Một số biện pháp giúp học sinh phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học phương trình ở môn Toán trung học phổ thông

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN QUANG LONG MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH Ở MÔN TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LU

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN QUANG LONG

MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH Ở MÔN TOÁN

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

THÁI NGUYÊN, 2014

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN QUANG LONG

MỘT SỐ BIỆN PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM TRONG DẠY HỌC PHƯƠNG TRÌNH Ở MÔN TOÁN

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và Phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 60.14.01.11

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS_TS ĐÀO THÁI LAI

THÁI NGUYÊN, 2014

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Nguyễn Quang Long

Xác nhận của Người hướng dẫn khoa học

PGS-TS Đào Thái Lai

Xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn bè và đồng nghiệp, những người luôn động viên, khích lệ tôi hoàn thành luận văn này

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, Tháng 4 năm 2014

Tác giả luận văn

Nguyễn Quang Long

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt iv

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 3

4 Giả thuyết khoa học 4

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

6 Phương pháp nghiên cứu 4

7 Đóng góp của luận văn 5

Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ THỰC TẾ HỌC TOÁN GIẢI PT Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 6

1.1 Nội dung chương trình dạy học PT THPT 6

1.2 Một số công trình liên quan 8

1.3 Nghiên cứu một số sai lầm phổ biến của HS phổ thông khi giải toán về chủ đề PT 9

1.3.1 Sai lầm do tính toán thông thường và hiểu sai kí hiệu logic 9

1.3.2 Sai lầm liên quan đến điều kiện xác định của PT: 11

1.3.3 Sai lầm liên quan đến sử dụng công thức biến đổi dẫn đến sai nghiệm, thiếu trường hợp 16

1.3.4 Sai lầm trong khi HS thực hiện phép biến đổi tương đương và rút ra hệ quả 25

1.3.5 Sai lầm liên quan đến tư duy hàm 37

1.4 Sự cần thiết phát hiện và sửa chữa sai lầm trong giải toán PT 43

1.5 Phân tích nguyên nhân dẫn đến sai lầm trong giải toán PT 45

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP PHÁT HIỆN VÀ SỬA CHỮA SAI LẦM

CỦA HỌC SINH THÔNG QUA PHÂN TÍCH SỬA CHỮA SAI LẦM 48

2.1 Cơ sở lý luận 48

2.1.1 Một số quan điểm về dạy học sửa chữa sai lầm trong phương pháp dạy học 48

2.2.1.1 Quan điểm trong phương pháp dạy học theo thuyết hành vi 48

2.2.1.2 Quan điểm trong phương pháp dạy học theo thuyết kiến tạo 49

2.2.1.3 Quan điểm trong phương pháp dạy học theo Thuyết tình huống 51

2.1.2 Một số quan điểm về bài tập PT 53

2.2 Một số biện pháp giúp HS phát hiện và sửa chữa sai lầm trong quá trình dạy học PT ở THPT 54

2.2.1 Biện pháp 1: Hệ thống hóa kiến thức cơ bản để giải PT 55

2.2.1.1 Phương pháp dạy học sinh nắm vững bản chất, ý nghĩa khái niệm tạo cơ sở của toàn bộ kiến thức toán học của học sinh 55

2.2.1.2 Rèn luyện cho HS nắm vững bản chất định lý, quy tắc trong sách giáo khoa từ đó tạo vận dụng giải bài tập PT 61

2.2.1.3 Giáo viên cần trang bị cho học HS hiểu các kí hiệu lôgic, thuật ngữ toán học 65

2.2.1.4 GV cần trang bị một số kỹ năng cơ bản giải bài tập PT 66

2.2.2 Biện pháp 2: Người dạy cần chú ý tới các yêu cầu: tính giáo dục, tính kịp thời, tính chính xác trong quá trình phát hiện và sửa chữa sai lầm cho học sinh 71

2.2.2.1 Kịp thời phát hiện HS mắc sai lầm 71

2.2.2.2 Hướng dẫn sửa chữa, đánh giá sai lầm chính xác 72

2.2.2.3 Vận dụng tình huống sửa chữa sai lầm mang tính giáo dục 74

2.2.3 Biện pháp 3: GV kiến tạo các tình huống dễ dẫn tới sai lầm để HS được thử thách với những sai lầm đó 76

Kết luận chương 2 83

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 85

3.2 Tổ chức thực nghiệm 85

3.3 Nội dung thực nghiệm 85

3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm 87

3.4.1 Đánh giá kết quả định tính 87

3.4.2 Đánh giá về mặt định lƣợng 89

KẾT LUẬN 91

TÀI LIỆU THAM KHẢO 92

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

Toán học là bộ môn khoa học quan trọng có nhiều ứng dụng trong thực

tế trong các ngành khoa học kỹ thuật Cũng như các môn khoa học khác, học toán học giúp con người trong việc rèn luyện tư duy suy nghĩ, phương pháp luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết vấn đề, rèn luyện trí thông minh sáng tạo Ngoài ra còn rèn luyện đức tính nhiều đức tính khác như cần

cù và nhẫn lại, ý trí vượt khó… Dù bạn trong ngành nào thì toán học cũng rất cần cho công việc của chính bạn Do vậy GDTHPT hiện nay coi môn toán là môn học chính, không thể thay thế Tuy nhiên khảo sát thực tiễn dạy học toán nhiều năm qua có thể thấy chất lượng dạy toán ở trường phổ thông còn chưa tốt, thể hiện ở năng lực giải toán của HS còn hạn chế do còn nhiều sai lầm về kiến thức, và phương pháp

Hiện nay HS nhiều lỗ hổng kiến thức toán trầm trọng, dẫn đế các em ngại học môn toán, không có ý trí học tập Ngược lại nhiều HS khá giỏi, thậm trí là xuất sắc nhưng vẵn mắc phải sai lầm khá cơ bản B.V.Gownhenvenco khi nêu ra 5 phẩm chất toán học thì có nói 3 phẩm chất liên quan đến tránh sai lầm

- Năng lực nhìn thấy được tính không rõ ràng của suy luận; thấy được thiếu mắt xích cần thiết của chứng minh

- Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ

- Sự chính xác của lý luận

Tiếp tục chương trình phổ thông là các trường chuyên nghiệp nếu không phân tích sửa sai trong tư duy của người học dẫn đến sai lầm nối tiếp sai lầm là hậu quả của người học

,

Chủ đề PT có vị trí quan trọng trong chương trình môn Toán THPT Kiến thức và kỹ năng về chủ đề này có mặt xuyên suốt từ đầu cấp đến cuối cấp Những kiến thức về PT còn là chìa khoá để giải quyết nhiều vấn đề thuộc hầu hết các chủ đề kiến thức về Đại số, Giải tích và Hình học, đặc biệt là Hình học giải tích Vì vậy bên cạnh việc giảng dạy các kiến thức lý thuyết về chủ đề

PT một cách đầy đủ theo quy định của chương trình, việc rèn luyện kỹ năng giải PT cho HS có ý nghĩa quan trọng trong việc nâng cao chất lượng dạy học

C PT rất quen thuộc với HS phổ thông nhưng

HS, do đó

Qua khảo sát thực tiễn dạy học ở nước ta trong các năm qua có thể thấy rằng chất lượng dạy học ở THPT còn chưa tốt, điều đó thể hiện năng lực giải toán của HS còn hạn chế do HS còn vi phạm nhiều sai lầm về kiến thức, phương pháp học toán Trong đó nhiều GV chưa chú ý đến tạo cho HS khả năng tự phát hiện sai lầm trong giải toán, đều đó dẫn đến sai lầm không được

HS nhận thấy kịp thời gây ảnh hưởng đến năng lực giải toán của HS Việc tìm

ra những nguyên nhân của sai lầm đó là để có những biện pháp hạn chế, sửa chửa chúng, giúp cho HS nhận thức được những sai lầm và khắc phục những sai lầm này, nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho HS đồng thời nâng cao hiệu quả dạy học toán các trường THPT

Xuất phát từ vấn đề nêu trên, nên tôi lựa chọn đề tài “Một số biện pháp

giúp HS phát hiện và sửa chữa sai lầm trong dạy học PT ở môn toán THPT "

2 Mục đích nghiên cứu

sai lầm trong giải toán PT

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán cho HS

PT

3.2 Đối tượng nghiên cứu:

4 Giả thuyết khoa học

Nếu nhận dạng được những sai lầm của học sinh THPT khi giải toán

phòng ngừa những sai lầm đó thì sẽ nâng cao hiệu quả dạy học PT ở THPT

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận về tình huống dạy học giải toán, rèn luyện

kỹ năng giải toán, quan điểm khắc phục khó khăn và sai lầm của HS khi giải toán trong một số PPDH tích cực

HS THPT khi giải toán chủ đề PT

PT

PT cho HS THPT

5.4 Thực

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về

các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn

6.2 Phương pháp điều tra – quan sát:

PT

6.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy thực nghiệm và

xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp Kết quả thực nghiệm sư phạm

6.4 Phương pháp thống kê toán học: Xử lí số liệu thu đƣợc sau quá trình

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung luận văn đƣợc trình bày trong

Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ THỰC TẾ HỌC TOÁN GIẢI PT

Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

1.1 Nội dung chương trình dạy học PT THPT

Một trong các chủ đề lớn xuyên suốt chương trình toán học phổ thông là chủ đề PT, từ tiểu học đến THPT trong các lớp đều giải toán PT Tuy nhiên các lớp tiểu học chỉ làm quen với PT một cách tiềm tàng Ở lớp 8 HS đã được học cấc khái niệm PT, ẩn số nghiệm của PT, tập xác định, hai PT tương đương nhưng chưa được học về PT hệ quả Lên lớp 9 HS được học về PT bậc nhất hai

ẩn, hệ PT bậc nhất 2 ẩn, PT bậc hai và các PT quy về bậc hai

Bắt đầu lên THPT ngay từ lớp 10 kiến thức về PT HS học ở THCS được tổng kết nâng cao, định nghĩa PT và các khái niệm liên quan, một số PT đưa về

hệ PT Lớp 11 HS đã học mở rộng về PT là PT lượng giác một trong các PT siêu việt đầu tiên mà HS gặp trong chương trình phổ thông Lớp 12 HS đã học

về các PT siêu việt như PT mũ PT lôgarit Cuối năm học này HS học thêm về

PT bậc nhất bậc hai nhưng được mở rộng trên trường số phức

Cụ thể chương trình dạy học PT của THPT ở các lớp trong phân phối chương trình:

Lớp 10 nâng cao: Chương 3 học kỳ 1

Đại cương về PT: (2tiết)

Lớp 11 Chương trình nâng cao:

PT lượng giác cơ bản (6 tiết)

Một số PT lượng giác đơn giản (7tiết)

Lớp 12 cơ bản:

PT mũ và PT lôgarit (4 tiết)

PT bậc 2 đối với hệ số thực (2 tiết)

Lớp 12 Chương trình nâng cao:

PT mũ và PT lôgarit (2 tiết)

Căn bậc hai của số phức và PT bậc 2 (3 tiết)

Ngoài những tiết được nêu trên thì đan xen các bài tập trong các chương rất nhiều bài toán giải PT cụ thể cho từng loại ví dụ: các dạng PT về Hoán vị-chỉnh hợp -tổ hợp, cấp số nhân-cấp số cộng

“Dạy học giải PT ở trường phổ thông về nội dung gồm:

a) Dạy học khái niệm PT và những khái niệm có liên quan

b) Dạy học PT dựa vào hàm mệnh đề: Quan niệm về đẳng thức; hiểu đúng thực chất của dấu bằng trong PT (hình thức); phân biệt dấu bằng trong

PT và dấu = trong biến đổi đồng nhất; điều kiện xác định và nghiệm của PT

c) Sử dụng ngôn ngữ của lý thuyết tập hợp và lôgic toán (biến đổi tương đương hệ quả, kết hợp nghiệm,…)

d) Dạy học giải PT

e) Diễn biến của tập nghiệm khi biến đổi PT: Mở rộng thu hẹp tương đương f) Giải quyết phương diện ngữ nghĩa (xem xét nội dung của những mệnh

đề toán học và nghĩa của những cách đặt vấn đề toán học)

g) Dạy học các bài toán bằng cách lập PT

h) Thấy được ứng dụng của toán học trong thực tế và toán học hóa các bài toán trong thực tiễn

i) Phát hiện quan hệ giữa các đại lượng

1.2 Một số công trình liên quan

Trong quá trình tìm hiểu, nghiên cứu đề tài viết về “sai lầm” của HS phổ thông trong giải Toán, chúng tôi nhận thấy còn tương đối ít Những công trình

đó phải kể tới Luận án Tiến sĩ của của Lê Thống Nhất: "Rèn luyện năng lực

giải Toán cho HS phổ thông trung học thông qua việc phân tích và sửa chữa các sai lầm của HS khi giải Toán" (1996) Luận án này đã xem xét các sai lầm

của HS ở nhiều chủ đề kiến thức, chẳng hạn, chủ đề PT, bất PT, giới hạn, hàm

số, Cách phân chia theo kiểu này của tác giả Lê Thống Nhất có ưu điểm là giúp cho người đọc có thể vận dụng ở mức độ nào đó vào thực tiễn giảng dạy, nghiên cứu Do số lượng chủ đề kiến thức của luận án là rất nhiều không đi sâu vào từng khía cạnh nhỏ mà gộp chúng lại để thành chủ đề lớn dẫn đến mỗi khía cạnh xét còn chung chung mà không có điều kiện xem xét hết đặc trưng của từng dạng Trong Luận án của mình, tác giả Lê Thống Nhất đã đưa ra bốn biện pháp sư phạm và tám dấu hiệu để nhận biết sai lầm nhưng chưa thực sự đi sâu vào một kiểu sai lầm nào và chưa phân tích một cách bao quát các nguyên nhân dẫn tới những sai lầm đó, mà một nguyên nhân không kém phần quan trọng ảnh hưởng tới chất lượng giải bài tập Toán đó là nguyên nhân do ảnh

hưởng về mặt tâm lí Nhóm tác giả Trần Phương - Lê Hồng Đức trong Sai lầm

thường gặp và các sáng tạo khi giải Toán (2004) cũng đề cập đến một số sai

lầm của HS ở một số dạng cụ thể Ngoài ra phải kể tới nhóm tác giả Lê Đình

Thịnh - Trần Hữu Phúc Nguyễn Cảnh Nam trong công trình Mẹo và bẫy trong

các đề thi môn Toán (1992), trong công trình này các tác giả đã đưa ra thuật

ngữ "bẫy" và phân tích khá nhiều ví dụ và cho rằng, mỗi khi HS mắc sai lầm là đồng nghĩa với việc sa bẫy, "bẫy" trong các bài toán là các tình huống được

các tác giả cài đặt mà nếu HS không vững kiến thức cơ bản thì sẽ mắc phải sai lầm Với cách sắp xếp sai lầm theo từng chủ đề kiến thức như các tác giả nói trên thì không thể giải thích một cách tường minh, dễ hiểu hết tất cả các kiểu

mặt khác chưa đề cập được một số kiểu sai lầm thường gặp như: sai lầm ngôn ngữ, sai lầm liên quan đến các thao tác tư duy, sai lầm liên quan đến phân chia trường hợp riêng,

Như vậy trên phương diện lí luận, các vấn đề cơ bản có liên quan đến đề tài nghiên cứu của chúng tôi cũng đã được nghiên cứu ở một mức độ nào đó Tuy nhiên chưa có một công trình nào nghiên cứu các sai lầm nhìn từ góc độ hoạt động giải bài tập PT là một trong các chủ đề lớn ở trường phổ thông Nói một cách khác, các công trình nghiên cứu về sai lầm của HS khi giải về chủ đề kiến thức PT

Mục tiêu của chúng ta là, một mặt, trang bị cho HS những kiến thức, kỹ năng toán học cần thiết Mặt khác, làm cho HS hiểu được bản chất của toán học và say mê học toán

1.3 Nghiên cứu một số sai lầm phổ biến của HS phổ thông khi giải toán về chủ đề PT

Theo chủ đề tiếng việt thì sai lầm là “ trái với yêu cầu khách quan hoặc trái với lẽ phải, đẫn đến hậu quả không hay” [17, tr 844], phổ biến là “có tính chất chung có thể áp dụng cho cả một tập hợp các hiện tượng, sự vật” [17, tr 844]

Sai sót “Khuyết điểm không lớn, do sơ suất” [17, tr 844]

Phổ biến “ có tính chất chung chung, có thể ấp dụng cho một tập hợp hiện tượng, sự vật [17, tr 785]

Do vậy theo chúng tôi hiểu sai lầm phổ biến của HS phổ thông khi giải

PT là Điều trái với khách quan (yêu cầu bài toán) hoặc lẽ phải (khái niệm, định nghĩa, tiên đề, định lý, quy tắc, phương pháp suy luận…), dẫn tới không đạt được yêu cầu giải toán mà những điều này xuất hiện với tần số cao trong lời giải của nhiều HS

1.3.1 Sai lầm do tính toán thông thường và hiểu sai kí hiệu logic

Tính toán nhầm Đối với HS yếu, kém thường tính toán nhầm và

đẳng thức sai Không giải được PT bậc nhất đơn giản GV cần rèn luyện lại kỹ

năng tính toán cho HS Nêu rõ công thức và cách thức giải

Hiểu nhầm kí hiệu Toán học Có quan điểm cho rằng HS phạm phải sai

lầm trong các suy luận là vì họ thiếu hoặc không nắm vững kiến thức về Lôgíc Toán và do đó, để khắc phục cần đưa vào chương trình các sớm càng tốt nội dung lôgic Toán và dạy thật kĩ nó Tuy nhiên, một phản ví dụ là ở Pháp, sau nhiều thập niên nhấn mạnh đặc biệt đến vai trò của dạy các yếu tố lôgíc, các chương trình toán THPT sau năm 1990 đều ghi rõ “cấm mọi trình bày về Lôgíc Toán” Trong khi mà nhiều nghiên cứu chỉ ra rằng người Cộng hòa Pháp rất quan tâm đến khó khăn và sai lầm của HS trong dạy học suy luận và chứng minh Nhưng, thay vì gia tăng dạy học các yếu tố lôgíc thì họ lại loại bỏ nó đi Nói cách khác, thể chế dạy học ở Pháp đang cố gắng thoát khỏi những hạn chế của quan điểm sư phạm dựa trên Thuyết Hành vi ngay từ sự lựa chọn và tổ chức

các nội dung toán học cần giảng dạy

Nhiều HS hiểu sai kí hiệu và hoặc nên sử dụng một cách tùy tiện trong trình bày Nên khi kết luận nghiệm sai hoặc thiếu Không hiểu bản chất của kí hiệu nhất là HS học lớp 10 Trong hầu hết các lớp HS giải điều kiện và giải PT thường mắc phải sai lầm trong kí hiệu logic này thể hiện ở ví dụ sau:

2

x x

í =ïï

ïî Kết luận PT có hai nghiệm x=1 và x=2

Bản chất HS không hiểu kí hiệu lẽ ra là “hoặc” nhưng lại kí hiệu “và” Sai lầm này còn thể hiện nhiều trong giải điều kiện như ví dụ sau:

í ¹ï

PT này có nghiệm hai nghiệm x = 4 và x = 7 cả hai nghiệm này đều

thỏa mãn điều kiện trên nên đều là nghiệm của PT đã cho

Hai ví dụ trên ta thấy rằng HS thường kí hiệu bừa kí hiệu mà không hiểu rõ kí hiệu này

1.3.2 Sai lầm liên quan đến điều kiện xác định của PT:

Một trong các nguyên nhân giải PT mắc sai lầm của HS là thiếu điều kiện

Ví dụ 1.3.2.1 Giải PT: 2 x x 3 4 x 3

Kết luận PT có nghiệm x=2

HS giải bỏ bước đặt điều kiện: x≥3 nên x=2 không thỏa mãn điều kiện,

PT đã cho vô nghiệm

Lời giải đúng: Điều kiện: x 3 0 x 3

Với điều kiện đã cho PT tương đương với:

Ví dụ 1.3.2.2: Giải PT: 1 2 1

x x

x

Kết luận PT có 2 nghiệm x=1 và x=2

HS giải bỏ bước điều kiện nên thừa nghiệm x=1

Lời giải đúng: Điều kiện: x 1 0 x 1

Trong điều kiện đó PT tương đương với PT

HS thiếu điều kiện nên thừa nghiệm x=1

Biến đổi sai

Trong cách giải trên HS thường hay thiếu điều kiên của PT Trong

trường hợp này để PT tương đương thì hệ PT cần thêm điều kiện x ≥ 2

Lời giải sai: Ta có PT tương đương với

-: 2n 264

n Î ¥ =Kết luận PT vô nghiệm

Ví dụ 1.3.2.6 Giải PT tan5 x= tan 3x

Nếu α là một số tuỳ ý thì PT tanx= tana có nghiệm

x= a + k p kÎ ¢ nhớ rằng ở đây α là số đã xác định đối với hàm số tang,

2

x= p + k p kÎ ¢ Kết luận đó bao hàm cả khẳng định rằng các số x= a + k p, (kÎ ¢ )thoã mãn điều kiện cosx ¹ 0

Lời giải đúng: tan5x= tan 3x

Điều kiện:

5

23

)3

k x

êê

ê

HS quên điều kiện của PT, đối với dạng bài này đôi khi HS có lấy điều kiện nhƣng khi đƣợc nghiệm cũng hay kết hợp để loại nghiệm sai

Lời giải đúng: Điều kiện

êê

êê

Suy ra PT đã cho có 2 nghiệm x 2 và x 5

Sai lầm của PT trên là quên điều kiện xác định của phương trình.” [18] Lời giải đúng:

Điều kiện xác định của PT là: 2

viết:

2 2

2 2

x

Ví dụ 1.3.2.9: Giải và biện luận PT x 1 2x m

HS sẽ giải như sau: với x 1 nghiệm của PT là x m 1;

với x < 1 nghiệm của PT là 1

Ví dụ 1.3.3.1: Khi giải các PT lượng giác, HS thường nhầm lẫn giữa hai

đơn vị đo là độ và Rađian

Lời giải sai: Giải PT: cos 2

x x

*) Hiểu sai công thức dẫn đến sai nghiệm thiếu nghiệm

x x

Với điều kiện đó ta có:

2

Kết luận: PT đã cho vô nghiệm

x

Vậy nghiệm của PT là x 1

Lời giải sai :Điều kiện: x > 0

Với điều kiện trên ta có:

x x

x x

Với điều kiện trên ta có:

x x

Vậy PT đã cho có 1 nghiệm x 3

Lời giải đúng:

x x

( )

( )( )

= ì

ï

ïï ïî

33

33

x x

113

33

3

x x

x x

x

HS thường mắc sai lầm ở dạng khai căn sau:

Ví dụ 1.3.3.10: Giải PT: x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5 Phân tích bài toán sau của HS[20]:

cho có nghiệm duy nhất x = 3

Nguyên nhân sai HS sử dụng khai triển bình phương 2

Tuy nhiên x=2 thử vào PT thấy thỏa mãn, nhưng lời giải vẩn sai vì tưởng 22x

=22.2x.

HS quên nên nghĩ rằng 22x

=(2x)2 Lời giải đúng là: đặt t=2x

>0 ta có: t+t2=20 t2+t 20=0 t=4 t= 5 Vì t >0 nên t=4 x=2

Nếu x 2Tương tự vô nghiệm

x

x x

x x

ï ê =

-ï ë

ïî

Vậy PT đã cho có 2 nghiệm là x1 = 0 và x2 = 3

HS đã sử dụng công thức tương đương sai:

Ở đây f(x)≥0 chỉ là điều kiện tồn tại PT, khi bình phương hai vế của PT được phép biến đổi tương đương khi 2 vế đều dương Vậy để tương đương ta

có thể lý luận vế trái không âm nếu vế phải âm PT vô nghiệm vậy vế phải dương thì bình phương 2 vế ta được PT tương đương

Vậy phép biến đổi (Định lý) tương đương phải là:

00

x x

ïî

Vậy PT có 2 nghiệm là x1 = 3 và x2 = 7

2

x x

x x

ïï é

= Û ì êïï êï ëïî ==

Điều kiện: x 1

Với điều kiện x 1 thì x + 3 > 0 nên PT đã cho tương đương với

Sai lầm trong cách giải trên HS quên ngay điều kiện là PT bậc (2) nên

bỏ quên trường hợp hệ số a=0 ta cũng có thể nói sai lầm liên quan đến cách giải

Lời giải của HS: Theo định lí Viet, ta có

1,

b

x

x1 2 ; 1 2 ” Như vậy, để áp dụng định lí Viet phải có điều kiện đủ

là PT có hai nghiệm Em HS trên chưa kiểm tra điều kiện này nên không thể áp dụng định lí Vi-et, do đó lời giải trên là sai

m m m

Đối chiếu với điều kiện PT có nghiệm, ta tìm được m 1 m, 5

*) Nhầm PT tương đương và PT hệ quả

Ví dụ 1.3.4.7: Giải bất PT : 3 2 2

2x 6x 4x 4(x 3x 2) (1)

Lời giải sai: Phân tích (1) ta thấy : Nếu theo qui tắc biến đổi tương

đương thông thường, đi đến:

Thay x = 2 vào PT (1) ta thấy thỏa mãn.Vậy PT có nghiệm duy nhất x=2 Nếu chỉ xét bài toán theo gốc độ trên rõ ràng ta đã làm cho PT (1) thiếu nghiệm x = 1

ê =ë

+ Nếu: t= - xtừ (1) có:

( )2 ( 2 )

2

00

2

x x

1

x x

x