Math is thinking hieuvghy@gmail.com A.Đặt vấn đề Trong việc sử dụng BĐT để tìm cực trị nói chung BĐT AM-GM nói riêng thì điểm rơi là một kĩ thuật khá quan trọng.Gần đây có rất nhiều t
Trang 1Math is thinking
hieuvghy@gmail.com
A.Đặt vấn đề
Trong việc sử dụng BĐT để tìm cực trị nói chung BĐT AM-GM nói riêng thì điểm rơi là một kĩ thuật khá quan trọng.Gần đây có rất nhiều tài liệu viết về pp này nhưng tôi cảm thấy chúng còn có gì đó thiếu
tự nhiên Do đó bài viết này ra đời
B.Nội dung
Để sử dụng thành thạo pp này ta cần chú ý 1 vài điểm sau:
1/Các bước làm
B1:Xác định số đem CS và mục tiêu CS
B2:Giả dấu bằng xảy ra khi “biến=m” rồi dựa vào mục tiêu CS tìm m
2/Nhận xét
Các biến có vai trò như nhau ( tức là khi ta tráo đổi 2 biến thì giả thiết và BĐT không thay đổi )thì dấu “=” xảy ra khi chúng bằng nhau
C.Ví dụ và 1 số điều lưu ý
Vd:Cho a,b>0 và a2+b2 =5 Tìm GTNN của A=a3+b6
Nhận xét:
• Đây là bài toán BĐT có điều kiện nên ta nghĩ ngay là CS các số 3 6
,
a b để tạo ra 2 2
,
a b
• Và từ bậc 3
a xuống 2
a ta CS 3 số ( 3
a , 3
a và 1 hằng số), 6
b xuống 2
b ta CS 3 số ( 6
b và 2
hằng số)
• Tuy nhiên sau khi CS để dùng được giả thiết thì hệ số của 2 2
,
a b và 3 6
,
a b bằng nhau
→thực chất ở trên bằng các suy luận có lý ta đã làm B1
số đem CS là 3 số (a ,3 a và 1 hằng số) và 3 số (3 b và 2 hằng số) 6
mục tiêu CS là hệ số của 2 2
,
a b và 3 6
,
a b bằng nhau B2: Giả dấu bằng xảy ra khi a=m và b=n(*)
Khi đó ta có a3+ +a3 m3 ≥3ma2(1)
b6+ +n6 n6 ≥3n b4 2(2)
Dựa vào mục tiêu CS ta nhận thấy cần
• hệ số của 3 6
,
a b bằng nhau→nhân (2) với 2 rồi cộng với (1)
2(a +b )+m +2n ≥3ma +3n b
• hệ số của 2 2
,
a b bằng nhau→ 4
3m=3n Mặt khác theo giả sử (*) và giả thiết ta còn có
2 2
5
m +n = →m=2 và n=1
Lưu ý :
Bài toán trên sử dụng 1 tư tưởng CS khá đơn giản là tận dụng giả thiết và thể hiện khả năng hạ bậc
đặc trưng của CS.Tuy nhiên trong thực tế thì những mục tiêu CS cần ta suy luận 1 cách hợp lý và khó
hơn ví dụn rất nhiều.Để có 1 tư tưởng CS hay và hợp lý ta đi xét các tính chất của BĐT CS
Trang 2Math is thinking
hieuvghy@gmail.com
• Hạ bậc: Từ m n
a +a + +a + + + + ≥x x x ma x − (có n số
m
a và m-n số x )
• Tính khử: thể hiện chẳng hạn như
−
2
(1 2 ) (2 )(1 2 )
………<Sẽ giới thiệu sau>
Còn 1 vấn đề nữa là số đem CS có thể là
• Hằng số:Là các số có giá trị cụ thể Thông thường tác dụng của nó là hạ bậc
• Số ở kết luận:Là những cái gì có ở biểu thức cần tìm cực trị Thông thường nó chỉ làm số đem
CS trong bài toán tìm GTNN
• Số ở giả thiết: Là những cái gì có ở giả thiết
• Số ngoại lai : Là những số ta đưa vào để thỏa mãn nhu cầu sử dụng gt Tuy nhiêm nó cần xử lý được VD:Cần cm A>B ta đưa số C vào để A+C>?B thì C<B (A,B,C có thể là tượng trưng cho
cả 1 biểu thức)
………< ->
D.Bài tập chọn lọc
1 Cho x y z , , ∈ R+ và x+y+z=1 CMR: 3 4
3
x+ xy+ xyz ≤
2 cho x∈[ ]0;1 Tìm GTLN A=13 x2−x4 +9 x2+x4
3 Cho x,y>0 và x+ ≥y 6.Tìm GTNN A 2x 3y 6 8
x y
= + + +
4 Cho x y z , , ∈ R+và x+y+z=3 Tìm GTNN A=a3+64b3+c3
5 Cho a≥2,b≥9,c≥1945và a+b+c=2010 Tìm GTLN của A=abc
6 Cho xy+z+zx =-1 Tìm GTNN A= 2 2 2
x + y + z
7 Cho x y z , , ∈ R+ và xy+yz+zx =1 Tìm GTNN của A=A=a x( 2+y2)+z2
8 Cho x y z , , ∈ R+ và (a2+ +a 2)(b+1) (2 c2+3 )c =64 Tìm GTLN a b c 3 4 5
(lời giải sẽ được update trong tg sớm nhất)