CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ Lê quang Dũng- THPT số 2 Phù Cát, Bình Định Bài 1 : Tìm m để đường thẳng y=x+m , cắt đồ thi C tại hai điểm phân biệt A,B sao cho các tiếp tuyến
Trang 1CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
Lê quang Dũng- THPT số 2 Phù Cát, Bình Định Bài 1 : Tìm m để đường thẳng y=x+m , cắt đồ thi (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho các tiếp tuyến tại A,B song song với nhau
Giải : Xét phương trình hoành độ
(C) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1
x1,x2 là các hoành độ tiếp điểm A,B => tiếp tuyến tại A,B song song với nhau
y’(x1)=y’(x2)
x1-1=1-x2 x1+x2=2
Mà x1+x2=-m+3 nên – m+3=2 m=1
Giá trị m cần tìm là 1
Bài 2 : Tìm m để đồ thị (C) y=x 3 -3x 2 cắt đường thẳng y=mx-2m-4 tại ba điểm phân biệt , sao cho các tiếp tuyến với đồ thị (C) tại các giao điểm có hoành độ khác 2 vuông góc với nhau
Giải :
D=R , y’=3x2-6x
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) y=mx-2m-4là : x3-3x2=mx-2m-4 (1)
x3-3x2-mx+2m+4 =0
(x-2)(x2-x-2-m)=0
x= 2 , x2-x-2-m =0 (2)
(C) cắt đường thẳng (d) tại 3 điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt có hoành độ khác 2
Các hoành độ giao điểm x1,x2 khác 2 là nghiệm của phương trình (2) , Các tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x1,x2 vuông góc y’(x1).y’(x2)=-1 9x1x2(x1x2-2(x1+x2)+4)=0
Trang 2Ta có x2+x1=1, x1x2=-2-m nên 9(-2-m)(-2-m-2+4)=-1
9m2+18m+1=0 m= (thoã mãn)
Vậy giá trị m cấn tìm là m=
Bài 3 : Tìm m để đường thẳng (d) y=x+m cắt đồ thị (C ) : tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tổng các hệ số góc của các tiếp tuyến tại A,B có giá trị lớn nhất
Giải : Xét phương trình hoành độ giao điểm :
(C) cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt (1) có hai nghiệm phân biệt khác
x1,x2 là các hoành độ giao điểm A,B , ta có x1+x2=-m , x1x2=
=> Tổng các hệ số của tiếp tuyến tại A,B là
,
lớn nhất m=-1
Giá trị m =-1 là cần tìm
Bài 4 : Tìm m để đường thẳng (d) y=-x+2 cắt đồ thị (C m ) tại 3 điểm phân biệt , trong đó các giao điểm có hoành độ khác 0 , cùng với điểm M(3,1) tạo thành một tam giác có diện tích bằng
Giải : Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (d) :
(*)
(Cm) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0
Gọi A,B là các giao điểm có hoành độ khác 0 => xA,xB là nghiệm của (*) , xA+xB
=-2m,xAxB=3m-2
SMAB= AB.d(M,AB)=
Ta có , d(M,AB)=
Khi đó m=0,m=3
Bài 5 Tìm điểm M thuộc (C) y= x 3 -3x 2 , sao cho tiếp tiếp tuyến tại M cắt (C) tại N, sao cho MN=6
Trang 3Giải : M thuộc (C) có hoành độ x0 ,tiếp tuyến với (C) tại M có phương trình : (d) y=(3x02 -6x0)x-2x03+3x02
Phương trình hoành độ của (C) ,(d) : x3-3x2=(3x02-6x0)x-2x03+3x02 x3-3x2-(3x02
-6x0)x+2x03-3x02 =0 (x-x0)2(x+2x0-3)=0=> xN=3-2x0 (x0 khác 1)
Ta có yN= y(3-2x0)=(3-2x0 )3-3(3-2x0)2
MN2=(3-3x0)2+[(3-2x0 )3-3(3-2x0)2-x03+3x02]2=(3x0-3)2+(9x03-27x02+18x0)2
MN=3 (3x0-3)2+(9x03-27x02+18x0)2=(6
(x0-1)2+9(x0-1)2[(x0-1)2-1]=382
… (x0-1)2=4 x0=-1, x0=3
Có hai điểm M : (-1,-4), (3,0)
Bài 6 Tìm M thuộc (C) y=sao cho tiếp tuyến (C) tại M , cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B khác M sao cho MA=3MB
Giải : M thuộc (C) có hoành độ x0 ,tiếp tuyến với (C) tại M có phương trình : (d) y=(2x03 -6x0)x
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) :
(2x03-6x0)x
x4-6x2-(4x03-12x0)x+3x04-6x02=0
(x-x0)2(x2+2x0x+3x02-6)=0
x=x0 , x2+2x0x+3x02-6=0 (*)
(d) cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A,B khác M (*) có hai nghiệm phân biệt khác x0
… x 0 khác 1 ,
Khi đó : các hoành độ của A,B là nghiệm của (*) : xA+xB=-2x0 , xAxB=+3x02-6
i) MAuuur= 3MBuuur => xA-x0=3(xB-x0) xA-3xB=-2x0
Khi đó : xB=0, xA=-2x0 => 3x02-6=0 x0= (™)
ii) MAuuur= − 3MBuuur=> xA-x0=-3(xB-x0) xA+3xB=4x0
Khi đó : xB=3x0 , xA=-5x0 => -15x02=3x02-6 => x0 (™) Tọa độ điểm M : ,
Bài 7 : Tìm các điểm A,B trên đồ thị (C) :
1 2
x y x
− −
= + sao cho tiếp tuyến với (C) tại A,B
song song với nhau và AB=
Giải :
Trang 4A,B thuộc đồ thị (C) của hàm số : A(a, ), B(b, ) ( a khác b)
Ta có AB2==
Các tiếp tuyến với (C) tai A,B song song với nhau => y’(a)=y’(b) => a+b=-4 Nên ta có : 16-4ab+=8 4-ab+ =2 4-ab + ab=3
Khi đó : a=-3,b=-1 , hoặc a=-3,b=-1
Kết quả : A(-3,-2) , B(-1,0) hoặc A(-1,0), B(-3,-2)