Phương trình Gauss-Codazzi và một số ứng dụng: Khóa luận tốt nghiệp toán học

Hầu hết các vấn đề của lý thuyếtmặt đều liên quan đến hai dạng toàn phương này, trong đó có độ cong Gauss.Trong thực hành, chúng ta thường tính độ cong Gauss thông qua các hệ số củadạng

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LỜI CẢM ƠN

Qua bốn năm học tập và rèn luyện tại giảng đường Đại học, được sựdìu dắt dạy dỗ của các Thầy cô giáo, tôi đã tiếp thu được nhiều kiến thức cơbản hữu ích và quan trọng Khóa luận tốt nghiệp này được xem là thành quảquan trọng của quá trình học tập và rèn luyện đó

Tôi xin chân thành cảm ơn các Thầy cô giáo khoa Toán - Trường Đại học

Sư phạm Huế, những người đã giúp tôi có những kiến thức khoa học cũng nhưtạo điều kiện cho tôi hoàn thành công việc học tập nghiên cứu của mình Khóaluận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của PGS.TSTrần Đạo Dõng Tôi xin phép gửi đến thầy lời cảm ơn chân thành, lòng biết ơnsâu sắc nhất

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè những người đãquan tâm, giúp đỡ, động viên tôi trong suốt thời gian qua

Xin chân thành cảm ơn!

Huế, tháng 05 năm 2011NGUYỄN THỊ HOA

MỤC LỤC

1.1 Mặt trong không gian R3 2

1.2 Ánh xạ Gauss 3

1.3 Độ cong Gauss và độ cong trung bình 4

1.4 Dạng cơ bản thứ nhất, dạng cơ bản thứ hai 4

1.4.1 Dạng cơ bản thứ nhất 4

1.4.2 Dạng cơ bản thứ hai 4

1.5 Mặt kẻ, mặt dẹt 6

1.5.1 Mặt kẻ 6

1.5.2 Mặt dẹt 6

1.6 Các mặt đẳng cự 7

2 PHƯƠNG TRÌNH GAUSS- CODAZZI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 8 2.1 Phương trình Gauss- Codazzi 8

2.2 Các hệ quả 18

2.3 Một số ứng dụng 25

2.3.1 Định lý Bonné 25

2.3.2 Mặt tuyến tính 29

2.3.3 Mặt tròn xoay có độ cong Gauss bằng 0, hằng dương, hằng âm 31

LỜI NÓI ĐẦU

Dạng cơ bản thứ nhất và dạng cơ bản thứ hai là hai dạng toàn phươngđóng vai trò quan trọng trong lý thuyết mặt Hầu hết các vấn đề của lý thuyếtmặt đều liên quan đến hai dạng toàn phương này, trong đó có độ cong Gauss.Trong thực hành, chúng ta thường tính độ cong Gauss thông qua các hệ số củadạng cơ bản thứ nhất và thứ hai

Liệu có cách nào khác để tính độ cong Gauss và cách tính đó như thế nào Đểtìm hiểu vấn đề này và được sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Đạo Dõng tôichọn đề tài "Phương trình Gauss-Codazzi và một số ứng dụng"

Ngoài lời mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận được chialàm hai chương:

Trong chương I, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị chochương II như ánh xạ Gauss, độ cong Gauss, dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai Chương II chúng tôi tập trung khảo sát các phương trình Gauss-Codazzicủa lý thuyết mặt và ứng dụng để xác định sự tồn tại của mặt dựa vào cácdạng cơ bản thứ nhất và thứ hai, tính độ cong Gauss thông qua hệ số dạng cơbản thứ nhất của mặt và các đạo hàm của chúng

Dù đã rất cố gắng song khóa luận này không thể tránh khỏi những thiếusót Kính mong quý thầy cô và các bạn đóng góp ý kiến để khóa luận đượchoàn thiện hơn

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong khoa Toán đãtạo điều kiện cho sinh viên thực hiện khóa luận và đặc biệt cảm ơn PGS.TSTrần Đạo Dõng đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm khóa luậnnày

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số kiến thức liên quan đến việcnghiên cứu chương II như mặt chính qui, ánh xạ Gauss, độ cong Gauss, dạng

cơ bản thứ nhất, thứ hai, Các kiến thức được tham khảo từ tài liệu [3], [4]

Cho U là một tập mở trong R2 và ánh xạ

X : U → R3(u, v) 7→ X(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))khả vi (lớp Ck) Khi đó S = X(U ) được gọi là một mặt tham số với tham sốhóa X trong R3

Điểm (u0, v0) được gọi là điểm chính qui nếu {Xu(u0, v0), Xv(u0, v0)} độclập tuyến tính Ngược lại, (u0, v0) được gọi là điểm kì dị

S được gọi là mặt chính qui nếu mọi điểm đều là điểm chính qui, tức là{Xu(u, v), Xv(u, v)} độc lập tuyến tính với mọi (u, v) ∈ U

Giả sử mặt S chính qui tại (u0, v0), khi đó mặt phẳng qua X(u0, v0) nhận{Xu(u0, v0), Xv(u0, v0)} làm không gian vector chỉ phương gọi là mặt phẳngtiếp xúc với S tại (u0, v0) Kí hiệu T(u0,v0)S

Xét đường trên mặt tham số S với tham số hóa

u → (x(u, v0), y(u, v0), z(u, v0))

Đường này được gọi là đường tọa độ v = v0 đi qua p = X(u0, v0) và có vectortiếp xúc tại p là ∂X

Tương tự, đường tọa độ u = u0 là v → (x(u0, v), y(u0, v), z(u0, v)) đi qua

p = X(u0, v0) có vector tiếp xúc là ∂X

điểm của S tồn tại một lân cận mở là mặt tham số chính qui, tham số hóatương ứng được gọi là tham số hóa địa phương của S.

Cho S là một mặt chính qui và X : U → S là một tham số hóa địaphương của S Nếu chúng ta chọn các pháp vector đơn vị tại mỗi điểm củaX(U ) như sau

Tại mỗi điểm của mặt chính qui, mỗi lân cận của mặt đều định hướng đượcbởi trường pháp vector đơn vị n = Xu∧ Xv

|Xu∧ Xv|.b) ánh xạ Gauss: Cho (S, n) là mặt chính qui định hướng trong R3

Do |n(p)| = 1, ∀p ∈ S nên có thể xem n là ánh xạ khả vi từ mặt chính qui Svào mặt cầu đơn vị S2

ánh xạ n : S → S2 được gọi là ánh xạ Gauss của mặt định hướng S.c) Đạo hàm của ánh xạ Gauss: Đạo hàm của ánh xạ Gauss tại p là

1.3 Độ cong Gauss và độ cong trung bình

a) Định thức của tự đồng cấu Dnp được gọi là độ cong Gauss K tại p củaS

b) −1

2tr(Dnp) được gọi là độ cong trung bình H của S tại p.

Ta có ma trận của Dnp là ma trận đối xứng Nếu Dnp có hai giá trị riêngkhác nhau thì TpS có cơ sở trực chuẩn gồm các vector riêng e1, e2 ứng với cácgiá trị riêng −k1,−k2

Các giá trị k1, k2 được gọi là độ cong chính của S tại p

Hai không gian con một chiều lần lượt xác định bởi e1, e2 được gọi là haiphương chính của S tại p

Từ định nghĩa suy ra H = 1

2(k1+ k2), K = k1k2.Đường chính qui C trên S sao cho tại mọi điểm p ∈ C phương tiếp xúctại của C là một phương chính của S tại p được gọi là một đường chính.Điểm p được gọi là điểm eliptic nếu K(p) > 0;

Điểm p được gọi là điểm hypebolic nếu K(p) < 0;

Điểm p được gọi là điểm parabolic nếu K(p) = 0;

Điểm p được gọi là điểm phẳng nếu Dnp = 0;

Điểm p được gọi là điểm rốn nếu k1 = k2

1.4.1 Dạng cơ bản thứ nhất

Với mỗi không gian tiếp xúc TpS, dạng toàn phương Ip : TpS → R

Ip(ω) =< ω, ω >p= |ω|2, ω ∈ TpS được gọi là dạng cơ bản thứ nhất của S tạip

Ta có biểu thức tọa độ Ip(ω) = E(du)2+ 2F dudv + G(dv)2,

với E =< Xu, Xu >, F =< Xu, Xv > G =< Xv, Xv > là các hệ số của dạng cơbản thứ nhất Ip

1.4.2 Dạng cơ bản thứ hai

Xét đạo hàm của ánh xạ Gauss Dnp : TpS → TpS Khi đó, dạng toànphương IIp(α) = − < Dnp(α), α > được gọi là dạng cơ bản thứ hai của S tạip

Ta có biểu thức tọa độ IIp(α) = L(du)2+ 2M dudv + N (dv)2,

với L =< n, Xuu >, M =< n, Xuv >, N =< n, Xvv > là các hệ số của dạng cơbản thứ hai IIp.

Hệ quả 1.4.2.1 Đối với cơ sở {Xu, Xv} của TpS, ta có ma trận chuyển vị của

Hệ quả 1.4.2.2 Nếu mặt tham số S không có điểm rốn và các đường tọa độ

Ngoài ra Dnp(Xu) = aXu+ bXv và M = 0

Nên 0 =< Dnp(Xu), Xv >=< aXu+ bXv, Xv >

= a < Xu, Xv > +b < Xv, Xv >= aF + bG = bG

Hay b = 0 Suy ra Dnp(Xu) = aXu

Do đó, đường tọa độ v = v0 là đường chính

Tương tự ta cũng có đường tọa độ u = u0là đường chính 

1.5.1 Mặt kẻ

Cho α, ω : I → R3 là hai hàm khả vi với I là một khoảng mở trong R

và ω(u) 6= 0 với mọi u ∈ I

Chúng ta sẽ xem α(u), u ∈ I là các điểm, còn ω(u), u ∈ I là các vector trong

R3 Mặt tham số

X(u, v) = α(u) + vω(u), u ∈ I, v ∈ Rđược gọi là mặt kẻ sinh bởi α và ω Các đường thẳng đi qua α(u) với vectorchỉ phương ω(u) là các đường sinh và đường cong α(u) là đường chuẩn

1.5.2 Mặt dẹt

Mặt tham số chính qui X : U → R3 được gọi là mặt dẹt nếu độ congGauss tại mọi điểm bằng 0

Cho S là một mặt chính qui và X : U → S là một tham số hóa địaphương của S Kí hiệu Xu, Xv, n lần lượt là các vector tiếp xúc và vector phápđơn vị của S tại điểm X(u, v).

Tương tự như các công thức Frénet đối với đường cong, do các vector Xu, Xv, nlập thành một cơ sở trong không gian R3 nên mọi vector khác đều có thể biểudiễn qua Xu, Xv, n Đặc biệt ta có:

Dựa vào các phương trình (1), (2), (3) ta có kết quả quan trọng sau đây:Mệnh đề 2.1.1 ([4 Section 3, Chapter 2]): Cho S là một mặt chính

qui với X : U → S là một tham số hóa địa phương và Xu, Xv, n lần lượt là cácvector tiếp xúc và vector pháp đơn vị của S tại điểm X(u, v) Khi đó ta có:

Tương tự, nhân hai vế của đẳng thức (2) và (3) với n ta được λ2 = M ,

Ta có thể viết lại như sau:

!

=

1

2Ev 1

2Gu

!

u uv

Γv uv

Ví dụ 2.1.1 Cho mặt cầu đơn vị với tham số hóa

X(u, v) = (sinucosv, sinusinv, cosu)

Tính các kí hiệu Christoffel của nó

Xvv = (−sinucosv, −sinusinv, 0) = −sinu(cosv, sinv, 0)

Do Xuu cùng phương với n nên Γuuu = Γv

Ví dụ 2.1.2 Cho các mặt tham số hóa sau:

a) Mặt phẳng được tham số hóa bởi hệ tọa độ cực: X(u, v) = (ucosv, usinv, 0).b) Mặt đinh ốc: X(u, v) = (ucosv, usinv, v)

c) Mặt nón: X(u, v) = (ucosv, usinv, cu) c 6= 0

d) Mặt tròn xoay: X(u, v) = (f (u)cosv, f (u)sinv, g(u)) với f0(u)2+ g0(u)2 = 1.Khi đó, trong mỗi trường hợp, các phương trình Codazzi và phương trình thứnhất của các phương trình Gauss được nghiệm đúng

= u

2− 1(u2+ 1)2 − u

2

(u1+ 1)2

d) Ta có X(u, v) = (f (u)cosv, f (u)sinv, g(u)) với f0(u)2+ g0(u)2 = 1,

Xu = (f0(u)cosv, f0(u)sinv, g0(u)),

Xv = (−f (u)sinv, f (u)cosv, 0),

n = (−g0(u)cosv, −g0(u)sinv, f0(u)),

Xuu = (f00(u)cosv, f00(u)sinv, g00(u)),

Do f0(u)2+ g0(u)2 = 1 nên f0(u)f00(u) + g0(u)g00(u) = 0

Nên f0(u)g00(u)g0(u) − f00(u)g0(u)2 = −(f0(u)2+ g0(u)2)f00(u)

Suy ra K = −f00(u)

f (u) .Các kí hiệu Christoffel:

2Gu

!

= −f (u)f0(u)2g00(u) + f (u)f0(u)f00(u)g0(u) − f0(u)g0(u)

= −f (u)f0(u)2g00(u) − f (u)g0(u)g00(u)g0(u) − f0(u)g0(u)

= −f (u)g00(u)(f0(u)2+ g0(u)2) − f0(u)g0(u)

= −f0(u)g0(u) − f (u)g00(u) = Mv− Nu

Vậy các phương trình Codazzi và phương trình thứ nhất của các phương

Hệ quả 2.2.2 ([4, Section 3, Chapter 2]) Cho mặt tham số với tham

số hóa trực giao (F = 0) Khi đó ta có:

K = − 1

2√EG

  Ev

√EG

Ev

E ; Γ

v

uv = 12

Eu

E .

12

Gu

G − 12

Ev

G .

12

Gv

G +

12

Ev

E .

12

Ev2

EG.Suy ra:

a) Mặt cầu với tham số hóa:

X(u, v) = (Rcosucosv, Rcosusinv, Rsinu)

Xu = (−Rsinucosv, −Rsinusinv, Rcosu)

X(u, v) = (ucosv, usinv, u2)

Xu = (cosv, sinv, 2u)

c) Mặt ellipsoid tròn xoay với tham số hóa:

X(u, v) = (acosucosv, acosusinv, csinu) a, c > 0

Xu = (−asinucosv, −asinusinv, ccosu)

d) Mặt giả cầu với tham số hóa:

X(u, v) = (sinucosv, sinusinv, ln(tanu

2) + cosu) u 6=

π2

Hệ quả 2.2.3 ([4, Section 3, Chapter 2]) Xét mặt tham số có các hệ số

E = G = λ(u, v) và F = 0 Khi đó, độ cong Gauss cho bởi K = − 1

2λO2(ln λ),trong đó O2f = ∂

2f

∂u2 + ∂

2f

∂v2.Chứng minh:

Khi đó độ cong Gauss là hằng.

Hệ quả 2.2.4 ([4, Corollary 3.2]) Độ cong Gauss tại các điểm tươngứng của hai mặt đẳng cự là bằng nhau

Ví dụ 2.2.3 Xét hai mặt chính qui lần lượt được tham số hóa bởi

X(u, v) = (ucosv, usinv, v)

Y (u, v) = (ucosv, usinv, lnu)

Với mỗi (u, v), ta có:

Yu = (cosv, sinv, 1

u),

Yv = (−usinv, ucosv, 0)

Tuy nhiên, dạng cơ bản thứ nhất của X và của Y là khác nhau nên chúng

Hệ quả 2.2.5 ([4, Lemma 3.3]) Giả sử X là tham số hóa của một mặt cócác đường tọa độ v = v0 và u = u0 là các đường chính với các độ cong chínhlần lượt là k1, k2 Khi đó:

(k1)v = Ev

2E(k2− k1) và (k2)u = Gu

2G(k1− k2) Chứng minh:

2(EG − F

2

)(ln |K|)v− F Eu+ EGv = 0trong đó K là độ cong Gauss của mặt

Chứng minh:

Lưới tọa độ trên mặt là các đường tiệm cận nên L = N = 0

Từ phương trình thứ nhất của các phương trình Codazzi ta có:

Hoàn toàn tương tự như trên và sử dụng phương trình thứ hai của các phươngtrình Codazzi ta cũng có

Chứng minh:

Lưới tọa độ trên mặt là các đường chính nên F = M = 0

Từ phương trình thứ nhất của các phương trình Codazzi ta có:

phẳng có các đường tọa độ là các đường chính Khi đó S là mặt kẻ có mặt phẳngtiếp tuyến là hằng dọc theo đường sinh.

Như vậy đường v = v0 là một phần của đường thẳng

Vậy S là mặt kẻ có tiếp tuyến là hằng dọc theo đường sinh 

ở phần này, chúng tôi trình bày định lý Bonné ([2, Định lý 3.4.4]), định lýnói về sự tồn tại của mặt nhận hai dạng toàn phương cho trước làm dạng cơbản thứ nhất và thứ hai của mình Tiếp đó chúng tôi giới thiệu về mặt tuyếntính Cuối cùng, chúng tôi xác định các mặt tròn xoay lần lượt nhận giá trị độcong Gauss bằng không, hằng dương, hằng âm

2.3.1 Định lý Bonné

Giả sử Edu2+ 2F dudv + Gdv2 (a), Ldu2+ 2M dudv + N dv2 (b) là hai dạngtoàn phương tùy ý, (a) là dạng toàn phương xác định dương Nếu các hệ số củacác dạng toàn phương này thỏa mãn phương trình Gauss-Codazzi thì tồn tại

và duy nhất (sai khác một phép dời hình trong không gian) một mặt nhận cácdạng (a), (b) làm dạng cơ bản I và II

ηv = Γuvvξ + Γvvvη + N ζ

ζu = α11ξ + α12η

ζv = α21ξ + α22ηtồn tại và duy nhất nghiệm nếu như các hệ số của hai dạng toàn phương đãcho thỏa mãn điều kiện Gauss-Codazzi

Chú ý rằng các Γ••• biểu diễn qua hệ số của hai dạng toàn phương đã cho và

~ Giả sử ξ0, η0, ξ0 là ba vector thỏa mãn các điều kiện:

ξ02 = E(u0, v0), ξ0η0 = F (u0, v0), η02 = G(u0, v0), ξ0ζ0 = 0, η0ξ0 = 0, ζ02 = 1 và

ξ, η, ζ là ba nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện đầu ξ(u0, v0) = ξ0, η(u0, v0) = η0,ζ(u0, v0) = ζ0

Vì ξv = ηu nên tồn tại hàm vector X(u, v) thỏa mãn Xu = ξ, Xv = η Ta

sẽ chứng minh mặt xác định bởi (u, v) 7→ X(u, v) trong lân cận điểm (u0, v0)

có dạng cơ bản thứ nhất, thứ hai lần lượt là (a), (b)

Thật vậy, biểu diễn đạo hàm theo u, v của sáu đại lượng ξ2, η2, ζ2, ξη, ηζ, ζξqua chính các đại lượng này, ta nhận được 12 đẳng thức:

(ξ2)u = R1(ξ2, η2, )(ξ2)v = R2(ξ2, η2, )

(ζξ)v = R12(ξ2, η2, ),trong đó, Ri là các biểu thức tuyến tính thuần nhất của ξ2, η2, ζξ

Mười hai đẳng thức trên có thể xét như một hệ phương trình vi phân đốivới ξ2, η2, ζξ Hệ cũng thỏa mãn nếu thay ξ2, η2, ζξ bởi E, G, 1, F , 0, 0( có thể kiểm chứng trực tiếp) Cả hai nghiệm này đều có cùng giá trị đầu( tại (u0, v0)) Từ đó, theo tính duy nhất nghiệm ta có:

ξ2 = E, η2 = G, ξη = F , ξζ = 0, ζη = 0, ζ2 = 1

Do Xu = ξ, Xv = η nên Xu2 = ξ2 = E, XuXv = ξη = F , Xv2 = η2 = G

Từ đó mặt nhận (a) làm dạng cơ bản thứ nhất

Mặt khác Xu.ζ = ξ.ζ = 0, Xv.ζ = η.ζ = 0, ζ2 = 1 nên ζ là pháp vectorđơn vị của mặt

Do đó các hệ số của dạng cơ bản thứ hai là Xuuζ = ξuζ = L, Xuvζ = M ,

Xvvζ = N

Như vậy mặt nhận (b) làm dạng cơ bản thứ hai

~ Giả sử S1, S2 là hai mặt cùng nhận (a) và (b) làm dạng cơ bản thứ nhất

và thứ hai Ta dịch chuyển hai mặt S1, S2 sao cho các điểm tương ứng, cácphương tương ứng, pháp tuyến tương ứng

Việc dịch chuyển này có thể làm được vì hai mặt này có dạng cơ bản thứ nhấttrùng nhau

Giả sử S1, S2nhận X1(u, v), X2(u, v) làm tham số hóa sau khi dịch chuyển

Hệ phương trình vi phân đối với ξ, η, ζ thỏa mãn nếu lấy ξ = X1u, η = X1v,

ζ = n1 hay ξ = X2u, η = X2v, ζ = n2 Nhưng vì cả hai nghiệm này trùng nhautại điểm (u0, v0) nên chúng đồng nhất Tức là:

X1 u(u, v) = X2 u(u, v), X1 v(u, v) = X2 v(u, v)

Suy ra d(X1(u, v)) = d(X2(u, v))

Do đó X1(u, v) = X2(u, v) + C

Mặt khác, u = u0, v = v0 thì X1 = X2 ⇒ C = 0

Suy ra X1(u, v) = X2(u, v)

Vậy S1, S2 trùng nhau, sai khác một phép dời hình 

Ví dụ 2.3.1.1 Xác định xem có tồn tại mặt tham số nhận E, F , G, L,

M , N làm hệ số của dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai trong mỗi trường hợpsau

a) E = G = 1, F = 0, L = 1 = −N , M = 0

Ta có các Γ••• đều bằng 0

Hiển nhiên E, F , G, L, M , N đều thỏa mãn các phương trình Gauss và dazzi Do đo tồn tại mặt tham số nhận chúng làm dạng cơ bản thứ nhất vàthứ hai

Ta có:

uu

Γvuu =

1EG

uv = cos2u.cosu.sinu + 0 + tanu 6= 0

Tức là các hệ số đã cho không thỏa mãn phương trình Codazzi nên không tồntại mặt tham số nhận chúng làm dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai Định lý trên đã nói đến sự tồn tại của mặt nhận các dạng toàn phươngcho trước làm dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai Bây giờ chúng ta sẽ đi tìmphương trình của các mặt đó trong một số trường hợp đơn giản qua ví dụ sau

Ví dụ 2.3.1.2 Trong mỗi trường hợp, xác định mặt tham số nhận các hệ sốcho trước làm dạng cơ bản thứ nhất và thứ hai

Từ ξv = ηu = cotuη, chọn η = (−sinusinv, sinucosv, 0)

ξ = (cosucosv, cosusinv, −sinu)Vậy mặt tham số cần tìm:

X(u, v) = (sinucosv, sinusinv, cosu) (Mặt cầu đơn vị)