Khóa luận tốt nghiệp toán tin: Khảo sát một số tính chất của trong không gian kiểu M–TRIC

Dung và các cộng sự [3], [4] đã chứngminh một số tính chất của không gian kiểu-mêtric; mở rộng định lí điểmbất động cho hai ánh xạ trong không gian kiểu-mêtric.. Định lí điểm bất động tr

KHẢO SÁT MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA

KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Ngành đào tạo: Sư phạm Toán họcTrình độ đào tạo: Đại học

Đồng Tháp, năm 2014

KHOA SP TOÁN - TIN

KHẢO SÁT MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA

KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆPNgành đào tạo: Sư phạm Toán họcTrình độ đào tạo: Đại học

Sinh viên thực hiện: Lê Thị Ngọc ThảoGiảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Văn Dũng

Đồng Tháp, năm 2014

MỤC LỤC

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Tổng quan về đề tài 2

3 Mục tiêu nghiên cứu 3

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3

5 Nội dung nghiên cứu 3

6 Phương pháp nghiên cứu 4

7 Kế hoạch nghiên cứu 4

1 Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Không gian mêtric 6

1.2 Không gian tôpô 7

2 Một số tính chất của không gian kiểu-mêtric 10 2.1 Không gian kiểu-mêtric 10

2.2 Một số tính chất của không gian kiểu-mêtric 13

Kết luận và kiến nghị 25 1 Kết luận 25

2 Kiến nghị 25

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kếtquả trình bày trong khóa luận là hoàn toàn trung thực, được các đồng tácgiả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kì một công trìnhnào khác

Đồng Tháp, ngày 19 tháng 4 năm 2014

Tác giả

Lê Thị Ngọc Thảo

và B Sims [15] đã giới thiệu khái niệm về không gian G-mêtric như là một

sự mở rộng khác của không gian mêtric Năm 2007, bằng cách thay R trongđịnh nghĩa mêtric bằng một không gian Banach, L G Huang và X Zhang[11] đã giới thiệu khái niệm mêtric nón Năm 2012, S Sedghi và các cộng sự[18] giới thiệu khái niệm không gian S-mêtric như là một sự suy rộng mớicủa không gian mêtric Những không gian này đã được nghiên cứu ở TrườngĐại học Đồng Tháp, xem [1], [2], [8], [10], [16], [17], [19]

Năm 2010, M A Khamsi và N Hussain [13] đã giới thiệu một loại khônggian mới, đó là không gian kiểu-mêtric Hướng nghiên cứu về tính chất củakhông gian kiểu-mêtric và những tương tự của nó đã được một số tác giảquan tâm nghiên cứu Gần đây, N V Dung và các cộng sự [3], [4] đã chứngminh một số tính chất của không gian kiểu-mêtric; mở rộng định lí điểmbất động cho hai ánh xạ trong không gian kiểu-mêtric Trong tài liệu [12],

M Jovanovic và các cộng sự đã chứng minh một số kết quả cho điểm bất

động chung của không gian kiểu-mêtric Định lí điểm bất động trong khônggian kiểu-mêtric còn được nghiên cứu trong tài liệu [9].

Tính chất của không gian kiểu-mêtric đã được các tác giả sử dụng trongcác công trình trên Tuy nhiên, những tính chất này được trình bày rời rạc,dưới dạng cô đọng và chưa mang tính hệ thống

Xuất phát từ những vấn đề trên, chúng tôi chọn đề tài “Khảo sát một sốtính chất của không gian kiểu-mêtric” làm đề tài khóa luận tốt nghiệp

Năm 2010, M A Khamsi và N Hussain [13] đã giới thiệu định nghĩakhông gian kiểu-mêtric như sau

Cho X là một tập khác rỗng, K ≥ 1 và D : X × X −→ [0, ∞) thỏa mãncác điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ X

Tiếp theo, M A Khamsi và N Hussain [13] đã giới thiệu khái niệm hội

tụ, dãy Cauchy và đầy đủ trong không gian kiểu-mêtric như sau

Cho (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric

(1) Dãy {xn} được gọi là hội tụ đến x ∈ X nếu lim

Gần đây, N V Dung và các cộng sự [3] đã đưa ra nhận xét về không giankiểu-mêtric như sau

(1) Mỗi không gian mêtric (X, d) là một không gian kiểu-mêtric (X, d, 1)

- Hệ thống, thiết lập và chứng minh một số tính chất của không giankiểu-mêtric.

- Xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được

Khóa luận nghiên cứu một số tính chất của không gian kiểu-mêtric trongchuyên ngành hẹp Tôpô đại cương

Khóa luận nghiên cứu một số tính chất của không gian kiểu-mêtric Nộidung chính của khóa luận được trình bày trong hai chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bàynhững khái niệm, tính chất cơ bản của không gian mêtric và không gian tôpôđược sử dụng trong khóa luận

Chương 2: Một số tính chất của không gian kiểu-mêtric Trong chươngnày, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản của không gian kiểu-mêtric.Sau đó, chúng tôi thiết lập, chứng minh một số tính chất của không giankiểu-mêtric và xây dựng ví dụ minh họa cho kết quả đạt được

6 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu, hệ thống những kết quả, bằng cách tương tự nhữngkết quả đã có đề xuất kết quả mới

Mô tả phương pháp: Sinh viên nghiên cứu tài liệu, nắm vững nhữngkết quả đã có, sau đó trình bày trước nhóm thảo luận Cùng với sự hướngdẫn của giảng viên, sinh viên đề xuất kết quả và chứng minh

Sinh viên thực hiện Giảng viên hướng

dẫn

Thời gianthực hiện

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

- Hệ thống những khái niệm,

tính chất cơ bản của không

gian mêtric và không gian

tôpô

- Tổ chức thảo luậnnhóm, kiểm tra kếtquả

Từ 12/2013đến 1/2014

Từ 1/2014 đến3/2014

Sinh viên thực hiện Giảng viên hướng

dẫn

Thời gianthực hiện

- Trình bày kết quả trước nhóm

nghiên cứu, bộ môn

- Hướng dẫn sinh viênchỉnh sửa các ý kiếnđóng góp

Tháng 4/2014

- Hoàn thành khóa luận - Kiểm tra khóa luận Tháng 5/2014

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Từ khoảng cách giữa hai điểm trong không gian R2 hoặc R3, khái niệmkhoảng cách đã được mở rộng thành khoảng cách giữa hai điểm bất kì trongkhông gian Rn và rộng hơn là khoảng cách của hai phần tử trong tập hợp bất

kì Hàm khoảng cách cùng với tập hợp đó trở thành một không gian, đượcgọi là một không gian mêtric

1.1.1 Định nghĩa ([5], trang 24) Cho X là một tập tùy ý khác rỗng vàhàm d : X × X −→ R thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ X

Sau đây, chúng tôi trình bày một số ví dụ về không gian mêtric

1.1.2 Ví dụ ([5], trang 25) Giả sử M là tập con khác rỗng của tập số thực

R Đặt d(x, y) = |x − y| với mọi x, y ∈ M Khi đó, d là một mêtric và đượcgọi là mêtric thông thường trên M

Vậy d là một mêtric trên X.

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số khái niệm trong không gian mêtric.1.1.4 Định nghĩa ([5]) Cho (X, d) là một không gian mêtric

(1) Dãy {xn} trong X được gọi là hội tụ đến x ∈ X nếu lim

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và ví dụ của khônggian tôpô

1.2.1 Định nghĩa ([5], trang 92) Cho X là một tập khác rỗng và một họ

T các tập con của X thỏa mãn các điều kiện sau

(1) ∅ ∈ T , X ∈ T

(2) Nếu (Gα)α∈I là một họ những phần tử của T thì

α∈I

Gα ∈ T (3) Nếu G1, G2 ∈ T thì G1∩ G2 ∈ T

Khi đó, T được gọi là một tôpô trên X và cặp (X, T ) được gọi là một khônggian tôpô xác định trên tập nền X Các phần tử của T được gọi là tập mở.Nếu không sợ nhầm lẫn, ta thường kí hiệu vắn tắt không gian tôpô (X, T )

1.2.2 Ví dụ ([5], trang 92 - 93) Cho X là một tập hợp khác rỗng

(1) T = {X, ∅} là một tôpô trên X và được gọi là tôpô thô

(2) T = P(X), tập hợp tất cả các tập con của X, là một tôpô trên X vàđược gọi là tôpô rời rạc

(3) Giả sử (X, d) là một không gian mêtric Gọi T là họ tất cả các tập

mở theo d trên X Khi đó, T là một tôpô trên X và được gọi là tôpô sinhbởi mêtric Đặc biệt trên R, tôpô sinh bởi mêtric d(x, y) = |x − y| với mọi

x, y ∈ R được gọi là tôpô thông thường

Chứng minh Để chứng minh T là một tôpô, ta kiểm tra các điều kiện trongĐịnh nghĩa 1.2.1 Chúng tôi chứng minh chi tiết cho T = {X, ∅}, các trườnghợp còn lại được chứng minh tương tự Thật vậy, ta có

(1) ∅ ∈ T , X ∈ T

(2) Giả sử (Gα)α∈I ⊂ T Ta xét hai trường hợp sau

Trường hợp 1 Gα = ∅ với mọi α ∈ I Khi đó S

Vậy T = {X, ∅} là một tôpô trên X

Thông thường để cho một tôpô trên X ta phải chỉ rõ tất cả các tập mở

Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp ta chỉ cần tìm một tập con của T là đủxác định tôpô T Ta có định nghĩa sau.

1.2.3 Định nghĩa ([5], trang 97) Giả sử (X, T ) là một không gian tôpô và

∅ 6= B ⊂ T Họ B được gọi là một cơ sở của tôpô T nếu với mọi G ∈ T tồntại một họ con B0 ⊂ B sao cho G = S

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA KHÔNG GIAN

KIỂU-MÊTRIC

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và ví dụ của khônggian kiểu-mêtric

2.1.1 Định nghĩa ([13], Definition 6) Cho X là một tập khác rỗng, K ≥ 1

và D : X × X −→ [0, ∞) thỏa mãn các điều kiện sau với mọi x, y, z ∈ X.(1) D(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y

|f (x)|2dx < ∞

Đặt D(f, g) =

Z 1 0

|f (x) − g(x)|2dx với mọi f, g ∈ X Khi đó, (X, D, 2) là mộtkhông gian kiểu-mêtric

Chứng minh Để chứng minh (X, D, 2) là một không gian kiểu-mêtric, tachứng minh hàm D thỏa mãn các điều kiện trong Định nghĩa 2.1.1 với K = 2.Thật vậy, với mọi f, g, h ∈ X, ta có

(1) D(f, g) = 0 khi và chỉ khi

Z 1 0

|f (x) − g(x)|2dx = 0

Điều này tương đương với |f (x) − g(x)|2 = 0 với mọi x ∈0, 1 hay f = g.(2) D(f, g) =

Z 1 0

|f (x) − g(x)|2dx =

Z 1 0

|g(x) − f (x)|2dx = D(g, f )

(3) 2 D(f, h) + D(h, g)
= 2

Z 1 0

|f (x) − h(x)|2dx +

Z 1 0

|h(x) − g(x)|2dx

=

Z 1 0

2 |f (x) − h(x)|2+ |h(x) − g(x)|2
dx

=

Z 1 0

12+ 12
|f (x) − h(x)|2+ |h(x) − g(x)|2
dx

≥

Z 1 0

|f (x) − h(x)| + |h(x) − g(x)|
2

dx

≥

Z 1 0

Vậy (X, D, 2) là một không gian kiểu-mêtric

2.1.3 Ví dụ Cho X =a, b, c và D xác định bởi

D(a, a) = D(b, b) = D(c, c) = 0D(b, c) = D(c, b) = 4

D(a, b) = D(b, a) = D(a, c) = D(c, a) = 1

Khi đó, (X, D, 2) là một không gian kiểu-mêtric

Chứng minh Để chứng minh (X, D, 2) là một không gian kiểu-mêtric, tachứng minh hàm D thỏa mãn các điều kiện trong Định nghĩa 2.1.1 với K = 2.Thật vậy, với mọi x, y, z ∈ X, ta có

(1) D(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y

(2) D(x, y) = D(y, x)

Từ các trường hợp trên, chứng tỏ D(x, y) ≤ 2D(x, z) + D(z, y) Vậy D

là một kiểu-mêtric trên X với K = 2

Tiếp đến, chúng tôi trình bày một số nhận xét về không gian kiểu-mêtric.2.1.4 Nhận xét ([3], Remark 1.3) (1) Mỗi không gian mêtric (X, d) là mộtkhông gian kiểu-mêtric (X, d, 1) và ngược lại

(2) Nếu (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric thì (X, D, K0) cũng là mộtkhông gian kiểu-mêtric với mọi K0 ≥ K

Tương tự như trong không gian mêtric, chúng ta có khái niệm sự hội tụ,dãy Cauchy và tính đầy đủ trong không gian kiểu-mêtric

2.1.5 Định nghĩa ([13], Definition 7) Cho (X, D, K) là một không giankiểu-mêtric

(1) Dãy {xn} được gọi là hội tụ đến x ∈ X nếu lim

n→∞D (xn, x) = 0, kí hiệu làlim

2.1.6 Nhận xét Trong không gian kiểu-mêtric, tôpô T1 được hiểu là tôpôcảm sinh bởi sự hội tụ của nó Điều này có nghĩa là tập A mở trong khônggian kiểu-mêtric khi và chỉ khi với mỗi x ∈ A, lim

n→∞xn = x, tồn tại n0 sao cho

xn ∈ A với mọi n ≥ n0

Tiếp theo, chúng tôi trình bày một tôpô khác trên không gian kiểu-mêtric.Trước hết, chúng tôi định nghĩa hình cầu mở trong không gian kiểu-mêtricnhư sau

2.1.7 Định nghĩa Cho (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric Với r > 0

và x ∈ X, đặt B(x, r) = {y ∈ X : D(x, y) < r} Khi đó, B(x, r) được gọi làhình cầu mở tâm x bán kính r

2.1.8 Mệnh đề ([6], Proposition 1.2.1) Cho một tập X và một họ B nhữngtập con của X có các tính chất sau

(1) Với mỗi U1, U2 ∈ B và với mỗi x ∈ U1 ∩ U2, tồn tại U ∈ B sao cho

x ∈ U ⊂ U1∩ U2

(2) Với mỗi x ∈ X, tồn tại U ∈ B sao cho x ∈ U

Gọi O là họ tất cả các tập con của X mà mỗi tập được biểu diễn dưới dạnghợp của một họ con của B Khi đó, họ O là một tôpô trên X và họ B là một

cơ sở của không gian tôpô (X, O) Tôpô O được gọi là tôpô sinh bởi họ B

Kí hiệu T2 là tôpô sinh bởi họ C = {B(x, r) : x ∈ X, r > 0}

Ta đã biết trong không gian mêtric thì T1 = T2 Mối quan hệ giữa T1 và

T2 trong không gian kiểu-mêtric sẽ được tìm hiểu trong mục tiếp theo

Trước hết, chúng tôi xét mối quan hệ giữa hai tôpô T1 và T2 trong khônggian kiểu-mêtric (X, D, K)

2.2.1 Mệnh đề Cho (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric Khi đó,

T1 ⊂ T2

Chứng minh Lấy U ∈ T1 Giả sử ngược lại U /∈ T2 Khi đó tồn tại x ∈ U saocho B(x, 1

n) * U với mọi n ∈ N Nghĩa là, với mỗi n ∈ N, tồn tại xn ∈ B(x, 1

n)

và xn 6∈ U Do đó D(xn, x) < 1

n với mọi n ∈ N Suy ra lim

n→∞D (xn, x) = 0.Điều này chứng tỏ rằng lim

n→∞xn = x trong (X, T1) Khi đó tồn tại n0 sao cho

xn ∈ U với mọi n ≥ n0 Điều này là mâu thuẫn vì xn 6∈ U với mọi n ∈ N.Vậy T1 ⊂ T2

Sau đây, chúng tôi trình bày một số tính chất của không gian kiểu-mêtric.2.2.2 Mệnh đề Giả sử (X, D, K) là một không gian kiểu-mêtric và l > 0.Khi đó D1 và D2 là những kiểu-mêtric trên X với

(1) D1(x, y) = min {l, D(x, y)} với mọi x, y ∈ X

(1) D1 là một kiểu-mêtric trên X Thật vậy, với mỗi x, y, z ∈ X, ta có

(a) D1(x, y) = 0 khi và chỉ khi min {l, D(x, y)} = 0 Điều này tương đươngvới D(x, y) = 0 hay x = y

(b) D1(x, y) = minl, D(x, y) = min l, D(y, x) = D1(y, x)

(c) Ta xét hai trường hợp sau đây

Trường hợp 1 l ≤ D(x, y) Khi đó

D1(x, y) = minl, D(x, y) = l

≤ minl, KD(x, z) + D(z, y)

≤ K minl, D(x, z) + D(z, y)

≤ K min {l, D(x, z)} + min {l, D(z, y)}

(2) D2 là một kiểu-mêtric trên X Thật vậy, với mỗi x, y, z ∈ X, ta có

(a) D2(x, y) = 0 khi và chỉ khi D(x, y)

1 + D(x, y) = 0 Điều này tương đươngvới D(x, y) = 0 hay x = y

(3) D3 là một kiểu-mêtric trên X Thật vậy, với mỗi x, y, z ∈ X, ta có

(a) D3(x, y) = 0 khi và chỉ khi D(x, y) = 0 hay x = y

(b) D3(x, y) = D3(y, x).

Để chứng minh D3 thỏa mãn các điều kiện (3) trong Định nghĩa 2.1.1, tachỉ cần chứng minh cho trường hợp D3(x, y) = l + D(x, y), trong đó x, y, zkhông cùng thuộc Ai với mọi i = 1, n

(c) Ta xét hai trường hợp sau đây

Chứng minh Ta kiểm tra D là một kiểu-mêtric trên X bằng cách chứngminh D thỏa mãn các điều kiện trong Định nghĩa 2.1.1 Thật vậy, với mỗi

x, y, z ∈ X, ta có

Trường hợp 2 x 6= y hoặc y 6= z, hoặc z 6= x Nếu x 6= y thì D(x, y) = 1.

Ta thấy D(x, z) và D(z, y) không thể đồng thời bằng 0 Thật vậy, nếuD(x, z) = D(z, y) = 0 thì x = y = z Điều này mâu thuẫn với giả thiếttrong trường hợp 2 Suy ra

D(x, z) + D(z, y) ≥ 1

Do đó D(x, y) ≤ D(x, z) + D(z, y) ≤ KD(x, z) + D(z, y)

Lập luận tương tự cho hai trường hợp còn lại

Vậy D là một kiểu-mêtric trên X

Tiếp đến, chúng tôi trình bày một số kiểu-mêtric trên X×Y với (X, D1, K1)

và (Y, D2, K2) là hai không gian kiểu-mêtric

2.2.4 Mệnh đề Cho (X, D1, K1) và (Y, D2, K2) là hai không gian kiểu-mêtric.Khi đó các công thức sau là kiểu-mêtric trên X × Y , ở đây x = (x1, x2),

Chứng minh Để chứng minh (X × Y, D, K) là một không gian kiểu-mêtric,

ta chứng minh hàm D trong từng trường hợp thỏa mãn các điều kiện trongĐịnh nghĩa 2.1.1

(1) D(x, y) = D1(x1, y1) + D2(x2, y2) là một kiểu-mêtric trên X × Y với

K = max {K1, K2}

Thật vậy, với mỗi x = (x1, x2), y = (y1, y2), z = (z1, z2) ∈ X × Y , ta có

(a) D(x, y) = 0 khi và chỉ khi D1(x1, y1) + D2(x2, y2) = 0 Điều này tươngđương với D1(x1, y1) = D2(x2, y2) = 0 hay x1 = y1 và x2 = y2, nghĩa là x = y.Vậy D(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y

(b) D(x, y) = D1(x1, y1) + D2(x2, y2) = D1(y1, x1) + D2(y2, x2) = D(y, x).(c) D(x, y) = D1(x1, y1) + D2(x2, y2)

Thật vậy, với mỗi x = (x1, x2), y = (y1, y2), z = (z1, z2) ∈ X × Y , ta có

(a) D(x, y) = 0 khi và chỉ khi maxD1(x1, y1), D2(x2, y2) = 0 Điều nàytương đương với D1(x1, y1) = D2(x2, y2) = 0 hay x1 = y1 và x2 = y2, nghĩa là

(a) D(x, y) = 0 khi và chỉ khi

q

D12(x1, y1) + D22(x2, y2) = 0 Điều nàytương đương với D12(x1, y1) = D22(x2, y2) = 0 khi và chỉ khi

D1(x1, y1) = D2(x2, y2) = 0hay x1 = y1 và x2 = y2, nghĩa là x = y

Sau đây, chúng tôi trình bày một số tính chất trong không gian kiểu-mêtric tích.2.2.5 Mệnh đề Cho (X1, D1, K1), (X2, D2, K2) là hai không gian kiểu-mêtric

và kiểu-mêtric tích được xác định như trong Mệnh đề 2.2.4

(1) Khi đó sự hội tụ trong không gian tích X1 × X2 tương đương với sự hội

tụ theo tọa độ, nghĩa là lim

n→∞(xn, yn) = (x, y) trong X1 × X2 khi và chỉkhi lim

n→∞xn = x trong (X1, D1, K1) và lim

n→∞yn = y trong (X2, D2, K2)

(2) {(xn, yn)} là dãy Cauchy trong không gian tích X1 × X2 khi và chỉ khi

{xn} và {yn} lần lượt là dãy Cauchy trong (X1, D1, K1) và (X2, D2, K2)

(3) Không gian kiểu-mêtric tích X1× X2 là đầy đủ khi và chỉ khi X1 và X2

là đầy đủ