Đây là bộ đề tài hay, được tuyển chọn kĩ càng, có chất lượng cao, giúp các thầy cô giáo nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ giảng dạy bộ môn, phục vụ tốt việc giảng dạy. Hy vọng tài liệu sẽ giúp ích đắc lực cho các thầy cô trong công tác giảng dạy.
Trang 1Phần thứ nhất
I/ Đặt vấn đề
Đối với trình độ học sinh THCS, việc trang bị kiến thức có đào sâu suy nghĩ, rèn luyện năng lực t duy toán học Phát huy trí lực học sinh là một điều vô cùng quan trọng, nó là cơ sở vững chắc để các em học tập toán học đợc tốt
Trong chơng trình toán học phổ thông phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề dặc biệt quan tâm Vì nó đợc sử dụng rất nhiều khi giải toán trên các đa thức, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ, chứng minh đẳng thức, giải phơng trình và xuyên suốt quá trình học tập sau này của học sinh
Để phân tích một đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp Việc tìm ra
ph-ơng pháp thích hợp cho lời giải một bài toán đợc ngắn gọn, chính xác, khoa học hay tìm ra nhiều cách giải khác nhau trong một bài toán tất cả đều phụ thuộc vào việc tiếp thu và vận dụng kiến thức của học sinh Khi lựa chọn các phơng pháp để phân tích giúp cho học sinh phát triển t duy toán học, óc tìm tòi sáng tạo, kỹ năng vận dụng kiến thức đã học khi giải một bài toán cụ thể Không những thế khi phân tích
đa thức thành nhân tử học sinh đợc ôn lại hay sử dụng các kiến thức liên quan nh : Hằng đẳng thức, kỹ năng thêm bớt tách các hạng tử, tính nhẩm nghiệm của đa thức Nói chung, các thủ thuật toán học để giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi học sinh phải t duy nhiều nắm chắc kiến thức và vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đó
Để giúp đỡ các em học sinh tiếp cận và khai thác lời giải các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử và các bài toán áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử trong quá trình giải, cũng nh nhằm nâng cao kiến thức cần thiết giúp các em học tốt môn toán và đồng thời phát huy đợc trí tuệ của học sinh Qua quá trình giảng dạy bộ môn Toán 8 tôi mạnh dạn đa ra một vài kinh nghiệm và giải pháp thực hiện về việc
“ Hớng dẫn học sinh giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ” nhằm giúp
các em nắm vững một số phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, một số bài tập nâng cao, một số bài tập có áp dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân
tử, thấy đợc đó là công cụ đắc lực trong giải một số loại toán Và qua đó cũng nhằm phát huy trí lực của học sinh, góp phần nâng cao chất lợng dạy và học
II/ Mục tiêu.
1/ Nhằm đào sâu nội dung về phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh nắm
đ-ợc các phơng pháp phân tích, rèn luyện nhiều kĩ năng giải toán loại này và nhằm phát tiển năng lực t duy, năng lực sáng tạo của học sinh
2/ Giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức cơ bản, có hệ thống về phân tích
đa thức thành nhân tử
a/ Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử
b/ Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử góp phần rèn luyện cho học sinh đức tính cẩn thận, sáng tạo của ngời nghiên cứu khoa học
c/ Bài tập có áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử nhằm củng cố kiến thức và phân tích đa thức của học sinh thấy đợc tác dụng rất nhiều của kiến thức này trong
Trang 2giải một số dạng bài tập, đồng thời qua đó phát triển trí tuệ của học sinh, kĩ năng vận dụng của kiến thức đã học và những kiến thức tiếp theo, t duy logic toán học, tính sáng tạo
III Phạm vi, giới hạn
Một số phơng pháp, một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử ở môn toán lớp 8
Phần thứ hai
A Các phơng pháp cơ bản
I Phơng pháp đặt nhân tử chung
Khi phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp này thờng làm nh sau:
- Tìm nhân tử chung
- Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung, các nhân tử khác
- Viết nhân t chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử
ở trong dấu ngoặc với dấu của chúng
Khi phân tích bằng phơng pháp này ta dựa vào tính chất phân phối của phép nhân
đối với phép cộng các đa thức: A.B + A.C =A.(B +C)
II Phơng pháp dùng hằng đẳng thức
áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử Kiến thức cơ bản là :
Giải
Ví dụ 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
Nguyễn Thị Hải Lý THCS Tuân Đạo – Lạc Sơn – Hoà Lạc Sơn – Lạc Sơn – Hoà Hoà 2
Trang 3III phơng pháp nhóm nhiều hạng tử
Khi sử dụng phơng pháp này ta cần nhận xét đặc điểm của các hạng tử rồi kết hợp các hạng tử thích hợp nhằm làm xuất hiện dạng hằng dẳng thức hoặc xuất hiện nhân tử chung của các nhóm rồi dùng các phơng phap đã biết để phân tích đa thức thành nhân tử
Giải
Giải
IV Phối hợp nhiều phơng pháp
Thờng đợc tiến hành theo các trình tự sau :
+ Đặt nhân tử chung (nếu có) để biểu thức còn lại đơn giản hơn dễ nhận xét hơn + Nhóm hạng tử
+ Dùng hằng đẳng thức
Giải
Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
Giải
Trang 4= 3xy[(x-1)2-( y+a)2]
= 3xy(x-1-y-a)(x-1+y+a)
B Các phơng pháp đặc biệt
I phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Trong một số trờng hợp bằng các phơng pháp đã học không thể giải đợc mà ta phải nghĩ tách một hạng tử thành nhiều hạng tử để có thể áp dụng đợc các phơng pháp đã biết
Giải
(x-2)(x-4)
Có nhiều cách tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khảctong đó có 2 cách thông dụng là :
Cách 1 : Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung
Cách 2 : Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu hai bình phơng
Giải
*Chú ý : Khi tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử ta có thể dựa vào hằng đẳng
Trong thực hành ta làm nh sau :
- Tìm tích a.c
- Phân tích a.c ra thành tích hai thừa số nguyên bằng mọi cách
- Chọn hai thừa số mà tổng bằng b
Nguyễn Thị Hải Lý THCS Tuân Đạo – Lạc Sơn – Hoà Lạc Sơn – Lạc Sơn – Hoà Hoà 4
Trang 5Ta có : a = 9 ; b = 6 ; c = -8
+ Tích a.c =9.(-8) =-72 + Phân tích -72 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số dơng có giá trị tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6)
-72 =(-1).72 =(-2).36 = (-3).24 = (-4).12 = (-6).12 = (-8).9 + Chọn hai thừa số có tổng bằng 6, đó là -6 và 12
Từ đó ta phân tích
Ta có : a = 1 ; b = -1 ; c = -6
+ Tích a.c =1.(-6) = -6 + Phân tích -6 thành tích hai thừa số khác dấu sao cho thừa số âm có giá trị tuyệt
đối lớn hơn vì b=-1 < 0 (để tổng hai thừa số bằng -1)
-6 = 1.(-6) = 2.(-3)
+ Chọn hai thừa số có tổng bằng -1, đó là : 2 và -3
Từ đó ta phân tích
*Chú ý : Trong trờng hợp tam thức bậc hai : ax2 + bx + c có b là số lẻ, hoặc không
là bình phơng của một số nguyên thì nên giải theo cách một gọn hơn so với cách hai
II Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử
Khi đa thức đã cho mà các hạng tử trong đa thức đó không chứa thừa số chung, không có dạng của một hằng đẳng thức nào cũng nh không thể nhóm các số hạng thì ta phải biến đổi hạng tử để có thể vận dụng đợc các phơng pháp phân tích đã biết
Trang 664a2 + b4 = 64a2 + b4 + 16a2b2 - 16a2b2
III Phơng pháp đổi biến số ( Đặt ẩn phụ)
bậc hai của biến y
*Chú ý : x2 + x+6 không phân tích đợc nữa trong phạm vi số hữu tỉ (vì tích a.c = 6
= 1.6 =2.3 không có hai thừa số nào có tổng bằng 1 - cách 1 phần I)
IV Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức ( phơng pháp hạ bậc đa thức )
Tổng quát : cho đa thức f(x); a là nghiệm của f(x) nếu f(a) = 0 nh vậy nếu f(x)
chứa nhân tử x - a thì a phải là nghiệm của đa thức
tử không đổi
Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử x + 1
nghiện của đa thức Nh vậy đa thức chứa nhân tử x – 1 Do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung x-1
Nguyễn Thị Hải Lý THCS Tuân Đạo – Lạc Sơn – Hoà Lạc Sơn – Lạc Sơn – Hoà Hoà 6
Trang 7Cách 1: x3 + 3x2 -4 = x3 - x2+ 4x2 -4 = x2(x-1) +4(x-1) = (x-1)(x2 +4x+4)
ở ví dụ trên ta càng nhận thấy tổng các hệ số của đa thức là 1+3-4 = 0 nên đa thức chứa nhân tử x-1 Do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử
chung x-1
vậy đa thức không có nghiệm nguyên Nhng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ.
p
với
p là ớc của hạng tử không đổi, q là ớc dơng của hạng tử cao nhất
Nh vậy trong đa thức trên nghiệm hữu tỉ nếu có chỉ có thể là :
-1 ; -
2
1 ; - 3 ; -
2 3
Kiểm tra thấy x=
2
1
là một nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử
x-2
1 hay 2x-1
Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2x-1
V Phơng pháp hệ số bất định
Giải : Nếu đa thức tiện phân tích đợc thành nhân tử thì phải có dạng
Suy ra : a.c = 2 ; ad+bc =-5 ; am+bd = 8 ; b.m = -3
Trang 8Có thể giả thiết a>0 (vì nếu a<0 thì ta đổi dấu cả hai nhân tử) Do đó a=2 hoặc a=1
Xét a=2 thì c=1 suy ra : 2d+b=-5 ; 2m+bd=8 ; bm=-3
Xét b=-1 thì m=3 => d=-2 thoả mãn các điều kiện trên
=> a=2 ; b=-1 ; c=1 ;d=-2 ; m=3
VI Phơng pháp xét giá trị riêng
Ví dụ 12 : Phân tích đa thức P= ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) thành nhân tử
Giải
Sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng ta có Nếu ta thay a bởi b thì P= 0+ bc(b-c) + bc(c-b) =0, nên p chia hết cho a-b vai trò của a,b,c nh nhau trong đa thức nên p chia hết cho (a-b)(b-c)(c-a)
Trong phép chia đó, đa thức bị chia P có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức chia (a-b)(b-c)(c-a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thơng là hằng số k
ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a)=k(a-b)(b-c)(c-a)
Trong đẳng thức trên cho ta các biến nhận giá trị riêng a=2 ; b=1 ; c=0, ta đợc : 2.1.1+0 +0 =k.1.1.(-2)
2 = -2k => k=-1
Giải
Sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng ta có Nếu ta thay a bởi -b thì
thức nên Q chia hết cho (a+b)(b+c)(c+a)
Trong phép chia đó, đa thức bị chia Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến và đa thức chia (a+b)(b+c)(c+a) cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến số nên thơng là hằng
số k
Cho biến nhận các giá trị riêng a=0; b=1; c=2 ta có :
Nguyễn Thị Hải Lý THCS Tuân Đạo – Lạc Sơn – Hoà Lạc Sơn – Lạc Sơn – Hoà Hoà 8
Trang 9(0+1+2)3-0 -13-23 = k(0+1)(1+2)(2+0)
18 = 6 k => k=3
*Chú ý : Khi đa thức có nhiều biến số và vai trò các biến nh nhau trong đa thức thì
ta sử dụng phơng pháp xét giá trị riêng nh trên
C, Phát huy trí lực của học sinh qua việc Phân tích
đathức thành nhân tử
I Bài toán chứng minh sự chia hết
Vì x nguyên nên x+1,x-1 là số nguyên Do đó:
P = (x+1) x (x-1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp sẽ chia hết cho 3
=(x-2)(x-1)x(x+1)(x+2)
Để giải các bài toán trên tôi đã đi phân tích các đa thức bị chia thành nhân tử (sử dụng việc phân tích đa thức thành nhân tử) để biến đa thức chia thành tích sau
đó tiếp tục sử dụng các kiến thức về tính chia hết suy ra điều phải chứng minh Khi chứng minh một đa thức chia hết cho một đa thức khác ta có nhiều cách chứng minh ở ví dụ 3 ta có thể chứng minh bằng cách thực hiện phép chia, số d bằng 0 có thể dùng lợc đồ Hoocme tìm số d ( d 0 ) Hoặc chứng minh nghiệm của
đa thức chia là nghiệm của đa thức bị chia Nhng cách làm đó dài, hoặc đơn điệu
Trang 10hoặc phức tạp hơn so với cách làm trên (áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử) biến đổi đa thức thành tích khi đó biểu thức đã cho chia hết cho nhân tử cho tích đó
đã làm cho phép giải của bài toán nhanh hơn và lời giải thông minh hơn
II Bài toán chứng minh biểu thức luôn dơng, luôn âm, hoặc không âm
Bài toán này kích thích t duy của học sinh phải đi tìm đờng lối giải và khi giải phải nắm đợc kiến thức:
- Biểu thức luôn dơng (lớn hơn 0) khi tử thức và mẫu thức cùng dấu
- Biểu thức không âm (lớn hơn 0) khi biểu thức cho bằng luỹ thừa bậc chẵn của biểu thức khác
- Bên cạnh đó cần chú ý với trờng hợp biểu thức nguyên ta xét sự luôn luôn dơng hoặc luôn âm của biểu thức dựa vào dấu của các nhân tử kết hợp với qui tắc nhân dấu trong dấu nguyên
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng biểu thức M =
2 2 3
1
2 3 4
3 4
x x x x
x x x
không âm với mọi x
Giải
Ta có : M =
2 2 3
1
2 3 4
3 4
x x x x
x x
2 2 3
) 1 ( ) 1 (
2 3 4 3
x x x x
x x
2 2 3
) 1 )(
1 (
2 3 4
3
x x x x
x x
=
) 1 )(
2 (
) 1 (
) 1 (
2 2
2 2
x x x
x x x
=
) 2 (
) 1 ( 2 2
x x
4
1 + 4
3
=(x+
2
1
4
3
Với những bài toán này các em phải phân tích đa thức thành nhân tử hoặc rút gọn biểu thức Qua đó kỹ năng phân tích của các em đợc rèn luyện và phát triển cùng với những kỹ năng giải toán khác
III Bài toán rút gọn và và tính số trị của biểu thức.
Đây là bài toán áp dụng gần gũi nhất đối với việc phân tích đa thức thành nhân
tử Đờng lối giải là vận dụng tính chất cơ bản của phân thức đại số để thu thành
Nguyễn Thị Hải Lý THCS Tuân Đạo – Lạc Sơn – Hoà Lạc Sơn – Lạc Sơn – Hoà Hoà 10
Trang 11nhân tử sau đó rút gọn thành nhân tử chung ở đây cơ bản là rèn kỹ năng phân tích
đa thức thành nhân tử bên cạnh đó sử dụng một số tính chất toán học khác để giải
Sự kết hợp đó có tác dụng rèn trí tuệ cho học sinh giúp các em thấy sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức toán học phát triển trí tuệ thông minh và t duy logickhoa học
ở các em
Ví dụ : Cho P =
7 8
5 5
2
x x x
a/ Rút gọn P
Giải P =
7 8
5 5
2
x x
x
=
) 7 7 ( ) (
) 1 ( 5
x x x
x
=
) 1 ( 7 ) 1 (
) 1 ( 5
x x
x
x
= 7
5
x
( với x -1; x -7)
b/ Tính giá trị của P với x=2001
Giải P =
7
5
x =
7 2001
5
= 2008 5
IV Bài toán chứng minh đẳng thức.
Loại toán này đờng lối giải là ta phải đi bến đổi, rút gọn biểu thức phức tạp ở vế này đến kết quả là biểu thức đơn giản hơn ở vế kia nhng cũng có bài ta phải biến
đổi rút gọn ở cả hai vế để đi đến 1 kết quả giống nhau
Thực chất của bài toán này là bài toán rút gọn biểu thức
Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau :
7 8
5 5
2
x x
x
= 7
5
x
Giải Biến đổi VT ta có : VT =
7 8
5 5
2
x x
x
=
) 7 )(
1 (
) 1 ( 5
x x
x
= 7
5
x =VP Vậy đẳng thức đợc chứng minh
Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau
1
2
x
x
=
) 4 2 )(
1 (
8 2 3
x x x
x
Giải Biến đổi VP ta có : VP =
) 4 2 )(
1 (
8 2 3
x x x
x
=
) 4 2 )(
1 (
) 4 2 )(
2 (
2 2
x x x
x x x
=
x
x
1 2
Biến đổi VT ta có : VT =
1
2
x
x
=
1
) 2 (
x
x
=
x
x
1 2
VT =VP Vậy đẳng thức đợc chứng minh
Với học sinh các em rất thích thú với dạng bài tập này vì các em cho rằng đây là dạng toán đã cho sẵn kết quả
Trang 12V Bài toán tìm giá trị của biến số để biểu thức có giá trị nguyên.
Để giải bài toán này đờng lối chung là tách phần nguyên để còn xét phần phân thức ở dạng đơn giản hơn (Phần lớn các bài toán sau khi rút gọn kết quả chỉ còn phân thức đơn giản hơn) Tiếp thea ta dùng giá trị tử của biến số để phân thức
ấy có giá trị nguyên Muốn đạt đợc giá trị nguyên thì tử thức phải chia hết cho mẫu thức hay nói cách khác: Mộu thúc phải là ớc của tử thức Từ đó ta tìm đợc giá trị của biến
Ví dụ : Cho P =
7 8
5 5
2
x x
x
Tìm giá trị của xđể biểu thức có giá trị nguyên Giải:
Theo VD1 ở IV -3 ta có: P=
7 8
5 5
2
x x
x
= 7
5
x
Vậy khi biến số nhận một trong các giá trị { -12;-8;-6;-2} thì P đạt giá trị nguyên
phần thứ ba Kết luận
Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung chủ yếu trong chơng trình toán 8, muốn phát huy đợc trí lực của học sinh ta cần sử dụng nhiều phơng pháp khác nhau Trong quá trình giảng dạy, tôi đã vận dụng các phơng pháp trên để phát huy trí tuệ của học sinh thông qua việc phân tích đa thức thành nhân tử, tôi thấy kết quả học sinh có tiến bộ rõ rệt, nhiều em đã say mê học toán
Trên đây là một vài sáng kiến mà tôi đã áp dụng trong năm học này, rất mong sự
đóng góp của các đồng nghiệp
Xin chân thành cảm ơn
Tuân Đạo, ngày 18 tháng 05 năm 2010
Ngời thực hiện
Nguyễn Thị Hải Lý
Nguyễn Thị Hải Lý THCS Tuân Đạo – Lạc Sơn – Hoà Lạc Sơn – Lạc Sơn – Hoà Hoà 12