Biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp : Khóa luận tốt nghiệp toán học

25 2.3 Biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp trong trường hợp tổng quát... LỜI MỞ ĐẦUMột ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi hạng của A bằng cấp của nó.Nhằm mở rộng khái

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

? ? ?F ? ??

NGUYỄN THỊ THANH HƯƠNG

BIỂU DIỄN NGHỊCH ĐẢO DRAZIN

QUA MA TRẬN PHỤ HỢP

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐHSP

Ngành học : Toán họcCán bộ hướng dẫn: TS CAO HUY LINH

Huế, Khóa học 2007 - 2011

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn

TS Cao Huy Linh Thầy đã luôn động viên và hướng dẫn nhiệt tình,chu đáo trong suốt thời gian tôi thực hiện khóa luận này

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành của mình đến quý Thầy Côgiáo trong khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm Huế, đặc biệt là nhữngThầy Cô giáo đã từng giảng dạy ở lớp Toán B, khóa học 2007 - 2011.Cảm ơn Thầy Cô đã truyền cho tôi kiến thức và giúp đỡ tôi trong suốtquá trình học tập tại khoa

Đồng thời, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy và các bạn trongnhóm Seminar Đại số tuyến tính, đã giúp tôi có cơ hội thảo luận vàtrình bày về một số vấn đề trong khóa luận của mình

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến những người thân trong giađình và bạn bè đã luôn ủng hộ và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong thời gianvừa qua

Huế, tháng 5 năm 2011

Sinh viên

Nguyễn Thị Thanh Hương

MỤC LỤC

1.1 Nhắc lại một số khái niệm và các ký hiệu 4

1.2 Chỉ số của ma trận 8

1.3 Nghịch đảo nhóm 9

1.4 Định nghĩa nghịch đảo Drazin 12

1.5 Các tính chất của nghịch đảo Drazin 14

1.6 Các ví dụ 18

2 BIỂU DIỄN NGHỊCH ĐẢO DRAZIN QUA MA TRẬN PHỤ HỢP 22 2.1 Mở rộng ma trận phụ hợp 23

2.2 Mối liên hệ giữa nghịch đảo nhóm và ma trận phụ hợp 25

2.3 Biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp trong trường hợp tổng quát 28

2.4 Các ví dụ 33

2.5 Quy tắc Cramer 35

LỜI MỞ ĐẦU

Một ma trận vuông A khả nghịch khi và chỉ khi hạng của A bằng cấp của nó.Nhằm mở rộng khái niệm nghịch đảo thông thường, Drazin [9] đã đưa ra định nghĩanghịch đảo suy rộng cho ma trận vuông bất kỳ mà ngày nay được gọi là nghịchđảo Drazin Nghịch đảo Drazin, AD, của ma trận vuông A cấp n trên trường F là

ma trận X thỏa mãn các tính chất AkAX = Ak, XAX = X, AX = XA với k làchỉ số của ma trận A Với định nghĩa này thì nghịch đảo Drazin của ma trận Aluôn luôn tồn tại duy nhất

Lý thuyết nghịch đảo Drazin có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vựcnhư phương trình vi phân, lý thuyết đồ thị, giải tích hàm, lý thuyết mật mã, lýthuyết điều khiển, Vì vậy mà ngay từ khi mới ra đời nó đã thu hút sự quan tâmcủa rất nhiều nhà toán học trên thế giới

Nếu A là ma trận khả nghịch thì ma trận nghịch đảo của A được biểu diễnqua ma trận phụ hợp

A−1= 1

det(A)(Ae).

Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là có hay không một biểu diễn tương tự như thếđối với nghịch đảo Drazin của một ma trận vuông bất kỳ? Hay nói một cách khácliệu có tồn tại một biểu diễn của nghịch đảo Drazin qua trận phụ hợp? Mục đíchchính của khóa luận là tìm câu trả lời cho câu hỏi trên

Câu hỏi này đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học như Bapat,Bhaskara, Manjunatha [4], Ben-Israel [5], Cambpbell, Meyer [7] và Ji [11] Trongtrường hợp rank(A) = rank(A2) = 1, Nguyễn Tý [3] đã cho một công thức biểudiễn nghịch đảo Drazin

(T r(A))2A

Trường hợp này nghịch đảo Drazin chính là nghịch đảo nhóm của ma trận Đây làkết quả khá đẹp đạt được trong khóa luận của mình Tuy nhiên, tác giả vẫn chưathấy được mối liên hệ của biểu diễn này với ma trận phụ hợp và công thức nàykhông thể mở rộng cho trường hợp tổng quát Năm 2010, Kyrchei [12] đã biểu diễnthành công nghịch đảo Drazin của ma trận A qua ma trận phụ hợp trong trườnghợp tổng quát Trong công thức của Kyrchei, khái niệm ma trận phụ hợp đã được

mở rộng, nó phụ thuộc vào chỉ số và hạng của ma trận Trong trường hợp A khảnghịch (ind(A) = 0vàrank(A) =n) thì khái niệm ma trận phụ hợp trong kết quảcủa Kyrchei lại trùng với ma trận phụ hợp cổ điển

Kết quả đạt được của khóa luận là tổng quan lại một cách hệ thống cáckhái niệm, tính chất cơ bản liên quan đến nghịch đảo Drazin và trình bày lạimột cách chi tiết về biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp trong bàibáo của Kyrchei: "Analogues of the adjoint matrix for generalized inverses andcorresponding Cramer rules, arXiv:1004.4761v1[math RA] 2010".

Khóa luận được chia làm hai chương Mục đích chính của Chương 1 là trình bàyđịnh nghĩa và một số tính chất của nghịch đảo Drazin Phần này đã được trình bàykhá kỹ trong khóa luận của Nguyễn Tý (2010), vì vậy chúng tôi chỉ trình bày lại

và bổ sung thêm một số tính chất Các tính chất đã có trong khóa luận Nguyễn Týchúng tôi không trình bày chứng minh, một số tính chất bổ sung được tổng quan

từ một số tài liệu liên quan được trình bày phần chứng minh cụ thể Chúng tôicũng đã đưa nhiều ví dụ minh họa để độc giả thấy rõ ràng hơn Một số ví dụ đượctrình bày nhờ sự trợ giúp của phần mềm Maple Mục đích chính của Chương 2 làcho một biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp Chúng tôi sẽ trình bàylại một cách chi tiết các kết quả trong bài báo "Analogues of the adjoint matrix forgeneralized inverses and corresponding Cramer rules" của Kyrchei (2010) Trướchết chúng tôi sẽ đề cập đến mối liên hệ giữa nghịch đảo Drazin và ma trận phụ hợptrong các trường hợp đặc biệt, tức là trường hợp chỉ số của ma trận nhỏ hơn hoặcbằng 1 Sau đó mới đề cập đến trường hợp tổng quát hơn với ma trận vuông bất

kỳ Một ứng dụng của công thức biểu diễn này là quy tắc Cramer cho hệ phươngtrình tuyến tính qua nghịch đảo suy rộng cũng sẽ được trình bày trong chươngnày

Vì thời gian có hạn và với tầm của một sinh viên chắc chắn sẽ còn nhiều hạnchế và sai sót Rất mong nhận được những sự góp ý từ Thầy Cô và các bạn

Chương 1

NGHỊCH ĐẢO DRAZIN

1.1 Nhắc lại một số khái niệm và các ký hiệu

1 Chúng ta ký hiệu các vô hướng bởi λ, µ, Ta thường làm việc với các trường

số phức C và số thực R, nói chung ta gọi là trường F Vectơ được ký hiệu bởi

x, y, Ta có thể đồng nhất không gian vectơ n chiều trên trường F với Fn, mộtphần tử của nó có dạng x=

Vectơ đơn vị ei thứ i là vectơ có thành phần thứ i bằng 1 còn các thành phầnkhác đều bằng 0

Tập hợp εn ={e1, e2, , en} được gọi là cơ sở chính tắc của Fn

2 Tổng của hai tập L, M trong Cn được xác định như sau:

L+M ={y+z|y ∈ L, z ∈ M }

Nếu L và M là các không gian con của Cn thì L+M cũng là không gian con của

Cn Nếu có thêm điều kiện L ∩ M = {0} thì L+M được gọi là tổng trực tiếp của

L và M , được ký hiệu bởi L ⊕ M Hai không gian con L và M của Cn được gọi là

3 Tập hợp các ma trận cấp m × n trên C được ký hiệu là Cm×n Một ma trận

A ∈ Cm×n với m= n được gọi là ma trận vuông

Cho ma trận A = (aij)m,n ∈ Cm×n Ma trận A được gọi là ma trận chéo nếu

aij = 0 với mọi i 6= j Đường chéo của ma trận A cấp m × n được ký hiệu là

A=diag(a11, a22, , app)trong đó p =min{m, n}

Cho ma trận A = (aij)∈ Cm×n

+ Ma trận chuyển vị của nó ký hiệu là AT ∈ Cn×m

+ Ma trận liên hợp của nó ký hiệu là A∗ = (a∗ji) ∈ Cn×m với a∗ji = aij với mọi

i= 1, , m và j = 1, , n

Một ma trận vuông A được gọi là

- Hermit nếu A=A∗ Đặc biệt, A là ma trận thực thì A là Hermit nếu A=AT

- Chuẩn nếu AA∗ = A∗A

- Trực giao nếu A∗ = A−1 Đặc biệt, A là ma trận thực thì A trực giao nếu

AT =A−1

4 Cho hai không gian vectơ U , V trên C có số chiều lần lượt là n và m Ký hiệu

L(U , V) là tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ U vào V Ta đã biết rằng L(U , V) làC− không gian vectơ đẳng cấu với không gian Cm×n Do đó với ma trận A ∈ Cm×n,

ta có thể đồng nhất với một ánh xạ tuyến tính

A: Cn −→ Cm,với Im(A) ={y ∈ Cm : y =Ax, ∀x ∈ Cn} được ký hiệu là R(A)

và Ker(A) ={x ∈ Cn : Ax = 0} ký hiệu là N(A)

5 Cho A ∈ Cn×n và λ ∈ C Nếu trong Cn tồn tại x 6= 0 sao cho Ax = λx thì

ta nói λ là một giá trị riêng của A Khi đó, vectơ x được gọi là vectơ riêng ứng vớigiá trị riêng λ Tập hợp tất cả các giá trị riêng của A được gọi là phổ của A vàđược ký hiệu là λ(A) Nếu λ là một giá trị riêng của A thì tập hợp

Nếu xem A là một tự đồng cấu tuyến tính trên Cn thì có thể nói A chéo hóađược nếu tồn tại một cơ sở S của Cn sao cho ma trận của tự đồng cấu A đối với

Mỗi ma trận con Ji ở trên được gọi là một khối Jordan ứng với giá trị riêng λi

Ma trận J trong định nghĩa được gọi là biểu diễn chuẩn tắc Jordan của A, hay còngọi là dạng chuẩn tắc Jordan của A Rõ ràng một ma trận A chéo hóa được thì matrận chéo đồng dạng với A là một trường hợp đặc biệt của biểu diễn dạng chuẩntắc Jordan của A Người ta có thể chứng minh được rằng mọi ma trận vuông trên

C đều có thể chéo hóa Jordan được

8 Cho A ∈ Cm×n, ta xem A là một ánh xạ tuyến tính A :Cn −→ Cm

- A là đơn cấu khi và chỉ khi rank(A) =n

- A là toàn cấu khi và chỉ khi rank(A) =m

Trường hợp rank(A) = n thì ta nói A là ma trận đầy đủ hạng theo cột Nếu

rank(A) =m thì ta nói A là ma trận đầy đủ hạng theo dòng

Gọi P : Cn −→ Cn/Ker(A) là phép chiếu chính tắc Lúc đó theo định

lý về nhân tử hóa ánh xạ tuyến tính, tồn tại duy nhất đơn cấu tuyến tính

Q : Cn/Ker(A) −→ Cm sao cho A = QP Do P là toàn cấu nên có thể xem

P là ma trận đầy đủ hạng theo dòng và Q là đơn cấu nên có thể xem Q là ma trậnđầy đủ hạng theo cột Như vậy với mỗi ma trận A ∈ Cm×n, luôn luôn tồn tại duynhất một cách phân tích thành nhân tử A=QP Lúc đó, ta nói A được phân tích

thành nhân tử hóa đầy đủ hạng P và Q.

9 Chuẩn của ma trận A ∈ Cm×n, ký hiệu kAk là một hàm: Cm×n −→ R thỏamãn các điều kiện sau:

kAk ≥0, kAk= 0⇔ A= 0,

kαAk =|α|kAk,

kA+Bk ≤ kAk+kBk,với mọi A, B ∈ Cm×n, α ∈ C

Nếu thỏa mãn thêm điều kiện kABk ≤ kAkkBk thì kk được gọi là chuẩn nhân

Sau đây là một số mệnh đề và bổ đề mà chúng ta sẽ sử dụng đến trong cácphần sau

Giả sử L là không gian con bù của M trong Cn, tức là Cn = L ⊕ M và

A ∈ Cn×n Ta có thể xem A là tự đồng cấu tuyến tính trên Cn Với mỗi x ∈ Cn,tồn tại duy nhất (y, z) ∈ L × M sao cho x =y+z, nếu Ax=y thì ta nói A làphép chiếu của Cn lên L Ta dễ dàng nhận thấy rằng A2= A Một cách tổng quát,một ma trận vuông A được gọi là ma trận phép chiếu nếu A2 =A Một tính chất

mà chúng ta đều biết qua đại số tuyến tính đó là nếu A là ma trận phép chiếuthì Fn = R(A)⊕ N(A) Điều ngược lại của khẳng định trên là không đúng Mệnh

đề sau đây cho chúng ta biết điều kiện cần và đủ để Cn là tổng trực tiếp của haikhông gian con R(A) và N(A)

Mệnh đề 1.1.1 ([3, Mệnh đề 1.1.2]) Cho A ∈ Cn×n Lúc đó, R(A) và N(A) làcác không gian con bù nhau trong Cn khi và chỉ khi rank(A) = rank(A2)

Bây giờ chúng ta sẽ nhắc lại một số vấn đề liên quan đến không gian bất biến.Định nghĩa 1.1.2 ([2, Chương 5, Mục 5.2]) Cho E là một không gian vectơ hữuhạn sinh trên trường C và ϕ là một toán tử tuyến tính của E Một không gian con

E0 của E được gọi là một không gian bất biến của ϕ nếu ϕ(E0)⊆ E0

Không gian {0} và E đều là những không gian bất biến của ϕ Người ta gọichúng là các không gian bất biến tầm thường của ϕ

Có thể thấy ngay rằng kerϕ và Imϕ cũng là các không gian con bất biến của

ϕ Nếu ϕ không phải là một tự đẳng cấu thìkerϕ 6={0} sẽ là một không gian bấtbiến không tầm thường của ϕ

Bổ đề 1.1.3 ([2, Bổ đề 5.2.1]) Không gian con E0 của E là một không gian bấtbiến khi và chỉ khi ảnh của một hệ sinh của E0 nằm trong E0.

Bổ đề 1.1.4 ([2, Bổ đề 5.2.2]) Cho E0 là một không gian con của E với dimE0 =

r Giả sử S = {x1, , xn} là một cơ sở của E sao cho R = {x1, , xr} là một cơ

sở của E0 E0 là một không gian bất biến của ϕ khi và chỉ khi ma trận A của ϕtheo S có dạng

Bổ đề 1.1.5 Cho A, B là hai ma trận sao cho tích AB xác định Ta luôn có

rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}

Chứng minh Giả sử A ∈ Cm×n và B ∈ Cn×p thì AB ∈ Cm×p Với mọi x ∈ Cp,

Bx= 0 Suy ra ABx = 0 Do đó N(B)⊂ N(AB), nêndim(B)≤dim(AB) Điềunày dẫn đến p −rank(B)≤ p −rank(AB) Suy ra rank(AB) ≤rank(B) Tương

tự ta có rank(BTAT) ≤ rank(AT) Nhưng vì rankAT = rankA nên ta suy ra

rank(AB)≤rank(A) Vậy rank(AB)≤min{rank(A),rank(B)}

Định nghĩa 1.1.6 Cho A ∈ Cn×n và 1 ≤ i1 < < ir ≤ n (r = 1, , n) làmột dãy số tùy ý Lúc đó ma trận gồm các phần tử nằm trên các dòng và các cột

i1, , ir của A được gọi là ma trận con chính cấp r của A và định thức của matrận đó được gọi là định thức con chính cấp r của A

Nhận xét 1.1.7 Giả sử dr là tổng các định thức con chính cấp r của A ∈ Cn×n.Lúc đó đa thức đặc trưng pA(t)của ma trận A có thể biểu diễn như sau:

pA(t) = det(tI − A) =tn− d1tn−1+d2tn−2− · · ·+ (−1)ndn

1.2 Chỉ số của ma trận

Cho A là một ma trận vuông cấp n trên C Ta luôn có

R(A0)⊃ R(A)⊃ · · · ⊃ R(Ak−1)⊃ R(Ak) =R(Ak+1) =R(Ak+2) =· · ·và

N(A0)⊂ N(A)⊂ · · · ⊂ N(Ak−1)⊂ N(Ak) =N(Ak+1) =N(Ak+2) =· · ·

Từ dãy thứ nhất ta suy ra rằng

rank(A0)≥rank(A)≥ · · · ≥rank(Ak) = rank(Ak+1) = rank(Ak+2) =· · ·Như vậy sẽ luôn tồn tại số tự nhiên k sao cho rank(Am) = rank(Ak), với mọi

m ≥ k Từ nhận xét trên ta đi đến định nghĩa sau đây

Định nghĩa 1.2.1 Cho A là ma trận vuông cấp n trên C Số nguyên không âmnhỏ nhất k sao cho rank(Ak) = rank(Ak+1) được gọi là chỉ số của ma trận A, kýhiệu là ind(A)

Từ định nghĩa trên ta dễ thấy được rằng ma trận 0 có chỉ số là 1

Ta có một số tính chất đơn giản sau đây được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.Mệnh đề 1.2.2 ([3, Mệnh đề 2.2.2]) Cho A là ma trận vuông cấp n và k =ind(A) Khi đó,

(1) 0≤ k ≤ n

(2) k= 0 khi và chỉ khi A không suy biến

(3) Nếu A là ma trận phép chiếu và A suy biến thì ind(A) = 1

(4) R(Al) =R(Ak) và N(Al) =N(Ak) với mọi l ≥ k

Ta đã biết rằng k = ind(A) = 1, tức là rank(A) = rank(A2) khi và chỉ khi

Cn =R(A)⊕ N(A) Trong trường hợp tổng quát thì ta có mệnh đề sau đây.Mệnh đề 1.2.3 ([3, Mệnh đề 2.2.3]) Giả sử A là ma trận vuông cấp n và k =ind(A) Khi đó, Cn =R(Al)⊕ N(Al) khi và chỉ khi l ≥ k

Không phải mọi ma trận vuông A đều tồn tại nghịch đảo nhóm Chẳng hạn

Ta có rank(A) = 2 và rank(A2) = rank(A3) = 1 Do đó ind(A) = 2 Giả sử A cónghịch đảo nhóm là X =

kỳ sẽ tồn tại? Định lý sau đây sẽ cho chúng ta câu trả lời

Định lý 1.3.2 Một ma trận vuông A có nghịch đảo nhóm khi và chỉ khiind(A)≤

1, tức là rank(A) = rank(A2) Hơn nữa nếu nghịch đảo này tồn tại thì nó là duynhất

Chứng minh Nếu A là ma trận khả nghịch thì định lý hiển nhiên đúng Ta xéttrường hợp A là ma trận suy biến Ta đã biết nghịch đảo của ma trận A tồn tạikhi và chỉ khi Cn = R(A)⊕ N(A) Điều này lại tương đương với chỉ số của matrận A bằng 1

Ta chứng minh sự tồn tại duy nhất của nghịch đảo nhóm

Giả sử X, Y là nghịch đảo nhóm của ma trận A

Ta có

AX =AY AX = Y AXA=Y A

(4) (Al)#= (A#)l với mọi số nguyên dương l.

Các độc giả có thể xem phần chứng minh của mệnh đề này trong tài liệu thamkhảo [3]

Định lý 1.3.4 Cho A là ma trận vuông và A có sự phân tích đầy đủ hạng là F

rank(A2) = rank(GF).Nếu GF không suy biến thìrank(GF) =r Do đó rank(A) = rank(A2) Điềunày lại tương đương với A có nghịch đảo nhóm Bằng cách kiểm chứng trực tiếpcác điều kiện (1), (2), (3) với ma trận A=F G và ma trận X =F(GF)−2G thì tađược các đẳng thức đúng Vậy ta đã chứng minh xong định lý

Định lý 1.3.5 Cho A ∈ Cn×n Lúc đó A có chỉ số bằng 1 khi và chỉ khi giới hạn

Chứng minh Giả sử rank(A) = r và A có sự phân tích đầy đủ hạng là A = F G.Lúc đó ta luôn có đẳng thức

(λIn+A)−1A=F(λIr +GF)−1G

Do đó sự tồn tại của lim

λ→0(λIn +A)−1A tương đương với sự tồn tại của

lim

λ→0(λIr+GF)−1 Điều này lại tương đương với GF là không suy biến Theo Định

lý 1.3.4 thì tương đương với A có chỉ số 1

1.4 Định nghĩa nghịch đảo Drazin

Chúng ta đã biết một ma trận vuông A tồn tại nghịch đảo nhóm khi và chỉ khi

ind(A) ≤1 Trong trường hợp tổng quát, tức là với ind(A) = k bất kỳ, người ta

đã tìm cách mở rộng khái niệm nghịch đảo của ma trận Năm 1958, nhà toán họcDrazin đã mở rộng khái niệm nghịch đảo cho ma trận bất kỳ Ông ta gọi là nghịchđảo suy rộng mà sau đó người ta gọi là nghịch đảo Drazin

Định nghĩa 1.4.1 Cho A ∈ Cn×n và ind(A) =k Nếu ma trận X ∈ Cn×n thỏamãn

thì X được gọi là nghịch đảo Drazin của A và được ký hiệu là AD

Ví dụ 1 Nghịch đảo nhóm là trường hợp đặc biệt của nghịch đảo Drazin khi

Định lý 1.4.2 Cho A ∈ Cn×n và ind(A) = k Khi đó nghịch đảo Drazin của Aluôn tồn tại và duy nhất.

Chứng minh Vì A là một ma trận vuông nên có thể xem A như là một phép biếnđổi tuyến tính

Ta có AR(Ak) = R(Ak+1) = R(Ak) Do đó A|R(Ak ) là một đẳng cấu nên

Với u ∈ R(Ak), ta có AXu =XAu =u và XAXu=Xu

Với u ∈ N(Ak), ta có AXu=A0 = 0 Đồng thời do u ∈ N(Ak) nên Au ∈ N(Ak).Suy ra XAu= 0 Vậy X thỏa mãn điều kiện (5),(6)

Mặt khác, với mọi x ∈ Cn×n thì sẽ tồn tại u ∈ R(Ak) và v ∈ N(Ak) sao cho

x =u+v Ta có AXx= AX(u+v) =AX(u) =u Suy ra AkXAx =Aku =Akx.Vậy X thỏa mãn điều kiện (4)

Tóm lại X là nghịch đảo Drazin của A Như vậy nghịch đảo Drazin của một

ma trận vuông A bất kỳ luôn tồn tại Bây giờ ta chứng minh sự duy nhất củanghịch đảo Drazin

Giả sử X và Y là nghịch đảo Drazin của ma trận A, lúc đó ta có

1.5 Các tính chất của nghịch đảo Drazin

Định lý 1.5.1 ([3, Định lý 2.4.5]) (Nghịch đảo Drazin bảo toàn tính đồng dạngcủa ma trận)

Cho B là một ma trận vuông Nếu X là ma trận khả nghịch thì

Các tính chất trên đã được chứng minh chi tiết trong khóa luận của Nguyễn

Tý (2010) Các độc giả có thể xem trong tài liệu tham khảo [3]

Sau đây chúng tôi sẽ bổ sung thêm một số tính chất khác nhằm phục vụ choviệc đi tìm công thức biểu diễn nghịch đảo Drazin qua ma trận phụ hợp

Định lý 1.5.3 Cho A ∈ Cn×n và ind(A) = k > 0 Lúc đó luôn tồn tại một matrận P không suy biến sao cho

Vì Cn = R(Ak)⊕ N(Ak) nên S = {e1, e2, , er} và T = {er+1, , en} lần lượt là

cơ sở của R(Ak)và N(Ak)

Mặt khác R(Ak)và N(Ak)là các không gian con bất biến của A và Ak(N(Ak)) =

{0} nên theo Bổ đề 1.1.4 thì A sẽ có dạng như trên với C là không suy biến và N

Ak+1AD = Ak,

ADAAD = AD,

AAD = ADA

Vậy ta đã chứng minh xong định lý

Định lý này đóng một vai trò rất quan trọng, nó sẽ giúp ta chứng minh đượcrất nhiều tính chất của nghịch đảo Drazin

Định nghĩa 1.5.4 Cho A ∈ Cn×n, lúc đó ta có CA = AADA = A2AD = ADA2được gọi là nhân của ma trận A

Một cách trực giác, ta thấy rằng "nhân" của A có nghĩa nó là cơ sở trong cấutrúc của A Tức là nếu loại bỏ CA từ A thì phần còn lại sẽ không đáng kể Định

lý sau đây sẽ cho chúng ta thấy điều cảm giác trên là đúng

Định lý 1.5.5 Cho A ∈ Cn×n và ind(A) = k thì A − CA = NA là một ma trậnlũy linh bậc k

Chứng minh Nếu ind(A) = 0 thì CA =A Do đó NA = 0 Nếuind(A)≥1 thì tacó

(NA)k = (A − AADA)k = (A(I − AAD))k =Ak(I − AAD) =Ak− Ak = 0.Mặt khác Al− Al+1AD 6= 0 ∀l < k nên k là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn

(NA)k = 0 Vậy NA là ma trận lũy linh bậc k

Định nghĩa 1.5.6 Cho A ∈ Cn×n, ma trận NA = A − CA = (I − AAD)A đượcgọi là phần lũy linh của ma trận A

Định lý 1.5.7 Nếu A ∈ Cn×n và ind(A) = k thì A sẽ có sự phân tích duy nhấtthành A = CA + NA sao cho ind(CA) ≤ 1, NA là ma trận lũy linh bậc k và

NACA =CANA = 0

Chứng minh Giả sử A được viết dưới dạng

NA thỏa mãn các điều kiện của định lý trên

Ta chứng minh sự phân tích trên là duy nhất

Giả sử A có một sự phân tích khác thành A=X+Y sao cho XY =Y X = 0,

ind(X)≤1và Y là ma trận lũy linh bậc k = ind(A)

ii) và iii) Theo Định lý 1.5.9 ta có AD là một đa thức trong A và BD là một đathức trong B Do đó ta chứng minh được ii) và iii).

Định lý 1.5.11 Cho A ∈ Cn×n, B ∈ Cn×n là ma trận sao cho Al+1B = Al vớimọi l ≥ ind(A) =k Lúc đó AD =AlBl+1

Chứng minh Ta giả sử A được biểu diễn dưới dạng A = P

Để thấy được một cách tường minh về nghịch đảo Drazin thì định lý sau đây

sẽ giúp chúng ta tìm được nghịch đảo của một ma trận vuông bất kỳ Bằng cáchbiểu diễn ma trận A dưới dạng Jordan ta sẽ dễ dàng tìm được nghịch đảo Drazincủa nó

Định lý 1.5.12 Giả sử A được viết dưới dạng Jordan

Chứng minh Rõ ràng ta thấy có sự tương ứng giữa J1 và J0 với ma trận C và

N trong Định lý 1.5.3 Dựa vào định lý đó ta suy ra được điều cần phải chứngminh

trận A

Lời giải: Ta kiểm chứng được rank(A) = rank(A2) = 2 Suy ra ind(A) = 1.Dạng chuẩn tắc Jordan của A là

J =P−1.A.Pvới

Ma trận A có ba giá trị riêng là λ= 0(bội 1), λ= 1(bội 1), λ= 2(bội 1)

Hãy tìm nghịch đảo Drazin của ma trận A.

Lời giải: Ta kiểm chứng được rank(A2) = rank(A3) = 3 nên ind(A) = 2.Dạng chuẩn tắc Jordan của A

J =P−1.A.Pvới

Ma trận A có hai giá trị riêng là λ= 0(bội 2) và λ= 1(bội 3)

Theo Định lý 1.5.12 ta có

AD =P

"

0(J3(1))−1

#.P−1 =P

của ma trận A.

Lời giải: Ta kiểm chứng được rank(A2) = rank(A3) = 2 nên ind(A) = 2

Dạng chuẩn tắc Jordan của A là

J =P−1.A.Pvới

5 27

−4 9

−5 27

Ma trận A có hai giá trị riêng là λ= 3(bội 2) và λ= 0(bội 2)

−1 27

4 27

4 27

Drazin của ma trận A