Phương pháp sử dụng đường thẳng tiếp tuyến chứng minh bất đẳng thức

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐƯỜNG THẲNG TIẾP TUYẾN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Bài viết giới thiệu phương pháp sử dụng đường thẳng tiếp tuyến trong chứng minh bất đẳng thức và các ví dụ minh họ

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐƯỜNG THẲNG TIẾP TUYẾN

CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Bài viết giới thiệu phương pháp sử dụng đường thẳng tiếp tuyến trong chứng minh bất đẳng thức và các ví dụ minh họa tiêu biểu

Bất đẳng thức (BĐT) là một bộ phận của Toán học và ngày được chú trọng nhờ nó bao hàm nhiều sáng tạo và suy luận Trong các đề thi tuyển sinh vào Đại học cũng như đề thi Olympic trong nước và quốc tế của những năm gần đây thường có bài chứng minh BĐT hay các vấn đề liên quan Đây là loại toán khó có nhiều dạng và nhiều phương pháp giải Trong bài viết này tác giả chỉ trình bày phương pháp sử dụng đường thẳng tiếp tuyến chứng minh BĐT (phương pháp

có liên quan tới hàm số có đạo hàm)

Ví dụ 1 Cho , ,a b c >0.Chứng minh rằng

9

4

Lời giải

Không mất tính tổng quát nên bằng phương pháp hệ số bất định (tên tiếng Anh là Undefined Coefficient

Technique) ta chuẩn hóa a+ + =b c 3

BĐT (1) trở thành

3 4

3 ( ) ( ) ( )

4

f a + f b + f c ≥ (*)

trong đó hàm số đặc trưng là

2

( ) , (0; 3)

(3 )

x

x

− Đẳng thức (*) xảy ra khi và chỉ khi a=b= =c 1

Hàm số

2

( )

(3 )

x

f x

x

=

− có

2 4

9 ( )

(3 )

x

f x

x

− +

′ =

− Như vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị y= f x( )tại điểm M(1; (1))f là

(1)( 1) (1) ( 1)

y= f′ x− + f = x− + hay 2 1

4

x

Ta có

Suy ra ( ) 2 1, (0; 3)

4

x

Từ đó ta có ( ) ( ) ( ) 2( ) 3.1 3; , , (0; 3)

+ + −

Vậy BĐT (1) được chứng minh Đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Ví dụ 2 Cho , ,a b c là các số thực dương

Chứng minh rằng

5

(2)

Lời giải

Không mất tính tổng quát nên bằng phương pháp hệ số bất định ta chuẩn hóa a+ + =b c 3

BĐT (2) trở thành

5

6 ( ) ( ) ( )

5

f a + f b + f c ≤ (*)

trong đó hàm số đặc trưng là

(3 )

(3 )

−

Đẳng thức trong (*) xảy ra khi và chỉ khi a=b= =c 1

http://nguyenquangdieu.net 2/5

Hàm số

(3 ) ( )

(3 )

f x

−

=

18 27 ( )

x

f x

′ =

Như vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị y= f x( )tại điểm M(1; (1))f là

(1)( 1) (1) ( 1)

y= f′ x− + f = x− + hay 9 1

25

x

Ta có

Suy ra ( ) 9 1, (0; 3)

25

x

Từ đó ta có ( ) ( ) ( ) 9( ) 3.1 6; , , (0; 3)

+ + +

Vậy BĐT (2) được chứng minh Đẳng thức (2) xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Ví dụ 3 Cho , ,a b c >0 thỏa mãn a+ + =b c 3

+ + + ab+bc+ca ≥ a+ +b c

Lời giải

⇔ −  + −  + − ≥

gDo , ,a b c > 0 nên a2+b2+c2<(a+ +b c)2=9.Từ đó nếu có một trong ba số , ,a b c nhỏ hơn 1

3 giả sử 1

3

+ + > > + + nên BĐT (*) đã được chứng minh

gXét , , 1

3

3 3

∈ ⋅

Xét hàm số đặc trưng 2

2

1 ( )

x

= − trên 1; 7

3 3

2

x

′ = − − Như vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị y= f x( )tại điểm M(1; (1))f là

(1)( 1) (1) 4( 1) 0

y= f′ x− + f = − x− + hay y= −4x+ ⋅ 4

( 1) 2 ( 1)

3 3

Suy ra ( ) 4 4, 1; 7

3 3

≥ − + ∀ ∈  

Từ đó ta có ( )f a + f b( )+ f c( )≥ −4(a+ +b c) 12+ =0

Vậy BĐT (3) được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b= =c 1

Ví dụ 4 Giả sử , , ,a b c d là các số thực dương sao cho a+ + +b c d=1

Chứng minh rằng ( 3 3 3 3) 2 2 2 2 1

6

8

Lời giải

1 (4) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , (0; 1)

8,

trong đó hàm số đặc trưng là f x( )=6x3−x2, x∈(0; 1)

Đẳng thức trong (4) xảy ra khi và chỉ khi 1

4

Hàm số f x( )=6x3−x2 có f x′( ) 18= x2−2x

Như vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị y= f x( )tại điểm 1; 1

  

 

 f là

1 1 1 5 1 1

′

=   − +  =  − +

5 1 8

x

Ta có ( ) 5 1 1(48 3 8 2 5 1) 1(4 1) (32 1) 0, (0; 1)

x

Suy ra ( ) 5 1, (0; 1)

8

x

Từ đó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 5( ) 4 1 , , , (0; 1)

+ + + −

Vậy BĐT (4) được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

4

Ví dụ 5 Cho , ,a b c >0

Chứng minh rằng

5

(5)

Lời giải

Đặt m a b c a; 1 a;b1 b; c1 c a1 b1 c1 1

(5)

5

5

3 ( ) ( ) ( )

5

f a + f b + f c ≥ (*)

trong đó hàm số đặc trưng là

2

(1 2 )

(1 )

x

−

Đẳng thức (*) xảy ra khi và chỉ khi 1 1 1 1

3

Hàm số

2

(1 2 ) ( )

(1 )

x

f x

−

=

4 2 ( )

x

f x

−

′ =

Như vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị y= f x( )tại điểm 1; 1

  

 

 f là

′

=   − +  = −  − +

23 54 25

x

Ta có

2

23 54 2(3 1) (6 1)

25 25 (1 )

Suy ra ( ) 23 54 , (0; 1)

25

x

Từ đó ta có ( )1 ( )1 ( )1 69 54( 1 1 1) 3 1, 1, 1 (0; 1)

Vậy BĐT (5) được chứng minh Đẳng thức (5) xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Ví dụ 6 Giả sử , ,a b c là các số thực sao cho a+ + =b c 1

Chứng minh rằng

9 10

(6)

Lời giải

9 (6)

10

9 ( ) ( ) ( )

10

trong đó hàm số đặc trưng là

2

( ) 1

x

f x

x

= +

http://nguyenquangdieu.net 4/5

Hàm số

2

( )

1

x

f x

x

=

+ với x ∈¡ có , ( )

2 2 2

1

1

x

f x

x

−

′ =

+

f x′ = ⇔x= ±

Bảng biến thiên của hàm số f x( )trên ¡

x −∞ −3 −1 1

3

− 1 2 +∞

( )

f x′ − − 0 + + 0 − −

( )

f x

0 1

2

3

10

− 3

10

− 2

5

1

2

− 0

Trường hợp 1 Giả sử tồn tại một số a ∈ −∞ −( ; 3]⇒ + ≥ nên trong hai số b, c này chắc chắn có b c 4 một số lớn hơn bằng 2, chẳng hạn b ≥2.Từ đó suy ra ( ) ( ) ( ) 0 2 1 9

5 2 10

f a + f b + f c < + + = ⋅

3

∈ − − 

  Khi đó

( ) ( ) ( )

10 2 2 10 10

3

∈ − + ∞ ⋅

Ta thấy đẳng thức trong (6) xảy ra khi và chỉ khi 1

3

Như vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị y= f x( )tại điểm 1; 1

  

 

 f là

′

=   − +  =  − +

25 50

Ta có

2 2

Suy ra ( ) 18 3 , 1;

≤ + ∀ ∈ − + ∞

Từ đó ta có ( ) ( ) ( ) 18( ) 3 3 9 ; , , 1;

Cả ba trường hợp ta suy ra BĐT (6) đã được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1

3

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1 Cho , ,a b c > 0 Chứng minh rằng 3

2

b+c+c+a+a+b≥ ⋅

2 Cho , , ,a b c d > 0 thỏa mãn a+ + +b c d=4.Chứng minh rằng

2

3 Cho , ,a b c > 0 thỏa mãn a+ + =b c 3.Chứng minh rằng

1

4 Cho , ,a b c > 0thỏa mãn a+ + =b c 3

3 2(a b c) 15 4(ab bc ca)

5 Cho , ,a b c > 0 Chứng minh rằng

8

6 Cho , ,a b c > 0 Chứng minh rằng

2

7 Cho , ,a b c >0 thỏa mãn (a2+b2+c2 2) = +3 2(a b2 2+b c2 2+c a2 2)

Chứng minh rằng 1 1 1 1

4−ab+4−bc+4−ca≤