Khóa luận tốt nghiệp toán học Định lý Osofsky cho vành nửa đơn

123 DẠNG PHÂN TÍCH CỰC CỦA MỘT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 273.1 Một số định nghĩa và tính chất.?. tử tự liên hiệp có một số tính chất giống với các số thực và toán tử dương cómột số tín

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

? ? ?F ? ??

NGUYỄN THỊ LÝ

TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN HILBERT

2.1 Định nghĩa toán tử dương 102.2 Các tính chất của toán tử dương 12

3 DẠNG PHÂN TÍCH CỰC CỦA MỘT TOÁN TỬ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC 273.1 Một số định nghĩa và tính chất 273.2 Dạng phân tích cực của một toán tử 37

tử tự liên hiệp có một số tính chất giống với các số thực và toán tử dương cómột số tính chất giống với các số dương Chính vì những tính chất đặc biệt đó,khoá luận này của em đi sâu nghiên cứu về lớp các toán tử dương trong khônggian Hilbert.

Khóa luận này nhằm mục đích nghiên cứu, hệ thống các tính chất của toán

tử dương trong không gian Hilbert đồng thời tìm hiểu về dạng phân tích cựccủa một toán tử tuyến tính liên tục

Nội dung nghiên cứu của em tuy không phải là những kết quả mới được tìmthấy, nhưng với tinh thần tìm tòi học hỏi kiến thức mới, hy vọng đề tài này sẽđem lại nhiều kiến thức bổ ích và thú vị cho độc giả Nội dung khoá luận gồm

ba chương:

Chương I: Một số kiến thức chẩn bị

Chương II: Toán tử dương trong không gian Hilbert

Chương III: Dạng phân tích cực của một toán tử tuyến tính liên tục.Tuy đã có nhiều cố gắng, song do hạn chế về thời gian và năng lực bản thânnên khoá luận không tránh khỏi những sai sót, rất mong được sự quan tâmgóp ý của thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn!

Huế, ngày 8 tháng 5 năm 2011

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định nghĩa 1.1.1 (Toán tử liên hợp) Cho X, Y là hai không gian Hilbert,

A : X −→ Y là một toán tử tuyến tính liên tục Lúc đó toán tử tuyến tính liêntục A∗ : Y −→ X được gọi là toán tử liên hợp của toán tử A nếu

hAx, yi = hx, A∗yi, ∀x ∈ X, y ∈ Y

Định nghĩa 1.1.2 (Toán tử tự liên hợp) Cho X là một không gian Hilbert,

A ∈ L(X) A gọi là tự liên hợp nếu

hx, Ayi = hAx, yi, ∀x, y ∈ XĐịnh lý 1.1.3 Cho X là một không gian Hilbert phức và A ∈ L(X) Điềukiện cần và đủ để A tự liên hợp là hAx, xi ∈ R với mọi x ∈ X

Định nghĩa 1.1.4 (Toán tử chiếu) Cho X là một không gian vectơ trêntrường K (R hoặc C) và X = M ⊕ N trong đó M, N là các không gian con của

X Khi đó, mỗi phần tử x ∈ X được biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

x = y + z với y ∈ M và z ∈ N Ánh xạ

P : X −→ X

x 7−→ yđược gọi là toán tử chiếu (hay phép chiếu trực giao) của không gian X lênkhông gian con M , kí hiệu PM

∗ Nếu X một không gian Hilbert và M là một không gian con đóng của X

thì mọi vectơ x ∈ X đều có thể biểu diễn theo một cách duy nhất dưới dạng:

x = y + z, với y ∈ M, z ∈ M⊥ Lúc đó ánh xạ P được gọi là toán tử chiếu (hayphép chiếu trực giao) của không gian X lên không gian con đóng M Kí hiệu

PM

Định nghĩa 1.1.5 (Toán tử đẳng cự) Cho X, Y là hai không gian Hilbert vàtoán tử tuyến tính T : X −→ Y sao cho kT xk = kxk với mọi x ∈ X Lúc đó Tđược gọi là toán tử đẳng cự

Định nghĩa 1.1.6 (Toán tử unita) Nếu T là toán tử đẳng cự và toàn ánh thì

T được gọi là một toán tử unita

Định lý 1.1.7 Cho X, Y là hai không gian Hilbert và T : X −→ Y là mộttoán tử tuyến tính Lúc đó các mệnh đề sau tương đương:

(i) T là toán tử đẳng cự ;

(ii) T liên tục và T∗.T = IX (IX là toán tử đồng nhất trong X);

(iii) T bảo toàn tích vô hướng : hT x1, T x2i = hx1, x2i với mọi x1, x2 ∈ X.Định lý 1.1.8 Cho X, Y là hai không gian Hilbert và U : X −→ Y là mộttoán tử tuyến tính Lúc đó các mệnh đề sau tương đương:

(i) U là một toán tử unita;

(ii) U là một phép đẳng cấu của X lên Y ;

(iii) U liên tục và U∗U = IX, U∗U = IY (IX, IY là các toán tử đồng nhất lầnlượt trong X và trong Y );

(iv) U liên tục và U∗ = U−1

Định nghĩa 1.1.9 Cho A là toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert

X vào không gian Hilbert Y Khi đó:

(a) Tập hợp

A−1(0) = {x ∈ X : Ax = 0}

được gọi là không gian con không của A và kí hiệu là N (A);

(b) Tập hợp

A(X) = {y ∈ Y : y = Ax, x ∈ X}

được gọi là miền giá trị của A và kí hiệu là R(A)

Định lý 1.1.10 Nếu A : X −→ Y là một toán tử tuyến tính liên tục củakhông gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y thì

X = N (A) ⊕ R(A∗) và Y = N (A∗) ⊕ R(A)trong đó A∗ là toán tử liên hợp của A

Định nghĩa 1.1.11 (Toán tử đẳng cự bộ phận) Giả sử X và Y là hai khônggian Hilbert Một toán tử tuyến tính V : X −→ Y được gọi là toán tử đẳng cự

bộ phận nếu X = M ⊕ N trong đó M và N là những không gian con đóng trựcgiao với nhau, sao cho:

(i) V x = 0 khi x ∈ N ,

(ii) kV xk = kxk khi x ∈ M

Nhận xét: Rõ ràng N (V ) = N Nếu đặt L = R(V ) thì L = V (X) = V (M ).Không gian con M ⊂ X được gọi là miền gốc, còn L ⊂ Y được gọi là miềnảnh của toán tử đẳng cự bộ phận V

Định nghĩa 1.1.12 (Toán tử chuẩn tắc) Toán tử tuyến tính liên tục N trongkhông gian Hilbert X được gọi là một toán tử chuẩn tắc nếu N giao hoán vớitoán tử liên hợp N∗ của nó, tức là N∗N = N N∗

Vậy các toán tử tự liên hợp, toán tử unita trong không gian Hilbert X đều

là những toán tử chuẩn tắc

Định nghĩa 1.1.13 Cho X là không gian định chuẩn phức A ∈ L(X) và

λ ∈ C Nếu tồn tại x 6= 0 trong X sao cho Ax = λx thì λ được gọi là mộtgiá trị riêng của toán tử A và x là vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ

λ ∈ C là giá trị phổ của A nếu không tồn tại toán tử ngược liên tục (A − λI)−1.Tập các giá trị phổ gọi là phổ của toán tử A, kí hiệu là σ(A)

Nếu λ là giá trị riêng của A thì λ ∈ σ(A)

Định lý 1.1.14 Cho X là một không gian Banach phức Khi đó σ(T ) 6= ∅ vớimọi T ∈ L(X).

Định lý 1.1.15 Cho X là một không gian Hilbert phức và T ∈ L(X) là mộttoán tử tự liên hợp Khi đó σ(T ) ⊂ R

Định nghĩa 1.1.16 Cho X là một không gian Banach và T ∈ L(X), khi đó

số thực

r(T ) := max{|λ| : λ ∈ σ(T )}

gọi là bán kính phổ của toán tử T

Định lý 1.1.17 Nếu X là một không gian Banach phức và T ∈ L(X) thìr(T ) = lim

Định lý 1.2.2 (Nguyên lý bị chặn đều) Giả sử X là một không gianBanach, Y là một không gian định chuẩn Cho (Aα)α∈I là một họ các toán tửtuyến tính liên tục từ X vào Y Nếu họ (Aα)α∈I bị chặn điểm trên X thì sẽ bịchặn đều

Định lý 1.2.3 (Định lý Banach) Giả sử X, Y là hai không gian Banach và

A : X → Y là một song ánh tuyến tính liên tục Khi đó A là một phép đồngphôi tuyến tính

Định lý 1.2.4 (Suy rộng hàm liên tục ) Cho X là một không gian địnhchuẩn và Y là một không gian Banach Cho Xo là không gian con trù mật của

X và cho To : Xo → Y là toán tử tuyến tính liên tục Khi đó có duy nhất mộttoán tử tuyến tính liên tục T : X → Y sao cho T|Xo = To Toán tử này thuđược từ To được gọi là "suy rộng của To bởi tính liên tục".

Định nghĩa 1.2.5 (Đại số) Một đại số X trên trường K (gọi tắt là đại sốX) là một không gian vectơ trên trường K, mà trên đó tồn tại một phép toánhai ngôi, kí hiệu là (·) gọi là phép nhân, thoả mãn các điều kiện sau đây:(i) x(y + z) = xy + xz,

(ii) (x + y)z = xz + yz,

(iii) λ(xy) = (λx)y = x(λy),

với mọi x, y, z ∈ X, λ ∈ K

Định nghĩa 1.2.6 (Đại số con) Một tập con của đại số X được gọi là đại

số con của đại số X nếu nó là một không gian vectơ con đóng kín đối với phépnhân trên X

Định nghĩa 1.2.7 (Đồng cấu đại số) Một đồng cấu đại số từ đại số X vàođại số Y là một ánh xạ h : X −→ Y sao cho

Định nghĩa 1.2.9 Cho X là một không gian Banach và một hàm f : X −→ C

Ta kí hiệu f là hàm đi từ X vào C thỏa mãn f (x) = f (x), với mọi x ∈ X

Định lý 1.2.10 (Stone-Weierstrass, xem [2], Định lý 8.1, tr 145).Cho Ω là một không gian tôpô compact Giả sử rằng A là một đại số con củaC(Ω) sao cho:

CHƯƠNG 2

TOÁN TỬ DƯƠNG TRONG KHÔNG

GIAN HILBERT

Trong phần còn lại, ta luôn xét các không gian trên trường K = C

Định nghĩa 2.1.1 Cho X là một không gian Hilbert, toán tử A ∈ L(X) đượcgọi là dương nếu

hAx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ X

[a,b]

Z

[a,b]

K(t, s)|x(s)|2dsdt ≥ 0

Vậy A là một toán tử dương.

Ví dụ 2.1.3 Phép chiếu trực giao P lên không gian con đóng M của khônggian Hilbert X là một toán tử dương

Ta có P là toán tử tuyến tính liên tục Mặt khác với mỗi x ∈ X thì x = x1+x2

A = (aki) = (aik) k, i = 1, 2, · · ·, nGiả sử x = x1e1+ x2e2+ + xnen, khi đó

đủ là:

a11 ≥ 0,

a11 a12

a21 a22

≥ 0, · · ·,

...

Hệ 2.2.13 Cho A, B toán tử tự liên hợp A ≤ B Nếu C toán

tử dương giao hoán với A B AC ≤ BC

Chứng minh Ta có B ≥ A suy B − A ≥ Mà C ≥ C giao hoánvới A B Vậy theo Định lý 2.2.11 (B... − A)C ≥ hay AC ≤ BC .Định lý 2.2.14 Cho A toán tử dương thỏa mãn αI ≤ A ≤ βI với

n→∞yn Khi đótồn (xn)n ⊂ X, cho yn... A toán tử tự liên hợp Mặt khác, ta có hBx, xi ≥ hAnx, xi với

Định lý 2.2.11 Cho