Sáng kiến: Kinh nghiệm giảng dạy chuyên đề tiếp tuyến của đường cong YF(x) vào bài toán liên quan

Đây là bộ đề tài hay, được tuyển chọn kĩ càng, có chất lượng cao, giúp các thầy cô giáo nâng cao trình độ chuyên môn, nghiệp vụ giảng dạy bộ môn, phục vụ tốt việc giảng dạy. Hy vọng tài liệu sẽ giúp ích đắc lực cho các thầy cô trong công tác giảng dạy.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI

TRƯỜNG THPT SỐ 1 TP LÀO CAI

Tên sáng kiến:

Lê Thị Hiền

MỤC LỤC

PHẦN 1 MỞ ĐẦU

Chủ ñề Trang

1 Tính cấp thiết của ñề tài 2

2 Tình hình nghiên cứu 2

3 Mục ñích nghiên cứu 3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

5 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu 4

PHẦN 2 NỘI DUNG 6 Đặt vấn ñề 5

7 Viết phương trình tiếp tuyến của ñường cong y = f(x) tại ñiểm M0(x0;y0) 5

8 Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = f(x) khi biết hệ số góc k 14

9 Viết phương trình tiếp tuyến qua A(xA;yA) 18

PHẦN 3 KẾT LUẬN 23

PHẦN 4 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 24

Đề tài:

KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY CHUYÊN ĐỀ

TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG Y = F(x) VÀ BÀI TOÁN

LIÊN QUAN

Phần 1 MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của ñề tài

Trang bị những tri thức, phương pháp và phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh là các mục tiêu ñược ñặt lên hàng ñầu trong các mục tiêu dạy học môn toán

Phương trình tiếp tuyến của ñường cong y = f(x) và bài toán liên quan là một vấn ñề ñược giáo viên và học sinh thâm nhập với một lượng thời gian không nhiều (khoảng 2 tiết) nhưng ñây là vấn ñề có thể phát triển khả năng tư duy toán học cho học sinh và ñược áp dụng nhiều trong các kì thi tốt nghiệp và Đại học Trong quá trình giảng dạy bộ môn toán 12, tôi nhận thấy rằng học sinh còn lúng túng khi lựa chọn cho mình một phương pháp phù hợp có hiệu quả nhất ñể giải quyết các bài toán về tiếp tuyến và bài toán liên quan ñến tiếp tuyến

của ñường cong y = f(x) Từ ñó, tôi ñã lựa chọn ñề tài “Kinh nghiệm

giảng dạy chuyên ñề tiếp tuyến của ñường cong y = f(x) và bài toán liên quan” với mong muốn giúp học sinh:

1 Tổng hợp ñược kiến thức, không còn bị ñộng trong quá trình nắm bắt kiến thức, hiểu và nhớ kiến thức mới một cách chủ ñộng

2 Rút ngắn ñược thời gian giải toán với ñộ chính xác cao

2 Tình hình nghiên cứu

Trong chương trình dạy học bộ môn Toán nói chung và ôn thi tốt nghiệp và Đại học-Cao ñẳng cho học sinh khối 12 nói riêng, chúng ta

cần phải cho học sinh ñề cập ñến chuyên ñề “Tiếp tuyến của ñường cong y = f(x) và bài toán liên quan” Sau nhiều năm trực tiếp tham gia giảng dạy môn Toán 12 và ôn thi Đại học – Cao ñẳng cho học sinh khối 12 của trường THPT số 1 TP Lào Cai, tôi nhận thấy trình ñộ nhận thức, kỹ năng thực hành, phương pháp tư duy của một số học sinh về các bài toán tiếp tuyến của ñường cong y = f(x) và bài toán liên quan còn yếu Có nhiều nguyên nhân ñể dẫn ñến tình trạng này như: học sinh giải toán kém, không phát huy ñược tính tư duy sáng tạo của mình, học tập còn thụ ñộng, ñối phó Điều này liên quan ñến người dạy, người học và nhiều vấn ñề khác nữa Nhưng theo tôi nguyên nhân chủ yếu nhất là do học sinh học kém, nắm kiến thức cơ bản không vững, thiếu cố gắng trong học tập, chưa có ý thức học tập một cách tích cực, chủ ñộng, ngại phát hiện và giải quyết những vấn

ñề mới dựa trên nền tảng kiến thức cũ, hơn nữa thời lượng cho chuyên

ñề không nhiều, tài liệu tham khảo còn chung chung, hoặc nhiều thầy,

cô chưa thực sự ñi sâu về chuyên ñề này Dựa trên tình hình thực tế

ñó, từ năm học 2007 – 2008 tôi ñã ñăng ký với tổ chuyên môn ñi sâu nghiên cứu, tìm tòi về chuyên ñề này nhằm cùng với quí thầy, cô trong trường cùng với các em học sinh khắc phục phần nào những tồn tại trên

3 Mục ñích nghiên cứu

Với mục ñích giúp cho học sinh học có hiệu quả hơn và có cái nhìn tổng quan, hiểu ñược bản chất của vấn ñề ñặt ra, từ ñó ñưa ra phương pháp giải mạch lạc phù hợp với những ñòi hỏi của mỗi bài thi, giúp học sinh tự tin và có phương pháp phù hợp khi gặp phải các bài toán liên quan ñến tiếp tuyến của ñường cong Yêu cầu ñặt ra phải trang bị cho học sinh, ñặc biệt là ñối với học sinh khối 12 phương pháp giải các dạng bài toán về tiếp tuyến của ñường cong y = f(x) và bài toán liên quan

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số vấn ñề về Phương pháp giải các bài toán

tiếp tuyến và bài toán liên quan Những bài toán về tiếp tuyến và bài

toán liên quan nội dung rất hấp dẫn và khó giải quyết Một trong những nguyên nhân gây khó giải quyết của nó là vì thời gian ñược tiếp cận chúng không nhiều và thường ñược hỏi theo nhiều khía cạnh khác nhau, mổ xẻ vấn ñề không phải là các phương pháp thông thường hay ñược áp dụng trong ñại số Để giải quyết phần nào những khó khăn trên, qua nghiên cứu SGK(Đại số 11-12), SGV(Đại số 11-12), chuẩn kiến thức kĩ năng, các tài liệu tham khảo và qua nhiều năm giảng dạy của bản thân và các bài giảng của ñồng nghiệp, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này nhằm cung cấp những phương pháp học và giải bài tập về tiếp tuyến của ñường cong y = f(x) và bài toán liên quan giúp các bạn yêu thích toán học, các thầy, cô giáo, các em học sinh các trường THPT và các em học sinh ñang học lớp 12 ôn thi tốt nghiệp và Đại học làm tài liệu tham khảo và tiếp tục phát triển

5 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu Phương pháp giải các bài tập về tiếp tuyến của ñường cong y = f(x) và bài toán liên quan là một nội dung quan

trọng của ñại số 12 trong chương trình Toán THPT

Dưới ñây tôi xin ñược trao ñổi với quý ñồng nghiệp một số bài toán và phương pháp giải cho những bài toán về: ‘‘Tiếp tuyến của ñường cong y = f(x)” (thường là những bài toán thường gặp trong các

kỳ thi tốt nghiệp, thi Đại học) mà trong thời gian qua tôi ñã sử dụng

ñể hướng dẫn học sinh giải quyết dạng toán này

Phần 2 NỘI DUNG

Đặt vấn ñề

Học tập là một hoạt ñộng của học sinh, hoạt ñộng học tập nhằm lĩnh hội những ñiều mà hoạt ñộng dạy truyền thụ và biến những ñiều tiếp thu ñược thành ‘‘năng lực thể chất và năng lực tinh thần” Với tư cách là một hoạt ñộng, việc học chỉ xảy ra khi nào mà những hành ñộng của con người ñược ñiều khiển bởi mục ñích tự giác lĩnh hội tri thức, kĩ năng, kĩ xảo, những hành vi và những hoạt ñộng nhất ñịnh Chính vì vậy, khi dạy các nội dung kiến thức ñi sâu về rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh, là một trong những giáo viên trực tiếp giảng dạy, tôi thường ñạt ra những câu hỏi “làm thế nào giúp học sinh hiểu và nắm bắt ñược phương pháp giải toán nhanh và có hiệu quả nhất” Muốn vậy, là giáo viên chúng ta phải nắm vững ñược kiến thức và hiểu rõ nội dung của sách giáo khoa Rồi từ ñó lựa chọn phương pháp phù hợp với ñối tượng học sinh với những dạng toán cụ thể giúp các em ñịnh hướng ñược phương pháp giải nhanh nhất và có hiệu quả nhất Sau ñây là một số bài toán về “Tiếp tuyến của ñường cong y = f(x)” và phương pháp giải

mà tôi ñã sử dụng ñể hướng dẫn học sinh thực hiện trong thời gian qua

Đề tài: KINH NGHIỆM GIẢNG DẠY CHUYÊN ĐỀ

TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG Y = F(x) VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1 Viết phương trình tiếp tuyến của ñường cong y = f(x) tại ñiểm M 0 (x 0 ;y 0 )

a Lập phương trình tiếp tuyến của ñộ thị hàm số tại ñiểm M(1;-5)

b Lập phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại giao

ñiểm của ñồ thị với trục tung

c Lập phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại giao

ñiểm của ñồ thị với trục hoành

Giải

a Tiếp tuyến tại ñiểm M(1 ;-5) có dạng : y = y’(1)(x – 1) – 5

Ta có y’ = 3x2 – 2x + 1 ⇒ y’(1) = 2

Do ñó phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng : y = 2(x – 1) – 5

b Tọa ñộ giao ñiểm của ñồ thị hàm số với trục oy là nghiệm của

hệ :

(0; 6) 0

0

y

M x

0

x

M y

tiếp tuyến tại hai ñiểm ñó vuông góc với nhau

c Tìm k ñể trên ñồ thị có ít nhất một ñiểm mà tiếp tuyến tại

ñó vuông góc với ñường thẳng (d) : y = kx

Giải

a Ta có y’ = 3x2 + 6x + 3 ⇒y’’ = 6x + 6

⇒ y" = ⇔ = − 0 x 1 ⇒ y= 4 Vậy tọa ñộ ñiểm uốn I(-1;4)

Tiếp tuyến tại ñiểm I(-1;4) có dạng : y = y’(-1)(x + 1) + 4

Ta có y’ = 3x2 + 6x + 3 ⇒ y’(-1) = 0 Do ñó phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng : y = 4

Giả sử M0(x0 ;y0) là ñiểm nằm trên ñồ thị và phương trình tiếp tuyến tại ñiểm M0(x0 ;y0) có dạng : y = f’(x0)(x-x0)+y0

Tổng quát :

b Giả sử A, B là hai ñiểm ∈ (C) sao cho tiếp tuyến tại hai ñiểm ñó vuông góc với nhau và hoành ñộ tương ứng là x1; x2 ⇒

f’(x1).f’(x2)=-1⇔(3x12+6x1+3)(3x22+6x2+3)=-1⇔9(x1+1)2(x2+1)2=-1 (vô lí) ⇒ ñpcm

c Giả sử M0(x0 ;y0) là ñiểm nằm trên ñồ thị và phương trình tiếp tuyến tại ñiểm M0(x0 ;y0) có dạng y = f’(x0)(x-x0)+y0

Để tiếp tuyến tại ñiểm M0 vuông góc với ñường thẳng (d) : y = kx ⇔

Tổng quát:

Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a≠ 0)

*) Nếu a > 0 thì tiếp tuyến tại ñiểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất

*) Nếu a < 0 thì tiếp tuyến tại ñiểm uốn có hệ số góc lớn nhất

Phương trình tiếp tuyến ( )∆ của ñồ thị hàm số y = f(x) tại

ñiểm M0 (x 0 ;y 0 ) có dạng : y = f’(x 0 )(x-x 0 )+y 0

Bài 3 Cho hàm số y =

2 3x x+4 4x+m

n m

m

vn m

a Lập phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số tại giao ñiểm của ñồ thị với trục ox

ñộ bằng 3

hai ñường tiệm cận một tam giác có diện tích không ñổi

d Tìm tất cả các ñiểm M nằm trên ñồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến tại M tạo với hai ñường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất

b Gọi M(x0 ;3) là ñiểm thuộc ñồ thị hàm số ⇒x0 = 4 ⇒M(4 ;3)

Tiếp tuyến tại ñiểm M(4;3) có dạng : y = y’(4)(x – 4) + 3

M là ñiểm tùy ý thuộc ñồ thị, giả sử M có hoành ñộ bằng a, khi ñó M(a,y(a)) và phương trình tiếp tuyến tại M có dạng :

y = y’(a)(x – a) + y(a) ⇔y = 3 2( ) 2a+1

Bài 5 Cho hàm số y =

2

2 2 1

b Xác ñinh a ñể tiếp tuyến ( )∆ ñi qua ñiểm (1;0) Chứng tỏ rằng

có hai giá trị của a thỏa mãn ñiều kiện của bài toán và hai tiếp tuyến tương ứng là vuông góc với nhau

c Gọi I là tâm ñối xứng của ñồ thị, M là một ñiểm nằm trên ñồ thị.Tiếp tuyến tại ñiểm M của ñồ thị cắt hai ñường tiệm cận

ñứng và xiên tại hai ñiểm A và B Chứng tỏ rằng M là trung ñiểm của AB, và tam giác IAB có diện tích không phụ thuộc M

2a+2 1

a

a y

a

+

= + ; y’ =

2

2

2x (x+1)

a a

a +

x + 2

2

4a+2 ( 1)

a a

+ +

b Tiếp tuyến ( )∆ ñi qua ñiểm (1;0) khi : 2 2a2

(a+1)

a +

+ 2

2

4a+2 ( 1)

a a

Cỏc tiếp tuyến cú hệ số gúc tương ứng là: k1 =

2

1 1 2 1

2a (a +1)

a +

; k2 =

2

2 2 2 2

2a (a +1)

Ta cú k1.k2 =

2

1 1 2 1

2a (a +1)

2

2 2 2 2

2a (a +1)

M(a;y(a)) và phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:

y = y’(a)(x-a)+y(a)

1

2 2 )

( ) 1 (

ư +

a a

ư +

2

; 1 ( 1 2 1 1

2 2 )

( )

1

(

2

1 2

2

2

a

A a

y x a

a a a x a

; 1 2 ( 2 2

1 2 1

2 2 )

( )

1

(

2

1 2

2

2

+ +

ư +

y

a x a

a a a x a

a

a

y

x y

Ta thấy xA+ xB=2a=2xM ⇔M là trung điểm của AB

Diện tích của tamg giác IAB được xác định bởi công thức:

1 2

1

a a x

x y

ủồ thị hàm số ủều:

a) Cắt hai ủường tiệm cận tại hai ủiểm A và B sao cho M là trung

ủiểm của ủoạn thẳng AB

M(a;y(a)) ∈(C)với a>1, khi ñó phương trình tiếp tuyến của (C) tại M

có dạng: y=y’(a)(x-a)+y(a)

1 )

( ) 1 (

2

2

− +

a a

2

; 1 ( 1 2 1 1

) ( ) 1 ( 2

a y x a

a a x a

a a y

; 1 2 ( 2

1 2 1

) ( ) 1 ( 2

y

a x a

a a x a

a a y

x y

BI=

4 cos 2 2

4 1

2

BI AI BI

AI AB BI

Vậy CVmin = 44 2 + 2 2 ( 2 − 1 ) khi AI=BI

; 2

1 1

4 4

Phương pháp chung: Ta có thể lựa chọn một trong hai cách:

*) Cách 1: Xác ñịnh hoành ñộ tiếp ñiểm qua phương trình

Lập phương trình tiếp tuyến của

ñường cong (C) khi biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

Giải

*) Cách 1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp ñiểm của tiếp tuyến ∆ với (C)

Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y=f’(x0)(x-x0)+y0

x y y

y x

x

3 3

8 3 4

3 8

3 4 0

0

0 0

0

*) Cách 2: Gọi ( ∆ ) là ñường thẳng cần tìm, khi ñó phương trình

ñường thẳng có dạng: y = 3x+b Đường thẳng ( ∆ ) là tiếp tuyến của

ñồ thị hàm số lập với hai ñường tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ

nhất khi và chỉ khi IA = IB (I là giao ñiểm của hai ñường tiệm cận, A và

B lần lượt là giao ñiểm của tiếp tuyến với hai ñường tiệm cận.)

Bài 8 Cho hàm số y = x 3 – 3x 2 + 2 Lập phương trình tiếp tuyến của

ñồ thị hàm số biết rằng tiếp tuyến ñó vuông góc với ñường thẳng

(d) : 3x – 5y – 4 = 0

Giải

*) Cách 1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp ñiểm của tiếp tuyến ∆ với (C)

Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y=f’(x0)(x-x0)+y0

+

+ +

x

x x

a, Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến ñó vuông góc với ñường thẳng có phương trình x-3y-6=0

b, Lập phương trình tiếp tuyến của (C), biết rằng tiếp tuyến ñó song song với ñường thẳng có phương trình y =-2x+6

Giải:

Ta có y=

2

3 3 2

+

+ +

x

x x

= x+1+ 1

x+2

a) *) Cách 1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp ñiểm của tiếp tuyến ∆ với (C) Phương trình tiếp tuyến ∆ có dạng y=f’(x0)(x-x0)+y0

Vì ∆ vuông góc với ñường thẳng (d) : y = 1 2

6 3 (

3 6 ) 3

3 6 ( 2

−

+ +

+ +

tại hai ñiểm và hai tiếp tuyến tại hai ñiểm ñó vuông góc với nhau

Gi¶i

a, Ta có y = x – 3m +

m x

m m

+

+

2 3

Để (Cm) có tiếp tuyến

) 1 ( 3 1

0 0

Khi ủú:

) (

2 2

) (

3 1 ) ( )

(

3

2 0

2 0 2

0 2 0

2 0

2 2

m x

m m mx x

m x

m m x

k m

x

m m

+

ư

ư +

= +

m x m

x

m x

m x

m m mx m mx k

+

ư

= +

ư

= +

ư

ư +

0

2 2 0 2

0

2 0

) (

2 2 )

(

2 2

= +

ư

0 3

) 1 ( 0 2

2 2

m m

m mx x

cú hai nghiệm phõn

m m

m

gọi A(x1 ;y(x1)), B(x2 ;y(x2)) là hai giao ủiểm

1 ) ( ' ) ( ' ) (

2 ) ( '

; ) (

2 )

(

2

2 2

ư

=

m x

m x x

y m x

m x x

y

0 5

) (

3 5

1 ) )(

(

) )(

(

2 1 2

1 2

1

2

+ +

ư

ư

m x m x

m x m x

⇔

5

0 (*)

2

2 1

2 1

m

m m

x x

m x x

so sỏnh với ủiều kiện m=5

3 Viết phương trỡnh tiếp tuyến qua A(x A ;y A )

Phương phỏp chung :

*) Cách 1: Giả sử hoành độ tiếp điểm là x0 khi đó phương trình tiếp

tuyến tại điểm M có dạng y=f (x0)(x-x0)+y0.(d)

Nếu ủồ thị hàm số y = f(x) =

) (

) (

x v

x u

cắt trục hoành tại ủiểm x =x 0 thỡ

hệ số gúc của tiếp tuyến tại ủiểm x 0 là k =

) (

) ( '

0

0

x v x u

k x f

x f y x x

) ( '

) ( )

(

cã nghiÖm

Bài 11(Đ61) Cho hàm số y = x 3 -3x 2 +2 Lập phương trình tiếp tuyến

biết rằng tiếp tuyến ñó qua A( ; 2 )

Với x0 = 3 ⇒f’(x0) = 9 ⇒Phương trình tiếp tuyến y = 9x-25

Với x0 = -2 ⇒f’(x0) = 0 ⇒Phương trình tiếp tuyến y = -2

Cách 2 Phương trình ñường thẳng (d) qua ñiểm A với hệ số góc k có

dạng y = k(x-xA)+yA. Để (d) là tiếp tuyến của ñường cong khi

−

27

61 3 5

25 9 2

3 5 9 0

3 1 3 2

6 3

2 ) 3

2 ( 2

x y y

k k k

x x x k

x x

x k x

x

2

≠ +

+ +

e dx

c bx ax

a, Lập phương trình tiếp tuyến qua A(0;1- 3)

b, Chứng minh rằng qua A có thể kẻ ñược hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

x

+ +

−

+

= + + +

) 2 ( )

(

) 1 (

2 k e dx d

m kx e dx

x

γ α

γ β

2

1 1 )

( ) ( 1

γ

γ α γ

= +

+

d

e d

ke e

dx

m d

ke e

dx

d e

dx d e dx

x

Thay (4) vào (2) ta ñược f(k)=Ak 2 +Bk+C=0 (5)

Khi ñó theo yêu cầu cụ thể của bài ñưa về giải hoặc biện luận ñiều kiện cho của phương trình

b, Vì hệ số góc của hai tiếp tuyến là nghiệm của phương trình (*)

⇒k1.k2=-1

Bài 13: Cho y =

x

m mx

a, Phương trình ñường thẳng ñi qua M có dạng y=k(x-2)-1 (d) Để

ñường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C) khi

−

k x

k kx x x

2

1 1

1 2

1 1

5 1

1 ) 2 ( 5 3

5 1

5 3

5 1

5 3

5 1

2

5 1

2

5 1

2

1

x y

x y

k

k x

1 ) 2 (

2

m

m k

x

m

x k x

+

+ +

x

x x

a, Lập phương trình tiếp tuyến biết rằng tiếp tuyến ñó ñi qua

2

3

b, Tìm trên ñường thẳng y = -1 những ñiểm mà từ ñó có thể kẻ

ñược hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Giải

a, Phương trình ñường thẳng y = k(x-1)+

2 3 (d) Để ñường thẳng (∆) là