Hướng dẫn ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Bài tập: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số bằng phương pháp đạo hàm Bài 1.. Tìm để hàm số có cực đại, cực tiểu; đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH KON TUM

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KON TUM

-1-TÀI LIỆU

ÔN THI TN THPT

MÔN TOÁN

-3-Biên soạn: Nguyễn Hữu Đôn, Phan Thanh Xuyên, Lê Hồ Quý

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG TÀI LIỆU

•Phần in nghiêng, đậm dành cho chương trình Nâng cao, phần còn lại là phần dành cho cả hai chương trình Cơ bản và Nâng cao

•Các bài tập có dấu “*” là bài tập dành cho chương trình Nâng cao Học sinh học chương trình Cơ bản có thể tham khảo thêm để nâng cao kiến thức Các bài tập còn lại là những bài tập dùng chung cho cả hai chương trình Nâng cao và Cơ bản.

•Ở mỗi chủ đề ngay từ đầu tài liệu có nêu lên các kiến thức cơ bản cần nhớ Đây là các kiến thức về lí thuyết có trong SGK, giáo viên có thể hệ thống hóa lại cho học sinh trước khi đi vào phần bài tập Trong luyện tập cần chú ý những kĩ năng cần đạt thông qua việc chọn lựa các bài tập mà tài liệu đã cung cấp để ôn tập cho học sinh nhằm đáp ứng các yêu cầu

về kĩ năng

PHẦN I GIẢI TÍCH

-5-Biên soạn: Nguyễn Hữu Đôn, Lê Hồ Quý

CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ XÉT SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ.

1 Kiến thức cần nhớ:

- Định lý về tính đơn điệu của hàm số.

- Phương pháp tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số

2 Kĩ năng cần đạt:

- Biết cách xét tính đồng biến, nghịch biến của một hàm số trên một khoảng dựa vào dấu

của đạo hàm của hàm số đó

- Dựa vào tính đồng biến, nghịch biến để chứng minh được một số bất đẳng thức đơn giản

3 Bài tập:

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số bằng phương pháp đạo hàm

Bài 1 Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

c) ;

d) ;e) ; f)

Bài 2 Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) ;

b) ;

c) ; d)

Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên một khoảng cho trước

Bài 3 Tìm các giá trị của m để hàm số

a) đồng biến trên

b) nghịch biến trên

c) đồng biến trên từng khoảng

( 6) (2 1)3

Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

Bài 5 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

-7-II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.

1 Kiến thức cần nhớ:

- Định nghĩa cực trị của hàm số

- Hai định lý về điều kiện đủ để hàm số có cực trị

- Hai qui tắc tìm cực trị của hàm số

2 Kĩ năng cần đạt:

- Biết cách tìm cực trị của hàm số.

- Xác định được giá trị của tham số để hàm số đạt cực trị tại điểm đã cho

3 Bài tập:

Tìm cực trị của các hàm số không chứa tham số

Bài 1 Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) ; b) ;

c) d) ;

e) ; f)

Bài 2 Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) ; b) ;

c) ; d) ;

e) ; f)

Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị

Bài 3 Tìm giá trị của tham số m để

hàm số đạt cực đại tại

Bài 4 Xác định để hàm số có

cực trị tại Khi đó hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại

điểm và đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1;0)

Bài 8 Chứng minh rằng với mọi giá trị

của , hàm số luôn luôn có cực đại, cực

x y x

+

=

+

[ ]2sin cos 2 , 0;

Tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài 10* Tìm để hàm số có

cực đại, cực tiểu; đồng thời hai

điểm cực đại, cực tiểu của đồ

thị hàm số nằm về hai phía của trục

Hướng dẫn:

H/S có CĐ, CT khi Khi đó, đồ thị H/S có hai điểm CĐ, CT là

và đối xứng qua đường thẳng khi Giải PT này tìm và đối chiếu ĐK

a) Một tam giác đều;

b) Một tam giác vuông (Khối 2012)

A-Hướng dẫn:

H/S có ba cực trị khi

Đồ thị H/S

có ba điểm cực trị là

Ta luôn có nên

a) đều khi b) vuông khi

0' 0

x y

m m

b S a c P a

1

x y

x y

-9-H/S chỉ có một CT tại và không có CĐ khi chỉ đổi dấu một lần từ âm sang dương khi qua

có 2 nghiệm phân biệt (1)

• Giá trị CĐ, CT cùng dấu khi đồ thị H/S đã cho cắt trục tại 2 điểm phân biệt, tức là PT

(2)Kết hợp (1) và (2), ta suy ra kết quả

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

Bài 16* Cho họ đường cong :

(là tham số)

a) Chứng tỏ luôn luôn có điểm cực đại và cực tiểu

b) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của

Hướng dẫn:

a) Chứng tỏ y’= 0 luôn luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị

b) Biến đổi hàm số đã cho sang dạng: y = y’

Gọi là hai điểm cực trị của

Từ (1)

Từ (2) suy ra phương trình của đường thẳng qua hai điểm cực đại và cực tiểu của là

Lưu ý PT đường thẳng đi qua hai

điểm cực trị của đồ thị H/S Chia đa thức cho ta được trong đó là

tiểu; đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu

của đồ thị hàm số nằm về hai phía của đường thẳng

m f

' ( ) ( ),

y=y q x q x r x( ), ( )+r x

1 1 2 2( ; ), ( ; )

Sử dụng định lí Viète và kết hợp với điều kiện (*) suy ra kết quả cần tìm

Lưu ý a) Hai điểm và nằm về hai

phía của đường khi b) PT đường thẳng đi qua hai điểm

= 2

' '' u v v u

-11-Bài 1 Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

a) trên đoạn ; b) ; c*) (Khối B-2003) d) trên khoảng ;

e) trên đoạn ; f) trên đoạn

Bài 2 Tìm GTLN và GTNN của các hàm

số sau:

a) ;

b) trên nửa khoảng ;

c) trên đoạn ; d) trên đoạn

;

e) trên đoạn ; f) trên đoạn ;

g) trên đoạn ; h*) trên đoạn

(Khối B-2004)

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp đổi biến

Bài 3* Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:

a) ; b) ;

c) ; c)

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số có chứa tham số

Bài 4 Tìm các giá trị của tham số m để

y= +x 2 −x1

1

x x y

y x

−

=+

[0;1]

IV ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

- Sử dụng kiến thức về giới hạn tìm được:

+ Tiệm cận đứng, tiệm cận ngang,

+ Tiệm cận xiên, tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỉ.

3 Bài tập:

Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

-13-Bài 1 Tìm các đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị các hàm số sau:

a) ;

b) ;

c) ; d)

Bài 2 Tìm các đường tiệm cận đứng và

ngang của đồ thị các hàm số sau:

a) ; b) ;

c) ; d)

Bài 3* Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

Bài 5* Tìm để đồ thị hàm số có tiệm

cận xiên cùng với hai trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4

Bài 6* Tìm để góc giữa hai tiệm

cận của đồ thị hàm số bằng

Bài 7* Cho đường cong

(Cm):

a) Xác định để (Cm) có tiệm cận xiên đi qua A(2; 0)

b) Gọi là đồ thị của hàm số khi = 1 Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ

điểm tùy ý thuộc đến hai tiệm cận của không đổi

Bài 8* Biện luận theo các đường tiệm cận của các họ đường cong sau:

x

=

−

21

−

= +

2

31

x y

11

x x y

x m y

1

mx y

−

=

− +

V KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ, GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ,

SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐỒ THỊ.

1 Kiến thức cần nhớ:

- Sơ đồ khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.

- Các kiến thức để giải một số bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số (Phương trình tiếp tuyến, biện luận số nghiệm số của phương trình bằng đồ thị, biện luận vị trí tương đối của đường cong và đường thẳng, )

y= f x

( ) ;

y= f x

-15-+

- Sự tương giao của đồ thị hàm số và đường thẳng:

+ Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình;

+ Biện luận theo tham số số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng

- Viết được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số:

+ Tại một điểm cho trước;

+ Biết hệ số góc cho trước;

+ Đi qua một điểm.

- Viết được phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong tại điểm chung.

- Tìm các điểm thuộc đồ thị sao cho tiếp tuyến tại đó thỏa mãn một tính chất cho trước

c) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo số nghiệm của phương trình

Bài 2 Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tiếp tuyến của (C) tại gốc tọa độ O lại cắt (C) tại điểm A khác O Tìm tọa độ điểm A

c) Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) với đường thẳng

Bài 3 Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Định để phương trình có 4 nghiệm phân biệt

c) Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(;) và có hệ số góc k Định k để (d) cắt (C) tại 3 điểm

phân biệt A, M, N

Bài 4 Cho hàm số (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi = 3

b) Viết phương trình tiếp tuyến của

(C) sao cho tiếp tuyến song song

đường thẳng

c) Tìm để hàm số (1) đạt cực đại tại x = 2.

Bài 5* (Khối A-2010) Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ

thỏa mãn điều kiện

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi =

b) Chứng minh rằng khi thay đổi, luôn đi qua 2 điểm cố định phân biệt

c) Tìm các giá trị của để các tiếp tuyến của tại vuông góc với nhau

b) Viết các phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có tung độ

c) Xác định sao chocắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

Bài 9* (Khối B-2009) Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Tìm để phương trình có đúng 6 nghiệm thực phân biệt

c) Xác định sao cho đoạn MN ngắn nhất

Bài 11* (Khối B-2010) Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm để đường thẳng cắt tại

hai điểm phân biệt sao cho

tam giác có diện tích bằng ( là gốc tọa độ)

Bài 12 Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

c) Gọi (d) là đường thẳng đi quavà có hệ số góc Biện luận theo số giao điểm của (C)

và (d)

d) Gọi I là tâm đối xứng của (C) Tìm điểm sao cho đoạn IM ngắn nhất

Bài 13* (Khối D-2007) Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Tìm tọa độ điểm thuộc biết tiếp tuyến của tại cắt hai trục tại

và tam giác có diện tích bằng ( là gốc tọa độ)

x y x

+

=+

x y x

+

=+

+

=

−(0;1)

Am

( )

M∈ C

2.1

x y x

=+

-17-a) Tùy theo các giá trị của , khảo sát sự biến thiên của hàm số.

b) Khi = 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

c) Định k để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài 15 Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số Tìm trên (C) các điểm có tọa độ là những số nguyên

b) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến song song với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

c) Tìm trên (C) những điểm có tổng các khoảng cách từ đó đến hai tiệm cận của (C) nhỏ nhất

b) Tìm trên trục tung các điểm mà từ đó kẻ được ít nhất một tiếp tuyến đến (C)

c) Cho đường thẳng (d): Với giá trị nào của thì (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B

d) Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạn AB khi biến thiên

Bài 18* Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dùng đồ thị (C) biện luận theo

số nghiệm của phương trình: c) Tìm hai điểm và đối xứng nhau qua

đường thẳng (d ):

Bài 19* Cho hàm số

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ

đồ thị (C) của hàm số khi

b) Xác định sao cho hàm số có cực trị và tiệm cận xiên của đi qua gốc tọa độ

c) Biện luận theo tham số số nghiệm của phương trình:

CHỦ ĐỀ 2: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT.

I LŨY THỪA, LÔGARIT.

1 Kiến thức cần nhớ:

m m

12

x

− −

=+( 2;0)

A −

OA OB⊥O

11

- Các khái niệm lũy thừa với số mũ nguyên của một số thực, lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy

thừa với số mũ thực của một số thực dương

- Các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hữu tỉ và lũy thừa với số

- Biết vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản

- Biết vận dụng các tính chất của lôgarit vào các bài tập biến đổi, tính toán các biểu thức chứa

lôgarit

3 Bài tập:

Rút gọn biểu thức chứa lũy thừa

Bài 1 Rút gọn các biểu thức sau:

a) ; b) ;

c)

; d)

Tính các biểu thức chứa lôgarit

Bài 4 Tính giá trị các biểu thức sau :

(1 ) 1 1

;12

c) ; d)

; d) ; e)

Bài 5 Tính:

a) ; b)

Bài 8 Biết , , và Tính theo

Chứng minh các đẳng thức chứa lôgarit

Bài 9 Chứng minh các đẳng thức sau:

a) ;b) (a, b,

c > 0 và );

c)

Bài 10 Chứng minh

rằng: Nếu x, y > 0, x 2 +

4y 2 = 12xy thì lg( x + 2y) 2lg2 =(lgx + lgy).

Bài 11 Cho ; (a, b, c > 0 và khác 8) Chứng

1log 24 log 72

21log 18 log 72

log log

a b ab

II HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LÔGARIT.

1 Kiến thức cần nhớ:

- Các khái niệm và tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit.

- Công thức tính đạo hàm của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số lôgarit

- Dạng của đồ thị của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

2 Kĩ năng cần đạt:

- Biết vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số, hai biểu

thức chứa mũ và lôgarit

- Biết vẽ đồ thị các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

- Tính được đạo hàm các hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit

3 Bài tập:

Tìm tập xác định của các hàm số lũy thừa và hàm số lôgarit

Bài 1 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

c) d)

Bài 2 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

2

x y

1log ( 1) 2

y = − −

-21-Tính đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 3 Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) ; b) ;c) ; d) ;

Xét sự biến thiên của hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 5.

a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên

b) Chứng minh rằng hàm số nghịch biến trên tập các số thực dương

Giải phương trình, chứng minh đẳng thức chứa đạo hàm

Bài 6 Cho hàm số y = exsinx Giải phương trình: y’’ y’ ex = 0

Bài 7 Chứng minh rằng:

a) Hàm số thỏa mãn hệ thức ;b) Hàm số thỏa mãn hệ thức c) Hàm số thỏa mãn hệ thức d) Hàm số thỏa mãn hệ thức

e) Hàm số thỏa mãn

hệ thức

Tính giới hạn của hàm số mũ và hàm số lôgarit

Bài 8* Tìm các giới hạn sau:

a) b) ; c) ; d) ;

e)

f) ;

2log( 3 2)

21

2

x x

ln

1

x y

y

x

=+

' ( ln 1);

xy = y y x−

1 ln(1 ln )

x y

( 1)( x 2014)

y= x + e + 2 2

1lim

2

x

x

e x

x

x x

→

+

0

ln(3 1) ln(2 1) lim

sin 2

x

x x

→

+

2 0

1 lim

sin

x

x

e x

→

−

- Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ ( đưa về lũy thừa cùng cơ số,

lôgarit hóa, dùng ẩn số phụ, sử dụng tính chất của hàm số)

- Các phương pháp giải phương trình, bất phương trình lôgarit ( đưa về lôgarit cùng cơ số, mũ

hóa, dùng ẩn số phụ, sử dụng tính chất của hàm số)

2 Kĩ năng cần đạt:

- Giải được phương trình, bất phương trình mũ bằng các phương pháp: đưa về lũy thừa cùng

cơ số, lôgarit hóa, dùng ẩn số phụ, sử dụng tính chất của hàm số

- Giải được phương trình, bất phương trình lôgarit bằng các phương pháp: đưa về lôgarit cùng

cơ số, mũ hóa, dùng ẩn số phụ, sử dụng tính chất của hàm số

- Giải được một số hệ phương trình mũ, lôgarit đơn giản.

3 Bài tập:

Phương pháp đưa về cùng cơ số

Bài 1 Giải các phương trình sau:

c) ;d) ;e) f)

Bài 2 Giải các phương trình sau

a) log2[x(x1)] = 1; b) log2x + log2(x1) = 1;

c) log3x +log9x +log27x =11;

d) e) f) (D-2011)

Bài 3 Giải các bất phương trình sau

c) ;d) ;

e) ; f) ( B-2006)

cos cos3

2 0

77

g) ; h)

Bài 5 Giải các phương trình sau:

a) 2(log3x)2 + log39x 5 = 0; b) (CĐ-2008)

c) ; d) ;

e) log2(2x+1).log2(2x+1+2) = 2; f)

g) ; h) 2008)

(A-Bài 5 Giải các bất phương trình sau:

d)

e) ;f)

Phương pháp đưa về phương trình tích

Bài 7 Giải các phương trình sau

a) b)

(D-2010)

Phương pháp mũ hóa và lôgarit hóa

Bài 8 Giải các phương trình sau

c) d)

3log (2 x−2) log x=2log (x−2);

c) ;d) ;

e) ;

f)

Bài 10* Giải các hệ phương trình sau:

a) ; b) ; c)

d) _

log ( ) log log 0

- Khái niệm nguyên hàm của một hàm số.

- Các tính chất cơ bản của nguyên hàm

- Khái niệm về diện tích hình thang cong

- Định nghĩa tích phân của một hàm số liên tục bằng công thức Niu - tơn – Lai- bơ - nit

- Các tính chất của tích phân

2 Kĩ năng cần đạt:

- Tìm được nguyên hàm của một số hàm số tương đối đơn giản dựa vào bảng nguyên hàm

- Sử dụng được phương pháp đổi biến số và nguyên hàm từng phần để tìm nguyên hàm

- Tính được các tích phân của một số hàm số tương đối đơn giản bằng định nghĩa

- Sử dụng được phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần để tính tích phân

1

f x

x

=+

.

¡

2( ) (2 ln 3 1)4

+ +

∫ 2

;1

−

∫

3

cossin

x dx x

∫ 32 2

(1 )

x dx x

−

∫

2

1 tancos

x dx x

Bài 8 Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm

số biết đồ thị của hàm số y = F(x) đi qua

điểm

Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

Bài 9 Tính các tích phân sau

a) b) c) d)

e)

f) g) h)

Sử dụng phương pháp đổi biến số

Bài 10 Tính các tích phân sau:

a) ;

b) ;

c) ;

d) e) ;f) ;

i) ;

Bài 11* Tính các tích phân sau:

a) ;

b) ;c) (A-2005);

cosf(x)

sin

x x

=

;0 2

M π 

 ÷

 

2 2 3 1

2

;

dx x

−

∫

1

2 0

(2x+1)(x − +x 3) ;dx

∫

2

2sin 2 sin 7x xdx;

x dx

x dx x

−

−

∫

3 2 0

+

∫41 2 ;

x

e dx x

+

∫

4 3 0

∫3

0

2 ;1

x dx x

2 2 0

h) 4

dx x

+

∫

4 4 6 0

sincos

x dx x

π

∫

2 2 0

+ +

0

tancos 2

x dx x

π

∫

1 5

2 2

1

11

c) Đổi biến số: Đặt

d) Đổi biến số: Đặt

e) Đổi biến số: Đặt f) Đổi

k) (B-2009);

l)

m*) ;n*) ;p*)

Hướng dẫn:

m) Đặt n) Đặt p) Đặt

Kết hợp hai phương pháp đổi biến và tích phân từng phần

Bài 13 Tính các tích phân sau

ln(1 x)

dx x

cos

x dx x

π

∫

1

2 0

d) ( 1)

x

xe dx

(x −2 )x e dx−x

∫

2 0

ln(sin )cos

x dx x

3 ln( 1)

x dx x

++

∫

2

2 4

ln(sin cos )

;sin

dx x

π

++

∫ 3 2 0

sincos

dx x

π

∫

1

2 0

.(2 1) (5 3)

u x

xdx dv

x u x dx dv

π

∫