KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP TOÁN HỌC: MỞ RỘNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO DẠNG φCO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

7 2 Định lí điểm bất động đối với dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric và ví dụ minh họa 9 2.1 Định lí điểm bất động đối với dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric... M

MỞ RỘNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

CHO DẠNG φ-CO YẾU SUY RỘNG

TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Nghành đào tạo: Sư phạm Toán học

Trình độ đào tạo: Đại học

Đồng Tháp, năm 2014

KHOA SP TOÁN TIN

MỞ RỘNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

CHO DẠNG φ-CO YẾU SUY RỘNG

TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Nghành đào tạo: Sư phạm Toán học

Trình độ đào tạo: Đại học

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Chí Tâm

Giảng viên hướng dẫn: T.S Nguyễn Văn Dũng

Đồng Tháp, năm 2014

MỤC LỤC

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Tổng quan về đề tài 2

3 Mục tiêu nghiên cứu 3

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

5 Nội dung nghiên cứu 3

6 Phương pháp nghiên cứu 4

7 Kế hoạch nghiên cứu 4

1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Không gian mêtric 6

1.2 Dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric 7

2 Định lí điểm bất động đối với dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric và ví dụ minh họa 9 2.1 Định lí điểm bất động đối với dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric 9

2.2 Ví dụ minh họa 14

Kết luận và kiến nghị 20 1 Kết luận 20

2 Kiến nghị 20

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả trình bày trong đề tài là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả cho phép

sử dụng và đề tài hoàn toàn không trùng lập với bất kì tài liệu nào khác.

Đồng Tháp, ngày 24 tháng 4 năm 2014

Nguyễn Chí Tâm

MỞ ĐẦU

Nguyên lí ánh xạ co Banach trên không gian mêtric đầy đủ xuất hiện năm

1922 là một kết quả nổi bật trong Giải tích Kết quả này được nhiều tác giảquan tâm nghiên cứu và mở rộng cho nhiều ánh xạ trên nhiều không gian khácnhau [2] Một hướng mở rộng Nguyên lí ánh xạ co Banach là định lí điểm bất

động cho dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric [15].

Ở trong nước, hướng nghiên cứu về định lí điểm bất động trên không gianmêtric và mêtric suy rộng cũng được một số tác giả quan tâm nghiên cứu Năm

2012, K P Chi và các cộng sự đã chứng minh định lí điểm bất động cho các lớpánh xạ thỏa mãn điều kiện co ´Ciri´c trong [11]; thiết lập và chứng minh định lí

co Meir-Keeler dựa trên các lớp ánh xạ T -co trong [3] Năm 2013, N V Dung

[5] đã mở rộng kết quả của M E Gordji và các cộng sự trong [8]; N T Hieu

và các cộng sự [10] đã mở rộng kết quả của E Karapinar và các cộng sự trong[11] Gần đây, N T Hieu và V T L Hang [9] đã thiết lập và chứng minh được

định lí điểm bất động kép cho ánh xạ α-ψ-co trong không gian kiểu-mêtric sắp

thứ tự Những kết quả trong [15] đã được chúng tôi nghiên cứu, mở rộng chokhông gian kiểu-mêtric, xem [14]

Nhìn chung, với nhiều định lí điểm bất động trên không gian mêtric và mêtricsuy rộng, chúng ta thấy rằng điều kiện co thường chứa tối đa năm giá trị là

d(x, y), d(T x, x), d(T y, y), d(y, T x), d(x, T y) trong [4], [13] Gần đây, N V Dung

và cộng sự [6] đã bổ sung thêm bốn giá trị mới d(T2x, x), d(T2x, T x), d(T2x, y),

d(T2x, T y) vào điều kiện co và đã chứng minh định lí điểm bất động đối với điều

kiện co mới này Hơn nữa, kĩ thuật này có thể áp dụng cho những định lí điểmbất động khác

Bằng cách tương tự, chúng tôi đặt vấn đề mở rộng những kết quả trong [15]

đối với không gian mêtric bằng việc thêm ba giá trị d(T2x, T x), d(T2x, y), d(T2x, T y) vào điều kiện φ-co yếu suy rộng.

Xuất phát từ những vấn đề trên, chúng tôi chọn đề tài “Mở rộng định lí

điểm bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric”

làm đề tài khóa luận tốt nghiệp

Năm 1997, tác giả Alber và Guerre-Delabriere đã giới thiệu khái niệm φ-co

yếu như sau:

2.1 Định nghĩa Giả sử (X, d) là một không gian mêtric và T : X −→ X là một

ánh xạ T được gọi là một ánh xạ φ-co yếu nếu tồn tại φ : [0, + ∞) −→ [0, +∞)

sao cho φ(t) > 0 với mọi t > 0, φ(0) = 0 và

d(T x, T y) ≤ d(x, y) − φ(d(x, y))

với mọi x, y ∈ X.

Tiếp đến năm 2009, Q Zhang và Y Song [15] đã mở rộng ánh xạ co thành

dạng φ-co yếu suy rộng trong không gian mêtric và đã chứng minh định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng này Nội dung định lí như sau:

2.2 Định lí ([15], Theorem 2.1) Cho (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ

và T, S : X −→ X là hai ánh xạ sao cho với mọi x, y ∈ X,

d(T x, Sy) ≤ M(x, y) − φ(M (x, y))

ở đây φ : [0, + ∞) −→ [0, +∞) là một hàm số nửa liên tục dưới, φ(t) > 0 với mọi t > 0, φ(0) = 0 và

Gần đây, chúng tôi đã mở rộng kết quả chính trong [15] cho dạng φ-co yếu

suy rộng trong không gian kiểu-mêtric [14]

Trong khóa luận này, chúng tôi mở rộng định lí điểm bất động đối với ánh

xạ φ-co yếu suy rộng trong [15] bằng việc thêm ba giá trị d(T2x, T x), d(T2x, y) d(T2x, T y) vào điều kiện φ-co yếu suy rộng trên cùng một không gian mêtric.

Đồng thời, chúng tôi xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được

- Thiết lập và chứng minh mở rộng định lí điểm bất động đối với dạng φ-co

yếu suy rộng trong không gian mêtric

- Xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được

- Khóa luận nghiên cứu định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng

trong không gian mêtric

- Khóa luận thuộc lĩnh vực lí thuyết điểm bất động trong không gian mêtric

Khóa luận nghiên cứu định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng

trong không gian mêtric Nội dung chính của khóa luận được trình bày trong

2 chương:

Chương 1: Trình bày những kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôitrình bày khái niệm mêtric, các tính chất cơ bản của mêtric, khái niệm ánh xạ

co và φ-co yếu.

Chương 2: Định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu trong không gian mêtric

và áp dụng Trong chương này, chúng tôi trình bày mở rộng định lí điểm bất

động cho dạng φ-co yếu trong không gian mêtric, xây dựng ví dụ minh họa cho

những kết quả đạt được

Nghiên cứu tài liệu, bằng cách tương tự những kết quả đã có để đề xuất kếtquả mới Các kết quả này được thảo luận chi tiết với các tác giả cùng lĩnh vựcnghiên cứu

Mô tả phương pháp: Sinh viên nghiên cứu tài liệu, nắm vững những kết

quả đã có, sau đó trình bày trước nhóm thảo luận Cùng với sự hướng dẫn củagiảng viên, sinh viên đề xuất mở rộng và chứng minh

Sinh viên thực hiện Giảng viên hướng dẫn Thời gian

Từ 12/2013 đến1/2014

Sinh viên thực hiện Giảng viên hướng dẫn Thời gian

thực hiện

Chương 2 Định lí điểm bất

động cho dạng φ-co yếu suy

rộng trong không gian mêtric

và ví dụ minh họa

- Đưa ra và chứng minh được

mở rộng định lí điểm bất động

cho dạng φ-co yếu suy rộng

cho không gian mêtric

- Ví dụ minh họa cho kết quả

đạt được

- Tổ chức thảo luậnnhóm, kiểm tra kết quả

Từ 1/2014 đến3/2014

- Trình bày kết quả trước

nhóm nghiên cứu, bộ môn

- Hướng dẫn sinh viênchỉnh sửa các ý kiếnđóng góp

Tháng 4/2014

- Hoàn thành khóa luận - Kiểm tra khóa luận Tháng 5/2014

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong mục này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ bản về không gianmêtric được dùng trong khóa luận

1.1.1 Định nghĩa ([7], Định nghĩa 1.1) Cho X là một tập khác rỗng và d :

X × X −→ R là một hàm thỏa mãn điều kiện sau:

(1) d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ X, d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y,

(2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X,

(3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với mọi x, y, z ∈ X.

Khi đó, d được gọi là một mêtric trên X và (X, d) được gọi là một không gian

mêtric.

1.1.2 Định nghĩa ([7]) Cho (X, d) là một không gian mêtric và {x n } là một

dãy trong X Khi đó

(1) Dãy {x n } được gọi là hội tụ đến x ∈ X, kí hiệu là lim

n →∞ x n = x, nếu

lim

n →∞ d(x n , x) = 0 Khi đó x được gọi là điểm giới hạn của dãy {x n }.

(2) Dãy {x n } được gọi là một dãy Cauchy nếu lim

n,m →∞ d(x n , x m ) = 0.

(3) Không gian (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong (X, d) là

một dãy hội tụ

1.1.3 Mệnh đề ([7], Tính chất 1.5.2) Cho (X, d) là một không gian mêtric.

Nếu dãy {x n } hội tụ thì điểm giới hạn của nó là duy nhất.

Chứng minh Giả sử dãy {x n } hội tụ về x và y trong X Khi đó với mọi n ta có

d(x, y) ≤ d(x, x n ) + d(x n , y).

Cho n → ∞ ta được d(x, y) = 0 hay x = y.

Vậy điểm giới hạn của dãy {x n } là duy nhất.

Trong mục này, chúng tôi trình bày những kiến thức cơ bản về dạng φ-co

yếu suy rộng trong không gian mêtric

1.2.1 Định nghĩa ([7], trang 70) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric và

T : X −→ X là một ánh xạ T được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại k ∈ (0, 1)

sao cho d(T x, T y) ≤ kd(x, y) với mọi x, y ∈ X.

1.2.2 Định nghĩa ([1]) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric và T : X −→ X

là một ánh xạ T được gọi là một ánh xạ φ-co yếu nếu tồn tại φ : [0, + ∞) −→

[0, + ∞) sao cho φ(t) > 0 với mọi t > 0, φ(0) = 0 và

d(T x, T y) ≤ d(x, y) − φ(d(x, y))

với mọi x, y ∈ X.

1.2.3 Nhận xét ([13]) Ánh xạ co là trường hợp đặc biệt của ánh xạ φ-co yếu

với φ(t) = (1 − k)t, t ≥ 0, k ∈ (0, 1).

1.2.4 Định nghĩa ([12], Definition 7.0.1) Giả sử (X, τ ) là một không gian tôpô

và φ : X −→ R là một ánh xạ Khi đó φ được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 nếu

với mỗi φ(x0) ∈ (r; +∞) tồn tại tập mở U ∈ τ sao cho x0 ∈ U ⊂ φ −1 (r; + ∞).

Ánh xạ φ được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu như φ nửa liên tục dưới tại mọi điểm x0 ∈ X.

1.2.5 Bổ đề ([12], Proposition 7.1.1) Cho (X, d) là một không gian mêtric.

Hàm φ : X −→ R là nửa liên tục dưới tại điểm x0 ∈ X nếu và chỉ nếu

φ(x0) ≤ lim inf

x →x0

φ(x).

CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI DẠNG

φ-CO YẾU SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN

MÊTRIC VÀ VÍ DỤ MINH HỌA

suy rộng trong không gian mêtric

Trong mục này, chúng tôi mở rộng định lí điểm bất động đối với ánh xạ

φ-co yếu suy rộng trên không gian mêtric trong [15] bằng việc thêm ba giá trị d(T2x, T x), d(T2x, y), d(T2x, T y) vào điều kiện φ-co yếu suy rộng trong không

}

Khi đó T có điểm bất động duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm u ∈ X sao cho u = T u.

Chứng minh Trường hợp 1: Tồn tại x, y sao cho M (x, y) = 0 Khi đó x = y là

điểm bất động của T

Thật vậy vì M (x, y) = 0 và

d(x, y) ≤ M(x, y), d(T x, x) ≤ M(x, y), d(T y, y) ≤ M(x, y),

nên d(x, y) = d(T x, x) = d(T y, y) Điều này có nghĩa là x = y = T x = T y.

Trường hợp 2: Với mọi x, y ta có M (x, y) > 0.

Bước 1: Xây dựng dãy lặp {x n } thỏa mãn lim

n →∞ d(x n , x n+1 ) = 0.

Lấy x0 ∈ X, đặt x1 = T x0, x2 = T x1, x3 = T x2, Tiếp tục quá trình này

ta chọn được x n ∈ X sao cho x n+1 = T x n với mọi n ≥ 0.

Khi đó, từ (2.1) ta có

d(x n , x n+1 ) = d(T x n −1 , T x n)

≤ M(x n −1 , x n)− φ(M (x n −1 , x n))

≤ M(x n −1 , x n)trong đó

[

d(x n , x n ) + d(x n −1 , x n+1)]

, d(x n+1 , x n ), d(x n+1 , x n ), d(x n+1 , x n+1)

Điều này là vô lí Vậy M (x n −1 , x n ) = d(x n , x n −1).

Với mọi n ≥ 0, d(x n , x n+1) ≤ d(x n , x n −1), suy ra {

Vậy d(x j , x k ) < ε với mọi j, k ≥ n Chọn n = n0, khi đó với mọi j, k ≥ n0 thì

d(x j , x k ) < ε Điều này có nghĩa {x n } là một dãy Cauchy.

Điều này kéo theo, với mọi m, n ≥ N + 1 ta có

d(x m −1 , x n −1)≥ c − 4ε. (2.6)Mặt khác, ta có

với mọi m, n ≥ N + 1 Từ đó suy ra

Điều này là vô lí vì c > 0.

Vậy c = 0, nghĩa là {x n } là một dãy Cauchy.

Bước 3: Chứng minh dãy Cauchy {x n } hội tụ về điểm bất động của T

Vì X là một không gian mêtric đầy đủ nên tồn tại u ∈ X sao cho lim

M (x n , u) = max

{

d(x n , u), d(x n+1 , x n ), d(T u, u),

12

[

d(u, x n+1 ) + d(x n , T u)]

, d(x n+2 , x n+1 ), d(x n+2 , u), d(x n+2 , T u)

}

(2.10)

Cho n → ∞ trong (2.10) ta được M(x n, u)

→ d(u, T u) Sau đó lấy giới hạn khi

n → ∞ trong (2.9) ta được d(u, T u) ≤ d(u, T u) − φ(d(u, T u))

Điều này là mâu

thuẫn với d(u, T u) > 0 Vậy u = T u.

Như vậy, từ Trường hợp 1 và Trường hợp 2 ta suy ra T có điểm bất động Cuối cùng, ta chứng minh điểm bất động của T là duy nhất Giả sử tồn tại

Khi đó T có điểm bất động duy nhất.

2 nếu (x, y) ∈{(0, 1), (0, 2), (1, 0), (2, 0)}

1 ngược lại

Khi đó (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ.

Chứng minh Kiểm tra trực tiếp các điều kiện của một mêtric, ta có d là một

n →∞ x n = x n0 Vậy {x n } là một dãy hội tụ.

Do đó (X, d) là một không gian mêtric đầy đủ.

= 1

2.

= 3

2.

= 3

2.

= 1.

Đồng thời, các giả thiết còn lại trong Định lí 2.1.1 đều thỏa mãn Do đó

Định lí 2.1.1 áp dụng được cho T trên (X, d) Mặc khác, ta thấy [15, Theorem 2.1] không đúng khi (x, y) ∈ {(3, 4), (4, 3)} Do đó [15, Theorem 2.1] không áp dụng

được cho T trên (X, d).

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Khóa luận đã đạt được những kết quả sau:

- Hệ thống những khái niệm, tính chất cơ bản về dạng φ-co yếu suy rộng và

không gian mêtric

- Thiết lập, chứng minh mở rộng định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu

suy rộng trong không gian mêtric và xây dựng ví dụ minh hoạ Định lí 2.1.1,

Hệ quả 2.1.2, Ví dụ 2.2.2

Khóa luận có thể được phát triển theo những hướng sau:

- Xét tính cốt yếu của giả thiết “không giảm” và của những giá trị trong điềukiện co trong Định lí 2.1.1

- Thay thế không gian mêtric trong Định lí 2.1.1 bởi một không gian khác

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Y I Alber and S Guerre-Delabriere (1997), Principles of weakly contractive

maps in Hilbert spaces, Adv Appl 98, 7 – 22.

[2] R P Agarwal, M Meehan and D O’Regan (2004), Fixed point theory and

applications, Cambridge University Press.

[3] K P Chi, E Karapinar and T D Thanh (2012), A generalization of the

Meir-Keeler type contraction, Arab J Math Sci 18, 141 – 148.

[4] P Collaco and J C E Silva, (1997) A complete comparison of 25

contrac-tion condicontrac-tions, Nonlinear Anal 30, no 1, 471 – 476.

[5] N V Dung (2013), On coupled common fixed points for mixed weakly monotone maps in partially ordered S-metric spaces, Fixed Point Theory

Appl 2013:48, 1 – 24.

[6] N V Dung, P Kumam and K Sitthithakerngkiet (2014), A generalization

of ´ Ciri´ c fixed point theorem, Filomat, accepted.

[7] N Định và N Hoàng (2003), Hàm số biến số thực, NXB Giáo dục, Hà Nội [8] M E Gordji, M Ramezani, Y J Cho and E Akbartabar (2012), Cou-

pled common fixed point for mixed weakly monotone mappings in partially

ordered metric spaces, Fixed Point Theory Appl 2012:95, 1 – 25.

[9] N T Hieu and V T L Hang (2014), Coupled fixed point theorems for

gen-eralized α-ψ-contractive mappings in partially ordered metric-type spaces, J.

Nonlinear Anal Optim, submitted

[10] N T Hieu, N T T Ly and N V Dung (2014), A generalization of ´ Ciri´ c quasi-contractions for maps on S-metric spaces, Thai J Math in press.

[11] E Karapinar, K P Chi and T D Thanh (2012), A generalization of ´ Ciri´ c

quasicontractions, Abstr Appl Anal 2012, 1 – 9.

[12] A J Kurdila and M Zabarankin (2005), Convex functional analysis,

Springer, 205 – 206

[13] B E Rhoades (2001), Some theorems on weakly contractive maps, Nonlinear

Anal 47, 2683 – 2693.

[14] N C Tâm (2014), Về định lí điểm bất động cho dạng φ-co yếu suy rộng

trong không gian kiểu-mêtric, Đề tài nghiên cứu khoa học của sinh viên,

Trường Đại học Đồng Tháp

[15] Q Zhang and Y Song (2009), Fixed point theory for generalized φ-weak

contractions, Appl Math Lett 22, 75 – 78.