Bước đầu nghiên cứu một số tính chất của hàm điều hòa

Lýthuyết hàm điều hòa, chính xác hơn là các tính chất của nó cho ta rấtnhiều ứng dụng phải kể đến đó là tính chất bất biến qua hình cầu tâm và bán kính bất kỳ, tính chất giá trị trung bì

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

LỜI CẢM ƠN

Khóa luận này được hoàn thành phần lớn là do sự hướng dẫn, chỉ bảo và giúp đỡ tận tình của thầy giáo - Thạc sĩ Vũ Việt Hùng Nhân dịp này em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy.

Em xin gửi lời cảm ơn tới ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, các thầy cô trong tổ bộ môn Giải tích, Phòng QLKH & QHQT, Thư viện Trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện, quan tâm, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận Em cũng xin cảm ơn những ý kiến đóng góp, khích lệ, động viên của các thầy cô và bạn bè trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận.

Sơn La, tháng 06 năm 2014

Người thực hiện Sinh viên: TÒNG VĂN HẢI

KÝ HIỆU VÀ KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Giả sử Ω là tập mở không rỗng của R n , x = (x1, , xn) ∈ Ω với n là số nguyên

cố định lớn hơn 1 và hàm u : Ω →C Khi đó ta ký hiệu:

1. ∂u

∂xi(x) là đạo hàm riêng của u theo tọa độ thứ i tại điểm x

2 Đạo hàm riêng cấp hai của u theo tọa độ thứ i, j tại điểm x là ∂

5 Với k là số nguyên dương, Ck(Ω) là ký hiệu của tập tất cả các hàm khả

vi liên tục cấp k trên Ω , C∞(Ω) là tập tất cả các hàm thuộc lớp Ck(Ω) với mọi k Với E ⊂Rn, C(E) là ký hiệu của tập tất cả các hàm liên tục trên

E

6 Cho Ω là tập mở bị chặn của R n , ký hiệu ∂Ω là biên của Ω , Ω là bao đóng của Ω Độ đo V = Vn là độ đo thể tích Lesbegue trên R n và s là độ đo bề mặt của ∂Ω

0 , là đạo hàm theo hướng −→l của u

tại x Nếu u khả vi tại x thì u có đạo hàm mọi hướng tại x và

∂u

∂ − → l (x) =

8 Với u ∈ C(Ω) ta viết: Dnu = ∂u

∂ν , với ν = (υ1, , υn) là vector pháp tuyến đợn vị hướng ra ngoài của ∂Ω ; O u = (D1u, , Dnu) = Du là vector gradient của u

Do đó với ξ ∈ ∂Ω ta có (Dnu)(ξ) = ( O u)(ξ) · η(ξ) , với η = ν

9 B(a, r) = {x ∈Rn : kx − ak < r} là hình cầu mở tâm a bán kính r , bao đóng của nó là hình cầu đóng B(a, r) ; hình cầu đơn vị B(0, 1) được ký hiệu là

B , còn bao đóng của nó là B Khi số chiều là quan trọng ta viết Bn thay cho B để chỉ hình cầu đơn vị trong không gian có số chiều là n

Biên của hình cầu đơn vị được ký hiệu bởi S = ∂B , bình thường độ đo bề mặt S được ký hiệu bởi σ (sao cho σ(S) = 1 ) Độ đo σ là độ đo xác suất duy nhất trên S đó là phép quay bất biến (giá trị T (E) = σ(E) với mọi tập Borel E ⊂ S và với mỗi phép biến đổi tuyến tính trực giao T ).

10 Bộ chỉ số α là n số nguyên không âm (α1, , αn)

Đạo hàm từng phần của toán tử Dα được xác định bởi Dα1

1 Dαn

n ( Dj0 là toán tử đồng nhất).

Với x ∈Rn và bộ chỉ số α = (α 1 , , α n ) ta định nghĩa:

xα = xα1 xαn , α! = α1! αn!,

Mục lục

1.1 Định nghĩa và các ví dụ 5

1.2 Tính chất bất biến 7

1.3 Tính chất giá trị trung bình 9

1.4 Nguyên lý cực đại 13

1.5 Nhân Poisson cho hình cầu 15

1.6 Bài toán Dirichlet cho hình cầu 18

1.7 Định lý đảo của Tính chất giá trị trung bình 22

1.8 Mối liên hệ giữa hàm điều hòa và hàm giải tích 24

2 Hàm điều hòa bị chặn 28 2.1 Định lý Liouville 28

2.2 Tính kỳ dị cô lập 30

2.3 Ước lượng Cauchy 31

2.4 Họ chuẩn tắc 32

2.5 Nguyên lý cực đại 33

2.6 Giới hạn dọc tia 35

3 Hàm điều hòa dương 37 3.1 Định lý Liouville 37 3.2 Bất đẳng thức Harnack và nguyên lý Harnanck 39 3.3 Tính kỳ dị cô lập 42

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Hàm điều hòa - nghiệm của phương trình Laplace đóng một vai tròquan trọng trong nhiều lĩnh vực của Toán học, Vật lý và Kỹ thuật Lýthuyết hàm điều hòa, chính xác hơn là các tính chất của nó cho ta rấtnhiều ứng dụng phải kể đến đó là tính chất bất biến qua hình cầu tâm

và bán kính bất kỳ, tính chất giá trị trung bình, nguyên lý cực đại (giátrị cực đại hoặc cực tiểu trên miền đạt được trên biên),

Hiện nay tài liệu tiếng Việt viết và nghiên cứu về hàm điều hòa nóichung là rất ít Đặc biệt hơn ở trường Đại học Tây Bắc đề tài nghiêncứu về hàm điều hòa vẫn còn hạn chế Ta có thể tìm thấy trong thưviện trường Đại học Tây bắc, lý thuyết hàm điều hòa chủ yếu chỉ đượcgiới thiệu trong một mục nhỏ thông qua các cuốn Phương trình đạohàm riêng [1], [3] và Hàm biến phức [2] Để tìm hiểu về nó không phảilúc nào cũng dễ dàng và đôi khi gây rất nhiều chở ngại cho các bạnsinh viên, nhất là các bạn sinh viên học Toán và Lý

Xuất phát từ những lý do trên, em chọn hướng nghiên cứu của mìnhlà: Bước đầu nghiên cứu một số lớp hàm điều hòa

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích chính của đề tài này là nghiên cứu các tính chất cơ bảncủa hàm điều hòa và nghiên cứu hai lớp hàm điều hòa đó là hàm điềuhòa bị chặn và hàm điều hòa dương

Rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học của bản thân

3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu các tính chất cơ bản của hàm điều hòa trên Rn

Tìm hiểu các tính chất đặc trưng cho các lớp hàm điều hòa bị chặn

và hàm điều hòa dương trên Rn

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các tính chất cơ bản của hàm điều hòa Rn Khai tháctính chất đặc trưng chỉ có trong hàm điều hòa, cụ thể có tính chất như:

"Hàm điều hòa là hàm duy nhất có tính chất giá trị trung bình"

Nghiên cứu lớp hàm điều hòa bị chặn và hàm điều hòa dương Xétxem đã có những kết của nào mà ta đã biết trong giải tích phức mà tavẫn áp dụng được cho hàm điều hòa Hơn nữa là nghiên cứu các tínhchất đặc biệt có trong hai lớp hàm này.

5 Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm và nghiên cứu các tài liệu trong nước cũng như tài liệu nướcngoài viết về những vấn đề có liên quan đến đề tài Phân tích, tổnghợp các kiến thức sao cho có hệ thông, logic và mạch lạc Qua đó hìnhthành ý tưởng và đề cương nghiên cứu đề tài

Trao đổi với giảng viên hướng dẫn, những người có kinh nghiệm vànhóm sinh viên có cùng ý tưởng nghiên cứu Từ đó lập kế hoạch vàhoàn thành đề tài

lý đảo của tính chất giá trị trung bình và mối liên hệ giữa hàm điềuhòa và hàm giải tích

Chương 2 Nghiên cứu lớp hàm điều hòa bị chặn, trong đó trình bàymột số tính chất tương tự của hàm chỉnh hình trong giải tích phức chohàm điều hòa dương trên Rn Cụ thể là: Định lý Liouville, tính kỳ dị côlập, ước lượng Cauchy, họ chuẩn tắc Hơn nữa là hai tính chất nguyên

lý cực đại và giới hạn dọc tia cho các hàm điều hòa bị chặn

Chương 3 Nghiên cứu lớp hàm điều hòa dương thông qua các tínhchất quan trọng đó là: Định lý Liouville, bất đẳng thức Harnack, nguyên

lý Harnack và tính kỳ dị cô lập

Dễ thấy hàm này điều hòa trên R3.

Ví dụ 3 Cho n > 2, x ∈ Rn, hàm u(x) = kxk2−n là hàm điều hòatrên Rn Thật vậy:

Giả sử x = (x1, , xn), khi đó u(x) = (x21 + x22 + · · · + x2n)2−n2

Điều này chứng tỏ u(x) = kxk2−n, n > 2 là hàm điều hòa.

Như chúng ta sẽ thấy sau này, hàm u(x) = kxk2−n là hàm quan trọngđối với lý thuyết hàm điều hòa khi n > 2 Chúng ta có được ví dụ bổsung cho hàm điều hòa bằng cách lấy vi phân

Lưu ý với hàm điều hòa trơn toán tử Laplace thay đổi với bất kỳ đạohàm riêng

Nói riêng v(x) = ∂u

∂xi(x) = xikxk−n là hàm điều hòa trên Rn\{0} khi

n > 2 Chúng ta sẽ sớm chứng minh rằng mỗi hàm điều hòa là khả vi

vô hạn, do đó mỗi đạo hàm riêng của hàm điều hòa là điều hòa

Ví dụ 4 Hàm u(x) = ln kxk là hàm điều hòa trên R2\{0} Thật vây:Giả sử x = (x1, x2) ∈ R2, ta có u(x) = lnpx2

⇒ ∂

2u

∂x2 2

2

1 − x2 2

(x2

1 + x2

2)2.Vậy ∆u = 0 Và ta có điều phải chứng minh

Chú ý 1.1.1 a) x1kxk−2 là một đạo hàm riêng của ln kxk Vậy hàmv(x) = x1kxk−n là hàm điều hòa trên Rn\{0} cả khi n = 2

b) Hàm ln kxk có lim

x→∞kxk = +∞, nhưng lim

x→∞kxk2−n = 0, ∀n > 2.c) Ta có thể chỉ ra ln kxk hoặc là bị chặn trên hoặc là bị chặn dưới,còn kxk2−n là luôn dương

Đây là một dấu hiệu cho thấy sự tương phản giữa lý thuyết hàm điềuhòa trong mặt phẳng và không gian cao hơn (khi n > 2) Một sự khácbiệt quan trọng xuất phát từ mối quan hệ mật thiết giữa hàm chỉnhhình và hàm điều hòa trong mặt phẳng

Nhận xét 1.1.1 Hàm lấy giá trị thực trên Ω ⊂ R2 là hàm điều hòakhi và chỉ khi nó là phần thực địa phương của hàm chỉnh hình.

Chứng minh Giả sử u(z) = u(x, y) với z = x + i y ∈ Ω Ta có:

x = z + z

2 , y = i

z − z

2 .Khi đó:

 ∂u

∂x − i∂u

∂y

.Suy ra:

∂2u

∂z∂z =

12

Vì u điều hòa nên

∆u = 0 ⇒ ∂

2u

∂z∂z = 0

và do đó hàm u chỉnh hình trên Ω Từ đó ta có thể tìm được hàm chỉnhhình f trên Ω sao cho

Bởi vì toán tử Laplace tuyến tính trên C2(Ω) nên phép cộng và nhân

vô hướng của hàm điều hòa là hàm điều hòa

Định nghĩa 1.2.1 1.Với y ∈ Rn, và u là hàm điều hòa trên Ω.

Tịnh tiến của u là hàm trên Ω + y, nhận giá trị tại x là u(x − y).2.Với một số dương r và một hàm u trên Ω

Mở rộng của u ký hiệu ur là một hàm xác định bởi (ur)(x) = u(rx),với x thuộc (1/r)Ω = {(1/r)ω| ω ∈ Ω}

Nhận xét 1.2.1 i) Tịnh tiến của hàm điều hòa là hàm điều hòa.ii) Với u ∈ Ω ta thấy ∆(ur) = r · (∆u)r Bởi vậy mở rộng của hàm điềuhòa là hàm điều hòa

Sự kết hợp giữa hàm điều hòa và hình cầu là quan trọng đối với lýthuyết hàm điều hòa Tính chất giá trị trung bình cái mà chúng ta sẽxét trong mục tiếp theo là một minh họa cụ thể nhất cho sự kết hợpnày Các mối liên hệ khác như phép nâng lên lũy thừa, phép biến đổituyên tính trên Rn là bảo tồn trên hình cầu đơn vị, phép biến đổi nhưvậy gọi là trực giao

Định nghĩa 1.2.2 Một ánh xạ tuyến tính T : Rn −→ Rn được gọi làtrực giao khi và chỉ khi kT xk = kxk, với mọi x ∈ Rn

Trong đại số tuyến tính, T được gọi là trực giao khi và chỉ khi vectorcột của ma trận T cùng với cơ sở trực chuẩn của Rn tạo thành tập hợptrực chuẩn

Bây giờ ta chỉ ra toán tử tuyến tính giao hoán với phép biến đổi tuyếntính trực giao Cụ thể:

Nhận xét 1.2.2 Nếu T là là ánh xạ tuyến tính trực giao và u ∈ C2(Ω)thì ∆(u ◦ T ) = (∆u) ◦ T trên T−1(Ω)

Chứng minh Thật vậy, cho [tjk] là ký hiệu của ma trận T ứng với cơ

sở trực chuẩn của Rn Khi đó:

Trong đó w = (w1, , wn) là trường vector trơn nhẵn của Cn(Ω), divw

là một đại lượng vô hướng được gọi là divergence của w và được xácđịnh bởi:

divw = D1w1 + · · · + Dnwn

Để thu được đồng nhất thức Green từ định lý phân kỳ, ta cho

w = uOv − vOu và tính toán

Biểu thức dưới đây sử dụng đồng nhất thức Green khi u là hàm điềuhòa và v = 1

f (rξ)dσ(ξ)dr (1.3.4)

Hằng số nV (B) phát sinh từ pháp tuyến của σ

Định lý 1.3.2 (Tính chất giá trị trung bình theo độ đo thể tích) Nếu

u là hàm điều hòa trên B(a, r) thì u(a) bằng giá trị trung bình của utrên B(a, r) Tức là:

Chứng minh Ta giả sử B(a, r) = B Cố định ε ∈ (0, 1), lấy u bằng hàm

f trên B Áp dụng công thức tọa độ phân cực (1.3.4) kết hợp với Định

S

u(εξ)dσ(ξ)dε

=Z

=1nZ

S

u(εξ)dσ(ξ)

Ta kết thúc phần này với một ứng dụng của tính chất giá trị trungbình Ta biết rằng một hàm điều hòa giá trị thực có một điểm kỳ dị côlập, ví dụ hàm kxk2−n có một điểm kỳ dị cô lập tại điểm 0 nếu n > 2.

Hệ quả 1.3.1 Giá trị không của hàm điều hòa nhận giá trị thực khôngbao giờ bị cô lập Tức là, nếu u(a) = 0, a ∈ Ω khi đó a không bị cô lập.Chứng minh Giả sử u điều hòa và nhận giá trị thực trên Ω, a ∈ Ω vàu(a) = 0 Cho r > 0 sao cho B(a, r) ⊂ Ω Vì giá trị trung bình của

u bằng 0 trên ∂B(a, r) nên hoặc là u đồng nhất bằng 0 trên ∂B(a, r),hoặc u nhận cả giá trị âm lẫn giá trị dương trên ∂B(a, r) Trong trườnghợp u nhận giá trị âm lẫn giá trị dương bao hàm cả trường hợp u cógiá trị 0 trên ∂B(a, r)

Do vậy u có giá trị không trên biên của mỗi hình cầu có tâm đủ nhỏtại a Điều này chứng tỏ a không là điểm cô lập không của u

Giả thiết u có giá trị thực là cần thiết trong hệ quả trên Bởi vì khi

n = 2 hàm chỉnh hình khác hằng số có điểm cô lập không

Khi n > 2, hàm điều hòa:

+ Nếu u đạt giá trị nhỏ nhất trên Ω, áp dụng lập luận trên với −u tacũng thu được u là hằng số trên Ω.

Hệ quả 1.4.1 Giả sử Ω bị chặn và u là hàm thực liên tục trên Ω ,điều hòa trên Ω Khi đó giá trị cực đại và cực tiểu của u trên Ω đạtđược trên Ω

Chứng minh Do u liên tục trên Ω nên u đạt giá trị cực đại (tương ứnggiá trị cực tiểu) trên Ω Gọi M là giá trị cực đại của u đạt được trên Ω(nếu M là giá trị cực tiểu của u trên Ω, ta chứng minh tương tự), gọi

Hệ quả trên bao hàm cả trường hợp trên miền bị chặn hàm điều hòađược xác định bằng giá trị biên của nó (chú ý rằng tính liên thông của

Ω ở đây là không cần thiết) Cụ thể, với Ω bị chặn: Nếu u và v là cáchàm liên tục, điều hòa trên Ω và nếu u = v trên ∂Ω thì u = v trên Ω.Nhưng thật không may kết quả này có thể không đạt được trên miềnkhông bị chặn Ví dụ, hàm điều hòa u(x) = 0 và v(x) = xn bằng nhautrên biên của nửa không gian {x ∈ Rn : xn > 0}

Hệ quả tiếp theo của nguyên lý cực đại có thể được ứng dụng ngay cảkhi Ω không bị chặn hoăc khi u không liên tục trên Ω.

Hệ quả 1.4.2 Cho u là hàm thực, điều hòa trên Ω và giả sử

+ Nếu (bk) có một dãy con hội tụ tới điển b ∈ Ω thì u(b) = M0 bao hàm

u là hàm hằng trên toàn bộ thành phần của Ω chứa b (theo nguyên lýcực đại (1.4.1)) Bởi vậy trong trường hợp này có một dãy (ak) trong

Ω hội tụ tới một điểm biên của Ω hoặc tới ∞ tại đó u = M0 Từ đó ta

có M0 6 M

+ Nếu không dãy con nào của (bk) hội tụ tới diểm trong Ω thì (bk) cómột dãy con hội tụ tới điểm biên của Ω hoặc ∞ Do vậy trong trườnghợp này ta vẫn có M0 6 M

Chú ý 1.4.1 Ta nói dãy (ak) hội tụ tới ∞ theo nghĩa là |ak| → ∞

Hệ quả (1.4.2) vẫn đúng nếu thay "lim sup" bằng "lim inf" và dấu bấtđẳng thức đặt ngược lại (tức là >)

Định lý (1.4.1), Hệ quả (1.4.1) và Hệ quả (1.4.2) chỉ áp dụng được đốivới các hàm nhận giá trị thực Hệ quả tiếp theo là phát biểu của nguyên

lý cực đại cho các hàm có giá trị phức

Hệ quả 1.4.3 Cho Ω liên thông và u là hàm điều hòa trên Ω Nếu |u|đạt cực đại trong Ω thì u là hằng số

Chứng minh Giả sử u đạt giá trị lớn nhất là M tại diểm a ∈ Ω Chọn

λ ∈ C sao cho |λ| = 1 và λu(a) = M Khi đó hàm điều hòa giá trị thựcReλu đạt giá trị cực đại M tại a, do đó theo Định lý (1.4.1) Reλu = Mtrên Ω Vì |λu| 6 |λ||u| = |u| 6 M , ta có Imλu ≡ 0 trên Ω Từ đó λu

là hằng số và bởi vậy u là hằng số trên Ω

1.5 Nhân Poisson cho hình cầu

Tính chất giá trị trung bình cho thấy, nếu u là hàm điều hòa trên Bthì:

2 , khai triển chuỗi Taylor của fbao hàm u có dạng:

Ở đó 0 6 r 6 1 và |ξ| = 1 Trong công thức này lấy r = 1, nhân cả hai

vế với ξ−k sau đó tích phân trên hình cầu đơn vị ta được:

ak =Z

Bổ đề 1.5.1 (Phép đối xứng) Với mọi số khác không x và y trong Rn

y

|y| − |y|x

=

... u hàm liên tục B điều hịa B thì:

với x ∈ B số α

Định lý 1.6.3 Giả sử (um) dãy hàm điều hòa Ω cho

um hội tụ tới hàm u tập compact Ω Khi u l? ?hàm. .. Khi u l? ?hàm điều hòa Ω Hơn nữa, với số α, Dαum hội tụ tới

Dαu tập compact Ω

Chứng minh Cho B(a, r) ⊂ Ω, ta cần u hàm điềuhòa B(a, r) với số α, Dαum... tịnh tiến phép mở rộng bảo tồn tính điều hịa Kết

có thể chuyển qua hình cầu B(a, r) Đặc biệt, cho hàm f liêntục ∂B(a, r), tồn hàm liên tục u B(a, r)với u điều hòa B(a, r) cho u = f ∂B(a,