Đề+Đáp án kỳ thi tuyển sinh lớp 10 NH 2011-2012 (Chuyên PHan Bội Châu -Nghệ An)

Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB phân biệt và cát tuyến MCD của O A, B là tiếp điểm, C nằm giữa M và D, CD không đi qua O.. Vẽ dây DN của O song song với AB.. Gọi I là giao điểm của CN và AB.. C

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU

NĂM HỌC 2011 - 2012

Môn thi: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (7,0 điểm)

a) Giải phương trình:

3 x  15 3   x 8 x  5

b) Giải hệ phương trình:

3

xy x y

  







Câu 2 (3,0 điểm)

Tìm các số nguyên xvàythỏa mãn

5 x2  2 xy y  2  4 x  40 0 

Câu 3 (6,0 điểm)

Cho đường tròn (O) và đường thẳng d cố định ((O) và d không có điểm chung) M là điểm di động trên d Vẽ hai tiếp tuyến MA, MB phân biệt và cát tuyến MCD của (O) (A, B là tiếp điểm, C nằm giữa M

và D, CD không đi qua O) Vẽ dây DN của (O) song song với AB Gọi I là giao điểm của CN và AB Chứng minh rằng:

a) IC BC =

IA BD và IA = IB

b) Điểm I luôn thuộc một đường cố định khi M di động trên đường thẳng d

Câu 4 (2,0 điểm)

Cho các số thực dương a b c , , Chứng minh rằng:

 a b b c c a ab2  2  2  2  bc2  ca2  abc  3 a3  abc b  3 abc c  3 abc 

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 5 (2,0 điểm)

Cho một đa giác lồi có chu vi bằng 1 Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn bán kính 1

4 chứa đa giác

đó

-Hết -

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Đề thi chính thức

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU

NĂM HỌC 2011 - 2012 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang)

Môn: TOÁN

Điều kiện: 5 5

Phương trình đã cho tương đương với:

3x  15 3x 2 45x9x2 8x5

 45x9x2 4x10

0,5

5 2

45 9 16 80 100

x

 



 



0,5

2

5 2

5 4 0

x

 



 

   



0,5

5 2 1 4

x x x

 



  



 



0,5

Đối chiếu điều kiện (*) ta có nghiệm của phương trình làx 4 0,5

Hệ đã cho 

2

1 ( 1) 4





Đặt u x 1,v y  1

Hệ đã cho trở thành

4

uv







, ĐK : 1

1

u v

 



  

 (*)

1,0

 2 2   2 2 2 2 

4

uv





4 8

uv





4

4

uv

u v





    

2

2

u v

u v

 



Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình là: 1; 3

  

    

0,5

2 3,0

Ta có 5x22xy y 2 4x40 0

  2 2

2x 1 x y 41

Vì x y , 2x 1 là số nguyên lẻ và 41 5  nên 2 42 0,5  

2 2

2 1 25

16

x

x y





2 1 5

4

x

x y

  



    

Từ đó suy ra các cặp  x y; cần tìm là

  3;1 ; 3; 7 ; 2;6 ; 2; 2       1,0

Xét tam giác IAC và tam giác BDC có

Suy ra IACđồng dạng với BDC (g.g) 0,5

IC BC

Tương tự ta cũng có IC AC

Ta có MBC đồng dạng với MDB (g.g)

MC BC

Tương tự ta có: MC AC

Vì MA = MB nên từ (1), (2), (3) và (4) suy ra IA = IB 0,5

Kẻ OH d tại H Gọi K là giao điểm của OH và AB

Ta có M, O, I thẳng hàng và OI  AB 0,5

Mà OI.OM = OB 2 OK OB2

OH

Vì OI  AB và O, K cố định nên I thuộc đường tròn đường kính OK cố định (ĐPCM) 0,5

d

A

B

D N

C

I O K

4 2,0

BĐT cần chứng minh tương đương với

a b c b c a 1 3 a2 1 b2 1 c2 1

0,25

Đặt a x, b y,c z x y z, , 0; xyz 1

Khi đó (1) trở thành:

xy yz zx x y z  1 3 x 1 y 1 z 1

            

x y y z z x   xyz 1 3 x y y z z x  

xyz

0,75

Khi đó (2) trở thành

t3  1 1 t

     t3 1 1 2t t2

t t 2 t 1 0 (luôn đúng do t 2) Suy ra ĐPCM

Đẳng thức xảy ra  a b c 

0,5

Gọi A, B là 2 điểm thuộc cạnh của đa giác sao cho A, B chia biên đa giác thành 2 đường gấp khúc có độ dài bằng

nhau và bằng 1

Gọi O là trung điểm của AB Xét hình tròn tâm O bán kính 1

4

Ta sẽ chứng minh hình tròn này chứa đa giác đã cho Thật vậy, giả sử tồn tại một điểm M thuộc cạnh đa giác và M nằm ngoài hình tròn tâm O bán kính 1

4

Khi đó 1

2

Gọi N là điểm đối xứng với M qua O Ta có 2 1

2

MA MB MN   R (2)

N

A

B O

M

Chú ý: Học sinh giải theo cách khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa