó, chúng ta không nên cho rằng mọi người sẽ lĩnh hội cùng một kiến thức toán từ một biểu diễn như nhau

Dienes (1960) (trong Ozgun Koca, 1998) đề xuất rằng những khái niệm toán học nên được giới thiệu trong nhiều dạng khác nhau để học sinh nắm bắt được bản chất toán học của nó Dienes cũng nhấn mạnh việc học khái niệm toán học sẽ tốt hơn khi các em được thấy khái niệm đó thông qua nhiều bối cảnh hoặc biểu hiện khác nhau

Theo Piez và Voxman (1997) (trong Ozgun Koca, 1998), bởi vì mỗi biểu diễn nhấn mạnh và lưu giữ những khía cạnh khác nhau của một khái niệm, chúng

ta tin rằng học sinh nhận được nhiều hiểu biết sâu hơn về một hàm số nếu nó được khám phá bằng cách sử dụng các phương pháp số, đồ thị và giải tích (Minh Phúc, 2010, [4])

2.3 Biểu diễn trực quan động

2.3.1 Biểu diễn trực quan động trên máy tính

Biểu diễn trực quan động trên máy tính là biểu diễn trực quan trong đó cho phép sử dụng các thao tác tác động lên các đối tượng trong biểu diễn Với sự

hỗ trợ của máy tính cùng các phần mềm hình học động, có thể thiết kế được các biểu diễn loại này để hỗ trợ học sinh kiến tạo tri thức toán Thao tác động theo William Finzer (1998) có các đặc điểm sau đây:

 Thao tác trực tiếp Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất 1 ẩn là một đa giác rồi lấy một điểm di động M trên biên của đa giác

đó Bạn nắm lấy điểm M rồi kéo rê nó đến trùng với các đỉnh của đa giác Bạn

sẽ nói “Tôi kéo rê điểm M” chứ không nói “Tôi kéo rê chấm tròn nhỏ này và

nó sẽ làm thay đổi vị trí của điểm M”

 Chuyển động cập nhật liên tục Các thay đổi được cập nhật liên tục

trong suốt quá trình kéo rê Các đối tượng toán học có trên màn hình vẫn liên kết trong một tổng thể tại mọi thời điểm Chẳng hạn, nếu tính độ dài cung

¼

AM trên đường tròn lượng giác thì giá trị hiển thị độ dài của cung trên màn

hình sẽ thay đổi tương ứng với sự thay đổi vị trí của điểm M khi kéo rê M

 Môi trường tối ưu cho các thao tác Thực nghiệm của bạn chỉ liên

quan đến những đối tượng mà bạn thao tác Bạn khám phá chúng, làm việc với chúng Giao diện của chương trình hầu như không gây ra tác động nào và bạn có thể tập trung làm thế nào để đạt được những mục đích toán học chứ không phải làm thế nào để điều khiển công nghệ

Dựa trên ba đặc điểm này, việc sử dụng các biểu diễn trực quan động cần tạo cho học sinh có sự chủ động trong việc tìm ra và thực hiện các thao tác động trên biểu diễn Hơn nữa, trong những điều kiện cho phép, giáo viên có thể cho học sinh tự thiết kế biểu diễn trực quan và dùng nó để tìm hiểu, khám phá kiến thức cũng như giải quyết vấn đề

2.3.2 Biểu diễn trực quan động – Chiếc cầu nối giữa dạy và học

Mối quan hệ giữa công nghệ thông tin với dạy - học toán đã đang được nhiều nhà giáo dục toán quan tâm nghiên cứu Ngay cả với những giáo viên có kinh nghiệm dạy học nhất, họ cũng phải thấy rằng phải mất nhiều hơn một lần giải thích một cách rõ ràng để học sinh nắm bắt và hiểu được khái niệm toán nào

đó Để cho học sinh nắm bắt và đưa ra được mối quan hệ giữa các khái niệm, không chỉ đơn giản là bằng cách giáo viên nói cho các em biết các quan hệ đó Giải quyết vấn đề, những công việc thực tế phù hợp, thảo luận, khảo sát là những khía cạnh cần thiết của môi trường học toán ở mọi cấp học

Vai trò của biểu diễn trực quan được nhấn mạnh với các ví dụ về thống kê, số học, hình học, đại số và giải tích BDTQĐ được xem như là một công cụ để hiểu toán, để đạt đến sự hiểu biết đó, chúng ta cần xem xét trực quan hóa dưới dạng: Thường biểu diễn với các biểu diễn có tính đồ thị, thường xảy ra không phải như là một chủ đề cô lập, mà trong một bối cảnh toán học có sự hiện diện của các biểu diễn số và ký hiệu

Như vậy, BDTQĐ tạo nên một công cụ minh họa hoàn hảo cho những ý tưởng của giáo viên cũng như của học sinh cần diễn đạt, nó kích thích quá trình trao đổi toán, tạo hứng thú học tập, tự đặt câu hỏi và định hướng giải quyết vấn đề Nếu việc dạy toán ở một góc độ nào đó được xem như là một quá trình truyền thụ, thì công nghệ thông tin được sử dụng để trình bày, giải thích và làm sáng

tỏ các ý tưởng toán học, giáo viên tìm kiếm cách để thuyết phục học sinh (Vĩnh Lợi, 2010, [3])

2.3.3 Biểu diễn trực quan động - Công cụ của tư duy

BDTQĐ bao gồm các hình ảnh đồ thị, mô hình toán học được thiết kế bằng những phương tiện công nghệ như máy tính điện tử, là công cụ thiết yếu để dạy, học và làm toán Đặc biệt, những mô hình toán tích cực được thiết kế bằng phần mềm động trên máy tính cung cấp những hình ảnh động, trực quan

về các ý tưởng toán học, thúc đẩy việc sắp xếp và phân tích các dữ liệu; đồng thời, thiết lập các phép tính một cách có hiệu quả và chính xác Chúng có thể

hỗ trợ học sinh khảo sát toán trong mọi lĩnh vực toán học bao gồm: hình học, đại số, giải tích, thống kê, đo đạc và số Với những công cụ và công nghệ phù hợp, học sinh có thể tập trung vào việc đưa ra các quyết định, phản ánh, suy luận và giải quyết các vấn đề toán học

Các phần mềm xây dựng các mô hình động như GSP hay Cabri cung cấp cho học sinh một công cụ trực quan động hiệu quả để thu thập dữ liệu hình học nhằm lý giải một cách quy nạp và hình thành những giải quyết, giống với quá trình mà nhà toán học đã sử dụng trong những nghiên cứu toán học của họ

Có thể nói rằng, việc sử dụng BDTQĐ sẽ tạo ra một môi trường tích cực cho học sinh tự thao tác trên các mô hình biểu diễn, tự khảo sát toán, tự kiểm chứng các kết quả từ đó phát hiện ra các mối quan hệ giữa các đối tượng, tìm cách chứng minh các mối quan hệ đó bằng toán học, điều này giúp phát huy khả năng tư duy của học sinh (Vĩnh Lợi, 2010, [3])

2.3 Giải quyết vấn đề

Giải quyết vấn đề là một thành tố quan trọng của quá trình dạy học, nó không chỉ

là mục đích mà còn là phương tiện chính của việc học toán Có nhiều phương pháp cụ thể để giải quyết vấn đề, dưới đây là mười phương pháp phổ biến thường được sử dụng ở bậc THPT trong những tình huống toán và cuộc sống:

 Phát hiện quy luật;

 Phân tích đi lên;

 Suy luận logic

Giáo viên cần giúp học sinh phát triển những phương pháp cụ thể để giải quyết vấn đề Những vấn đề tốt tạo cho học sinh cơ hội để củng cố và mở rộng tri thức của mình và kích thích việc tìm kiếm tri thức mới Hầu hết các khái niệm toán học đều có thể được giới thiệu thông qua những vấn đề dựa trên những kinh nghiệm quen thuộc từ cuộc sống của các em hoặc từ những tình huống toán học Để phát triển tư duy toán học cho học sinh, giáo viên cần phải chọn các vấn đề toán học có một trong những đặc điểm:

 Hấp dẫn và thách thức học sinh;

 Tạo cơ hội cho các em thảo luận và tương tác;

 Đòi hỏi kỹ năng phân tích, phê phán và quan sát;

 Gắn liền với việc hiểu một khái niệm toán hoặc áp dụng một kỹ năng toán;

 Có nhiều hướng tiếp cận khác nhau;

 Có thể đưa đến một quy tắc hay một sự tổng quát

Với các vấn đề thực tế không quen thuộc, chúng đòi hỏi học sinh phải có các

kỹ năng tư duy và suy luận bậc cao, khả năng lập luận, chuyển thể và giải thích giữa các biểu diễn khác nhau Vì vậy, quá trình học sinh tìm kiếm và sử dụng các biểu diễn toán để giải quyết các vấn đề toán học và thực tiễn là cơ hội tốt để giáo viên đánh giá năng lực toán của các em (Ngọc Bích, 2010, [1])

3 Cơ sở lý thuyết theo khuôn khổ đánh giá của PISA

PISA là chương trình Đánh giá học sinh Quốc tế do các quốc gia công nghiệp phát triển thuộc Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế OECD và một số quốc

gia khác được tiến hành ba năm một lần, bắt đầu từ năm 1997 Dựa trên cơ sở đánh giá hiểu biết toán của học sinh tuổi 15 của PISA, chúng tôi nghiên cứu

và đưa ra đánh giá về năng lực đại số của học sinh tuổi 15 để từ đó xây dựng các mô hình trực quan động có hiệu quả

3.1 Năng lực toán

Theo PISA, những quá trình toán học mà học sinh áp dụng khi các em nổ lực giải quyết vấn đề được hiểu là các năng lực toán Để xác định và kiểm tra những năng lực này, PISA đã quyết định sử dụng tám năng lực toán học sau đây (Trần Vui, 2008, [12])

1) Tư duy và suy luận: Điều này liên quan đến việc đặt câu hỏi (“Có

hay không ?”, “Nếu như vậy, có bao nhiêu?”, “Làm thế nào chúng ta tìm ?”); biết loại câu trả lời có thể đáp ứng cho những câu hỏi như vậy; phân biệt các loại mệnh đề khác nhau (định nghĩa, định lý, phỏng đoán, giả thuyết,

ví dụ, khẳng định có điều kiện); hiểu và xác định phạm vi cũng như hạn chế của các khái niệm toán đã cho

2) Lập luận: Điều này liên quan đến việc biết các chứng minh toán

học là gì và chúng khác với các loại suy luận khác như thế nào; theo dõi và đánh giá các chuỗi lập luận toán; thu được cảm nhận về giải quyết vấn đề bằng kinh nghiệm (“Điều có thể (không thể) xảy ra, và tại sao?); tạo nên và trình bày các lập luận toán

3) Giao tiếp: Điều này liên quan đến việc bộc lộ mình, theo nhiều cách,

về những vấn đề với một nội dung toán, theo dạng nói cũng như theo dạng viết, hiểu được những mệnh đề được nói hay được viết bởi người khác về những vấn đề đó

4) Mô hình hoá: Điều này liên quan đến việc chuyển thể “thực tế”

thành các cấu trúc toán; giải thích các mô hình toán theo nghĩa “thực tế”; làm việc với một mô hình toán; làm cho các mô hình thoả đáng; phản ánh, phân tích và đưa ra sự phê phán cũng như các kết quả của nó; giao tiếp về mô hình

và các kết quả của nó (bao gồm hạn chế của các kết quả như vậy); giám sát và điều khiển quá trình mô hình hoá

5) Đặt vấn đề và giải: Điều này liên quan đến việc đặt, định dạng và

xác định những loại khác nhau của các vấn đề toán (ví dụ: “thuần tuý toán”,

“ứng dụng”, “kết thúc mở” và “đóng”); và giải quyết nhiều dạng bài toán khác nhau theo nhiều cách

6) Biểu diễn: Điều này liên quan đến việc giải mã, mã hoá, chuyển thể,

giải thích và phân biệt giữa các dạng biểu diễn khác nhau của những đối tượng và bối cảnh toán học, và những mối quan hệ bên trong giữa các biểu diễn khác nhau; chọn và chuyển dịch giữa các dạng khác nhau của biểu diễn tuỳ theo bối cảnh và mục đích

7) Sử dụng ngôn ngữ kí hiệu, ngôn ngữ hình thức và các phép toán:

Điều này liên quan đến việc giải mã, giải thích ngôn ngữ kí hiệu và hình thức, hiểu được mối quan hệ của nó với ngôn ngữ tự nhiên; chuyển thể ngôn ngữ tự nhiên thành ngôn ngữ kí hiệu hay hình thức; xử lý các mệnh đề và biểu thức chứa các kí hiệu và công thức; dùng các biến số, giải các phương trình và thực hiện các phép tính

8) Sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ: Điều này liên quan đến

việc hiểu biết và có khả năng sử dụng nhiều loại phương tiện hỗ trợ khác nhau (bao gồm công cụ công nghệ thông tin) có thể trợ giúp cho hoạt động toán, và biết các hạn chế của những loại công cụ đó

3.2 Cụm năng lực toán

Để mô tả và báo cáo một cách hiệu suất các năng lực của học sinh, cũng như thế mạnh và điểm yếu theo một quan điểm quốc tế thì người ta cần đến một vài cấu trúc Một cách đưa ra cấu trúc đó theo cách dễ hiểu và quản lý được là

mô tả theo các cụm năng lực, dựa trên các loại nhu cầu nhận thức cần đến để giải quyết các bài toán khác nhau

PISA chọn các hoạt động nhận thức để mô tả các năng lực toán trên theo ba cụm năng lực: cụm tái tạo, cụm liên kết và cụm phản ánh Ba cụm năng lực gói gọn các quá trình nhận thức khác nhau cần giải quyết nhiều dạng vấn đề, phản ánh cách thức các quá trình toán học tiêu biểu được huy động để học sinh giải quyết các vấn đề nảy sinh khi học sinh tương tác với thế giới của mình

1) Cụm tái tạo: Những năng lực trong cụm này liên quan chủ yếu đến

sự tái tạo các kiến thức đã được thực hành Chúng bao gồm những điều thường hay được dùng nhiều nhất trong các đánh giá chuẩn hoá và kiểm tra ở lớp Những năng lực này là:

 Kiến thức về các sự kiện và sự biểu diễn các vấn đề chung;

 Sự nhận ra các tương đồng;

 Thu thập lại những đối tượng và tính chất toán học quen thuộc;

 Sự thể hiện các quy trình quen thuộc;

 Áp dụng các thuật toán thông thường và kỹ năng có tính kỹ thuật;

 Thao tác với các biểu thức chứa kí hiệu và công thức theo dạng chuẩn;

 Tiến hành các tính toán

Các câu hỏi đánh giá các năng lực thuộc cụm tái tạo có thể được mô tả với những chỉ số chính sau đây: tái tạo lại tài liệu và thể hiện các phép toán quen thuộc Học sinh giải mã, mã hoá và giải thích các biểu diễn tiêu chuẩn quen thuộc được thực hành về các đối tượng toán học nổi tiếng; chuyển dịch giữa các biểu diễn chỉ liên quan khi sự chuyển dịch chính nó là một phần được thiết lập của các biểu diễn được sử dụng

2) Cụm liên kết: Các năng lực cụm liên kết được xây dựng trên các

năng lực tái tạo bằng cách đưa giải quyết vấn đề vào các bối cảnh không hoàn toàn quen thuộc nhưng vẫn có liên quan đến cấu trúc gần như quen thuộc Những câu hỏi kết hợp với cụm này thường đòi hỏi một vài chứng cứ về sự tích hợp và liên kết tài liệu từ nhiều ý tưởng bao quát hay từ các mạch kiến thức chương trình khác nhau, liên kết giữa các biểu diễn khác nhau của một vấn đề và mở rộng khiêm tốn các tài liệu đã thực hành

Học sinh giải mã, mã hoá và giải thích các biểu diễn của các đối tượng toán học ít quen thuộc; chọn và chuyển dịch giữa các dạng biểu diễn khác nhau của các đối tượng và bối cảnh toán học, chuyển thể và phân biệt các dạng biểu diễn khác nhau

3) Cụm phản ánh: Các năng lực cụm phản ánh tập trung vào khả

năng của học sinh phản ánh về các phương án giải quyết vấn đề hay sử

dụng chúng để thiết lập các tiếp cận có tính sáng tạo hơn những gì mà học sinh đã thực hành một cách thành thạo Đánh giá liên quan đến cụm phản ánh gồm có các suy luận bậc cao, lập luận, trừu tượng hoá, tổng quát hoá

và xây dựng mô hình

Người ta có thể dùng các mô tả trên để phân loại các câu hỏi toán và sắp xếp chúng vào một trong các cụm năng lực Một cách để làm điều đó là phân tích các yêu cầu của câu hỏi Cụm năng lực nào cung cấp mô tả phù hợp nhất về các yêu cầu của câu hỏi trong mối liên quan với các cụm năng lực đang xét thì câu hỏi sẽ được sắp xếp vào cụm năng lực đó

“toán học hóa”

Newton có thể đã trình bày toán học hóa trong công trình chính của mình,

“các Nguyên tắc Toán học của Triết học Tự nhiên” khi ông viết: “Những mục đích của chúng ta chỉ là phát hiện đại lượng và các tính chất của lực này từ hiện tượng đó và để áp dụng những gì chúng ta khám phá trong một số trường hợp đơn giản như các nguyên tắc, mà với chúng, chúng ta có thể ước lượng các tác động trong những trường hợp liên quan nhiều hơn” (Newton, 1678) Thảo luận trước đây về cơ sở lý thuyết của khuôn khổ toán học OECD/PISA được thể hiện bằng sự mô tả 5 bước của toán học hóa Những bước này được chỉ ra ở Hình 1

Hình 1 Quy trình toán học hóa

(1) Bắt đầu từ một vấn đề được đặt ra trong thực tế;

(2) Tổ chức nó theo các khái niệm toán học và xác định toán học phù hợp; (3) Không ngừng cắt tỉa thực tế thông qua các quá trình như đặt giả thuyết, tổng quát và hình thức hóa, chúng khuyến khích những khía cạnh toán học của vấn đề và chuyển thể vấn đề thực tế thành một bài toán mà đại diện trung thực cho bối cảnh thực tế;

(4) Giải quyết bài toán;

(5) Làm cho lời giải toán có ý nghĩa theo nghĩa của bối cảnh thực tế, bao gồm việc xác định những hạn chế của lời giải

Như sơ đồ ở Hình 1 đề xuất, 5 khía cạnh sẽ được thảo luận theo 3 giai đoạn Toán học hóa trước hết liên quan đến việc chuyển thể vấn đề từ thực tế sang toán học Quá trình này bao gồm các hoạt động như:

 Xác định toán học phù hợp tương tự với một vấn đề được đặt ra trong thực tế;

 Biểu diễn vấn đề theo một cách khác; bao gồm việc tổ chức nó theo các khái niệm toán học và đặt những giả thiết phù hợp;

 Hiểu các mối quan hệ giữa ngôn ngữ của vấn đề và ngôn ngữ ký hiệu

và hình thức cần thiết để hiểu vấn đề một cách toán học;

 Tìm những quy luật, mối quan hệ và những bất biến;

 Nhận ra các khía cạnh tương đồng với các vấn đề đã biết;

 Chuyển thể vấn đề thành toán học chẳng hạn như thành một mô hình toán Một khi học sinh đã chuyển thể được vấn đề thành một dạng toán, toàn bộ quá trình có thể tiếp tục trong toán học Học sinh sẽ đặt những câu hỏi như: “Liệu có… không?”, “Nếu như vậy thì có bao nhiêu?”, “Làm thế nào tôi có thể tìm…?”, bằng cách dùng các kỹ năng và khái niệm toán học đã biết Các em

sẽ nổ lực làm việc trên mô hình của mình về bối cảnh vấn đề, để điều chỉnh

nó, để thiết lập các quy tắc, để xác định các nối kết và để sáng tạo nên một lập luận toán học đúng đắn Phần này của quá trình toán học hóa được gọi chung

là phần suy diễn của quy trình mô hình hóa (Blum, 1996; Schupp, 1988) Tuy nhiên, những quá trình khác với suy diễn có thể tham gia vào giai đoạn này Phần này của quá trình toán học hóa bao gồm:

 Dùng và di chuyển giữa các biểu diễn khác nhau;

 Dùng ngôn ngữ ký hiệu, hình thức, kỹ thuật và các phép toán;

 Hoàn thiện và điều chỉnh các mô hình toán;

 Hiểu lĩnh vực và các hạn chế của các khái niệm toán học;

 Phản ánh về các lập luận toán học, giải thích và kiểm tra các kết quả;

 Giao tiếp quá trình đó và lời giải;

 Phê phán mô hình và các hạn chế của nó

Giai đoạn này được chỉ ra ở hai chỗ trong Hình 1 bằng số (5), ở đó quá trình toán học hóa chuyển từ lời giải toán học thành lời giải thực tế, và ở đó lời giải được liên hệ ngược trở lại với vấn đề thực tế gốc (Trần Vui, 2008, [12])

4 Lịch sử của vấn đề nghiên cứu

4.1 Khái niệm hình học động

Khái niệm động (dynamic) trong toán học bao gồm chuyển động và biến đổi

Hình học động (Dynamic Geometry) là một khái niệm mới liên quan đến các phần mềm như Skepchpad và Cabri Các phần mềm này thực thi với công cụ

cơ bản gồm một cây thước và compa điện tử

Các bản vẽ trên Skepchpad khác với cái mà chúng ta tạo ra trên giấy với các

công cụ phổ thông không chỉ bởi sự chính xác của cấu trúc Skepchpad nhớ

các mối liên hệ giữa các đối tượng khác nhau trong cấu trúc đó khi rê các đối

tượng tự do Chẳng hạn, nó nhớ điểm M là một điểm di động trên biên của đa giác, nhớ đường thẳng d luôn đi qua điểm A…

Môi trường hình học động đang trở nên phổ biến ở trường học Có nhiều tranh luận khác nhau về hiệu quả của phần mềm hình học động trong suy luận toán học của học sinh Tuy nhiên các phần mềm hình học động đã chứng tỏ sự hữu ích trong việc phát triển suy luận của các em Việc phổ biến các phần mềm tới tận các giáo viên giảng dạy môn toán đã và đang được triển khai một cách sâu rộng và bài bản, hơn nữa, đã có nhiều tài liệu được xuất bản nhằm giúp cho giáo viên và học sinh có thể sử dụng phần mềm động hoặc các mô hình thiết

kế sẵn trong dạy và học Toán

4.2 Xu hướng kết nối toán học với cuộc sống thực tiễn trong giáo dục toán

Mối quan hệ giữa toán học và cuộc sống thực được thảo luận trong một thời gian dài Một số nhà tâm lý học và nhà toán học đã tranh luận rằng việc nhấn mạnh đến mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn có thể làm học sinh xa rời khỏi những ý tưởng toán học Một số khác khẳng định những lợi ích quan trọng và có ý nghĩa từ việc trình bày các vấn đề toán học trong bối cảnh thực, bao gồm việc giúp học sinh có được những kết nối tốt hơn giữa toán học, cuộc sống và cả việc gây hứng thú học tập cho học sinh

PISA là chương trình đánh giá học sinh với quy mô quốc tế đầu tiên tập trung vào đánh giá hiểu biết toán mà học sinh sử dụng khi đối mặt với các vấn đề trong cuộc sống thực PISA chọn một cách tiếp cận rộng cho việc “đánh giá

kiến thức và các kỹ năng phản ánh những thay đổi hiện nay trong chương trình, di chuyển xa hơn tiếp cận dựa vào nhà trường về phía sử dụng kiến thức trong nhiệm vụ và thách thức thường ngày” (OECD, 2003, [17, tr 11]) PISA cũng nhấn mạnh đến quá trình toán học hoá theo một nghĩa rộng đặc trưng cho việc con người sử dụng toán học như thế nào trong nhiều nghề nghiệp chính hiện nay, và những công dân có hiểu biết và biết phản ánh nội dung toán để tham gia một cách trọn vẹn vào thế giới thực

5 Các kết quả nghiên cứu liên quan

Từ trước đến nay, nhiều tác giả nghiên cứu về vấn đề các mô hình động có vai trò như thế nào trong quá trình giúp học sinh kiến tạo tri thức, tuy nhiên mỗi người có cách tiếp cận riêng theo ý tưởng của mình Ở phần này, tôi sẽ giới thiệu một số nghiên cứu đã có trước đây

Một số nghiên cứu:

 Michael (2006) cùng cộng sự tiến hành một nghiên cứu vai trò của các biểu diễn bội với việc hiểu các mối quan hệ toán học trong quy luật Các mức độ này hiểu là:

1) Rút ra các mối quan hệ toán học dựa vào kinh nghiệm: học sinh ở

mức độ này có thể tiếp tục một quy luật;

2) Sử dụng quy tắc tổng quát một cách tiềm ẩn: Học sinh ở mức độ này

có thể tiên đoán các số hạng của quy luật ở một vị trí xa hơn;

3) Sử dụng quy tắc tổng quát một cách tường minh: Học sinh ở mức độ

này có khả năng tổng quát quy luật và đưa ra một quy tắc bằng biểu tượng hay bằng lời

Kết quả nghiên cứu đã khẳng định rằng: với các quy luật phức tạp, dạng biểu diễn bằng lời dường như gây nhiều khó khăn hơn cho học sinh ở tất cả các mức độ nhận thức so với các dạng biểu diễn khác Trong khi đó, biểu diễn trực quan động giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc dự đoán các số hạng ở các vị trí xa hay tổng quát hóa, có lẽ vì nó giúp học sinh nhận ra một vài mối quan hệ không nhìn thấy được khi dùng các biểu diễn bằng lời Spicer (2000)

đã nhận định: các biểu diễn trực quan động có thể tạo ra sức mạnh hữu hình cho những gì không thể nhìn thấy hoặc tưởng tượng được

 Bolyard (2005), Steen, Brooks và Lyon (2006) cũng đã đề cập đến vai trò của các biểu diễn trực quan động: nó làm cho những đối tượng toán học trừu tượng

có ý nghĩa hơn, thúc đẩy động cơ và nâng cao kết quả học tập của học sinh

 Trong bài báo với tiêu đề “ Những đóng góp của các biểu diễn trực quan động trong việc học toán” -Trần Vui, đã xác định vai trò của biểu diễn trực quan trong hệ thống biểu diễn toán và các đặc trưng của nó đối chiếu với biểu diễn đại số Những kết quả nghiên cứu cho thấy biểu diễn trực quan có thể hỗ trợ và minh họa các lời giải toán học thuần tuý ký hiệu, chúng thực sự hữu ích trong giáo dục toán

 Nhóm tác giả: Trần Vui, Lê Quang Hùng, Nguyễn Đăng Minh Phúc

đã nghiên cứu và xuất bản một số sách hỗ trợ học sinh khám phá các chủ đề trong nội dung toán ở THPT thông qua tương tác với các mô hình động thiết

kế bằng phần mềm GSP Các sách này được thiết kế bám sát những nội dung trong chương trình của SGK Những đầu sách này là tài liệu bổ ích cho học sinh và giáo viên trong dạy học môn toán (Vĩnh Lợi, 2010, [3])

Các nghiên cứu trên đã đề cập chủ yếu đến vai trò của các BDTQĐ, giúp học sinh khám phá một số kiến thức trong nội dung toán ở THPT Và chưa khai thác đến vấn đề quá trình học sinh khám phá kiến thức, tương tác với các thao tác động trên mô hình như thế nào? học sinh thể hiện các năng lực gì của mình qua các thao tác? sử dụng các biểu diễn trực quan động tác động như thế nào đến các năng lực đại số của học sinh? Bên cạnh việc nghiên cứu lại những vai trò của các biểu diễn trực quan động, trong khóa luận này, chúng tôi sẽ đề cập thêm đến những vấn đề đó

Tóm tắt chương 2 Trong chương này, chúng tôi đã trình bày một số vấn đề

liên quan đến lịch sử đề tài như: khái niệm hình học động, xu hướng kết nối toán học với cuộc sống thực tiễn Chúng tôi đã cung cấp nền tảng lý thuyết dựa theo khuôn khổ đánh giá toán của PISA Từ cơ sở và các định hướng này, chúng tôi sẽ thiết kế quá trình nghiên cứu trong chương 3

theo phương pháp và quy trình nghiên cứu đó

2 Thiết kế quá trình nghiên cứu

Quá trình nghiên cứu được tiến hành theo các bước sau đây:

 Nghiên cứu về phần mềm GSP để từ đó thiết kế các biểu diễn động giúp học nắm được các kiến thức và giải quyết một số bài toán trong chương trình SGK Đại số 10 Nâng cao

 Phân tích và nghiên cứu các nội dung trong SGK, để từ đó lựa chọn các mảng kiến thức có thể sử dụng biểu diễn trực quan động nhằm giúp học sinh nâng cao năng lực đại số trong quá trình tự kiến tạo nên các tri thức cho bản thân

 Tìm hiểu những năng lực đại số mà học sinh lớp 10 thể hiện khi giải quyết các bài toán có sự hỗ trợ của các biểu diễn trực quan động

 Nghiên cứu tác động tích cực của các biểu diễn trực quan động trong việc giúp học sinh nâng cao năng lực đại số

Trong mỗi nội dung, chúng tôi tiến hành thiết kế như sau:

 Bước 1: Lựa chọn các mảng kiến thức và một số bài toán liên quan

 Bước 2: Xây dựng mô hình

 Bước 3: Xây dựng hệ thống các câu hỏi

 Bước 4: Đánh giá các câu trả lời của học sinh

 Bước 5: Phân tích sư phạm

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là học sinh lớp 10/2 Trường THPT Chuyên Quốc Học

4 Công cụ nghiên cứu

 Các mô hình động, kế hoạch bài học, phiếu học tập

 Bảng khảo sát thu thập thông tin phản hồi về vai trò của các biểu diễn trực quan động (khả năng thu nhận kiến thức khi có các biểu diễn trực quan động có dễ dàng hơn không, các em gặp những khó khăn gì khi giáo viên sử dụng biểu diễn trực quan động để kiến tạo kiến thức cho các em…)

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết

 Nghiên cứu những vấn đề trong chương trình và trong SGK, các bài toán có liên quan đến đề tài

 Nghiên cứu những bài toán, mô hình toán, kế hoạch bài học theo từng chủ đề và có thể phát triển chúng theo hướng đề tài

 Nghiên cứu cơ sở lý luận về hiểu biết đại số theo hướng PISA đề từ

đó đưa ra những đánh giá đúng về năng lực đại số của học sinh

5.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu định tính trong giáo dục toán

 Nghiên cứu hoạt động

 Quan sát

 Phỏng vấn

6 Quy trình thu thập dữ liệu

 Thu thập dữ liệu của phần mềm GSP thông qua phần hướng dẫn, hỗ trợ để xây dựng các mô hình động, công cụ giúp học sinh kiến tạo tri thức và giải các bài toán liên quan

 Sử dụng 4 mô hình liên quan đến nội dung áp dụng định lý về tịnh

tiến đồ thị (file kl | 1 gsp và kl | 2 gsp); định lý về dấu tam thức bậc hai (file

kl | 14 gsp và kl | 15 gsp) nhằm mục đích giúp học sinh nhớ, hiểu và vận

dụng được các định lý, giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề Chuẩn bị các phiếu học tập, hệ thống bảng hỏi dùng cho nghiên cứu Chúng tôi sẽ tiến hành giới thiệu 4 mô hình dạy học đã thiết kế cho học sinh, học sinh quan sát các mô hình, thực hiện các thao tác trên mô hình và trả lời các câu hỏi trên phiếu học tập

 Thông qua các phiếu hỏi cho học sinh, chúng tôi tiến hành thu thập

dữ liệu từ phía học sinh để nhận định về sự tác động tích cực của biểu diễn trực quan động trong việc học toán của học sinh

 Tiến hành nghiên cứu hoạt động: thông qua hoạt động dạy – học của giáo viên và học sinh, chúng tôi nghiên cứu để trả lời các câu hỏi: Quá trình suy nghĩ, lập luận của học sinh khi thực hiện các thao tác trên mô hình? Làm thế nào để nâng cao năng lực đại số của học sinh lớp 10 thông qua các biểu diễn trực quan động?

7 Quy trình phân tích dữ liệu

 Với quá trình nghiên cứu phầm mềm động GSP và phân tích SGK, chúng tôi tiến hành thống kê các kiến thức sẽ sử dụng BDTQĐ để từ đó thiết kế nên các mô hình động chính xác về mặt toán học, phù hợp và có hiệu quả

 Với những dữ liệu được thu thập trong quá trình thực nghiệm, chúng tôi tiến hành thống kê các kết quả thu được, phân tích quá trình tiếp thu tri thức góp phần trả lời câu hỏi nghiên cứu thứ nhất, thứ hai và thứ ba, thống kê các tác động tích cực của biểu diễn động trong việc học toán đối với học sinh, các thế mạnh và các hạn chế của các biểu diễn trực quan động

8 Các hạn chế

 Trong quá trình thực nghiệm, học sinh được thực hiện trực tiếp các thao tác trên các mô hình Do điều kiện cơ sở vật chất của các trường THPT nên đối tượng nghiên cứu chỉ gồm 15 học sinh lớp 10/2 trường THPT Chuyên

Quốc Học Nếu kích thước mẫu lớn hơn và thành phần tham gia mẫu được mở rộng ra nhiều trường khác nhau thì các kết luận được đưa ra sẽ đúng hơn;

 Khi thiết kế các câu hỏi, chúng tôi giả định rằng tất cả đối tượng tham gia là nghiêm túc, hiểu chính xác nội dung các câu hỏi và trả lời theo đúng suy nghĩ của bản thân, tuy nhiên điều đó trong thực tế không hoàn toàn đúng;

 Chúng tôi mong muốn được khảo sát toàn bộ nội dung đã thiết kế Tuy nhiên, do điều kiện không cho phép nên chúng tôi chỉ thực nghiệm 2 nội dung trong các nội dung đã thiết kế;

 Mức độ khó dễ của các câu hỏi là không giống nhau và các câu hỏi chúng tôi đưa ra có thể chỉ phù hợp với đối tượng chúng tôi khảo sát Do đó, việc đánh giá các năng lực toán mà học sinh thể hiện trong các câu hỏi chỉ mang tính chất tương đối;

 Việc khái quát hóa các kết quả nghiên cứu còn phụ thuộc nhiều vào khả năng và nỗ lực của người nghiên cứu, trong khi bản thân người nghiên cứu chưa có nhiều nghiệm về giáo dục toán và năng lực còn hạn chế

2 Các nội dung có sử dụng biểu diễn trực quan động

2.1 Hàm số bậc nhất và bậc hai

2.1.1 Áp dụng định lý về tịnh tiến đồ thị

Tôi sử dụng biểu diễn trực quan động để giúp học sinh hiểu rõ hơn về định

lý, kiểm tra lại tính đúng đắn của định lý đã được chứng minh thông qua biểu diễn trực quan động Từ đó áp dụng định lý vào việc giải một số bài toán có liên quan

 Mở file kl | 1 gsp, quan sát mô hình

Phân tích sư phạm

 Đây là ví dụ đầu tiên giúp học sinh làm quen với thao tác kéo rê các

thanh trượt a, b

 Để có thể kéo được các thanh trượt sao cho đồ thị hàm số y f x( )

trùng với đồ thị hàm số yg x( ) một các nhanh chóng thì học sinh phải tái

tạo lại hai tính chất toán học quen thuộc:

+ Đường thẳng có phương trình dạng y = ax + b có hệ số góc k a,

đường thẳng nét đậm có hệ số góc dương, do đó phải kéo thanh trượt a sang phải để a nhận giá trị dương và kéo a gần đến giá trị sao cho đường thẳng nét

nhạt song song với đường thẳng nét đậm

+ Khi b thay đổi thì đường thẳng nét nhạt tịnh tiến sang phải hoặc sang trái, do đó sau khi kéo rê a học sinh sẽ kéo rê b để đường thẳng nét nhạt trùng

với đường thẳng nét đậm

Kết luận: Học sinh thể hiện các năng lực

 Năng lực tư duy và suy luận: Với mô hình này, khi làm học sinh sẽ

đặt ra cho mình câu hỏi: kéo rê a như thế nào? kéo rê b như thế nào? và biết

trả lời cho những câu hỏi đó, như vậy học sinh đã được rèn luyện khả năng tư duy và suy luận của bản thân

 Năng lực lập luận: Các bước trình bày, lập luận trong bài làm tốt

 Năng lực giao tiếp: Khả năng bộc lộ những suy nghĩ của mình về

vấn đề toán này, trình bày cách hiểu của mình dưới dạng ngôn ngữ viết

 Năng lực đặt vấn đề và giải: Khả năng đặt vấn đề và giải quyết vấn

đề được đặt ra

 Năng lực sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ: với mô hình này

học sinh được trực tiếp làm quen và thực hiện các thao tác trên mô hình, phần mềm GSP hỗ trợ các em trong quá trình giải quyết vấn đề

 Mở file kl | 2 gsp, quan sát mô hình

Giáo viên nhấn nút p = 0, q = 0

Sau đó dịch chuyển các thanh trượt tham số

p (theo chiều ngang), tham số q (theo chiều

Bài làm thứ hai là một câu trả lời tốt cho câu hỏi này

Câu hỏi 2 Khi biết đồ thị của hàm số y = x2, hãy nêu cách vẽ đồ thị hàm số 2

yx bx c

Kết quả thực nghiệm

Câu hỏi 3 Khi biết đồ thị của hàm số y = ax2, hãy nêu cách vẽ đồ thị hàm số 2

yx bx c

Kết quả thực nghiệm

Phân tích sư phạm

 Ở câu hỏi 1: Giúp học sinh nhớ lại định lý về tịnh tiến đồ thị và từ mô

hình động thấy được tính đúng đắn của định lý mà học sinh đã được học

Hàm số đã cho là hàm số y = a(x – p)2 + q, khi giáo viên nhấn nút lệnh

p q , hàm số có dạng y = ax2

Như vậy từ đồ thị hàm số f(x) = ax2 ta tịnh tiến sang phải (hoặc sang trái) p đơn vị ta được đồ thị hàm số f(x) = a(x – p) 2 , sau đó tịnh tiến lên trên (hoặc

xuống dưới) q đơn vị ta được đồ thị hàm số ya x( - )p 2q

 Ở câu hỏi 2: Nếu không có kết luận từ câu hỏi 1, học sinh khó có thể

giải quyết được câu hỏi 2 Học sinh suy luận được rằng đồ thị của hai hàm số

đơn vị? Để giải quyết câu hỏi này đòi hỏi học sinh phải có năng lực tư duy, suy luận Các nhóm học sinh đều đưa ra câu trả lời là phân tích yx2bx c 

về dạng như hàm số được cho như câu hỏi 1 Tuy nhiên phần trình bày của các nhóm chưa chặt chẽ, kết luận chưa thuyết phục, điều này chứng tỏ các em chưa thể hiện tốt năng lực giao tiếp, lập luận

 Ở câu hỏi 3: Đây là một câu hỏi mở rộng của câu hỏi 2, có sự tương

đồng với câu hỏi 2

2.1.2 Đồ thị suy ra từ đồ thị có trước

Đây là một nội dung mà học sinh sẽ được gặp lại ở chương trình toán lớp 11 (vẽ đồ thị của các hàm số lượng giác) và chương trình toán lớp 12 (phần khảo sát hàm số và vẽ các đồ thị có liên quan) Do đó các em cần được hiểu kỹ bản chất bài toán này Bằng biểu diễn trực quan động, các em sẽ có một cách nhìn

rõ hơn về sự tương quan yg x( )đồ thị của hai hàm số đã cho, bằng quan sát

học sinh có thể tự rút ra được các kết luận

Sau đó vẽ đồ thị của hàm số trên

Kéo rê các thanh trượt tham số a, b, c

quan sát và trả lời các câu hỏi sau: Hình 4 Đồ thị chứa dấu giá trị

Trả lời của học sinh

Trên trang hình có các tham số a, b, c

thay đổi được giá trị bằng các nhấp

chuột vào các đầu mút thanh trượt và

Sau đó vẽ đồ thị của hàm số trên

Kéo rê các thanh trượt tham số a, b, c quan sát và trả lời các câu hỏi sau:

+ Hàm số yg x( ) f x( )là hàm chẳn nên đồ thị của nó có tính chất gì?

+ Khi x > 0 hãy xét vị trí tương đối của đồ thị hàm số y f x( )và đồ thị hàm

số yg x( )?

+ Khi x < 0 nhánh trái của đồ thị có đặc điểm gì?

+ Từ đó nêu cách vẽ đồ thị hàm số y f x( ) khi biết đồ thị hàm số y f x( )

Trả lời của học sinh

Hàm số y f x( ) là hàm chẳn nên đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng Nếu x 0 f x( ) f x( ) nên đồ thị hàm số y f x( )trùng với đồ thị hàm số

đồ thị, giao tiếp bước đầu với các kết quả của mô hình, học sinh sẽ giải thích

và rút ra được cho mình kết luận làm thế nào để vẽ được đồ thị hàm số

( )

y f x và hàm số y  f ( )x từ đồ thị hàm số y f x( ) Như vậy việc đặt

ra câu hỏi và tìm được câu trả lời tương ứng dựa vào đồ thị đã thể hiện năng

lực tư duy và suy luận, năng lực đặt vấn đề và giải của học sinh

 Ở câu hỏi 3: Câu hỏi này chính là sự liên kết của câu hỏi 1 và 2 2.1.3 Khảo sát sự biến thiên và đồ thị của hàm số y = ax + b

Trả lời của học sinh

+ Khi a0, b0: đồ thị là một đường thẳng đi qua gốc tọa độ

+ Khi a0, b0: đồ thị là một đường thẳng cắt trục tung tại điểm A(0, b) và

trục hoành tại điểm B b, 0

+ Khi a0, b0: đồ thị là đường thẳng trùng với trục hoành

+ Khi a thay đổi: đồ thị luôn đi qua một điểm nằm trên trục tung và đồ thị hướng

từ dưới lên trên (nếu a > 0) và hướng từ trên xuống dưới (nếu a < 0)

+ Khi b thay đổi: đồ thị tịnh tiến sang trái (nếu b > 0) và tịnh tiến sang phải

(nếu b 0)

+ Khi a > 0, hàm số y = ax + b đồng biến trên R

+ Khi a < 0, hàm số y = ax + b nghịch biến trên R

Phân tích sư phạm

 Hàm số bậc nhất là một nội dung khá đơn giản đối với học sinh, từ

mô hình động giúp học sinh nhớ lại các kiến thức đã học ở lớp dưới, sự thuận lợi ở đây là chỉ dùng một mô hình học sinh có thể khảo sát sự thay đổi của đồ

thị hàm số y = ax + b trong nhiều trường hợp Đặc biệt giúp học sinh biết thêm một kiến thức là đồ thị hàm số y = ax + b luôn đi qua một điểm trên trục tung khi a thay đổi (đây là điều mà học sinh khó có thể biết hay nói đúng hơn

là học sinh chưa nghĩ đến nếu không có mô hình động cho học sinh quan sát)

Kết luận: Học sinh thể hiện các năng lực toán:

 Năng lực sử dụng các đồ dùng hỗ trợ và công cụ: nghĩa là học sinh

biết và có thể sử dụng phần mềm GSP với các thao tác đơn giản là kéo rê các thanh trượt và nhấn vào các nút lệnh để trợ giúp quá trình khảo sát đồ thị của

hàm số y = ax + b

 Năng lực mô hình hóa: nghĩa là học sinh được làm việc trực tiếp với

mô hình, từ mô hình phân tích và đưa ra các kết quả về các tính chất liên quan

đến đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b trong các trường hợp

2) Ý nghĩa của hệ số góc

Đặt vấn đề: Cho đường thẳng d: y = ax + b, ta biết rằng hệ số góc k của

đường thẳng là tan( ,d Ox) Hệ số góc này có phụ thuộc gì vào các tham số a,

b hay không?

 Mở file kl | 6 gsp

Kéo rê các thanh trượt a, b để

quan sát sự thay đổi vị trí của

+ Vị trí tương đối của đường thẳng y = ax + b với các trục tọa độ?

Trả lời của học sinh

 Việc thực hiện các thao tác kéo rê thanh trượt, nhấn nút lệnh a = 0

trên máy tính đã góp phần giúp học sinh nâng cao năng lực sử dụng các đồ dùng trợ giúp và công cụ

 Ngoài ra, từ mô hình này giúp học sinh nâng cao năng lực giao tiếp

của học sinh, đó là việc học sinh hiểu và trình bày theo cách của mình dưới dạng nói hay viết

2.1.4 Tính chất của hàm số lẻ

Đặt vấn đề: Có những hàm số có tính chất đặc biệt mà ta có thể lợi dụng để việc khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của nó dễ dàng hơn Tính chất lẻ của hàm số là một ví dụ

Đến khi đồ thị dừng hẳn, kéo rê

các thanh trượt tham số a, b quan

sát và trả lời các câu hỏi sau đây:

a Tìm tập xác định của hàm số

b So sánh f x( ) và f(x)?

c Đồ thị có tính chất gì đặc biệt?

Hình 8 Hàm số lẻ

d Nếu cần vẽ cả đồ thị ta chỉ cần vẽ đồ thị trong khoảng nào?

e Dự đoán tính chất tổng quát của hàm số lẻ?

Trả lời của học sinh

Cho hàm số f x( )có tập xác định D; f x( )được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi

x thuộc D ta có –x cũng thuộc D và f x( ) f(x)

Hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

Phân tích sư phạm

Xây dựng mô hình để giúp học sinh khảo sát các tính chất của hàm số lẻ là thực

sự cần thiết với học sinh lớp 10 Hàm số lẻ dạng y = ax là hàm số duy nhất mà

học sinh lớp 10 có thể vẽ được đồ thị và khẳng định tích chất hàm số lẻ có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Tuy nhiên những hàm số lẻ có bậc ba trở lên, học sinh chưa thể vẽ được đồ thị nên còn mơ hồ về tính chất này

 Năng lực tư duy và suy luận: Nhiều học sinh sẽ đặt ra câu hỏi: liệu

mọi hàm số bậc lẻ có tính chất đó hay không? Làm thế nào ta biết được điều

đó là đúng khi ta không vẽ được đồ thị? Mô hình này sẽ giải quyết thắc mắc trên của học sinh

 Năng lực giao tiếp: Học sinh hiểu được tính chất này khi học sinh

thu nhận từ giáo viên

2.2 Phương trình và hệ phương trình

2.2.1 Giải và biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0 (*)

 Mở file kl | 8 gsp

Hình 9 Phương trình ax 2 + bx + c = 0

Trên trang hình là đồ thị của hàm số ( )f x = ax 2 + bx + c trong hệ trục tọa độ,

các tham số a, b, c có thể thay đổi giá trị khi kéo rê các đầu mút thanh trượt, nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (*) là số giao điểm của đồ thị hàm

số y = ( ) f x = ax 2 + bx+ c với trục hoành

Hãy kéo rê các thanh trượt tham số a, b, c quan sát hình dạng của đồ thị, sự tương giao của đồ thị với trục hoành khi a, b, c thay đổi, mối liên hệ giữa biệt

thức  b24ac của phương trình (*) và sự tương giao của đồ thị với trục hoành, sau đó trả lời câu hỏi sau đây:

H?

Với các giá trị nào của a, b, c thì:

1 Đồ thị hàm số không có điểm chung với trục hoành?

2 Đồ thị hàm số có một điểm chung với trục hoành?

3 Đồ thị hàm số có hai điểm chung với trục hoành?

4 Đồ thị hàm số quay bề lõm lên trên?

5 Đồ thị hàm số quay bề lõm xuống dưới?

Trả lời của học sinh

1 Với các giá trị của a, b, c thỏa mãn  b24ac < 0 thì đồ thị hàm số không có điểm chung với trục hoành

2 Với các giá trị của a, b, c thỏa mãn  b24ac = 0 thì đồ thị hàm số có một điểm chung với trục hoành

3 Với các giá trị của a, b, c thỏa mãn  b24ac > 0 thì đồ thị hàm số có hai điểm chung với trục hoành

4 Khi a > 0 thì đồ thị hàm số quay bề lõm lên trên

5 Khi a < 0 thì đồ thị hàm số quay bề lõm xuống dưới

6 Khi a = 0 thì đồ thị hàm số trở thành đường thẳng

7

Phân tích sư phạm

 Từ câu hỏi 1 đến câu hỏi 6 giúp học sinh tái tạo lại các tính chất quen

thuộc của hàm số bậc hai

 Câu hỏi 7 đòi hỏi sự suy luận, liên kết các kiến thức học sinh thu

nhận được từ câu hỏi 1 đến câu hỏi 6

H?

Dùng đồ thị để biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình

2x2 – 4x + 3 = m (1)

 Mở file kl | 9 gsp, quan sát mô hình

Trên trang hình có hai đồ thị của hai

Nhấn chuột vào giao điểm của

đường thẳng y = m và trục tung, rê

điểm này lên trên hoặc xuống dưới,

quan sát sự tương giao của đồ thị

( )

y f x và y = g(x)

Hình 10 Biện luận

H?

Với giá trị nào của m thì phương trình (1) vô nghiệm, có một nghiệm, có hai

nghiệm? (nhấn nút nghiemkep để dễ quan sát)

a

 

Khi  0: (*) vô nghiệm

Trả lời của học sinh

Khi m < 1: phương trình (1) vô nghiệm

Khi m = 1: phương trình (1) có một nghiệm

Khi m > 1: phương trình (1) có hai nghiệm

Phân tích sư phạm

Bài toán này đưa ra với mục đích giúp học sinh vận dụng kết quả về giải và

biện luận phương trình dạng ax2 + bx + c = 0

Học sinh thể hiện các năng lực toán:

 Mô hình hóa: Chuyển thể bài toán biện luận phương trình về bài toán

tìm số giao điểm của hai đường bằng cách sử dụng biểu diễn trực quan động, giao tiếp với các kết quả có được từ các thao tác trên mô hình

 Giao tiếp: Trình các kết quả có được dưới dạng ngôn ngữ nói hay viết

 Sử dụng các trợ giúp và công cụ: Học sinh làm quen với các thao

tác trên máy tính và thu nhận các kết quả một các nhanh chóng

Quan sát và trả lời các câu hỏi sau:

+ Nhận xét về số nghiệm của phương trình (*) và dấu của các nghiệm trong 3

trường hợp trên (chú ý đến vị trí của gốc tọa độ O với 2 nghiệm x1, x2)

+ Với điều kiện nào của P thì phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu?