Ma trận xác định dương: Bài toán bảo toàn tuyến tính và tính đơn điệu của trung bình nhâ: Khóa luận toán học

HUỲNH ĐÌNH TUÂN MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG: BÀI TOÁN BẢO TOÀN TUYẾN TÍNH VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA TRUNG BÌNH NHÂN KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành : Đại số Cán bộ hướng dẫnPGS.?. Chođến nay, vi

ĐẠI HỌC HUẾTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

? ? ?F ? ??

HUỲNH ĐÌNH TUÂN

MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG:

BÀI TOÁN BẢO TOÀN TUYẾN TÍNH

VÀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA TRUNG BÌNH NHÂN

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP

Chuyên ngành : Đại số

Cán bộ hướng dẫnPGS TS ĐOÀN THẾ HIẾU

Huế, tháng 5 năm 2011

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nhiệt tình, chuđáo của PGS TS Đoàn Thế Hiếu Tôi xin phép được gửi đến Thầy sựkính trọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của Thầy đối với bảnthân tôi không những trong thời gian làm khóa luận mà còn trong suốtquá trình học tập Đồng thời, tôi xin được bày tỏ nguyện vọng tiếp tụctìm hiểu toán học dưới sự hướng dẫn của Thầy

Tôi cũng xin phép được gửi lời cám ơn chân thành đến quý Thầy

cô đã giảng dạy lớp Toán B trường ĐHSP Huế cũng như toàn thể quýthầy cô Khoa Toán trường ĐHSP Huế, những người đã cho tôi kiếnthức, quan tâm động viên, nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập cũng như trong thời gian thực hiện đề tài

Cuối cùng, tôi xin phép được gửi lời cảm ơn đến những người thân,bạn bè đã quan tâm động viên giúp đỡ tôi trong suốt quãng đường họctập vừa qua

Huế, tháng 5 năm 2011Huỳnh Đình Tuân

MỤC LỤC

1.1 Ma trận đối xứng - ma trận Hermite - ma trận trực giao - ma trận

Unita 6

1.2 Ma trận nửa xác định dương - ma trận xác định dương 8

1.3 Một số phép toán trên không gian các ma trận 12

1.4 Căn bậc hai của ma trận 14

1.5 Một số bất đẳng thức ma trận và các tính chất liên quan đến ma trận khối 15

1.6 Hàm lồi, lõm, đơn điệu trên tập các ma trận xác định dương 18

1.7 Phương trình ma trận 19

2 BÀI TOÁN BẢO TOÀN TUYẾN TÍNH 21 2.1 Bài toán bảo toàn tuyến tính 21

2.2 Bảo toàn tuyến tính hạng của ma trận 22

2.3 Bài toán bảo toàn định thức 23

2.4 Bảo toàn tuyến tính chuẩn và tập các ma trận Unita 24

2.5 Bảo toàn tuyến tính miền số học và bán kính số học 25

2.6 Bài toán bảo toàn tuyến tính chỉ số quán tính 26

2.7 Toán tử tuyến tính xác định dương 28

2.8 Bài toán bảo toàn tuyến tính chỉ số (n,0,0) 29

2.9 Một số kết quả mới 33

3 TRUNG BÌNH NHÂN CỦA CÁC MA TRẬN 373.1 Trung bình của hai ma trận xác định dương và một số tính chất 373.2 Một số biểu diễn của trung bình nhân hai ma trận 403.3 Mở rộng khái niệm trung bình nhân bằng phương pháp quy nạp 433.4 Mở rộng khái niệm trung bình nhân dựa vào hình học Riemann 49

MỞ ĐẦU

Lý thuyết về ma trận xác định dương chiếm một vị trí quan trọng trong đại

số tuyến tính Có nhiều định lý liên quan đến ma trận xác định dương đơn giảnsong có ứng dụng lớn Hiện nay, còn rất nhiều bài toán mở liên quan mật thiết đến

ma trận xác định dương

Các bài toán bảo toàn tuyến tính là một hướng nghiên cứu sôi động trong

lý thuyết ma trận và lý thuyết toán tử Các bài toán này đề cập đến các toán tửbảo toàn một hàm, một tập con, một quan hệ nào đó trên không gian các ma trận.Hiện nay, lĩnh vực này thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học Dù đã cóhàng trăm công trình trong lĩnh vực này nhưng vẫn còn rất nhiều vấn đề mở cầnđược nghiên cứu, đặc biệt là bài toán bảo toàn tuyến tính chỉ số quán tính Chođến nay, việc xác định tất cả các toán tử tuyến tính bảo toàn chỉ số (n,0,0), tứcbảo toàn tập các ma trận xác định dương vẫn nằm ngoài mọi hướng tiếp cận.Trung bình ma trận là sự mở rộng khái niệm trung bình trên tập hợp các sốdương sang tập hợp các ma trận xác định dương Đối với trung bình cộng và trungbình điều hòa, việc mở rộng là đơn giản Việc xây dựng khái niệm trung bình nhâncho hai ma trận xác định dương đã được thực hiện Khi người ta tìm cách mở rộng

khái niệm trung bình nhân cho trường hợp n ma trận xác định dương thì có nhiều

khó khăn nảy sinh Hiện nay, có hai hướng tiếp cận chủ yếu đối với vấn đề này.Nếu dựa vào phương pháp quy nạp, khái niệm trung bình nhân đưa ra quá phứctạp Một hướng khác đơn giản hơn là dựa vào hình học Riemann Tuy vậy, đối vớiphương pháp này, việc chứng minh tính đơn điệu của trung bình nhân vẫn còn làmột vấn đề mở

Khóa luận nhằm mục tiêu tìm hiểu, hệ thống hóa các tính chất của ma trậnxác định dương, tổng quan các kết quả đã được nghiên cứu về bài toán bảo toàntuyến tính, các hướng xây dựng khái niệm trung bình nhân ma trận, phát triểnmột số kết quả đã có về bài toán bảo toàn tập các ma trận xác định dương.Nội dung của khóa luận chia làm ba chương

Chương một hệ thống hóa các kiến thức về ma trận xác định dương, trìnhbày một số kiến thức cần thiết cho các chương tiếp theo

Chương hai tổng quan một số kết quả đạt được trong lĩnh vực bảo toàn tuyến

tính, các kết quả đạt được trong các đề tài khoa học đã thực hiện Chương nàycũng trình bày một số kết quả mới về bài toán bảo toàn tính xác định dương.Chương ba giới thiệu khái niệm trung bình ma trận, một số loại trung bình vàhai phương pháp xây dựng khái niệm trung bình nhân ma trận tổng quát: phươngpháp quy nạp và phương pháp dựa vào hình học Riemann.

CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG

KHÓA LUẬN

Mat m×n(K) Không gian các ma trận cỡ m × n trên trường K Mat n(K) Không gian các ma trận vuông cấp n trên trường K

S n(R) Không gian các ma trận đối xứng thực cấp n

H n Không gian các ma trận Hermite cấp n

S n Không gian S n(R)hoặc không gian H n

Un Không gian các ma trận tam giác trên cấp n

S(A, B) Tích đối xứng của hai ma trận A, B

A ⊗ B Tích Tensor (tích Kronecker) của hai ma trận A, B

A ◦ B Tích Hadamard (tích Schur) của hai ma trận A, B A]B Trung bình nhân của hai ma trận A, B

logA Logarit tự nhiên của ma trận A

expA Lũy thừa cơ số e của ma trận A

A ∼=B A và B tương đương Unita

Chương 1

MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG

Trong chương này, chúng tôi nêu định nghĩa ma trận đối xứng, ma trận Hermite, ma trận nửa xác định dương, ma trận xác định dương và một số tính chất cơ bản Chúng tôi tập trung mô tả một số tính chất đặc trưng của ma trận xác định dương và một số kiến thức liên quan đến ma trận xác định dương như: căn bậc hai của ma trận, phương trình ma trận, bất đẳng thức ma trận, hàm lồi, lõm, đơn điệu trên tập các ma trận xác định dương Chúng tôi cũng giới thiệu tích đối xứng, tích Schur, tích Kronecker và các tính chất liên quan đến ma trận xác định dương của chúng.

1.1 Ma trận đối xứng - ma trận Hermite - ma trận

trực giao - ma trận Unita

Ma trận vuông A trên trường số thực R được gọi là đối xứng nếu A t = A Ta

đã biết tập hợp S n(R) các ma trận đối xứng thực cấp n là không gian con của không gian các ma trận vuông cấp n trên trường số thực Mat n(R) Tương ứngvới khái niệm ma trận đối xứng trên trường số thực là khái niệm ma trận Hermite

trên trường số phức Ma trận vuông A trên trường số phức C được gọi là Hermite nếu A ∗ =A, ở đây ký hiệu A ∗ để chỉ chuyển vị liên hợp của ma trận A Tương tự tập hợp S n(R), tập hợp H n các ma trận Hermite cấp n tạo thành một không gian con của không gian các ma trận vuông cấp n trên trường số phức Mat n(C) Các

ma trận đối xứng và ma trận Hermite có một tính chất chung rất quan trọng, mọi

giá trị riêng của chúng đều là các số thực Từ nay trở đi, ta sử dụng ký hiệu S n để

chỉ một trong hai không gian S n(R) hoặc H n

Để khảo sát các tính chất của ma trận đối xứng và ma trận Hermite cũng nhưmột số tính chất khác, ta cần tìm hiểu thêm về ma trận trực giao và ma trận

Unita Ma trận Q thuộc Mat n(R)được gọi là trực giao nếu Q t Q=I n Tập hợp O n

các ma trận trực giao cấp n trên trường số thực là nhóm con của nhóm GL n(R)

các ma trận thực khả nghịch cấp n với phép nhân ma trận Tương ứng với khái

niệm ma trận trực giao trên trường số thực là khái niệm ma trận Unita trên trường

số phức Ma trận U thuộc Mat n(C) được gọi là Unita nếu U ∗ U = I n Cũng vậy,

tập hợp U n các ma trận Unita cấp n trên trường số phức là nhóm con của nhóm

GL n(C) các ma trận phức khả nghịch cấp n với phép nhân ma trận Liên quan

đến khái niệm ma trận trực giao và ma trận Unita, hai định lý về chéo hóa matrận dưới đây đóng vai trò quan trọng

Định lý 1.1.1 [10](Định lý phân tích SVD đối với không gian phức) Cho ma trận

A ∈ Mat m×n(C) Khi đó tồn tại các ma trận Unita U ∈ Mat m(C), V ∈ Mat n(C)

và ma trận S ∈ Mat m×n(C), S = diag(σ1, · · · , σ p), σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σ p , p =min{m, n} sao cho A =USV

Định lý 1.1.2 [10] (Định lý phân tích SVD đối với không gian thực) Cho ma trận A ∈ Mat m×n(R) Khi đó tồn tại các ma trận trực giao P ∈ Mat m(R),

Q ∈ Mat n(R)và ma trận S ∈ Mat m×n(R) S = diag(σ1, · · · , σ p), σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥

σ p , p= min{m, n} sao cho A =P SQ.

Các phần tử trên đường chéo của ma trận S trong hai định lý trên được gọi là các giá trị kỳ dị của A Đây có thể xem là một sự mở rộng khái niệm giá trị riêng của các ma trận vuông Trên các không gian S n(R)và H n, các định lý về chéo hóa

ma trận dưới đây sẽ được sử dụng nhiều trong khuôn khổ khóa luận này

Định lý 1.1.3 [10] Cho A ∈ S n(R) Khi đó tồn tại ma trận trực giao Q ∈ Mat n(R) sao cho Q t AQ là ma trận chéo.

Định lý 1.1.4 [10] Cho A ∈ H n Khi đó tồn tại ma trận Unita U ∈ Mat n(C)

sao cho U ∗ AU là ma trận chéo.

Dưới đây là một vài tính chất của các ma trận thuộc S n thu được từ các định

lý trên và chúng sẽ được nhắc đến trong các phần tiếp theo

Định lý 1.1.5 [10] Cho A ∈ S n(R) Khi đó rank(A) = r khi và chỉ khi A =

Pr

i=1 k i x i x t

i , trong đó k i ∈ {−1,1} ∀ i= 1,2, · · · , r và x1, · · · , x r là các vector độc lập tuyến tính.

Chứng minh Theo Định lý 1.1.3 tồn tại ma trận trực giao Q sao cho Q t AQ =D =

diag(λ1, · · · , λ n), trong đó λ1, · · · , λ n là các giá trị riêng của A Do rank(A) = r

nên tồn tại đúng r giá trị riêng của A khác không Không mất tính tổng quát, giả

sử λ1, · · · , λ r là các giá trị riêng khác 0 của A, lúc đó

và e1, · · · , e r độc lập tuyến tính nên x1, · · · , x r độc lập tuyến tính

Đảo lại, giả sử A = Pr i=1 k i x i x t

i , trong đó k i ∈ {−1,1} ∀i = 1,2, · · · , r và

x1, · · · , x r là các vector độc lập tuyến tính Bổ sung vào hệ {x1, · · · , x r } các vector

x r+1 , · · · , x n để được cơ sở của Rn Đặt P = [x1 x2· · · x n], ở đây các vector x i được viết theo cột, ta có P khả nghịch và A=P diag(k1, · · · , k r ,0, · · · ,0)P t Vậyrank(A) =r.

Định lý 1.1.6 Giả sử A ∈ S n(R), đặt W(A) ={x t Ax, ||x||= 1}, khi đó ta có

W(A) = [λmin(A), λmax(A)] Chứng minh Giả sử λmin(A) = λ1 ≤ · · · ≤ λ n = λmax(A) là dãy không giảm

các giá trị riêng của A Khi đó theo Định lý 1.1.3 tồn tại ma trận trực giao

Q sao cho Q t AQ = D = diag(λ1, · · · , λ n) Đặt y = Q t x = (y1· · · y n)t, khi đó

Nhận xét 1.1.7 Nếu ta thay các cụm từ "ma trận trực giao", "chuyển vị" trong

các phát biểu trên không gian thực bởi các cụm từ "ma trận Unita", "chuyển vịliên hợp" đối với không gian phức thì các tính chất trên vẫn còn đúng trên không

gian H n Trong phần lớn các trường hợp thì các kết quả trên hai không gian này

là tương tự nhau Do vậy trong các phát biểu và chứng minh, thông thường ta chỉ

xét trên không gian S n(R) hoặc H n mà thôi Đối với các trường hợp có sự khácbiệt giữa hai không gian này, ta sẽ nói rõ cụ thể

1.2 Ma trận nửa xác định dương - ma trận xác định

dương

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử A là ma trận trên không gian S n

1 A được gọi là nửa xác định dương trên S n(R) nếu x t Ax ≥0 ∀ x ∈ R n

2 A được gọi là xác định dương trên S n(R) nếu A là nửa xác định dương và

x t Ax= 0 ⇐⇒ x= 0

3 A được gọi là nửa xác định dương trên H n nếu x ∗ Ax ≥0 ∀ x ∈ C n

4 A được gọi là xác định dương trên H n nếu A là nửa xác định dương và

7 Nếu A − B >0 (A − B ≥ 0)thì ta viết A > B (A ≥ B)hay B < A(B ≤ A)

8 Tập hợp các ma trận nửa xác định dương cấp n được ký hiệu là P n, tập hợp

các ma trận xác định dương cấp n được ký hiệu là P n

Nhận xét 1.2.1 Từ định nghĩa ta thấy ngay một số tính chất sau

1 Quan hệ A ≥ B ⇐⇒ A − B ≥0 là quan hệ thứ tự trên S n

2 P n là một nón lồi trong không gian S n

3 Pn là một nón lồi và là một tập mở trong không gian S n

Tiếp theo ta tìm hiểu một số dấu hiệu nhận biết ma trận nửa xác định dương

-ma trận xác định dương Để thuận tiện ta sẽ làm việc trên trên không gian S n(R)

Ta đã biết một số dấu hiệu quen thuộc sau để nhận biết các ma trận nửa xác địnhdương - xác định dương:

1 A >0 khi và chỉ khi A ≥ 0 và det(A)6= 0

2 A ≥0 (> 0) khi và chỉ khi các giá trị riêng của A không âm (dương).

3 A ≥0 (> 0)khi và chỉ khi các định thức con chính của A không âm (dương).

Dưới đây là một số dấu hiệu nhận biết các ma trận nửa xác định dương khi đãbiết hạng của chúng

Định lý 1.2.2 [4] Cho A ≥0 Khi đó rank(A) =r khi và chỉ khi A =Pr i=1 x i x t

i , trong đó x1, · · · , x r là các vector độc lập tuyến tính.

Chứng minh Suy ra ngay từ Định lý 1.1.5

Định lý 1.2.3 [4] Cho A ≥0 và rank(A) =r Khi đó tồn tại ma trận khả nghịch

W với A =W(Pr i=1 E ii)W t , trong đó E ii =e i e t i với mọi i = 1,2· · · , n.

Chứng minh Theo Định lý 1.1.3, tồn tại ma trận trực giao Q sao cho Q t AQ =

D = diag(λ1, · · · , λ r ,0, · · · ,0) trong đó λ i 6= 0 với mọi i = 1,2, · · · , r Do A

là ma trận nửa xác định dương nên λ i > 0 với mọi i = 1,2, · · · , r Ta có A =

QDQ t =Q(Pr i=1 λ i E ii)Q t Đặt K = diag(√ λ1, · · · , √ λ r ,1, · · · ,1), thế thì K khả nghịch và A = QK(Pr i=1 E ii)KQ t = W(Pr i=1 E ii)W t với W = QK là ma trận

khả nghịch

Hệ quả 1.2.4 [4] Nếu A ≥ 0 thì tồn tại ma trận W sao cho A= W W t Nếu A xác định dương thì W khả nghịch.

Hơn thế nữa, người ta còn chứng minh được nếu A ≥ 0 thì có thể biểu diễn

A=UU t , trong đó U là ma trận nửa tam giác trên và diag(U)≥0 Biểu diễn này

được gọi là phân tích Cholesky của ma trận A.

Định lý 1.2.5 [4] A = (a ij)n×n nửa xác định dương khi và chỉ khi tồn tại các vector x1, · · · , x n sao cho a ij = hx i , x j i ∀ i, j = 1,2, · · · , n A > 0 khi và chỉ khi {x1, · · · , x n } độc lập tuyến tính.

Chứng minh Giả sử có các vector x1, · · · , x n sao cho a ij = hx i , x j i ∀ i, j =

1,2, · · · , n Đặt P = [x1, · · · , x n]ta có A =P t P , do đó A ≥0 Đảo lại, nếu A ≥0,

ta viết A=Q t DQ, trong đó Q là ma trận trực giao và D=diag(λ1, · · · , λ n), ở đây

Định lý 1.2.6 Giả sử A, B ∈ S n(R), A >0 Khi đó tồn tại ma trận W khả nghịch

để W t AW = I n , W t BW = diag(λ1, · · · , λ n) Hơn nữa {λ1, · · · , λ n } chính là tập các giá trị riêng của ma trận A −1 B.

Chứng minh Theo Định lý 1.1.3, tồn tại ma trận trực giao Q sao cho Q t AQ =

D = diag(α1, · · · , α n) Do A là ma trận xác định dương nên α i > 0 với mọi

i = 1,2, · · · , n Đặt K = diag(√1

α1, · · · , 1

√

α n), khi đó ta có K t Q t AQK = I n

Đặt B 0 = K t Q t BQK, theo Định lý 1.1.3 tồn tại ma trận trực giao P sao cho

P T B 0 P =diag(λ1, · · · , λ n) Ma trận W = QKP thỏa mãn các yêu cầu đặt ra ban

đầu

Do W t AW =I n , W t BW =diag(λ1, · · · , λ n)nên W −1(A −1 B)W = diag(λ1, · · · , λ n)

Vậy {λ1, · · · , λ n } chính là tập các giá trị riêng của ma trận A −1 B.

Định lý 1.2.7 [10] Giả sử A, B ∈ S n(R), A > 0 Khi đó ma trận AB chéo hóa được và có số giá trị riêng dương, âm, bằng không như ma trận B.

Chứng minh Tương tự chứng minh Định lý 1.2.5, ta đặt A = (A12)2 Khi đó ma

trận AB đồng dạng với ma trận(A12)−1(AB)A12 = A12BA12 Với mọi vector x ∈ R n thì tồn tại vector y để x=A12y và khi đó x t Bx =y t(A12BA12)y Vậy ma trận AB chéo hóa được và có số giá trị riêng dương, âm, bằng không như ma trận B.

Dưới đây là một số tính chất liên quan đến ma trận nửa xác định dương - xácđịnh dương được sử dụng trong các phần tiếp theo của khóa luận này

Mệnh đề 1.2.8 Giả sử A ∈ S n(R)là ma trận nửa xác định dương vàdiag(A)> 0 Khi đó tồn tại vector x ∈ R n sao cho mọi thành phần của x đều khác 0 và ma trận nửa xác định dương B ∈ S n(R) để A =xx t+B.

Chứng minh Giả sử x i = (x i1 , · · · , x in) Đặt u1 = α1x1+β1x2 = (u11, · · · , u 1n),

v1 = β1x1− α1x2, ở đây α1, β1 được chọn sao cho α1, β1 > 0, α2

1+β2

1 = 1 và nếu

x 1k 6= 0 hoặc x 2k 6= 0 thì u 1k 6= 0 Hiển nhiên ta có u1u t1+v1v t1 = x1x t1 +x2x t2

Tương tự đặt u2 =α2u1+β2x3 và tiếp tục quá trình trên ta được A=u r−1 u t

2 Nếu B / ∈ P n thì tồn tại ma trận A ∈ S n(R), A > 0 sao cho tr(AB)<0.

Chứng minh 1 Theo Hệ quả 1.2.4 tồn tại ma trận khả nghịch W sao cho A =

W W t Ta có AB ∼ W −1 ABW = W t BW Do B là ma trận nửa xác định dương khác 0 nên W t BW cũng là ma trận nửa xác định dương khác 0 Do vậytr(AB) =tr(W t BW)>0

2 Theo Định lý 1.1.3, tồn tại ma trận trực giao Q sao cho D= Q −1 BQ là ma trận chéo Do B không phải là ma trận nửa xác định dương nên tồn tại phần tử λ i <0

trên đường chéo chính của D Chọn ma trận chéo C >0sao cho tr(CD)< 0 Đặt

A=QCQ −1 ta có A > 0 và tr(AB) = tr(Q −1 AQQ −1 BQ) = tr(CD)< 0

Mệnh đề 1.2.10 Nếu A, B ∈ S n(R) là các ma trận xác định dương thì tồn tại số thực dương α sao cho A > αB.

Chứng minh Theo Định lý 1.2.6, tồn tại ma trận W khả nghịch để W AW t =

I n , W BW t = diag(λ1, · · · , λ n) Chọn α là số thực dương nhỏ hơn 1

λmin, ở đây

λmin = min{λ i , i= 1, · · · , n} ta có A > αB.

1.3 Một số phép toán trên không gian các ma trận

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử A, B là các ma trận thuộc Mat n(R) Tích đối xứng

của A, B, ký hiệu S(A, B) được xác định bởi

S(A, B) =AB+BA.

Nhận xét 1.3.1 Nếu A, B là các ma trận đối xứng thì S(A, B)cũng là ma trận đối

xứng Tuy vậy, nếu A >0, B >0 thì chưa chắc S(A, B)≥0 Thực vậy, với

Định nghĩa 1.3.2 Cho A = (a ij)m×n , B = (b ij)m×n là hai ma trận thuộc

Mat m×n(K) Tích Hadamard (tích Schur) giữa A và B, ký hiệu A ◦ B được định

nghĩa bởi

A ◦ B= (a ij b ij)m×n

A ◦ xx t+A ◦ C >0 Vậy A ◦ B là ma trận xác định dương.

Mệnh đề 1.3.5 Nếu B không phải là ma trận nửa xác định dương trên S n(R)

thì tồn tại ma trận A xác định dương trên S n(R) sao cho A ◦ B không phải là ma trận xác định dương.

Chứng minh Do B không phải là ma trận xác định dương nên tồn tại x ∈ R n sao

cho x t Bx < 0 Với mỗi ² ∈ R đặt A ²= (1)n +²I n,trong đó (1)n là ma trận vuông

cấp n với mọi phần tử đều là 1 Khi đó A ² là ma trận xác định dương với mọi

² >0 Ta có A ² ◦ B = (1)n ◦ B+²I n ◦ B =B+²diag(B), trong đó diag(B)là ma

trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo chính tương ứng là các phần tử

trên đường chéo chính của B Chọn ² >0 đủ bé sao cho x t Bx+²x tdiag(B)x <0,

khi đó A ² xác định dương và A ² ◦ B không xác định dương do tồn tại x ∈ R sao cho x t(A ² ◦ B)x < 0

Định nghĩa 1.3.3 Cho A= (a ij)m×n ∈ Mat m×n(R), B = (b ij)p×q ∈ Mat p×q(R)

Tích Tensor (tích Kronecker) của A và B, ký hiệu A ⊗ B được xác định bởi

A ⊗ B là {λ i µ j , i= 1, · · · , n, j = 1, · · · , m} Từ đây ta thấy ngay nếu A, B là các

ma trận nửa xác định dương thì A ⊗ B cũng là ma trận nửa xác định dương.

1.4 Căn bậc hai của ma trận

Trong mục này, ta chỉ tìm hiểu sơ lược về căn bậc hai của của ma trận trong

một số trường hợp đặc biệt Để hiểu sâu hơn lý thuyết về căn bậc n của ma trận

tổng quát, có thể tham khảo trong [11]

Định lý 1.4.1 [4] Cho A ∈ S n(R) A ≥ 0khi và chỉ khi tồn tại duy nhất ma trận

là ma trận chéo hóa được có các giá trị riêng không âm thì tồn tại duy nhất ma

trận B ∈ Mat n(R) có các giá trị riêng không âm để A = B2 Ma trận B trong trường hợp này cũng được gọi là căn bậc hai của ma trận A, ký hiệu A12

1.5 Một số bất đẳng thức ma trận và các tính chất

liên quan đến ma trận khối

Cũng như bất đẳng thức số, các bất đẳng thức ma trận là một lĩnh vực rấtphong phú Tuy vậy, giữa chúng cũng có nhiều sự khác biệt nhất định Một số bấtđẳng thức không còn đúng trong trường hợp ma trận Trong mục này, chúng tôichỉ trình bày một số bất đẳng thức đơn giản Một vài bất đẳng thức thú vị khác

sẽ được giới thiệu trong chương 3

Định nghĩa 1.5.1 Toán tử A ∈ Mat n(K) được gọi là co nếu kAk ≤1

Mệnh đề 1.5.4 [4] Toán tử A ∈ Mat n(C) co khi và chỉ khi

Chứng minh Giả sử phân tích SVD của ma trận A là A= USV , S = diag(s1, · · · , s n).khi đó ta có

khi và chỉ khi A là toán tử co.

Mệnh đề 1.5.5 [4] Giả sử A, B là các ma trận nửa xác định dương Khi đó

Ã

X ∗ B

!

≥0 khi và chỉ khi tồn tại toán tử co K để X =A12KB12.

Chứng minh Trước hết, ta chứng minh bài toán với A, B là các ma trận xác định

dương Với giả thiết này ta có

thu được kết quả bài toán

Mệnh đề 1.5.6.[4]Giả sử A, B là các ma trận xác định dương Khi đó

Dưới đây là một vài kết quả được suy ra trực tiếp từ mệnh đề trên.

1.6 Hàm lồi, lõm, đơn điệu trên tập các ma trận

xác định dương

Hàm ma trận và các tính chất lồi, lõm, đơn điệu của nó có thể xem là sự tổngquát hóa hàm số và các tính chất Lý thuyết tương đối hoàn chỉnh về hàm ma trận

có thể được tìm thấy trong [11]

Định nghĩa 1.6.1 Ánh xạ f :S n −→ S n được gọi là lồi nếu

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.5.6 với các ma trận B1, B2 ∈ P n , X1, X2 ∈ Mat n(C)

Định nghĩa 1.6.3 Ánh xạ f : S n −→ S n được gọi là đơn điệu tăng (giảm) nếu

với mọi A, B ∈ S n , A ≥ B =⇒ f(A)≥(≤)f(B) Ánh xạ đơn điệu tăng, giảm gọichung là ánh xạ đơn điệu

Ví dụ 1.6.5 Ánh xạ A −→ A12 đơn điệu tăng trên P n , trong khi ánh xạ A −→ A2

không phải là hàm đơn điệu trên P n

Mệnh đề 1.6.6 [4] Ánh xạ f : P n × P n × S n −→ S n ,(A, B, X)−→ A − XB −1 X ∗

lõm theo cả ba biến A, B, X và đơn điệu tăng theo các biến A, B.

Mệnh đề 1.6.7 [4] Ánh xạ f(A) = A r trên P n đơn điệu nếu 0 ≤ r ≤ 1 và lồi nếu 1≤ r ≤2.

Người ta chứng minh được rằng nếu các giá trị phổ của A nằm trong nửa mặt

phẳng bên phải thì phương trình Lyapunov (1.7.1) có duy nhất nghiệm Hơn thế

nữa, nếu W là ma trận nửa xác định dương thì nghiệm của phương trình trên cũng

Nếu các giá trị phổ của F chứa trong hình cầu mở đơn vị thì phương trình Stein

(1.7.3) có nghiệm duy nhất cho bởi công thức

Phương trình ma trận Riccati dưới đây đóng vai trò quan trọng trong các khảosát ở chương 3.

Định nghĩa 1.7.1 Phương trình Riccati là phương trình ma trận có dạng

Chương 2

BÀI TOÁN BẢO TOÀN TUYẾN TÍNH

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu lớp bài toán bảo toàn tuyến tính, đặc biệt là lớp bài toán bảo toàn tuyến tính chỉ số quán tính Chúng tôi tổng quan một số kết quả trong lĩnh vực này và giới thiệu một số kết quả đạt được trong các đề tài thực hiện trong các năm

2009, 2010 Trong quá trình thực hiện khóa luận, chúng tôi cũng đã thu được một số kết quả mới Cụ thể, chúng tôi đưa ra một điều kiện đủ để toán tử tuyến tính hạng 3 bảo toàn chỉ số

(n,0,0) Ngoài ra, chúng tôi đưa ra một lớp toán tử hạng r bảo toàn chỉ số này.

2.1 Bài toán bảo toàn tuyến tính

Các bài toán bảo toàn tuyến tính là một hướng nghiên cứu sôi động trong lĩnhvực toán tử và lĩnh vực ma trận Các bài toán này đề cập đến các toán tử bảotoàn trong không gian các ma trận hay toán tử Các bài toán bảo toàn có thể làbảo toàn một hàm, một tập con, một quan hệ Bài báo đầu tiên đề cập đến vấn

đề này xuất hiện năm 1897 Kể từ đó đến nay, rất nhiều những công trình ra đờinhằm trả lời cho loại câu hỏi này Hiện nay lĩnh vực này đang thu hút nhiều nhàtoán học quan tâm, nổi bật là Chi-Kwong Li và Stephen Pierce Vẫn đang còn rấtnhiều vấn đề mở cần nghiên cứu về bài toán bảo toàn tuyến tính, đặc biệt là bàitoán bảo toàn tuyến tính chỉ số quán tính Trong lớp bài toán này, bài toán bảotoàn chỉ số (n,0,0), tức bài toàn bảo toàn tính xác định dương hiện nay vẫn nằmngoài mọi cách tiếp cận

Trong phần này, ta giả sử T : Mat m×n(K) −→ Mat m×n(K) là một toán tửtuyến tính Trước hết, chúng ta sẽ đề cập đến ba vấn đề bảo toàn tuyến tính quantrọng

Bảo toàn tuyến tính hàm

Toán tử tuyến tính T gọi là bảo toàn hàm f : Mat m×n(K)−→ K nếu f(A) =

f(T(A)) với mọi A ∈ Mat m×n(K) Chẳng hạn khi f = det và Mat m×n(K) ≡ Mat n(K), ta có bài toán bảo toàn định thức

Bảo toàn tuyến tính tập con

Giả sử ξ là một tập con của Mat m×n(K) Toán tử tuyến tính T được gọi là bảo toàn tập ξ nếu T(ξ) ⊆ ξ Chẳng hạn khi Mat m×n(K) ≡ Mat n(C) và ξ là nhóm các ma trận unita U n , ta có bài toán bảo toàn nhóm U n

Bảo toàn tuyến tính một quan hệ hoặc quan hệ tương đương

Giả sử Φ là một quan hệ hay là một quan hệ tương đương trên Mat m×n(K)

Toán tử tuyến tính T gọi là bảo toàn quan hệ Φ nếu T(A)ΦT(B) khi AΦB hoặc

T(A)ΦT(B)khi và chỉ khi AΦB Chẳng hạn ở đây quan hệΦđược định nghĩa bởi

AΦB khi AB =BA.

Trong phần tiếp theo, ta tìm hiểu sơ lược một số dạng bài toán bảo toàn tuyếntính và các kết quả đã biết

2.2 Bảo toàn tuyến tính hạng của ma trận

Toán tử tuyến tính T được gọi là bảo toàn hạng k nếu với mọi ma trận A thuộc Mat m×n(K)sao cho rank(A) =k ta có rank(T(A)) =k Đối với bài toàn bảo toàn hạng 1, người ta đã giải quyết trên không gian Mat m×n(K), với K là trường đại sốđóng với đặc số bằng 0 Năm 1959, Marus và Moyls chứng minh được định lý sauĐịnh lý 2.2.1 [13] Giả sử T là một toán tử tuyến tính bảo toàn hạng 1 trên Mat n(C), khi đó tồn tại hai ma trận khả nghịch P và Q sao cho

nhiều kết quả thú vị Chẳng hạn xét trên không gian các ma trận Hermite cấp n

ta có kết quả sau

Định lý 2.2.2 [7] Xét T là toán tử tuyến tính trên H n bảo toàn hạng 1 Giả sử tồn tại một ma trận Hermite có ảnh là khả nghịch Khi đó tồn tại một ma trận khả nghịch S trên Mat n(C) và ε ∈ {−1,1} sao cho

T(A) =εSAS ∗ , ∀ A ∈ H n , hoặc

T(A) =εSA t S ∗ , ∀ A ∈ H n Bài toán bảo toàn hạng k đã được giải quyết trong trường hợp Mat n(C) Một

toán tử tuyến tính bảo toàn hạng k trên Mat n(C)sẽ có dạng (2.2.1) hoặc (2.2.2)

2.3 Bài toán bảo toàn định thức

Toán tử tuyến tính T trên Mat n(C)được gọi là bảo toàn định thức nếudet(A) =det(T(A)) với mọi ma trận A ∈ Mat n(C)

Bài toán bảo toàn định thức là bài toán được đề cập đầu tiên trong lĩnh vựcbảo toàn tuyến tính và đã được giải quyết triệt để vào năm 1897 bởi FerdinandGeorg Frobenius (1849 - 1917)

Định lý 2.3.1 [13] Giả sử T là một toán tử tuyến tính bảo toàn định thức trên Mat n(C), khi đó tồn tại hai ma trận nghịch đảo P và Q với det(P Q) = 1 sao cho

T(A) =P AQ, ∀ A ∈ Mat n(C), hoặc

T(A) =P A t Q, ∀ A ∈ Mat n(C).

Chúng ta thấy rằng dạng của toán tử tuyến tính bảo toàn định thức và bảo toànhạng 1trên Mat n(C)là hoàn toàn giống nhau Thực ra hoàn toàn có thể quy bàitoán bảo toàn định thức về bài toán bảo toàn hạng 1 Đối với bài toán bảo toàn

định thức, người ta còn quan tâm đến những toán tử T thỏa mãn

det(A+λB) = det(T(A) +λT(B)), ∀ A, B ∈ Mat n(C), ∀ λ ∈ C. (2.3.1)

Năm 2002, Dolinar và Semrl chỉ ra rằng nếu toán tử T toàn ánh và đồng thời thỏa mãn (2.3.1) thì T là tuyến tính Theo công trình mới của Wang Fei, có thể

bỏ đi giả thiết T toàn ánh.

Định lý 2.3.2 [7] Giả sử T : Mat n(C) −→ Mat n(C) là một toán tử xác định trên không gian Mat n(C) sao cho det(A+λB) = det(T(A)) +λT(B)) với mọi

A, B ∈ Mat n(C) và λ ∈ C Khi đó T là tuyến tính.

Bằng cách hạn chế không gian đang xét, người ta thu được một số kết quả kháthú vị Đây cũng là một hướng nghiên cứu đáng được quan tâm Chẳng hạn, xét

Un là không gian các ma trận tam giác trên cấp n, ta có

Định lý 2.3.3 [7] Giả sử T là một toán tử tuyến tính đi từ U n vào chính nó và

det(A+λB) =det(T(A) +λT(B)), ∀A, B ∈ U n , ∀ λ ∈ C.

Khi đó tồn tại một hoán vị σ của {1,2, · · · , n} và các số không âm c1, c2, · · · , c n với Qn i=1 c i = 1 sao cho với mỗi A ∈ U n ta có

[T(A)]ii =c i(A)σ(i)σ(i) , i= 1,2, · · · , n.

Đồng thời, người ta còn quan tâm đến việc mô tả những toán tử tuyến tính bảotoàn định thức và một tính chất khác nữa Chẳng hạn, người ta đã chỉ ra rằng nếu

toán tử tuyến tính T trên Mat n(C)bảo toàn định thức và vết thì T(A) =P AP −1

với mọi A ∈ Mat n(C) hoặc T(A) = P A t P −1 với mọi A ∈ Mat n(C), ở đây P là

Định nghĩa 2.4.1 Giả sử A ∈ Mat m×n(C)

1 Chuẩn phổ (spectral norm) của A, ký hiệu kAk2 được xác định bởi

Định lý 2.4.1 [14] Giả sử T là toán tử tuyến tính trên Mat n(C), khi đó các khẳng định sau đây là tương đương.

1 T bảo toàn chuẩn phổ.

2 T(U n) =U n

3 T bảo toàn chuẩn vết.

4 T ∗ biến tập các ma trận với giá trị kỳ dị 1,0, · · · ,0 thành chính nó.

ở đây x là vector cột và x ∗ là chuyển vị liên hợp của x.

2 Bán kính số học của A được xác định bởi đẳng thức

nếu và chỉ nếu tồn tại ma trận unita U ∈ Mat n(C) và ξ ∈ C với |ξ|= 1 sao cho

T(A) =ξUAU ∗ , ∀A ∈ Mat n(C)

hoặc

T(A) =ξUA t U ∗ , ∀A ∈ Mat n(C).

Định lý 2.5.2 [12] Toán tử tuyến tính T :H n −→ H n thỏa mãn điều kiện

r(T(A)) = r(A)∀A ∈ H n

nếu và chỉ nếu tồn tại ma trận unita U ∈ Mat n(C) và ξ ∈ {−1,1} sao cho

T(A) =ξUAU ∗ , ∀A ∈ H n hoặc

T(A) =ξUA t U ∗ , ∀A ∈ H n

Định lý 2.5.3 [12] Giả sử T : Mat n(C)−→ Mat n(C) là toán tử tuyến tính Khi

đó các khẳng định sau đây là tương đương

1 W(T(A)) =W(A), ∀A ∈ Mat n(C).

2 W(T(A)) =W(A), ∀ A ∈ H n

3 Tồn tại ma trận unita U ∈ Mat n(C) sao cho

T(A) =UAU ∗ , ∀A ∈ Mat n(C)

hoặc

T(A) =UA t U ∗ , ∀A ∈ Mat n(C).

2.6 Bài toán bảo toàn tuyến tính chỉ số quán tínhBài toán bảo toàn tuyến tính chỉ số quán tính là một bài toán quan trọng tronglĩnh vực bảo toàn tuyến tính Đây là một trong những mảng còn có nhiều vấn đềchưa được giải quyết Trong mục này, ta quan tâm đến không gian các ma trận

đối xứng trên trường số thực S n(R)và không gian các ma trận Hermite H n.Các ma trận đối xứng trên trường số thực và các ma trận Hermite luôn có cácgiá trị riêng thực, do đó ta có thể đưa ra định nghĩa sau

Định nghĩa 2.6.1 Ma trận A được gọi là có chỉ số quán tính(r, p, q) nếu A có r giá trị riêng dương, p giá trị riêng âm và q giá trị riêng bằng 0

Ký hiệu G(r, p, q)là tập các ma trận với chỉ số quán tính (r, p, q) Ta thấy ngay

G(n,0,0) = Pn Toán tử tuyến tính T được gọi là bảo toàn chỉ số (r, p, q)nếu

T(G(r, p, q)) ⊂ G(r, p, q). (2.6.1)Vấn đề bảo toàn tuyến tính chỉ số quán tính là một vấn đề khó và còn nhiều bàitoán mở Đặc biết hiện nay, người ta còn đang gặp nhiều khó khăn trong việc giảiquyết được bài toán trong trường hợp (n,0,0)

Kết quả quan trọng đầu tiên trong quá trình giải quyết bài toán bảo toàn tậpcác ma trận xác định dương được đưa ra vào năm 1965 bởi Schneider Tác giả đãhoàn toàn xác định được lớp các phép biến đổi tuyến tính biến tập tất cả các matrận nửa xác định dương thành chính nó

Định lý 2.6.1 [20] Cho T là phép biến đổi tuyến tính trên H n Nếu T(P n) =P n

Mở rộng kết quả của Schneider, trong [8], Johnson và Pierce đã xác định được

các toán tử tuyến tính biến tập G =G(k, n − k,0) vào chính nó Nếu k 6=n − k và

T là một toán tử tuyến tính trên Mat n(C)biến G thành chính nó thì T sẽ có dạng nêu trong Định lý 2.6.1, trong đó ma trận A được lấy trên không gian Mat n(C)

Trong trường hợp k =n − k thì T biến G thành chính nó nếu và chỉ nếu T có dạng

T(A) =εX ∗ AX, ∀A ∈ Mat n(C) (2.6.4)hoặc

T(A) =εX ∗ A t X, ∀A ∈ Mat n(C) (2.6.5)

với ε ∈ {−1,1}, X là một ma trận phức khả nghịch cấp n × n.

Tuy vậy ở đây, giả thiết T(G) = G là mạnh hơn rất nhiều so với (2.6.1) Tiếp

tục mở rộng kết quả này, trong [9] Johnson và Pierce tiếp tục xác định đượctất cả các toán tử tuyến tính không suy biến bảo toàn các lớp chỉ số quán tínhngoại trừ bốn trường hợp (n,0,0),(0, n,0),(0,0, n),(n

2.6.1 Nếu r = n − r thì T có dạng (2.6.4) hoặc (2.6.5), trong đó ma trận A được lấy trên không gian H n.

Không những thế, trong [9], vấn đề bảo toàn tuyến tính các lớp chỉ số(n−1,1,0)

và(k+1, k,0)đã được giải quyết triệt để Nếu(r, s, t)∈ {(n−1,1,0),(k+1, k,0)}

và T là toán tử tuyến tính trên H n bảo toàn chỉ số (r, s, t) thì T cũng sẽ có dạng

nêu trong Định lý 2.6.1

Phải đến năm 1988, Stephen Pierce và Leiba Rodman mới xác định được cáctoán tử tuyến tính không suy biến bảo toàn lớp chỉ số (n

2, n2,0).Định lý 2.6.2 [19] Giả sử n= 2k, k ∈ N, k ≥2 và T là toán tử tuyến tính không suy biến trên H n bảo toàn chỉ số (k, k,0) Khi đó T có dạng

T(A) =εX ∗ AX, ∀A ∈ H n hoặc

T(A) =εX ∗ A t X, ∀A ∈ H n với ε ∈ {−1,1}, X là một ma trận phức khả nghịch cấp n × n.

Định lý 2.6.3 [19] Giả sử D r,s :H2 −→ H2 được xác định bởi

Nếu T là toán tử tuyến tính không suy biến trên H2 bảo toàn chỉ số (1,1,0) thì T

là tích của các toán tử có dạng được đưa ra trong Định lý 2.6.2 và toán tử có dạng

D r,s với |r|, |s| ≥1.

2.7 Toán tử tuyến tính xác định dương

Bài toán bảo toàn tuyến tính chỉ số (n,0,0), tức bài toán bảo toàn tính xácđịnh dương có mối quan hệ chặt chẽ với lý thuyết về các toán tử tuyến tính xác

định dương Toán tử tuyến tính T : Mat n(K)−→ Mat m(K) được gọi là nửa xác

định dương (xác định dương) nếu T(A)≥0 (>0) khi A ≥0 (> 0) Dễ thấy toán

tử tuyến tính nửa xác định dương T là xác định dương khi T(I n)>0

Ví dụ 2.7.1 1 T(A) = trA là phiếm hàm tuyến tính nửa xác định dương.

2 T(A) = X ∗ AX với X ∈ Mat n×m(K) là toán tử tuyến tính nửa xác định

dương đi từ Mat n(K) đến Mat m(K)