Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ.. Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối diện nhau trên một đường thẳng... Cho tam giác vuông ABC A = 1v, đường cao AH, trung tuyến AM.. Trên
Trang 1Bài 1 Tìm giá trị n nguyên dương: (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
a) 1.16 2
8
n n
; => 24n-3 = 2n => 4n – 3 = n => n = 1 b) 27 < 3n < 243 => 33 < 3n < 35 => n = 4
Bài 2 Thực hiện phép tính: (4 điểm)
4.9 9.14 14.19 44.49 89
= 1 1 1 1( 1 1 1 1 1 2 (1 3 5 7 49)).
= 1 1( 1 2 (12.50 25)). 5.9.7.89 9
Bài 3 (4 điểm mỗi câu 2 điểm)
a) Tìm x biết: x 3 x 2
Ta có: x + 2 0 => x - 2
+ Nếu x - 23 thì x 3 x 2 => 2x + 3 = x + 2 => x = - 1 (Thoả mãn)
+ Nếu - 2 x < - 23 Thì 2 x 3 x 2 => - 2x - 3 = x + 2 => x = - 35(Thoả mãn) + Nếu - 2 > x Không có giá trị của x thoả mãn
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A =x 2006 2007 x Khi x thay đổi
+ Nếu x < 2006 thì: A = - x + 2006 + 2007 – x = - 2x + 4013
Khi đó: - x > -2006 => - 2x + 4013 > – 4012 + 4013 = 1 => A > 1
+ Nếu 2006 x 2007 thì: A = x – 2006 + 2007 – x = 1
+ Nếu x > 2007 thì A = x - 2006 - 2007 + x = 2x – 4013
Do x > 2007 => 2x – 4013 > 4014 – 4013 = 1 => A > 1
Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất là 1 khi 2006 x 2007
Bài 4 Hiện nay hai kim đồng hồ chỉ 10 giờ Sau ít nhất bao lâu thì 2 kim đồng hồ nằm đối
diện nhau trên một đường thẳng (4 điểm mỗi)
Gọi x, y là số vòng quay của kim phút và kim giờ khi 10giờ đến lúc 2 kim đối nhau trên một đường thẳng, ta có:
x – y = 31 (ứng với từ số 12 đến số 4 trên đông hồ)
Trang 2và x : y = 12 (Do kim phút quay nhanh gấp 12 lần kim giờ)
3
1 11
y x 1
y 12
x 1
12 y
x
=> x = ( vòng ) x 114
33
12
Vậy thời gian ít nhất để 2 kim đồng hồ từ khi 10 giờ đến lúc nằm đối diện nhau trên một
đường thẳng là 114 giờ
Bài 5 Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v), đường cao AH, trung tuyến AM Trên tia đối tia
MA lấy điểm D sao cho DM = MA Trên tia đối tia CD lấy điểm I sao cho CI = CA, qua I
vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E Chứng minh: AE = BC (4
điểm mỗi)
Đường thẳng AB cắt EI tại F
ABM = DCM vì:
AM = DM (gt), MB = MC (gt), AMB = DMC (đđ) => BAM = CDM
=>FB // ID => IDAC
Và FAI = CIA (so le trong) (1)
IE // AC (gt) => FIA = CAI (so le trong) (2)
Từ (1) và (2) => CAI = FIA (AI chung)
=> IC = AC = AF (3)
và E FA = 1v (4)
Mặt khác EAF = BAH (đđ), BAH = ACB ( cùng phụ ABC) => EAF = ACB (5)
Từ (3), (4) và (5) => AFE = CAB
=>AE = BC
a) (2 điểm)
D B
A
H
I
F E
M
Trang 3
10 3
12 4
2 3 2
b) (2 điểm)
3n 2 2n 2 3n 2n
= 3n 2 3n 2n 2 2n
= 2 2
3 (3n 1) 2 (2n 1)
=3 10 2 5 3 10 2n n n n1 10
= 10( 3n -2n)
3n 2n 3n 2n
10 với mọi n là số nguyên dương
a) (2 điểm)
1 2 3
3
1 7 2
3 3
2
3 3
3, 2
1
2 3
x x
x
x
x
Trang 4b) (2 điểm
x
1
10
1 ( 7) 0
10
x
x
x x
a) (2,5 điểm)
Gọi a, b, c là ba số được chia ra từ số A
Theo đề bài ta có: a : b : c = 2 3 1: :
5 4 6 (1)
và a2 +b2 +c2 = 24309 (2)
Từ (1) 2 3 1
k
a k b k c
Do đó (2) 2 4 9 1
25 16 36
k = 180 và k = 180
+ Với k =180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30
Khi đó ta có số A = a + b + c = 237
+ Với k = 180, ta được: a = 72; b = 135; c = 30
Khi đó ta có só A = 72+( 135) + ( 30) = 237
b) (1,5 điểm)
Từ a c
c b suy ra c2 a b.
khi đó 22 22 22 .
.
a c a a b
b c b a b
= b a b a a b(( ))a b
a/ (1điểm) Xét AMC và EMB có :
AM = EM (gt )
AMC = EMB (đối đỉnh )
BM = MC (gt )
Trang 5H
E
M B
A
C I
AC = EB
Vì AMC = EMB MAC = MEB
(2 góc có vị trí so le trong được tạo bởi đường thẳng AC và EB cắt đường thẳng AE )
b/ (1 điểm )
Xét AMI và EMK có :
AM = EM (gt )
MAI = MEK ( vì AMCEMB )
AI = EK (gt )
Nên AMI EMK ( c.g.c )
Suy ra AMI = EMK
Mà AMI + IME = 180o ( tính chất hai góc kề bù )
EMK + IME = 180o
Ba điểm I;M;K thẳng hàng
c/ (1,5 điểm )
Trong tam giác vuông BHE ( H = 90o ) có HBE = 50o
HBE
= 90o - HBE = 90o - 50o =40o
HEM
= HEB - MEB = 40o - 25o = 15o
BME là góc ngoài tại đỉnh M của HEM
Nên BME = HEM + MHE = 15o + 90o = 105o
( định lý góc ngoài của tam giác )
Bài 5: (4 điểm)
a) Chứng minh ADB = ADC (c.c.c)
suy ra DAB DAC
Do đó DAB 20 : 2 10 0 0
b) ABC cân tại A, mà A 20 0(gt) nên
(180 0 20 ) : 2 80 0 0
ABC đều nên DBC 60 0
Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC suy ra ABD 80 0 60 0 20 0
Câu 1: Tìm tất cả các số nguyên a biết a 4
0 a 4
=> a = 0; 1; 2; 3 ; 4
* a = 0 => a = 0
* a = 1 => a = 1 hoặc a = - 1
* a = 2 => a = 2 hoặc a = - 2
20 0 M A
D
Trang 6* a = 3 => a = 3 hoặc a = - 3
* a = 4 => a = 4 hoặc a = - 4
Câu 2: Tìm phân số có tử là 7 biết nó lớn hơn 9
10
và nhỏ hơn 9
11
Gọi mẫu phân số cần tìm là x
Ta có:
10 x 11
=> 63 63 63
70 9x 77
=> -77 < 9x < -70 Vì 9x 9 => 9x = -72
=> x = 8
Vậy phân số cần tìm là 7
8
Câu 3 Cho 2 đa thức
P x = x2 + 2mx + m2 và
Q x = x2 + (2m+1)x + m2
Tìm m biết P (1) = Q (-1)
P(1) = 12 + 2m.1 + m2
= m2 + 2m + 1
Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2
= m2 – 2m
Để P(1) = Q(-1) thì m2 + 2m + 1 = m2 – 2m 4m = -1 m = -1/4
Câu 4: Tìm các cặp số (x; y) biết:
a / ; xy=84
9 49 3.7 21
x y xy
=> x2 = 4.49 = 196 => x = 14
=> y2 = 4.4 = 16 => x = 4
Do x,y cùng dấu nên:
x = 6; y = 14
x = -6; y = -14
b/
áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
=> 2 2
5 12
x x
=> -x = 5x -12
=> x = 2 Thay x = 2 vào trên ta được:
Trang 71 3 2
y y
y
=>1+ 3y = -12y=> 1 = -15y=> y = 1
15
Vậy x = 2, y = 1
15
thoả mãn đề bài
Câu 5: Tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của các biểu thức sau :
A = x 1 +5
Ta có : x 1 0 Dấu = xảy ra x= -1
A 5.Dấu = xảy ra x= -1
Vậy: Min A = 5 x= -1
B =
3
15
2 2
x
3
12 3
2 2
x
x
= 1 +
3
12
2
x
Ta có: x2 0 Dấu = xảy ra x = 0
x2 + 3 3 ( 2 vế dương )
3
12
2
3
12
3
12
2
x 4 1+
3
12
2
x 1+ 4
B 5
Dấu = xảy ra x = 0
Vậy : Max B = 5 x = 0
Câu 6: a/
Xét ADC và BAF ta có:
DA = BA(gt)
AE = AC (gt)
DAC = BAE ( cùng bằng 900 + BAC )
=> DAC = BAE(c.g.c )
=> DC = BE
Xét AIE và TIC
I1 = I2 ( đđ)
E1 = C1( do DAC = BAE)
=> EAI = CTI
=> CTI = 900 => DC BE
b/ Ta có: MNE = AND (c.g.c)
H 2
1
1 1
P
K
T I
E
N M
D
C B
A
Trang 8=> D1 = MEN, AD = ME
mà AD = AB ( gt)
=> AB = ME (đpcm) (1)
Vì D1 = MEN => DA//ME => DAE + AEM = 1800 ( trong cùng phía )
mà BAC + DAE = 1800
=> BAC = AEM ( 2 )
Ta lại có: AC = AE (gt) ( 3) Từ (1),(2) và (3) => ABC = EMA ( đpcm)
c/ Kéo dài MA cắt BC tại H Từ E hạ EP MH
Xét AHC và EPA có:
CAH = AEP ( do cùng phụ với gPAE )
AE = CA ( gt)
PAE = HCA ( do ABC = EMA câu b)
=> AHC = EPA
=> EPA = AHC
=> AHC = 900
=> MA BC (đpcm)
1.a Thực hiện theo từng bước đúng kết quả -2 cho điểm tối đa 1Điểm 1.b Thực hiện theo từng bước đúng kết quả 14,4 cho điểm tối đa 1Điểm 2.a Ta có :
1
3 2
a
a a
= ( 11) 3 31
a
a a
a a
vì a là số nguyên nên
1
3 2
a
a
a là số nguyên khi 31
a là số nguyên hay a+1 là ước của 3 do đó ta có bảng sau :
Vậy với a 4 , 2 , 0 , 2 thì
1
3 2
a
a a
là số nguyên
0,25
0,25 0,25
0,25 2.b Từ : x-2xy+y=0
Hay (1-2y)(2x-1) = -1
Vì x,y là các số nguyên nên (1-2y)và (2x-1) là các số nguyên do đó ta có
0,25
Trang 9các trường hợp sau :
0 0 1
1 2
1 2
1
y x x
y
1 1 1
1 2
1 2 1
y x x
y
Vậy có 2 cặp số x, y như trên thoả mãn điều kiện đầu bài
0,25 0,25
0,25 3.a Vì a+c=2b nên từ 2bd = c (b+d) Ta có: (a+c)d=c(b+d)
Hay ad=bc Suy ra b a d c ( ĐPCM
0,5
0,5 3.b Giả sử số có 3 chữ số là aaa=111.a ( a là chữ số khác 0)
Gọi số số hạng của tổng là n , ta có :
a a
n
n
37 3 111 2
) 1 (
Hay n(n+1) =2.3.37.a Vậy n(n+1) chia hết cho 37 , mà 37 là số nguyên tố và n+1<74 ( Nếu n =
74 không thoả mãn )
Do đó n=37 hoặc n+1 = 37
Nếu n=37 thì n+1 = 38 lúc đó 703
2
) 1 (
n n
không thoả mãn Nếu n+1=37 thì n = 36 lúc đó 666
2
) 1 (
n n
thoả mãn Vậy số số hạng của tổng là 36
0,25 0,25
0,5 4
H
A
Kẻ DH Vuông góc với AC vì ACD =600 do đó CDH = 300
Nên CH = CD2 CH = BC
Tam giác BCH cân tại C CBH = 300 ABH = 150
Mà BAH = 150 nên tam giác AHB cân tại H
Do đó tam giác AHD vuông cân tại H Vậy ADB = 450+300=750
0,5
0,5 1,0 1,0
Trang 105 Từ : x2-2y2=1suy ra x2-1=2y2
Nếu x chia hết cho 3 vỡ x nguyờn tố nờn x=3 lỳc đú y= 2 nguyờn tố thoả
món
Nếu x khụng chia hết cho 3 thỡ x2-1 chia hết cho 3 do đú 2y2 chia hết cho
3 Mà(2;3)=1 nờn y chia hết cho 3 khi đú x2=19 khụng thoả món
Vậy cặp số (x,y) duy nhất tỡm được thoả món điều kiện đầu bài là (2;3)
0,25 0,25
Đáp án
41
1 1 1 41
1 ) 35
4 5
2 7
5 ( ) 6
1 3
1 2
1
2010 2009
1 2009
2008
1
4 3
1 3 2
1 2 1
1
2010
1 2009
1
5
1 4
1 4
1 3
1 3
1 2
1 2
1 1
= 2009 -
2010
2009 2009
) 2010
1 1
2/
2x + 2x+3 = 144 => 2x(1+23) = 144=> 2x = 16
2x = 22 => x = 4
b) x 2009 x 2010 1=> x 2009 2010 x 1
Ta lại có x 2009 2010 x x 2009 2010 x 1
1 2010
2009
x (x - 2009).(2010 - x)0 2009 x 2010
Vậy x 2009 x 2010 1 2009 x 2010
3/ a) Vì b a d c nên c a d b c a.a c d b.d b a c.d b Hay
cd
ab d
c b
a
2
2 2 2
Ta lại có 22 22 22 22 2 22
8 11
8 11 3
7
3 7 3
3 8
8 11
11 7
7
d c
b a cd c
ab a cd
ab d
b c
a c
8 11
3 7 8
11
3 7
d c
cd c
bc a
ab a
b) Gọi các phan số cần tiìm là b a;d c; e f theo bài ra ta có:
a : c : e = 3 : 5 : 7; b : d: f =2 : 3 : 4
7 5
e c
a
4 3 2
Ta có a= 3k; c = 5k; e =7k; b = 2p; d =3p; f = 4p
Ta lại có
8
35
; 6
25
; 4
15 2
5
2
3
2
5 24
295 12
59 24
7 12
f
e d
c b
a
p
k p
k f
e
d
c
b
a
Ba phân số trên đều tối giản và có tổng bằng
24
7 12
4/ Ta có 2m - 2n > 0 => 2m > 2n => m > n
Nên (1) 2n(2m-n – 1) = 28
Vì m-n > 0 => 2m-n– 1 lẽ => 2m-n-1 =1 => 2m-n= 21
=> m - n =1 => m = n +1 => n = 8, m = 9
5/
Trang 11a) ADC = ABE (c.g.c) => BE = CD
b) Từ ADC = ABE => ADC = ABE
Gọi K là giao điểm của AB và CD Xét hai tam giác AKD và IKB có AKD = IKB (Đối đỉnh), AKD = KBI (cm trên)
Vậy KAD = KIB = 600 => BIC = 1200
c) Trên ID lấy IJ = IB có tam giác IJB đều nên IB = BJ (1)
Xét tám giác IAB và tam giác JBD có IB = BJ (cmt) AB = BD (gt)
B1 = B2 ( B1 + B3 = B2 + B3 = 600) Vậy tam giác
IAB = JBD (c.g.c) =>IA = JD (2)
Từ (1) và (2) => IA + IB = ID
d) J nằm giữa I và D, IAB = JBD => AIB + DJB = 1200
D
K J
C
I
E A
B
1 3 2