Bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh THPT thông qua dạy giải bài toán hình học bằng phương pháp vecto

Mục tiêu của khoá luận Xây dựng quy trình tựa thuật giải theo các dạng bài toán để góp phần giảiquyết khó khăn và bỡ ngỡ của học sinh trong quá trình giải các bài toán hình họcbằng phươn

Mục Lục

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài khóa luận

2 Mục tiêu của khóa luận

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Giả thuyết khoa học

5 Phương pháp nghiên cứu

6 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

7 Cấu trúc của khóa luận

Chương I: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học

1.2 Tư duy thuật giải

1.2.1 Khái niệm tư duy

1.2.2 Khái niệm tư duy thuật giải

1.2.3 Quy trình thuật giải

1.3 Các hoạt động hình thành tư duy thuật giải

1.3.1 Các hoạt động hình thành tư duy thuật giải

1.3.2 Mối quan hệ giữa các tình huống diển hình trong dạy học toán

1.4 Vị trí vai trò của thuật giải trong chương trình Toán học ở phổ thông

1.4.1 Đối với bộ môn Toán học

1.4.2 Một số vấn đề thuật giải trong các lĩnh vực khác

1.5 Những định hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán nhằm phát triển tư duy thuật giải

Kết luận chương I

Chương II: BỒI DƯỠNG TƯ DUY THUẬT GIẢI THÔNG QUA DẠY GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ

2.1 Vị trí vectơ trong chương trình phổ thông

2.2 Cơ sở lý thuyết vectơ

2.2.1 Ưu điểm, hạn chế của việc sử dụng công cụ vectơ trong hoạt động giải toán

2.2.2 Không gian vectơ

2.2.3 Hệ các vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

2.2.4 Tích vô hướng của hai vectơ

2.2.5 Tích có hướng của hai vectơ

2.2.6 Tích hỗn tạp

2.3 Các dạng bài toán ứng dụng phương pháp vectơ

2.3.1 Dạng toán chứng minh

2.3.2 Các bài toán quỹ tích dựng hình

2.3.3 Các bài toán tính toán

2.3.4 Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị

2.4 Định hướng về phương pháp

2.5 Bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy giải một số dạng bài toán

2.5.1 Hệ thống các bài toán

2.5.2 Bồi dưỡng tư duy thuật giải thông qua dạy giải một số dạng bài toán

2.5.2.1 Dạng toán chứng minh

2.5.2.2 Các bài toán quỹ tích dựng hình

2.5.2.3 Các bài tập về tính toán

2.5.2.4 Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị

Kết luận chương II

Chương 3: THỬ NGHIỆM SƯ PHẠM

3.1 Mục đích thử nghiệm

3.2 Nội dung thử nghiệm

3.3 Tổ chức thử nghiệm

3.3.1 Chọn đối tượng thử nghiệm

3.3.2 Tiến hành thử nghiệm

3.3.3 Đánh giá kết quả thử nghiệm

3.3.4 Kết luận chung về thử nghiệm

KẾT LUẬN CHUNG

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHỤ LỤC

MỘT SỐ CỤM TỪ VIẾT TẮT

Chữ viết tắt Giải nghĩaTHPT

SVmpSLSGKSBTĐLTTPTTTĐCTN

Trung học phổ thôngDiện tích

Thể tíchMặt phẳng

Số lượngSách giáo khoaSách bài tậpĐộc lập tuyến tínhPhụ thuộc tuyến tínhĐối chứng

Thực nghiệm

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài khóa luận

Trong giai đoạn hiện nay, khi khoa học công nghệ có những bước tiến nhảyvọt, ngành giáo dục và đào tạo phải đổi mới phương pháp dạy học một cách mạnh

mẽ nhằm đào tạo những con người có đầy đủ phẩm chất như năng động, sáng tạo,

tự chủ, có tính tổ chức, tính kỷ luật và có ý thức suy nghĩ tìm giải pháp tối ưu khigiải quyết công việc

Nghị quyết hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ương Đảng cộng sảnViệt Nam (Khóa IV, 1993) chỉ rõ: “Mục tiêu giáo dục đào tạo phải hướng vào việcđào tạo những con người lao động tự chủ, sáng tạo, có năng lực giải quyết nhữngvấn đề thường gặp, qua đó góp phần tích cực thể hiện mục tiêu lớn của đất nước làdân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh”

Về phương pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấphành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) tiếp tục khẳngđịnh: “Phải đổi mới phương pháp đào tạo, khắc phục lối truyền đạt một chiều, rènluyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học Từng bước áp dụng những phươngpháp tiên tiến và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện vàthời gian tự học, tự nghiên cứu”

Điều 24 Luật giáo dục (2005) quy định: “Phương pháp giáo dục phổ thôngphải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, , bồidưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn,tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Muốn đạt được điều đó, một trong những việc cần thiết phải thực hiện trongquá trình dạy học là bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh

Tư duy thuật giải có vai trò quan trọng trong nhà trường phổ thông đặc biệttrong dạy học toán Trong thực tế giảng dạy những bài toán, những dạng toán cóthuật giải, có quy tắc giải, có sự phân chia thành các bước để giải thì học sinh dễtiếp thu lĩnh hội Thông qua các bước hoạt động, yêu cầu bài toán được giảm dầnphù hợp với khả năng của học sinh

Bồi dưỡng tư duy thuật giải trong các hoạt động giải toán, đặc biệt là trongquá trình dạy toán sẽ thúc đẩy sự phát triển các thao tác trí tuệ khác cho học sinhnhư: Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, tương tự hoá Hơn nữa còn hình

hoạt, tính độc lập, sáng tạo, Qua đó từng bước giúp học sinh thích nghi được yêucầu của xã hội, của đất nước đang trên con đường công nghiệp hoá, hiện đại hoá.Tuy nhiên ở trường phổ thông hiện nay, vấn đề bồi dưỡng và phát triển tư duythuật giải chưa được quan tâm đúng mức Do đó, giáo viên chưa khai thác tốt cáctình huống và các nội dung dạy học nhằm bồi dưỡng tư duy thuật giải cho họcsinh Khi giải toán, học sinh thường bộc lộ những sai sót về tri thức toán học như

về phương pháp suy luận, chứng minh trong hoạt động toán học, thuật giải hay quytrình tìm ra thuật giải

Qua thực tế dạy và học giải toán bằng phương pháp vectơ trong chươngtrình hình học lớp 10 và lớp 12 - THPT cho thấy học sinh có những khó khăn trongkhi vận dụng, nhiều khi dạy bài toán nếu giải bằng những phương pháp hình họcthông thường thì khá phức tạp Một phần vì lí do là các em chưa nắm rõ kiến thức

cơ bản, một phần vì học sinh chưa biết cách tư duy tìm ra thuật giải hay quy trìnhthuật giải để giải các bài toán, cụ thể là thuật giải các bài toán bằng phương phápvectơ

Vì vậy, trong nhà trường, việc bồi dưỡng và phát triển tư duy thuật giải chohọc sinh là việc làm cần thiết

Với những lí do trên nên chúng tôi lựa chọn đề tài nghiên cứu: “Bồi dưỡng

tư duy thuật giải cho học sinh THPT thông qua dạy giải bài toán hình học bằng phương pháp vectơ”.

2 Mục tiêu của khoá luận

Xây dựng quy trình tựa thuật giải theo các dạng bài toán để góp phần giảiquyết khó khăn và bỡ ngỡ của học sinh trong quá trình giải các bài toán hình họcbằng phương pháp vectơ nhằm bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận và tư duy thuật giải, quy trình tựa thuật giải

- Lựa chọn và hệ thống các dạng bài toán hình học giải bằng phương phápvectơ và xây dựng quy trình giải từng dạng bài toán đó Thông qua đó hình thànhphát triển và bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh

- Tiến hành thử nghiệm sư phạm để kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quảcủa khóa luận

4 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng một quy trình tựa thuật giải trong quá trình dạy giải bài toánhình học bằng phương pháp vectơ thì có thể nâng cao khả năng giải toán cho học

hướng giải khác nhau và góp phần phát triển, bồi dưỡng tư duy thuật giải cho họcsinh Qua đó nâng cao hiệu quả dạy học toán ở trường phổ thông.

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí thuyết dạy học môn toán,sách giáo khoa hình học lớp 10, lớp 12, sách giáo viên, các đề tài khoa học đã đượccông bố liên quan đến tư duy thuật giải và nội dung phương pháp vectơ trong hình học

- Phương pháp phân tích tổng hợp: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình

tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức một cách đầy đủ và khoa học

- Phương pháp điều tra quan sát: Dự giờ, trao đổi với một số giáo viên THPT

- Phương pháp thống kê: Thu thập các số liệu, xử lý và đánh giá số liệu

- Phương pháp thử nghiệm sư phạm: Soạn thảo một số giáo án mẫu theophương pháp giải bằng thuật giải, chuyển cho các giáo viên trực tiếp giảng dạymôn toán ở trường THPT nghiên cứu và so sánh với cách giảng dạy thông thường,cho ý kiến nhận xét để đưa ra kết luận sư phạm

6 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh THPT

- Phạm vi nghiên cứu: Dạy giải bài toán hình học bằng phương pháp vectơ

7 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục khóa luận bao gồm 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Bồi dưỡng tư duy thuật giải thông qua dạy giải bài toán hình họcbằng phương pháp vectơ

Chương 3 Thử nghiệm sư phạm

CHƯƠNG I

1.1 Quan điểm hoạt động trong phương pháp dạy học

Chúng ta biết rằng quá trình dạy học là một quá trình điều khiển hoạt độnggiao lưu của học sinh nhằm thực hiện những mục đích dạy học Còn học tập là mộtquá trình xử lý thông tin Quá trình này có các chức năng: đưa thông tin vào, ghinhớ thông tin, biến đổi thông tin, đưa thông tin ra và điều phối Học sinh thực hiệncác chức năng này bằng những hoạt động của mình Thông qua hoạt động thúc đẩy

sự phát triển về trí tuệ ở học sinh làm cho học sinh học tập một cách tự giác, tíchcực

Xuất phát từ một nội dung dạy học ta cần phát hiện những hoạt động liên hệvới nó rồi căn cứ vào mục đích dạy học mà lựa chọn để tập luyện cho học sinh một

số những hoạt động đã phát hiện Việc phân tích một hoạt động thành những hoạtđộng thành phần giúp ta tổ chức cho học sinh tiến hành những hoạt động với độphức hợp vừa sức

Việc tiến hành hoạt động nhiều khi đòi hỏi những tri thức nhất định, đặc biệt

là tri thức phương pháp Những tri thức này lại là kết quả của một quá trình hoạtđộng khác Trong hoạt động, kết quả rèn luyện được ở một mức độ nào đó có thểlại là tiền đề để tập luyện và đạt kết quả cao hơn Do đó cần phân bậc những hoạtđộng theo những mức độ khác nhau làm cơ sở cho việc chỉ đạo quá trình dạy học.Trên cơ sở việc phân tích trên về phương pháp dạy học theo quan điểm hoạt động

Đề tài được nghiên cứu trong khuôn khổ của lý luận dạy học, lấy quan điểm hoạtđộng làm nền tảng tâm lý học và những quan điểm về nhu cầu, định hướng trongđổi mới phương pháp dạy học Nội dung của quan điểm này được thể hiện mộtcách tóm tắt qua những tư tưởng chủ đạo sau (theo PGS - Tiến sĩ Vương DươngMinh):

* Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động tươngthích với nội dung và mục đích dạy học

* Hướng đích và gợi động cơ cho các hoạt động

* Truyền thụ tri thức, đặc biệt là những tri thức phương pháp, như phươngtiện và kết quả của hoạt động

* Phân bậc hoạt động làm căn cứ cho việc điều khiển quá trình dạy học

1.2 Tư duy thuật giải

1.2.1 Khái niệm về tư duy

Từ điển Tiếng Việt định nghĩa: “Tư duy là giai đoạn cao của quá trình nhậnthức, đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những hìnhthức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lý”.

Tư duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, nhữngmối quan hệ và liên hệ bên trong có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiệnthực khách quan

* Đặc điểm của tư duy:

+ Thứ nhất là tính “có vấn đề”, muốn kích thích được tư duy cần có hai điềukiện: Trước hết là phải gặp tình huống có vấn đề, tức là ở hoàn cảnh chứa đựngmục đích mới, cách thức mới mà những hiểu biết cũ không đủ khả năng giải quyết.Sau nữa vấn đề đó phải được cá nhân nhận thức đầy đủ và được chuyển thànhnhiệm vụ của cá nhân

+ Thứ hai là tính gián tiếp: Tư duy phát hiện được bản chất nhờ các phươngtiện, công cụ, kết quả nhận thức, kinh nghiệm của chủ thể được biểu thị qua ngônngữ

+ Ngoài ra ngôn ngữ còn mang tính khái quát (phản ánh những thuộc tínhchung, những mối quan hệ có tính quy luật của hàng loạt sự vật, hiện tượng), tínhtrừu tượng (thoát ly nội dung có tính chất đặc thù của sự vật và hiện tượng) Tưduy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống có vấn đề.Ngược lại tư duy và những kết quả của nó chi phối khả năng phản ánh của cảmgiác, tri giác, làm cho khả năng cảm giác của con người tinh vi, nhạy bén hơn, làmcho tri giác của con người mang tính lựa chọn, tính ý nghĩa

* Con người chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành cácthao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả của tư duy, vì vậy ngôn ngữ được xem như làphương tiện của tư duy

* Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận được biểuđạt bằng từ ngữ, câu,…, ký hiệu, công thức

* Các giai đoạn của tư duy: Tư duy là hoạt động trí tuệ với một quá trình baogồm 4 bước cơ bản:

+ Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy (tức là tìm đượccâu hỏi cần giải đáp)

+ Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết về cách giảiquyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi

+ Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng.

K.K Platonov đưa ra sơ đồ sau:

* Các thao tác tư duy: Có nhiều thao tác tư duy; phân tích, tổng hợp, sosánh, khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự hóa,….Theo G.Polya: “Khái quát hóa làchuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp đối tượng đã cho đến việc nghiên cứu mộttập lớn hơn, bao gồm cả tập hợp ban đầu” Như vậy có thể hiểu khái quát hóa làthao tác tư duy nhằm phát hiện những quy luật phổ biến của một lớp các đối tượnghoặc hiện tượng từ một hoặc một số các trường hợp riêng lẻ

Cũng theo G.Polya: “Đặc biệt hóa là chuyển từ việc nghiên cứu một tập hợp

đã cho sang việc nghiên cứu một tập hợp nhỏ hơn chứa trong tập hợp đó” Đặc biệthóa có thể hiểu là quá trình minh họa hoặc giải thích những khái niệm, định lý kháiquát bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể

G.Polya cho rằng: “Hai hệ là tương tự nếu chúng phù hợp với nhau trong cácmối quan hệ xác định rõ ràng giữa những bộ phận tương ứng” Cần chú ý rằng,cùng hai yếu tố hoặc hai đối tượng có thể xác lập được những sự tương tự khácnhau tùy thuộc vào vấn đề chúng ta cần nghiên cứu

Thuật giải theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ

dẫn thực hiện được một cách đơn trị, kết thúc sau một số hữu hạn bước và đem lạikết quả là biến đổi thông tin vào (INPUT) của một lớp bài toán thành thông tin ra(OUTPUT) mô tả lời giải của lớp bài toán đó

Đây chưa là một định nghĩa chính xác mà chỉ là một cách phát biểu, giúp tahình dung khái niệm thuật giải một cách trực giác

* Tính chất của thuật giải

- Tính đơn trị: Tính đơn trị đòi hỏi các thao tác trong thuật giải phải đơn trị,nghĩa là những lần thực hiện cùng một thao tác trên cùng một đối tượng phải chocùng một kết quả Nói một cách tổng quát, thuật giải cho phép thực hiện đúng cácthao tác, theo đúng trình tự thì được kết quả hoàn toàn xác định duy nhất Tínhchất này cho phép tự động hóa thuật giải khi lập trình cho thiết bị giải quyết bàitoán

Ví dụ: Thuật giải phương trình bậc hai ax2 bx c 0 a0

- Tính dừng: Tính dừng đòi hỏi thuật giải phải có hữu hạn bước thực hiện đểđược kết quả như mong muốn (khi mô tả thuật giải, có thể có các bước vẫn chưaxác định, nhưng khi thực hiện không được lặp lại mãi)

Ví dụ: Thuật toán Euclide tìm ước số chung lớn nhất của hai số A và B.

Quy trình giải:

+ Bước 1: Phân tích hai số A, B thành tích các thừa số nguyên tố.

+ Bước 2: Tìm thừa số nhỏ nhất của số thứ nhất

+ Bước 3: Kiểm tra trong số thứ hai có thừa số nào bằng thừa số nhỏ nhấtcủa số thứ nhất không Nếu có thì sang bước 4, nếu không thì sang bước 5

+ Bước 4: Viết riêng thừa số đó

 Xóa thừa số đó trong cả hai số

+ Bước 5: Xóa thừa số nhỏ nhất khỏi số thứ nhất

+ Bước 6: Kiểm tra trong số thứ nhất có còn lại thừa số nào chưa xóa không.Nếu có thì trở lại Bước 2  Bước 3  Bước 4  Bước 5  Bước 6 Nếu

+ Bước 7: Nhân tất cả các thừa số đã viết riêng Tích đó là ước chung lớn

nhất của hai số A và B.

- Tính đúng đắn: Thuật giải phải đúng đắn không được phép cho kết quả saihay không đầy đủ, tức là phải giải quyết được đúng đắn vấn đề đã đặt ra, là đượcđúng công việc mà ta mong muốn

Ví dụ: Tính diện tích tam giác ABC theo 3 cạnh của nó.

+ Bước 1: Đưa vào 3 số thực dương a, b, c ứng với 3 cạnh của tam giác.

+ Bước 2: Tính giá trị của biểu thức

2

a b c

P   + Bước 3: Tính giá trị của biểu thức S  p p a p b p c        

+ Bước 4: Diện tích tam giác có 3 cạnh a, b, c là S.

+ Bước 5: Kết thúc

Quy tắc nêu ở trên đã vi phạm tính đúng đắn vì 3 số thực dương bất kỳkhông phải bao giờ cũng biểu thị số đo 3 cạnh của tam giác Theo cách này thì vớimọi a, b, c là những số thực dương thì ta luôn tính được diện tích tam giác

Đây là thuật giải tính giá trị biểu thức S, chứ không phải là thuật giải tính

diện tích của tam giác theo 3 cạnh như ta mong muốn Để nó trở thành thuật giải

như đã định ta phải bổ sung thêm thao tác kiểm tra điều kiện a, b, c biểu thị số đo 3

cạnh của tam giác

- Tính phổ dụng: Thuật giải phải áp dụng được cho một lớp các bài toán chứkhông phải cho một bài riêng lẻ Nói cách khác, tất cả các bài toán cùng loại, cùngkiểu phải được giải bởi thuật giải

Ví dụ: Thuật giải phương trình bậc nhất ax b 0, phương trình bậc hai

ax bx c  a ,

- Tính hiệu quả: Thuật giải cho kết quả tối ưu, cụ thể là:

 Thực hiện nhanh, tốn ít thời gian

 Tốn ít thiết bị trung gian

 Đáp ứng nhu cầu thực tiễn

b Tư duy thuật giải

Tư duy toán học là hình thức biểu lộ của tư duy biện chứng trong quá trình conngười nhận thức khoa học toán học hay thông qua hình thức áp dụng toán học vàocác khoa học khác Như vậy, tư duy toán học là tư duy biện chứng

Tư duy thuật giải là một loại hình thức tư duy toán học Nó là phương thức

tư duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động sau:

T1: Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với mộtthuật giải

T2: Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo nhữngtrình tự xác định

T3: Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thànhmột quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng

T4: Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động

T5: Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết bài toán

Trong đó, (T1) thể hiện năng lực thực hiện thuật giải, (T2 - T5 ) thể hiện nănglực xây dựng thuật giải

Giáo viên trong quá trình dạy học cần phải có ý thức thông qua việc dạy họccác quy tắc mà rèn luyện cho học sinh một loại hình tư duy quan trọng đó là thuậtgiải

1.2.3 Quy trình thuật giải (quy tắc tựa thuật giải)

Trong quá trình dạy học, ta cũng thường gặp một số quy tắc tuy chưa mang

đủ các đặc điểm đặc trưng cho thuật giải nhưng có một số trong các đặc điểm khác

và đã tỏ ra có hiệu lực trong việc chỉ dẫn hành động và giải toán Đó là những quytắc tựa thuật giải được hiểu như một dãy hữu hạn những chỉ dẫn thực hiện đượctheo một trình tự xác định nhằm biến đổi thông tin vào của một lớp bài toán thànhthông tin ra mô tả lời giải của lớp bài toán đó

Ví dụ: Theo quy trình 4 bước của G.Polya để tìm ra lời giải của một bài toán

+ Bước 1: Tìm hiểu đề toán

+ Bước 2: Xây dựng chương trình giải

+ Bước 3: Thực hiện chương trình giải

+ Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Mỗi quy trình có thể chia thành các bước, mỗi bước là một hoạt động nhằmmột mục đích nhất định Một hoạt động có nhiều thao tác như hoạt động tìm hiểunội dung đề toán có thao tác sau: Vẽ hình, chọn kí hiệu, phân tích giả thiết, kếtluận bài toán,…

Quy trình 4 bước của G.Polya được mỗi người vận dụng theo một cách khácnhau và đạt được mức độ thành công khác nhau, nên đây chưa phải là một thuật giải

+ Kết quả thực hiện mỗi chỉ dẫn có thể không đơn trị.

+ Quy tắc không bảo đảm chắc chắn rằng sau một số hữu hạn bước thì đemlại kết quả là lời giải của lớp bài toán

Mặc dầu có một số hạn chế nói trên so với thuật giải, quy tắc tựa thuật giảicũng vẫn là những tri thức phương pháp có ích cho quá trình hoạt động và giải toán

Sau đây ta đưa ra một ví dụ minh họa về quy tắc tựa thật giải để thấy được

sự phân biệt giữa quy tắc tựa thuật giải với thuật giải

Ví dụ: Quy tắc tìm đạo hàm của một hàm số y f x 

+ Bước 1: Cho x số gia x, tính  y f x  x f x 

+ Bước 2: Lập tỉ số y

x



 + Bước 3: Tìm

0

x

y lim x

 



 Giới hạn (nếu có) của hàm số trên là đạo hàm của hàm số tại x

Bước 3 không mô tả một cách xác định việc tìm

0

x

y lim x

 



 Vì vậy, có nhữnghọc sinh tuy áp dụng quy tắc nêu trong ví dụ này nhưng vẫn không tính được đạohàm của một hàm số cụ thể nào đó, mặc dầu đạo hàm này tồn tại

Quy trình thuật giải là quy trình gồm một số hữu hạn các hoạt động có mụcđích rõ ràng, cụ thể, được sắp xếp theo một trình tự nhất định, nhằm đi đến kết quả

là giải được một loại công việc nào đó theo đúng yêu cầu đã định

Ví dụ: Giải phương trình bậc hai ax2 bx c 0 a0

+ Bước 1: Xác định a, b, c.

+ Bước 2: Tính  b2  4ac

+ Bước 3:  Nếu  0 thì phương trình vô nghiệm

 Nếu  0 thì phương trình có nghiệm kép: 1 2

 Nếu  0 thì chuyển sang bước 4

+ Bước 4: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt là

+ Mỗi bước là một hoạt động nhằm một mục đích cụ thể, có bước là mộtthao tác sơ cấp, có bước chỉ là gợi ý định hướng suy nghĩ hoặc là hướng dẫn thaotác được lựa chọn trong một số hữu hạn trường hợp.

+ Sau khi thực hiện xong tất cả các bước thì đi đến kết quả Quy trình thuậtgiải được thể hiện dưới nhiều hình thức như: Ngôn ngữ tự nhiên, ngôn ngữ phỏngtrình, ngôn ngữ lập trình,

Ví dụ: Giải phương trình bậc hai ax2 bx c 0 a0

 Dạng 1: Ngôn ngữ tự nhiên (Trình bày ở trên)

 Dạng 2: Sơ đồ khối

Có nghiệm kép Vô nghiệm

 Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1.3 Các hoạt động hình thành và bồi dưỡng tư duy thuật giải

1.3.1 Các hoạt động hình thành và bồi dưỡng tư duy thuật giải

Tư duy thuật giải là một loại hình thức tư duy toán học Nó là phương thức

tư duy biểu thị khả năng tiến hành các hoạt động sau:

a Thực hiện những thao tác theo một trình tự xác định phù hợp với mộtthuật giải cho trước, hay chính là thực hiện thuật giải theo quy tắc tựa thuật giải đãbiết

b Phân tích một quá trình thành những thao tác được thực hiện theo nhữngtrình tự xác định

c Khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻ thànhmột quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng

d Mô tả chính xác quá trình tiến hành một hoạt động

e Phát hiện thuật giải tối ưu để giải quyết bài toán

Thành phần đầu thể hiện khả năng thực hiện thuật giải có sẵn

Bốn thành phần sau thể hiện khả năng xây dựng thuật giải mới Các thànhphần này có thể được phát biểu vắn tắt như sau:

a Thực hiện thuật giải đã biết

b Phân tách hoạt động

c Tường minh hóa thuật giải

d Khái quát hóa hoạt động

e Chọn con đường tối ưu

Trong đó, (a) thể hiện năng lực thực hiện thuật giải, (b- e) thể hiện năng lựcxây dựng thuật giải

1.3.2 Mối quan hệ giữa các tình huống điển hình trong dạy học toán với việc và bồi dưỡng và phát triển tư duy thuật giải

Rèn luyện tri thức, rèn luyện kỹ năng, phát triển tư duy cho học sinh đó lànhững nhiệm vụ chủ yếu trong dạy học Toán Nếu chia tri thức thành hai dạng:

+ Tri thức thực vật (trong Toán học thường là những khái niệm, định lí…).+ Tri thức phương pháp: Những phương pháp có tính thuật toán (thuật giải),những phương pháp có tính tìm đoán…

Thì trong dạy học Toán cần coi trọng đúng mức cả hai dạng tri thức đó, tạo

cơ sở cho việc giáo dục toàn diện Tuy nhiên cần hiểu rằng tri thức phương phápảnh hưởng trực tiếp đến rèn luyện kỹ năng, tri thức phương pháp (nổi bật làphương pháp có tính thuật giải) đóng vai trò đặc biệt quan trọng vì chúng là cơ sởđịnh hướng trực tiếp cho mọi hoạt động

Trong dạy học môn Toán có các tình huống điển hình sau:

+ Dạy học khái niệm

+ Dạy học định lí

+ Dạy học giải bài tập

Mặc dù mỗi tình huống có những đặc điểm khác nhau nhưng thực ra khônghoàn toàn độc lập với nhau, mà chúng có liên quan mật thiết với nhau, hỗ trợ nhautrong quá trình dạy học

* Phát triển tư duy thuật giải trong khi dạy học khái niệm: Để nhận dạng và thểhiện khái niệm ta có thể hướng dẫn học sinh vận dụng tư duy thuật giải

- Trong trường hợp các dấu hiệu đặc trưng của khái niệm có cấu trúc hội củanhiều thuộc tính, các phản ví dụ thường được xây dựng khi có một thành phầntrong cấu trúc hội không được thỏa mãn và do đó đối tượng đang xét không thuộcvào khái niệm

Ví dụ: Dạy khái niệm cấp số cộng (Đại số và giải tích 11)

“Một cấp số cộng là một dãy số, trong đó mỗi số hạng đứng sau bằng số

hạng đứng trước nó cộng với một số d không đổi” (d là công sai của cấp số cộng).

+ Ta có thể hướng dẫn học sinh như sau:

+ Để xây dựng một cấp số cộng ta làm các bước:

 Bước 1: Chọn một số làm số hạng đầu tiên u 1

 Bước 2: Chọn một số (khác không) làm công sai

 Bước 3: Viết dãy số: u u1, 1d u, 12 ,d u13 , d

Dãy số đó là một cấp số cộng

* Phát triển tư duy thuật giải trong dạy học các định lí.

Theo GS.TSKH Nguyễn Bá Kim “Dạy học các định lí toán học nhằm đạtđược các yêu cầu sau đây:

- Học sinh nắm được hệ thống định lí và những mối liên hệ giữa chúng, từ

đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán, cũng như giải quyếtnhững vấn đề trong thực tiễn…”

Ví dụ: Khi dạy định lí dấu tam thức bậc hai, ta thường hướng dẫn học sinhxét dấu f x  ax2 bx c a  0 theo quy tắc thuật giải như sau:

+ Bước 1: Xác định hệ số a, b, c và dấu của hệ số a

* Phát triển tư duy thuật giải trong dạy học giải các bài toán

Giải toán là một hoạt động chủ yếu của hoạt động toán học, thông qua dạyhọc giải các bài toán sẽ giúp học sinh nắm vững tri thức, rèn luyện kỹ năng kỹ xảo,phát triển năng lực tư duy, năng lực ứng dụng toán học vào thực tiễn Không có

dạy học giải các bài toán cụ thể mà dần dần truyền cho học sinh những kinhnghiệm để tiến tới nghệ thuật trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải các bài toán

Ví dụ: Hướng dẫn giải bài toán sau:

Cho hình chóp S.ABC, các cạnh bên đều bằng a và cùng tạo với đáy một góc

, đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh AB bằng a Tính thể tích V của

hình chóp đó

+ Phân tích: Sau khi đã xác định chân đường cao H của hình chóp là trung điểm của cạnh BC, hướng dẫn học sinh phân tích:

 Muốn tính V ta phải tính diện tích đáy SABC và SH

 Muốn tính SH ta phải giải tam giác SHB.

 Muốn tính SABC ta phải tính AC.

 Muốn tính AC ta phải tính BC.

 Muốn tính BC ta phải tính HB.

 Muốn tính HB ta phải giải tam giác SHB.

+ Từ sự phân tích trên ta có thuật giải tính thể tích V.

 Bước 1: Giải tam giác SHB để tính SH và HB.

1.4.1 Đối với bộ môn Toán học

Trong chương trình Toán học nói chung, chương trình toán học ở bậc THPTnói riêng thuật giải có vai trò rất quan trọng Không chỉ các nhà nghiên cứu, cácgiáo viên giảng dạy mà các em học sinh đều quan tâm và tìm hiểu về vấn đề này.Thuật giải gúp các em phát triển năng lực trí tuệ, kỹ năng, kỹ xảo Giúp các em cómột cái nhìn khái quát hơn về cách giải bài toán Thuật giải gúp các em địnhhướng được quy trình giải bài tập và qua đó tạo niềm tin cho các em về việc tìm rakết quả của bài toán Quy trình thuật giải hay tựa tuật giải sẽ giúp các em tư duyngắn gọn, logic, chính xác trong khi giải toán

Đối với bộ môn toán thuật giải được sử dụng rất nhiều như môn đại số, mônhình học, môn giải tích, , nhất là trong môn hình học thuật giải được áp dụng đểxây dựng quy trình giải một lớp các bài toán với một phương pháp xác định Tùy

vào từng dạng bài tập mà ta dựa vào các kiến thức có liên quan để xây dựng thuậtgiải phù hợp thuận tiện cho người tham gia giải bài toán và người đọc

Ví dụ: Thuật giải phương trình bậc nhất ax b 0; với a b , :

- Bước 1: Chuyển b sang vế phải và đổi dấu: axb

- Bước 2: Nếu a 0 thì: 0xb

 Nếu b  0 Kết luận: Phương trình vô số nghiệm

 Nếu b  0 Kết luận: Phương trình vô nghiệm

 Nếu a 0 thì sang bước 3

- Bước 3: Chia cả hai vế cho a, ta được x b

Ví dụ: Quy trình xác định giao tuyến qua hai điểm chung của hai mặt phẳng:

- Bước 1: Tìm điểm chung sẵn có của hai mặt phẳng đã cho

Điểm chung sẵn có của hai mặt phẳng đã cho thường được biểu hiện bởi cáctrường hợp sau:

+ Là điểm đã cho của hai mặt phẳng

+ Là điểm của mặt phẳng này lại thuộc một đường thẳng của mặtphẳng kia

+ Là điểm của mặt phẳng này, thuộc mặt phẳng kia

- Bước 2: Tìm hai đường thẳng của hai mặt phẳng đã cho, cùng thuộc mặtphẳng thứ ba

- Bước 3: Xác định giao điểm của hai đường thẳng đã tìm được ở bước 2 đểđược một điểm chung

- Bước 4: Xác định đường thẳng qua hai điểm chung tìm được để tìm giaotuyến của hai mặt phẳng đã cho

Ta có quy trình cách vẽ đồ thị (C’) như sau:

- Bước 1: Giữ nguyên phần đồ thị của (C) thuộc nửa mặt phẳng phía trên

giới hạn bởi Ox

- Bước 2: Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị của (C) thuộc nửa mặt phẳng phía

dưới giới hạn bởi Ox

- Bước 3: Kết luận: Đồ thị (C’) bao gồm phần đồ thị của (C) được giữ nguyên và phần đồ thị của (C) đã được lấy đối xứng qua Ox

Qua những ví dụ trên cho ta thấy vị trí, vai trò to lớn của bộ môn Toán trongviệc phát triển tư duy thuật giải của học sinh Nếu biết khai thác một cách đúngđắn thì sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy học Toán trong nhà trường phổ thông

1.4.2 Một số vấn đề thuật giải trong các lĩnh vực khác

* Trong cuộc sống hằng ngày nhiều hoạt động mang tính chất thuật giải như

- Xây dựng một ngôi nhà

- Điều khiển xe máy, ôtô

- Cách lắp ráp một chiếc laptop,…

Vậy, phát triển tư duy thuật giải trong nhà trường phổ thông là rất cần thiết, vì:

- Tư duy thuật giải giúp học sinh hình dung được việc tự động hóa trongnhững lĩnh vực hoạt động khác nhau của con người, góp phần khắc phục sự ngăncách giữa nhà trường và xã hội tự động hóa Nó giúp học sinh thấy được nền tảngcủa việc tự động hóa, cụ thể là nhận thức rõ đặc tính hình thức, thuần túy máy móccủa quá trình thực hiện thuật giải, đó là cơ sở cho việc chuyển giao một số chứcnăng của con người cho máy thực hiện

- Tư duy thuật giải giúp học sinh làm quen với cách làm việc trong khi giảibài toán bằng máy tính điện tử Thật vậy, thiết kế thuật giải là một khâu rất cơ bảncủa việc lập trình tư duy thuật giải tạo điều kiện cho học sinh thực hiện tốt khâu đó

- Tư duy thuật giải giúp học sinh học tập tốt những môn học ở nhà trườngphổ thông, rõ nét nhất là môn Toán Nó tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh lĩnhhội kiến thức và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo khi học các phép tính trên những tậphợp số, giải phương trình bậc nhất, bậc hai v.v…

- Tiến hành các hoạt động tư duy thuật giải có thể dẫn đến hình thành trithức phương pháp để giải quyết một số vấn đề, góp phần hình thành năng lực giảiquyết vấn đề ở học sinh trong học tập cũng như ngoài cuộc sống

- Tư duy thuật giải cũng góp phần phát triển những năng lực trí tuệ chungnhư phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, và hình thành những phẩm chất của người

Như vậy việc phát triển tư duy thuật giải trong môn Toán nhằm góp phầnnâng cao chất lượng dạy học môn Toán một cách toàn diện.

1.5 Những định hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán nhằm bồi dưỡng

và phát triển tư duy thuật giải

* Định hướng 1: Thông qua dạy học các quy tắc, phương pháp toán học để hình

thành khái niệm thuật giải và bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh và được thểhiện qua các cấp học và các môn học

* Định hướng 2: Phân tích các hoạt động tương thích trên một nội dung toán học

để có thể mô tả, sắp xếp các hoạt động theo một trình tự xác định thuật giải hay tựathuật giải

Theo GS.TSKH Nguyễn Bá Kim, tư duy thuật giải liên hệ chặt chẽ với kháiniệm thuật giải, nó được thể hiện ở những khả năng và đó cũng là các hoạt độnghình thành tư duy thuật giải (5 hoạt động)

Nếu k 0 thì chuyển sang bước 4

 Bước 4: Thay tọa độ điểm M x y z vào 0 0; ;0 0  P :

Nếu điểm M x y z thỏa mãn phương trình mặt phẳng 0 0; ;0 0  P  d

nằm trong  P

Nếu điểm M x y z không thỏa mãn phương trình mặt phẳng0 0; ;0 0

 P  d song song với  P

+ Quy trình 2:

 Bước 1: Viết phương trình đường thẳng dưới dạng tham số:

0 0 0

 Bước 3: Nếu phương trình trên vô nghiệm thì d không cắt  P

Nếu phương trình trên vô số nghiệm thì d ( )P Nếu phương trình trên có một nghiệm t n

Trong trường hợp chỉ cần xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt

phẳng  P thì ta chọn quy trình 1, còn nếu phải tìm tọa độ giao điểm A (nếu có) của (d) và mặt phẳng  P thì ta chọn quy trình 2 Ví dụ trên đã rèn luyện cho học

sinh khả năng khái quát hóa một quá trình diễn ra trên một số đối tượng riêng lẻthành một quá trình diễn ra trên một lớp đối tượng và phát hiện thuật giải tối ưu đểgiải quyết bài toán

* Định hướng 3: Tập luyện cho học sinh rèn luyện những thao tác theo một trình tự

xác định phù hợp với thuật giải cho trước Có thể phát biểu một số quy tắc toánhọc thành những thuật giải dưới dạng ngôn ngữ tự nhiên, sơ đồ khối, ngôn ngữphỏng trình,…

KẾT LUẬN CHƯƠNG I

Thuật giải là một trong những vấn đề quan trọng nhất của Toán học Tư duythuật giải được thể hiện qua các cấp học, các môn học của bộ môn Toán Thuậtgiải liên hệ chặt chẽ với các tình huống dạy học điển hình như: Dạy học khái niệm,dạy học định lí, dạy học giải bài tập, chúng hỗ trợ nhau trong quá trình dạy học Tưduy thuật giải có vị trí và vai trò quan trọng rất lớn trong nhà trường phổ thông vàtrong cuộc sống hằng ngày, đặc biệt là trong Toán học

Việc bồi dưỡng và phát triển tư duy thuật giải thông qua dạy giải các bàitoán là phương pháp hiệu quả hơn cả nhằm vào việc nâng cao chất lượng đào tạocủa nhà trường phổ thông

CHƯƠNG II BỒI DƯỠNG TƯ DUY THUẬT GIẢI THÔNG QUA DẠY GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC BẰNG PHƯƠNG PHÁP VECTƠ

2.1 Vị trí vectơ trong chương trình phổ thông

Phương pháp vectơ là một trong những phương pháp cơ bản của Toán học.Phương pháp này không những cung cấp cho học sinh công cụ mới nhất để nghiêncứu hình học mà còn mang tính chất hiện đại hơn, có nhiều ưu điểm so với phươngpháp truyền thống Vì vậy chương trình cải cách giáo dục đã đưa phương phápvectơ vào dạy trong chương trình hình học ở phổ thông

* Phương pháp vectơ giữ vai trò quan trọng trong chương trình phổ thông

- Phương pháp vectơ giúp học sinh tiếp cận những kiến thức Toán học phổthông một cách gọn gàng, mạch lạc như những bài toán hình học không gian

- Phương pháp vectơ là một phương pháp giải toán có hiệu quả một cáchnhanh chóng, tổng quát mà đôi khi không cần phải vẽ hình Mặt khác chúng có tácdụng tích cực phát triển tư duy trừu tượng, năng lực phân tích tổng hợp,…

- Phương pháp vectơ trang bị những công cụ giải toán để xây dựng lý thuyếthình học chặt chẽ cho tinh thần toán học hiện đại, đồng thời trình bày được cáchđại số hóa hình học và hình học hóa đại số

- Phương pháp vectơ giúp hình thành năng lực giải toán cho học sinh, tạokhả năng cho học sinh làm quen với những phép toán trên các đối tượng khôngphải là các số nhưng lại có những tính chất tương tự Từ đó sẽ dẫn đến sự hiểu biết

về tính thống nhất của toán học, về cú pháp toán đại số, các cấu trúc đại số

- Phương pháp vectơ tạo điều kiện thực hiện mối quan hệ giữa môn toán vàmột số môn học khác trong chương trình phổ thông

* Nội dung chương trình vectơ phổ thông

- Chương trình vectơ trong phẳng bao gồm những nội dung sau:

+ Đại cương về vectơ: Khái niệm vectơ, vectơ bằng nhau, vectơ không.+ Các phép toán trên vectơ: Phép cộng, trừ hai vectơ, tích vectơ với một sốthực, tích vô hướng của hai vectơ

Trong đó các phép toán trên được trình bày theo thứ tự như sau:

 Định nghĩa phép toán

 Các tính chất

+ Sử dụng phương pháp vectơ thường phải thoát ly khỏi hình ảnh trực quan,hình vẽ nên khó tưởng tượng.

+ Việc chuyển đổi ngôn ngữ các bài toán từ ngôn ngữ hình học thôngthường sang ngôn ngữ vectơ và ngược lại

+ Việc lựa chọn công cụ giải toán

2.2 Cơ sở lý thuyết vectơ

2.2.1 Ưu điểm, hạn chế của việc sử dụng công cụ vectơ trong hoạt động giải toán

a Ưu điểm.

Việc sử dụng công cụ vectơ để giải toán cung cấp cho học sinh phương phápgiải toán phong phú đa dạng Cùng một quan hệ giữa các hình hình học, cùng mộttính chất hình học, nếu phát biểu dưới dạng ngôn ngữ thông thường thì chỉ có mộtvài cách phát biểu Nhưng bằng phương pháp vectơ thì có thể phát biểu dưới nhiều

dạng, do đó học sinh có nhiều hướng suy nghĩ và giải quyết Chẳng hạn “H là trực tâm của tam giác ABC” nếu phát biểu dưới dạng ngôn ngữ vectơ thì nó tương

đương với một trong ba cách phát biểu sau:

+           HA HB HB HC HC HA                                   

+ OH OA OB OC  

(O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC)

+ HA tanA HB tanB HC tanC 0

Hơn nữa từ ngôn ngữ vectơ ta có thể xây dựng phương pháp tọa độ một cáchchặt chẽ và là công cụ đắc lực để giải quyết nhiều bài toán thậm chí cả những bài

toán đại số, lượng giác Điều này giúp cho học sinh hiểu biết về tính thống nhấtcủa bài toán.

Ví dụ 1: Chứng minh công thức cosa b  cos cosa bsin sina b

Lời giải: Trên vòng tròn lượng giác ta thấy:

- Góc giữa hai vectơ OA và OM là a

- Góc giữa hai vectơ ON và OM là a b

- Góc giữa hai vectơ OA và ON là b

- Tọa độ của vectơ OM là cosb và sinb

- Tọa độ của vectơ ON là cosa và sina

Ta có OM ON OM ON .cosa b  cosa b   1

   

Theo biểu thức tọa độ ta có: OM ON cos cosa bsin sina b  2

 

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 2 : Nhận dạng tam giác ABC biết rằng :

Vậy tam giác ABC đều.

Mặt khác việc dùng phương pháp vectơ để giải toán đã chỉ ra cho học sinhkhả năng áp dụng phương pháp với cả một lớp đối tượng rộng rãi Phương phápvectơ chặt chẽ, không dùng các thủ thuật đặc biệt, khi giải toán nhiều khi khôngphải dùng đến hình vẽ nên có thể tránh được những sai lầm do trực giác

Về mặt tư duy, giải toán bằng phương pháp vectơ có tác dụng tích cực pháttriển tư duy trừu tượng, năng lực phân tích, tổng hợp, tư duy thuật toán Việc giảitoán bằng phương pháp vectơ phải sử dụng các phép toán trên những đối tượngkhông phải là số nhưng lại có các tính chất tương tự giúp học sinh thấy được mốiliên hệ sâu sắc giữa các tập hợp gồm các phần tử khác nhau Từ đó học sinh sẽphát triển các phẩm chất trí tuệ như năng lực khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự

M A N

B

O

hóa, tìm được cái chung nhất, cái quy luật giữa những cái khác nhau, giữa nhữngcái hỗn độn.

Về mặt kỹ năng, qua việc giải toán bằng phương pháp vectơ, học sinh rènluyện được kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ thông thường trong bài toán sang ngônngữ vectơ và ngược lại, phát biểu một vấn đề dưới nhiều ngôn ngữ khác nhau, rènluyện khả năng chính xác trong khi giải toán, gọn gàng và sáng sủa

Mặt khác qua giải toán bằng phương pháp vectơ học sinh còn được rènluyện kĩ năng áp dụng kiến thức đã học vào thực tế, kéo gần lí thuyết và thực tiễn,thu hẹp khoảng cách giữa các môn học trong nhà trường Điều này cũng cho thấyđược cơ sở thực tiễn của toán học, hiểu được quá trình phát sinh, phát triển củatoán học Kỹ năng giải bài tập toán, đặc biệt giải toán bằng phương pháp vectơ baogồm một hệ thống các thao tác trí tuệ và thực hành để vận dụng tri thức (kiến thức,phương pháp) vào việc giải các bài tập khác nhau đạt được một số yêu cầu của chủ

đề bài tập về vectơ ở chương trình phổ thông

b Hạn chế.

Phương pháp vectơ có nhiều thuận lợi trong việc giải các bài tập hình học.Tuy vậy khi sử dụng phương pháp này học sinh vẫn gặp phải một số khó khăn, vàkhông tránh khỏi những sai lầm trong khi giải toán hình học

- Khó khăn thứ nhất mà học sinh gặp phải đó là lần đầu tiên quen với kháiniệm mới là vectơ, các phép toán trên vectơ Các phép toán trên vectơ lại có nhiềutính chất tương tự như phép toán trên các số Vì vậy học sinh chưa hiểu rõ bản chấtcủa các khái niệm và các phép toán nên dễ ngộ nhận, mắc sai lầm trong khi sửdụng phương pháp vectơ

Ví dụ : Cho tam giác ABC với AB3, AC5,BC 7 Tính  AB AC , tính

góc giữa hai đường thẳng AB, AC.

Có học sinh giải bài toán này như sau:

  1   0

2

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và AC là 1200

Trong cả hai lời giải trên học sinh đều giải sai do học sinh chưa nắm vữngcác kiến thức về vectơ, độ dài của vectơ và tích vô hướng của hai vectơ Đặc biệt

có sự nhầm lẫn về cách xác định góc giữa hai vectơ và góc giữa hai đường thẳng.Vậy lời giải đúng phải như sau:

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và AC là 600

- Khó khăn thứ hai khi sử dụng phương pháp vectơ là do thoát ly khỏi hìnhảnh trực quan, hình vẽ nên khó tưởng tượng, hiểu bài toán một cách hình thức,không hiểu hết ý nghĩa hình học của bài toán Vì học sinh có thói quen giải bàitoán hình học là phải vẽ hình nên khi sử dụng phương pháp vectơ để giải một sốbài tập không sử dụng hình vẽ học sinh sẽ gặp nhiều khó khăn và lúng túng khigiải toán

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB a AC b ,  AD là phân giác trong của tam giác ABC Điểm D chia đoạn thẳng BC theo tỉ số nào ?

Có học sinh giải bài toán này như sau:

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: DB AB a DB a DC

DC AC  b b

Ở lời giải trên học sinh đã xác định sai chiều của vectơ Hai vectơ  DB DC,

ngược hướng nhau, do đó nếu điểm D chia đoạn BC theo tỉ số k thì k 0 Vậy lờigiải đúng phải như sau:

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có:

Hiện nay, nhiều môn toán ở các trường Cao đẳng, Đại học được xây dựngtrên cơ sở lý thuyết vectơ như Hình học giải tích, Đại số tuyến tính, Hình học xạảnh,… Vì vậy khi học sinh nắm vững khái niệm vectơ ở trường phổ thông sẽ tạođiều kiện thuận lợi để học sinh tiếp thu một cách thụ động chương trình toán ở bậcCao đẳng và Đại học Hơn nữa, khi nắm vững lý thuyết về vectơ sẽ góp phầnnâng cao trình độ về tư duy và các thao tác trí tuệ.

2.2.2 Không gian vectơ

a Định nghĩa không gian vectơ

Giả sử V là một tập hợp mà các phần tử được kí hiệu bởi , , , , K  

  

làmột trường số Trên V có một phép toán gọi là phép cộng hai phần tử của V, vàphép toán thứ hai gọi là phép nhân một phần tử của V với một số thuộc trường K

Tập hợp V cùng với hai phép toán này được gọi là một không gian vectơtrên trường K (hay một K- không gian vectơ) nếu các điều kiện sau được thỏamãn đối với mọi , ,   V

* Có một phần tử 0 V thỏa mãn điều kiện:   0  ;

* Với mỗi   V có một phần tử, kí hiệu bởi ()

, cũng thuộc V thỏa mãnđiều kiện:     0

b Định nghĩa vectơ

+ Vectơ là một đoạn thẳng đã định hướng, nghĩa là đã chỉ rõ điểm mút nào

là điểm đầu và điểm mút nào là điểm cuối

+ Vectơ 0 là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau

+ Độ dài của đoạn thẳng AB gọi là độ dài của vectơ AB

(hay là mođul củavectơ AB ) Viết là AB

.+ Hai vectơ gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài

c Phép cộng và trừ vectơ

- Phép cộng

+ Định nghĩa: Tổng của hai vectơ a và b là một vectơ được xác định như

sau: Từ một điểm O tùy ý trong mặt phẳng dựng vectơ OA a

 

Rồi từ điểm A dựng vectơ AB b

(hiệu hai véctơ chung gốc)

* Quy tắc hình bình hành: Với hình bình hành ABCD ta luôn có

* Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì ta có: GA GB GC    0

* Nếu G là trọng tâm của hệ n điểm A A1, , ,2 A n thì ta có:

+ Định nghĩa : Tích của một véc tơ a với một số thực k là một vectơ kí

hiệu là ka được xác định như sau :

 Vectơ ka cùng hướng với vectơ a nếu k 0 và ngược hướng với

2.2.3 Hệ các vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính

a Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

Nói khác đi, hệ n vectơ a a 1, , ,2 a n là ĐLTT khi và chỉ khi: nếu

1 1 2 2 n n 0

k a k a  k a 

thì k1 k2   k n 0Chẳng hạn theo định nghĩa, hệ ba vectơ , ,a b c   được gọi là PTTT nếu tìmđược ba số thực k l m, , không đồng thời bằng không sao cho ka lb mc  0

Hệ ba vectơ , ,a b c   là ĐLTT khi và chỉ khi nếu có ka lb mc  0 thì suy

ra k l m  0

c Điều kiện để hai vectơ PTTT hay ĐLTT

+ Định lí: Hai vectơ ,a b  PTTT khi và chỉ khi chúng cùng phương (hay còn nói làchúng cộng tuyến)

Thật vậy hai vectơ ,a b  PTTT khi và chỉ khi có hai số kvà l không đồng thời

bằng 0 sao cho ka lb 0 Giả sử k 0 thì a l b

+ Hệ quả: Hai vectơ ,a b  ĐTTT khi và chỉ khi chúng không cộng tuyến

d Điều kiện để ba vectơ PTTT hay ĐLTT

Ba vectơ trong không gian được gọi là đồng phẳng nếu chúng nằm trênnhững mặt phẳng song song hoặc trùng nhau, nói cách khác nếu các đường thẳngchứa chúng cùng song song với một mặt phẳng hay nếu chúng lần lượt bằng bavectơ nào đó cùng nằm trong một mặt phẳng

+ Định lí: Ba vectơ PTTT khi và chỉ khi chúng đồng phẳng

- Nếu ,a b  PTTT thì hiển nhiên ba vectơ , ,a b c   cũng PTTT vì: Khi đó ta

có hai số k và l không đồng thời bằng 0 sao cho ka lb 0, hay ka lb 0c0

- Nếu ,a b  ĐLTT thì ta biết rằng vectơ c có thể biểu thị qua nó tức là cócác số k l, sao cho c ka lb    ka lb c   0

Vậy , ,a b c   PTTT

e Phân tích một vectơ theo hai hoặc ba vectơ

+ Định lí: Cho hai vectơ ĐLTT a và b Nếu c là vectơ sao cho ; ;a b c   PTTT thì

c có thể viết một cách duy nhất dưới dạng: c ka lb  

* Chứng minh:

Vì ; ;a b c   PTTT nên có ba số p q r, , không đồng thời bằng 0 sao cho

0

pa qb rc   Ta thấy r 0, vì nếu r 0 thì pa qb 0 trong đó p và q

không đồng thời bằng 0, suy ra a và b PTTT, trái giả thiết Vì vậy ta có:

Như vậy cách viết c ka lb   là duy nhất Khi đó ta nói rằng vectơ c được

phân tích một cách duy nhất theo hai vectơ ĐLTT a và b

+ Định lí: Nếu ba vectơ ; ;a b c   ĐLTT thì mọi vectơ d đều viết được một cách

duy nhất dưới dạng: d ka lb mc  

và nói rằng vectơ d được phân tích mộtcách duy nhất theo ba vectơ ; ;a b c  

2.2.4 Tích vô hướng của hai vectơ

a Góc giữa hai vectơ.

Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 Từ điểm O ta vẽ OA a OB b , 

   

.Khi đó góc AOB là góc hợp bởi hai vectơ a và b, và kí hiệu là  a b ; Nếu một

trong hai vectơ a và b là vectơ 0 thì góc  a b ; xem là bao nhiêu cũng được.

 

b Định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ.

Cho hai vectơ bất kì ,a b  Số thực a b cos a b   ;  được gọi là tích vô

hướng của hai vectơ a và b Kí hiệu a b  a b cos a b   ; 

Đặc biệt: Tích vô hướng a a  được gọi là bình phương vô hướng của vectơ

a và kí hiệu là a2 Từ đó ta có a2 a2, tức là: Bình phương vô hướng của mộtvectơ bằng bình phương độ dài của nó

+ Điều kiện để hai vectơ vuông góc

Từ định nghĩa tích vô hướng ta có

c.2 Kết hợp nhân vectơ với số thực:  a b a b  

c.3 Phân phối với phép cộng vectơ: a b c     a b a c   

c.4 .a a   0 Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a  0

Một số hệ quả suy ra từ các tính chất trên:

d Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Cho hai vectơ ax y;  và bx y ;  khi đó

* a b xx   yy

2.2.5 Tích có hướng của hai vectơ

Khác với tích vô hướng, tích có hướng không phải là một số mà là mộtvectơ, bởi vậy tích có hướng còn được gọi là tích vectơ

+ Định nghĩa: Cho 3 vectơ , ,a b c   Ta biết rằng a b  là một vectơ, bởi vậy

ta có thể xét tích vô hướng của a b  với vectơ c Kết quả được một số, số nàyđược gọi là tích hỗn tạp của 3 vectơ , ,a b c   Kí hiệu là: D a b c  , , 

     

2.3 Các dạng bài toán ứng dụng phương pháp vectơ

2.3.1 Dạng toán chứng minh

a Chứng minh các đẳng thức vectơ

b Chứng minh 3 điểm thẳng hàng

c Chứng minh 2 đường thẳng song song

d Chứng minh các đường thẳng vuông góc

e Chứng minh các đường thẳng đồng quy

2.3.2 Các bài toán quỹ tích, dựng hình

a Các bài toán quỹ tích (tìm tập hợp điểm)

- Những bài toán cơ sở

- Những bài toán rèn luyện kỹ năng và củng cố kiến thức

- Những bài toán khó nhằm phát triển và nâng cao trình độ cho học sinh

* Hệ thống bài toán là những bài tập điển hình cho các biểu thức cơ bản trongchương trình vectơ

2.4 Định hướng về phương pháp

Việc bồi dưỡng, phát triển tư duy thuật giải thông qua dạy giải các bài toánbằng phương pháp vectơ được thực hiện qua các chuyên đề ôn tập cho học sinh.Nhằm vào việc luyện tập thông qua các hoạt động phát triển tư duy thuật giải vớicác bước sau:

- Xác định các hoạt động tư duy thuật giải của tình huống điển hình

- Gợi động cơ và hướng đích

- Xác định tri thức phương pháp

- Phân bậc hoạt động dựa vào nội dung tình huống:

+ Bậc thấp: Tính đúng giá trị bằng một số bước đơn giản

+ Bậc cao: Biết diễn đạt chính xác quy trình các bước và tiến hành quytrình đó.

Hay phân bậc hoạt động dựa vào tính độc lập của học sinh và sự thành thạocủa học sinh đối với hoạt động:

+ Bậc thấp: Tính toán so sánh hợp lý nhờ những hoạt động mà học sinh đãtiến hành thành thạo

+ Bậc cao: Tính toán so sánh hợp lý nhờ những hoạt động mà học sinh đãtiến hành chưa thành thạo hoặc còn mới lạ đối với họ

2.5 Bồi dưỡng tư duy thuật giải cho học sinh thông qua dạy giải một số dạng bài toán

2.5.1 Hệ thống các bài toán

* Dạng 1: Dạng toán chứng minh

+ Các bài toán chứng minh các đẳng thức vectơ.

Bài 1: Cho tam giác ABC Chứng minh rằng G là trọng tâm tam giác ABC khi và

Bài 3: Trong không gian cho n điểm: A A1, , ,2 A Chứng minh rằng: Tồn tại duy n

nhất điểm G sao cho:

1

0

n i i

GA





 

Điểm G được gọi là trọng tâm của hệ điểm: A A1, , ,2 A Với điểm M bất kì n

trong không gian Chứng minh rằng:

1

n i i

Bài 4: Cho tứ giác ABCD, với M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD Gọi G

là trung điểm của MN.

a Chứng minh rằng: G là trọng tâm của tứ giác ABCD.

b Gọi G’ là trọng tâm tam giác BCD Chứng minh rằng: 1

+ Các bài toán chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Bài 6: Cho hai điểm phân biệt A, B và điểm O tùy ý.

a Chứng minh rằng: Điều kiện cần và đủ để một điểm M nằm trên dường thẳng AB là: MO mOA nOB   

+ Chứng minh hai đường thẳng song song.

Bài 10: Cho ngũ giác lồi ABCDE, cạnh BC song song với đường chéo AD,

/ /

CD BE, DE / /AC, AE/ /BD Chứng minh rằng: AB CE/ /

Bài 11: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D     Giả sử E là tâm của mặt ABB A ;1 1

N, I lần lượt là trung điểm của CC CD, Chứng minh rằng: EN / /AI

Bài 12: Cho hình hộp ABCD A B C D     Điểm M, N thỏa mãn:

+ Các bài toán chứng minh vuông góc.

Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, I và J lần lượt là trung

điểm của AH, HC Chứng minh rằng: BI AJ

Bài 14: Cho hình vuông ABCD Các điểm M, N thuộc BA, BC sao cho BM BN

Gọi H là hình chiếu của B trên CM Chứng minh rằng DH HN

Bài 15: Cho tam giác ABC cân tại A và nội tiếp đường tròn (O) Gọi D là trung

điểm của AB, E là trọng tâm tam giác ACD Chứng minh rằng OE CD

Bài 16: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N lần lượt là trung điểm

của AD và BB’ Chứng minh rằng: MN A C'

+ Các bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy.

Bài 17 Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý trong tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ lần

lượt là các điểm đối xứng với M qua các trung điểm của BC, CA, AB Chứng minh rằng: AA’, BB’, CC’ đồng quy tại O.

Bài 18: Chứng minh rằng ba trung tuyến của một tam giác đồng quy.

Bài 19: Cho hình bình hành ABCD, các điểm A’, B’, C’, D’ là các điểm thuộc cạnh

AB, BC, CD, DA sao cho AA BB CC DD

   Chứng minh rằng: Giao điểm

các đường chéo của tứ giác A’B’C’D’ trùng với giao điểm các đường chéo hình bình hành ABCD.

* Dạng 2: Các bài toán quỹ tích, dựng hình.

+ Các bài toán quỹ tích.

Bài 20: Cho đoạn thẳng AB Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn:

Bài 22: Cho tứ diện S.ABCD có góc tam diện dỉnh S là tam diện vuông Tìm Tập

hợp các điểm M trong không gian thỏa mãn điều kiện: MA2 MB2 MC2 3MS2

Bài 23: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M sao cho:

Bài 25: Cho tứ diện S.ABC cạnh a Kẻ trung tuyến CN của tam giác CSB Dựng

đoạn PQ sao cho: P SA Q CN PQ ;  ; / /BM

Bài 26: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’, M là trung điểm của DC; N là trung điểm

của DD’ Qua M hãy dựng đường thẳng cắt BN ở I và AB’ ở J.

Bài 27: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a M và N lần lượt là

trung điểm của CD và CC’ Dựng đường vuông góc chung của AN và D’M.

* Dạng 3: Các bài toán tính toán.

+ Các bài toán tính góc.

Bài 28: Cho  ABC cân tại A Tính góc giữa 2 trung tuyến BE, CF.

Bài 29: Cho  ABC , hai trung tuyến BB’, CC’ vuông góc với nhau Tính góc tạo

bởi các cạnh bên của tam giác

Bài 30: Cho tứ diện ABCD; gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, CB,