Bồi dưỡng tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy học giải bài tập hình học

Xuất phát từ những yêu cầu xã hội đối với sự phát triển nhân cách của thế hệ trẻ, từ những đặc điểm của nội dung mới và từ bản chất của quá trình học tập buộc chúng ta phải đổi mới ph-ơn

Xin trân trọng gửi tới các thầy cô giáo lời biết ơn chân thành và sâu sắc của tác giả

Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán tr-ờng Nghi Lộc 1 đã tạo điều kiện trong quá trình tác giả thực hiện đề tài

Gia đình, bạn bè, đồng nghiệp luôn là nguồn cổ vũ động viên để tác giả thêm nghị lực hoàn thành Luận văn này

Tuy đã có nhiều cố gắng, tuy nhiên Luận văn này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót cần đ-ợc góp ý, sửa chữa Tác giả rất mong nhận

đ-ợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo và bạn đọc

Vinh, tháng 11 năm 2007

Tác giả

Ch-ơng 2 Một số vấn đề dạy học giải bài tập hình học theo

định h-ớng bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh 22

2.1 Vấn đề 1: Rèn luyện t- duy sáng tạo qua bài toán dựng hình 22 2.2 Vấn đề 2: Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải cho

2.3 Vấn đề 3: Xây dựng hệ thống bài toán gốc giúp học sinh quy

lạ về quen

69

2.4 Vấn đề 4: Chuyển việc tìm tòi lời giải bài toán hình học

không gian về bài toán hình học phẳng

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Thế giới ngày nay đang thay đổi theo một tốc độ luỹ thừa, nhằm đáp ứng đ-ợc những thay đổi nhanh chóng đó trong khoa học, công nghệ, truyền thông Chúng ta không những dựa trên các giải pháp của quá khứ, mà còn phải tin t-ởng vào những quá trình giải quyết các vấn đề mới

Điều này không chỉ hàm ý nói đến những kỹ thuật mới mà còn nói đến mục tiêu giáo dục Mục tiêu của giáo dục phải là phát triển một xã hội trong

đó con ng-ời có thể sống thoải mái với sự thay đổi hơn là sự xơ cứng Vì thế bắt buộc bản thân các nhà giáo dục phải vừa giữ gìn, l-u truyền tri thức và các giá trị của quá khứ vừa chuẩn bị cho một t-ơng lai mà ta ch-a biết rõ

Toán học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các quá trình tự động hoá sản xuất, trở thành công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và đ-ợc coi là chìa khoá của

sự phát triển

Xuất phát từ những yêu cầu xã hội đối với sự phát triển nhân cách của thế hệ trẻ, từ những đặc điểm của nội dung mới và từ bản chất của quá trình học tập buộc chúng ta phải đổi mới ph-ơng pháp dạy học theo h-ớng bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh

Việc học tập tự giác tích cực, chủ động và sáng tạo đòi hỏi học sinh phải có ý thức về những mục tiêu đặt ra và tạo đ-ợc động lực trong thúc đẩy bản thân họ t- duy để đạt đ-ợc mục tiêu đó

Trong việc rèn luyện t- duy sáng tạo cho học sinh ở tr-ờng phổ thông, môn Toán đóng vai trò rất quan trọng Bởi vì, Toán học có một vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học và kỹ thuật; Toán học có liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa

học, công nghệ, sản xuất và đời sống xã hội hiện đại; Toán học còn là một công cụ để học tập và nghiên cứu các môn học khác

Vấn đề bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh đã đ-ợc nhiều tác giả

trong và ngoài n-ớc quan tâm nghiên cứu Với tác phẩm "Sáng tạo toán học"

nổi tiếng, nhà toán học kiêm tâm lý học G.Polya đã nghiên cứu bản chất của quá trình giải toán, quá trình sáng tạo toán học Đồng thời trong tác phẩm

"Tâm lý năng lực toán học của học sinh", Krutecxiki đã nghiên cứu cấu trúc

năng lực toán học của học sinh ở n-ớc ta, các tác giả Hoàng Chúng, Nguyễn Cảnh Toàn, Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Bá Kim, Vũ D-ơng Thụy, Tôn Thân, Phạm Gia Đức,… đã có nhiều công trình giải quyết những vấn đề về lý luận

và thực tiễn việc phát triển t- duy sáng tạo cho học sinh Hay nh- luận văn

Thạc sĩ của Từ Hữu Sơn - Đại học Vinh năm 2004 với tiêu đề: "Góp phần bồi d-ỡng một số yếu tố đặc tr-ng của t- duy sáng tạo lý thuyết đồ thị" Phạm Xuân Chung năm 2001: "Khai thác sách giáo khoa hình học 10 THPT hiện hành qua một số dạng bài tập điển hình nhằm phát triển năng lực t- duy sáng tạo cho học sinh" Tác giả Bùi Thị Hà - Đại học Vinh năm 2003, trong luận văn của mình với đề tài: "Phát triển t- duy sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học bài tập nguyên hàm, tích phân"

Nh- vậy, việc bồi d-ỡng và phát triển t- duy sáng tạo trong hoạt động dạy học toán đ-ợc rất nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Tuy nhiên, việc bồi d-ỡng t- duy sáng tạo thông qua dạy giải các bài tập hình học ở tr-ờng THPT thì các tác giả ch-a khai thác và đi sâu vào nghiên cứu cụ thể Vì vậy, tôi chọn

đề tài nghiên cứu của luận văn này là: "Bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh trung học phổ thông qua dạy học giải bài tập hình học"

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn này là nghiên cứu và đề xuất một số vấn đề nhằm góp phần rèn luyện yếu tố t- duy sáng tạo cho học sinh qua dạy học giải bài tập hình học

3 Giả thuyết khoa học

Nếu dạy học hình học theo định h-ớng bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh thì có thể góp phần đổi mới ph-ơng pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay và nâng cao chất l-ợng dạy học toán ở tr-ờng phổ thông trung học

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

4.1- Làm sáng tỏ khái niệm t- duy, t- duy sáng tạo

4.2- Xác định các vấn đề đã đề xuất nhằm rèn luyện năng lực t- duy sáng tạo cho học sinh

4.3- Xây dựng và khai thác hệ thống bài tập hình học phù hợp với sự phát triển t- duy sáng tạo cho học sinh

4.4- Tiến hành thực nghiệm s- phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiện thực, tính hiệu quả của đề tài

5 Ph-ơng pháp nghiên cứu

5.1- Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lý học, lý luận dạy học môn toán

- Các sách báo, các bài viết về khoa học toán phục vụ cho đề tài

- Các công trình nghiên cứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài 5.2 Quan sát

- Dự giờ, quan sát việc dạy học của giáo viên và việc học của học sinh trong quá trình khai thác các bài tập sách giáo khoa

- Lý do chọn đề tài

- Mục đích nghiên cứu

- Nhiệm vụ nghiên cứu

- Giả thiết khoa học

1.3 Một số yếu tố đặc tr-ng của t- duy sáng tạo

1.4 Vận dụng t- duy biện chứng để phát triển t- duy sáng tạo cho HS 1.5 Tiềm năng của chủ đề hình học trong việc bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh

1.6 Kết luận ch-ơng 1

Ch-ơng 2 Một số vấn đề dạy học giải bài tập hình học theo định h-ớng bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh

2.1 Vấn đề 1: Rèn luyện t- duy sáng tạo qua bài toán dựng hình

2.2 Vấn đề 2: Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách giải trong một

T- duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính, bản chất mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật của sự vật hiện t-ợng trong hiện thực khách quan mà tr-ớc đó ta ch-a biết (theo tâm lý học đại c-ơng - Nguyễn Quang Cẩn)

Theo từ điển triết học: "T- duy, sản phẩm cao nhất của vật chất đ-ợc tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm, phán đoán, lý luận T- duy xuất hiện trong quá trình hoạt động sản xuất xã hội của con ng-ời và đảm bảo phản ánh thực tại một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật T- duy chỉ tồn tại trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động chỉ tiêu biểu cho xã hội loài ng-ời cho nên t- duy của con ng-ời

đ-ợc thực hiện trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của t- duy đ-ợc ghi nhận trong ngôn ngữ Tiêu biểu cho t- duy là những quá trình nh- trừu t-ợng hoá, phân tích và tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất

định và tìm cách giải quyết chung, việc đề xuất những giả thiết, những ý niệm Kết quả của quá trình t- duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó"

Từ đó ta có thể rút ta những đặc điểm cơ bản của t- duy

- T- duy là sản phẩm của bộ não con ng-ời và là một quá trình phản

ánh tích cực thế giới khách quan

- Kết quả của quá trình t- duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và đ-ợc thể hiện qua ngôn ngữ

- Bản chất của t- duy là ở sự phân biệt, sự tồn tại độc lập của đối t-ợng

đ-ợc phản ánh với hình ảnh nhận thức đ-ợc qua khả năng hoạt động của con ng-ời nhằm phản ánh đối t-ợng

- T- duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

- Khách thể trong t- duy đ-ợc phản ánh với nhiều mức độ khác nhau từ thuộc tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con ng-ời

1.2 T- duy sáng tạo

Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết vấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung của sáng tạo gồm hai ý chính có tính mới (khác cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (giá trị hơn cái cũ) Nh- vậy sự sáng tạo cần thiết cho bất kỳ hoạt động nào của xã hội loài ng-ời Sáng tạo th-ờng đ-ợc nghiên cứu trên nhiều ph-ơng diện nh- là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, nh- một kiểu t- duy, nh- là một năng lực của con ng-ời

Các nhà nghiên cứu đ-a ra nhiều quan điểm khác nhau về t- duy sáng tạo Theo Nguyễn Bá Kim: "Tính linh hoạt, tính dộc lập và tính phê phán là những điều kiện cần thiết của t- duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của t- duy sáng tạo Tính sáng tạo của t- duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện vấn đề mới, tìm ra h-ớng đi mới, tạo ra kết quả mới Nhấn mạnh cái mới không có nghĩa là coi nhẹ cái cũ" (Nguyễn Bá Kim - Ph-ơng pháp dạy học bộ môn Toán)

Theo Tôn Thân quan niệm: "T- duy sáng tạo là một dạng t- duy độc lập tạo ra ý t-ởng mới, độc đáo, và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao" Và theo tác giả "T- duy sáng tạo là t- duy độc lập và nó không bị gò bó phụ thuộc vào cái đã có Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừa trong việc tìm giải pháp Mỗi sản phẩm của t- duy sáng tạo đều mang rất đậm dấu

ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó (Tôn Thân - Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi d-ỡng một số yếu tố của t- duy sáng tạo cho học sinh khá và giỏi Toán ở tr-ờng THCS Việt Nam, luận án phó Tiến sỹ khoa học s- phạm - Tâm lý, Viện khoa học giáo dục Hà Nội)

Nhà tâm lý học ng-ời Đức Mehlhow cho rằng "T- duy sáng tạo là hạt nhân của sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục" Theo ông, t- duy sáng tạo đ-ợc đặc tr-ng bởi mức độ cao của chất l-ợng, hoạt

động trí tuệ nh- tính mềm dẻo, tính nhạy cảm, tính kế hoạch, tính chính xác Trong khi đó, J.DanTon lại cho rằng "T- duy sáng tạo đó là những năng lực tìm thấy những ý nghĩa mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng của kiến thức, trí t-ởng t-ợng và sự đánh giá, là một quá trình, một cách dạy

và học bao gồm những chuỗi phiêu l-u, chứa đựng những điều nh-: sự khám phá, sự phát sinh, sự đổi mới, trí t-ởng t-ợng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm"

Trong cuốn: "Sáng tạo Toán học", G.Polya cho rằng: "Một t- duy gọi là

có hiệu quả nếu t- duy đó dẫn đến lời giải một bài toán cụ thể nào đó Có thể coi là sáng tạo nếu t- duy đó tạo ra những t- liệu, ph-ơng tiện giải các bài toán sau này Các bài toán vận dụng những t- liệu ph-ơng tiện này có số l-ợng càng lớn, có dạng muôn màu muôn vẻ, thì mức độ sáng tạo của t- duy càng cao, thí dụ: lúc những cố gắng của ng-ời giải vạch ra đ-ợc các ph-ơng thức giải áp dụng cho những bài toán khác Việc làm của ng-ời giải có thể là sáng tạo một cách gián tiếp, chẳng hạn lúc ta để lại một bài toán tuy không giải đ-ợc nh-ng tốt vì đã gợi ra cho ng-ời khác những suy nghĩ có hiệu quả"

Tác giả Trần Thúc Trình đã cụ thể hóa sự sáng tạo với ng-ời học Toán:

"Đối với ng-ời học Toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ đ-ơng

đầu với những vấn đề đó, để tự mình thu nhận đ-ợc cái mới mà họ ch-a từng biết Nh- vậy, một bài tập cũng đ-ợc xem nh- là mang yếu tố sáng tạo nếu các thao tác giải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối (từng phần hay hoàn toàn), tức

là nếu ng-ời giải ch-a biết tr-ớc thuật toán để giải và phải tiến hành tìm hiểu những b-ớc đi ch-a biết tr-ớc Nhà tr-ờng phổ thông có thể chuẩn bị cho học sinh sẵn sàng hoạt động sáng tạo theo nội dung vừa trình bày

Theo định nghĩa thông th-ờng và phổ biến nhất của t- duy sáng tạo thì

đó là t- duy sáng tạo ra cái mới Thật vậy, t- duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới về thế giới về các ph-ơng thức hoạt động Lene đã chỉ ra các thuộc tính sau đây của t- duy sáng tạo:

- Có sự tự lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống sáng tạo

- Nhìn thấy những vấn đề mới trong điều kiện quen biết "đúng quy cách"

- Nhìn thấy chức năng mới của đối t-ợng quen biết

- Nhìn thấy cấu tạo của đối t-ợng đang nghiên cứu

- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm hiểu lời giải (khả năng xem xét đối t-ợng ở những ph-ơng thức đã biết thành một ph-ơng thức mới)

- Kỹ năng sáng tạo một ph-ơng pháp giải độc đáo tuy đã biết nh-ng ph-ơng thức khác (Lene - dạy học nên vấn đề - NXBGD - 1977)

T- duy sáng tạo là t- duy tích cực và t- duy độc lập nh-ng không phải trong t- duy tích cực đều là t- duy độc lập và không phải trong t- duy độc lập

đều là t- duy sáng tạo và có thể biểu hiện mối quan hệ giữa các khái niệm d-ới dạng vòng trong đồng tâm

Nói chung t- duy sáng tạo là một dạng t- duy độc lập, tạo ra ý t-ởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao

1.3 Một số yếu tố đặc tr-ng của t- duy sáng tạo

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, … về cấu trúc của t- duy sáng tạo, có năm đặc tr-ng cơ bản sau:

Tính mềm dẻo của t- duy còn là năng lực thay đổi dễ dàng, nhanh chóng trật tự của hệ thống tri thức chuyển từ góc độ quan niệm này sang góc

độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật, hiện t-ợng, gạt bỏ sơ đồ t- duy có sẵn và xây dựng ph-ơng pháp t- duy mới, tạo ra sự vật mới trong những quan

hệ mới, hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất sự vật và điều phán

đoán Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc các kiến thức kỹ năng đã có sẵn vào hoàn cảnh mới, điều kiện mới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh h-ởng kìm hãm của những kinh nghiệm, những ph-ơng pháp, những cách suy nghĩ đã có từ tr-ớc Đó là nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năng mới của

đối t-ợng quen biết

Nh- vậy, tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của t- duy sáng tạo, do đó để rèn luyện t- duy sáng tạo cho học sinh ta có thể cho các em giải các bài tập mà thông qua đó rèn luyện đ-ợc tính mềm dẻo của t- duy

1.3.2 Tính nhuần nhuyễn

Tính nhuần nhuyễn của t- duy thể hiện ở năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp giữa các yếu tố riêng lẻ của các hình huống, hoàn cảnh, đ-a ra giả thuyết mới Các nhà tâm lý học rất coi trọng yếu tố chất l-ợng của ý t-ởng sinh ra, lấy đó làm tiêu chí để đánh giá sáng tạo

Tính nhuần nhuyễn đ-ợc đặc tr-ng bởi khả năng tạo ra một số l-ợng nhất định các ý t-ởng Số ý t-ởng nghĩ ra càng nhiều thì càng có nhiều khả năng xuất hiện ý t-ởng độc đáo, trong tr-ờng hợp này số l-ợng làm nảy sinh

ra chất l-ợng Tính nhuần nhuyễn còn thể hiện rõ nét ở 2 đặc tr-ng sau:

- Một là tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm

đ-ợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng tr-ớc một vấn để phải giải quyết, ng-ời có t- duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và

đề xuất đ-ợc nhiều ph-ơng án khác nhau và từ đó tìm đ-ợc ph-ơng án tối -u

Ví dụ : Cho tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA =

OB = OC = a Gọi I là trung điểm của BC Hãy tính khoảng cách giữa hai

đ-ờng thẳng chéo nhau AI, OC?

Cách 1: Xem khoảng cách giữa 2 đ-ờng thẳng chéo nhau AI và OC là khoảng

cách từ 1 điểm thuộc 1 đ-ờng thẳng (chẳng hạn O OC) đến một mặt phẳng song song đ-ờng thẳng đó và chứa đ-ờng thẳng còn lại mặt phẳng (AIJ)

Qua I kẻ IJ // OC (J OB)

Gọi (P) là mặt phẳng qua AI, IJ khi đó (P) // OC

Vậy d(AI, OC) = d(OC, (P)) = d(O, (P))

Kẻ OH AJ (H AJ) Vì IJ // OC nên IJ OB

IJ OH

Trở lại ví dụ trên ta có:

Cách 2: Dựng đ-ờng vuông góc chung của AI và OC

- Qua I kẻ đ-ờng thẳng IJ // OC (J OB)

- Qua O kẻ đ-ờng thẳng OH // AJ (H AJ)

- Qua H kẻ đ-ờng thẳng HE // IJ (I AI)

- Qua E kẻ đ-ờng thẳng EF // OH (F OC)

Khi đó EF là đoạn góc chung của AI và OC

Từ (2) và (3) ta có điều phải chứng minh

Khoảng cách giữa đ-ờng thẳng AI và OC là:

d(AI, OC) = EF = OH

c

i

e h a

Cách 3: Xét khoảng cách giữa hai đ-ờng thẳng AI và OC là khoảng cách giữa

hai mặt phẳng lần l-ợt chứa hai đ-ờng thẳng AI, OC và song song với nhau

Cách 4: Xem khoảng cách giữa 2 đ-ờng thẳng AI và OC là chiều cao hình

chóp có đỉnh là một điểm nằm trên một đ-ờng thẳng (chẳng hạn O OC) đáy nằm trên mặt phẳng // đ-ờng thẳng đó và chứa đ-ờng thẳng còn lại (mp (AIJ)) Hình chóp OAIJ

Ta có d(OC, AI) = OAIJ

AIJ

3VSTrong đó:

Cách 5: Xem khoảng cách giữa hai đ-ờng thẳng AI, OC là chiều cao hình hộp

có hai đáy chứa 2 đ-ờng thẳng trên

Dựng hình hộp AMNPOCDI

c

o

j i

b h

a

Gọi V là thể tích của hình hộp Khi đó d (OC, AI) =

MNCO

VSTrong đó V = AO SOCDI = 2AO SOCI

- Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác

Các yếu tố cơ bản trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiện cho việc tìm đ-ợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau

m

d

c o

n

b

i

(tính nhuần nhuyễn) và nhờ đó đề xuất đ-ợc nhiều ph-ơng án khác nhau mà

có thể tìm đ-ợc giải pháp lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố này có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác nh-: Tính chính xác, tính hoàn thiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc tr-ng nói trên cùng góp phần tạo nên t- duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ của con ng-ời

1.3.4 Tính hoàn thiện

Tính hoàn thiện là khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành

động, phát triển ý t-ởng, kiểm tra và kiểm chứng ý t-ởng

1.3.5 Tính nhạy cảm vấn đề

Tính nhạy cảm vấn đề có các đặc tr-ng sau:

- Khả năng nhanh chóng phát hiện vấn đề

- Khả năng phát hiện ra mâu thuẫn, sai lầm, thiếu logic, ch-a tối -u từ

đó có nhu cầu cấu trúc lại, tạo ra cái mới

Các yếu tố cơ bản của t- duy sáng tạo nêu trên đã biểu hiện khá rõ ở học sinh nói chung và đặc biệt rõ nét đối với học sinh khá giỏi Trong học tập Toán mà cụ thể là trong hoạt động giải toán, các em đã biết di chuyển, thay

đổi các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích và tổng hợp, dùng phân tích trong khi tìm tòi lời giải và dùng tổng hợp để trình bày lời giải ở học sinh khá và giỏi cũng có sự biểu hiện các yếu tố đặc tr-ng của t- duy sáng tạo Điều quan trọng là ng-ời giáo viên phải có ph-ơng pháp dạy học thích hợp để có thể bồi d-ỡng và phát triển tốt hơn năng lực sáng tạo ở các em

1.4 Vận dụng t- duy biện chứng để phát triển t- duy sáng tạo cho học sinh

T- duy biện chứng có thể phản ánh đúng đắn thế giới xung quanh và nhiệm vụ của ng-ời thầy giáo là rèn luyện cho học sinh năng lực xem xét các

đối t-ợng và hiện t-ợng trong sự vận động, trong những mối liên hệ, mối mâu thuẫn và trong sự phát triển

T- duy biện chứng rất quan trọng, nó là cái giúp ta phát hiện vấn đề và

định h-ớng tìm tòi cách giải quyết vấn đề, nó giúp ta cũng cố lòng tin khi trong việc tìm tòi tạm thời gặp thất bại, những khi đó ta vẫn vững lòng tin rằng rồi sẽ

có ngày thành công và h-ớng tìm đến thành công là cố nhìn cho đ-ợc mỗi khái niệm toán học theo nhiều cách khác nhau, càng nhiều càng tốt

T- duy sáng tạo là loại hình t- duy đặc tr-ng bởi hoạt động và suy nghĩ nhận thức mà những hoạt động nhận thức ấy luôn theo một ph-ơng diện mới, giải quyết vấn đề theo cách mới, vận dụng trong một hoàn cảnh hoàn toàn mới, xem xét sự vật hiện t-ợng, về mối quan hệ theo một cách mới có ý nghĩa,

có giá trị Muốn đạt đ-ợc điều đó khi xem xét vấn đề nào đó chúng ta phải xem xét từ chính bản thân nó, nhìn nó d-ới nhiều khía cạnh khác nhau, đặt nó vào những hoàn cảnh khác nhau, nh- thế mới giải quyết vấn đề một cách sáng tạo đ-ợc Mặt khác t- duy biện chứng đã chỉ rõ là khi xem xét sự vật phải xem xét một cách đầy đủ với tất cả tính phức tạp của nó, tức là phải xem xét sự vật trong tất cả các mặt, các mối quan hệ trong tổng thể những mối quan hệ phong phú, phức tạp và muôn vẻ của nó với các sự vật khác Đây là cơ sở để học sinh học toán một cách sáng tạo, không gò bó, đ-a ra đ-ợc nhiều cách giải khác nhau

Điều đó có nghĩa là chúng ta phải rèn luyện t- duy biện chứng cho học sinh hay nói cách khác là rèn luyện t- duy biện chứng cho học sinh từ đó có thể rèn luyện đ-ợc t- duy sáng tạo cho học sinh

Ví dụ: Xét bài toán sau đây: "Cho tam giác ABC, về phía ngoài của tam

giác đó ta dựng các tam giác đều ABC', ACB', BCA' Chứng minh rằng tam giác IJK tạo thành từ các điểm là tâm của các tam giác đều trên là một tam giác đều" Tr-ớc hết ta ch-a nêu ra lời giải bài toán ngay mà hãy đặt bài toán trong những mối liên hệ, xem xét nó trong sự vận động, nhìn bài toán d-ới nhiều góc

độ khác nhau để tìm ph-ơng án giải quyết tối -u nhất, sáng tạo nhất

Đối với bài toán chứng minh một tam giác là một tam giác đều chúng ta

phải h-ớng học sinh nhìn nhận tam giác đều d-ới nhiều khía cạnh khác nhau

để tìm ra các lời giải cho bài toán:

- Nếu ta nhìn tam giác đều là một tam giác có ba cạnh bằng nhau chúng

ta sẽ có h-ớng chứng minh ba cạnh của tam giác bằng nhau:

K

J I

B'

A'

C B

A C'

326

cbaKJ

S3

326

c6

b6

2bc.cosAc

bKJ

2 2 2 2

2 2 2

2 2

Do đó

bc.sinA3

3bc.cosA3

13

b3c

)60bc.cos(A3

23

b3

cKJ

2 2

2 2

o

Cách giải 1:

Chứng minh JI = JK = KI

Trong tam giác AKJ ta có:

KJ2 = AK2+AJ2-2.AK.AJ.cosKAJ

Gọi các cạnh của tam giác ABC lần

l-ợt là a, b, c thì

3

3bAJ,3

3cAK

Còn cosKAJ cos(A 60o)

Vì biểu thức KJ2 đối xứng đối với a, b, c nên một cách t-ơng tự ta có:

2 2

2 JI KI

KJ Suy ra KJ JI KI hay tam giác IJK đều

- Nếu ta nhìn tam giác đều là một tam giác có ba góc bằng nhau ta sẽ có h-ớng chứng minh ba góc của tam giác bằng nhau:

Ta yêu cầu học sinh hãy xét bài toán này xem trong bản thân nó có những mối liên hệ nào? Lúc này buộc học sinh phải suy nghĩ, phải đặt bài toán trong những mối liên hệ khác, ta có cách giải 2:

Cách giải 2: Chứng minh ba góc I, J, K bằng nhau:

JKI KIJ 60 (Nếu O nằm ngoài tam giác ABC ta cũng có cách chứng minh t-ơng tự nh- trên)

- Tr-ớc hết ta xét tr-ờng hợp đặc biệt đó là khi tam giác ABC suy biến thành đoạn thẳng tức là ta nhìn đoạn thẳng là một tam giác có hai đỉnh trùng nhau khi đó ta sẽ có kết quả nh- thế nào?

Giả sử tam giác ABC có đỉnh C trùng với đỉnh A

Nhìn vào hình vẽ ta thấy: Dễ dàng chứng

minh đ-ợc rằng tam giác AO1O2 là tam giác đều

Vậy ta cũng có kết quả hoàn toàn t-ơng tự

- Bây giờ ta xét tr-ờng hợp nếu các tam giác

đều đ-ợc dựng về phía trong của tam giác ABC

Vậy tứ giác tạo bởi tâm của các hình vuông có tính chất gì t-ơng tự trên không?

- Học sinh vẽ hình và dự đoán rằng nếu ABCD là hình bình hành thì IKLM là hình vuông

Từ đó sẽ đ-a học sinh đến việc chứng minh xem dự đoán đó có đúng không

Thật vậy, vì ABCD là hình bình hành nên ta có I và L, K và M đối xứng nhau qua O (O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD), suy ra IKLM là hình bình hành Mặt khác, ta có hai tam giác IBK và IAM bằng nhau (c.c.c) nên ta suy ra góc KIM là góc vuông Vậy IKLM là hình vuông

1.5 Tiềm năng của hình học trong việc bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh

Trong quá trình học Toán thì kỹ năng vận dụng Toán học là quan trọng nhất, nhà tr-ờng phổ thông không chỉ cung cấp cho học sinh những kiến thức Toán học, mà còn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng tính độc lập, sự độc

đáo và khả năng sáng tạo

Các nhà tâm lý học cho rằng: "Sáng tạo bắt đầu từ thời điểm mà các ph-ơng pháp logic để giải quyết nhiệm vụ là không đủ và gặp trở ngại hoặc kết quả không đáp ứng đ-ợc các đòi hỏi đặt ra từ đầu, hoặc xuất hiện giải pháp mới tốt hơn giải pháp cũ"

Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải đ-ợc khai thác và sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển t- duy sáng tạo biểu hiện ở các mặt nh-: khả năng tìm h-ớng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của một bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán)

Chủ đề hình học chứa đựng nhiều tiềm năng to lớn trong việc bồi d-ỡng

và phát huy năng lực sáng tạo cho học sinh Bên cạnh việc giúp học sinh giải quyết các bài tập sách giáo khoa, giáo viên có thể khai thác các tiềm năng đó thông qua việc xây dựng hệ thống bài tập mới trên cơ sở hệ thống bài tập cơ bản, tạo cơ hội cho học sinh phát triển năng lực sáng tạo của mình

Trong quá trình dạy học giáo viên cần dẫn dắt học sinh giải quyết hệ thống bài tập mới, tạo cho học sinh phát hiện vấn đề mới, đó là vấn đề quan trọng mà ta cần quan tâm bồi d-ỡng cho học sinh

Có nhiều ph-ơng pháp khai thác khác các bài tập cơ bản trong sách giáo khoa, để tạo ra các bài toán có tác dụng rèn luyện tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo của t- duy

Trên cơ sở phân tích khái niệm t- duy sáng tạo cùng những yếu tố đặc tr-ng của nó và dựa vào quan điểm: bồi d-ỡng từng yếu tố cụ thể của t- duy sáng tạo cho học sinh là một trong những biện pháp để phát triển năng lực t- duy sáng tạo cho các em Các bài tập chủ yếu nhằm bồi d-ỡng tính mềm dẻo của t- duy sáng tạo với các đặc tr-ng: dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, suy nghĩ không rập khuôn; khả năng nhận ra vấn

đề mới trong điều kiện quen thuộc, khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối t-ợng quen biết Các bài tập chủ yếu nhằm bồi d-ỡng tính nhuần nhuyễn của t- duy sáng tạo với các đặc tr-ng: khả năng tìm đ-ợc nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và hoàn cảnh khác nhau, khả năng xem xét đối t-ợng d-ới những khía cạnh khác nhau Các bài tập chủ yếu nhằm bồi d-ỡng tính nhạy cảm vấn đề của t- duy sáng tạo với các đặc tr-ng: nhanh chóng phát hiện những vấn đề tìm ra kết quả mới, tạo đ-ợc bài toán mới, khả năng nhanh chóng phát hiện ra các mâu thuẫn, thiếu logic

Ngoài ra t- duy hình học mang những nét đặc tr-ng quan trọng và cơ bản của t- duy toán học Việc phát triển t- duy hình học luôn gắn với khả năng phát triển trí t-ởng t-ợng không gian, phát triển t- duy hình học luôn

gắn liền với việc phát triển của ph-ơng pháp suy luận; việc phát triển t- duy ở cấp độ cao sẽ kéo theo sự phát triển t- duy đại số Nh- vậy để nâng dần cấp

dộ t- duy trong dạy học hình học, việc dạy học phải đ-ợc chú ý vào: phát triển trí t-ởng t-ợng không gian bằng cách: giúp học sinh hình thành và tích luỹ các biểu t-ợng không gian một cách vững chắc, biết nhìn nhận các đối t-ợng hình học ở các không gian khác nhau, biết đoán nhận sự thay đổi của các biểu t-ợng không gian khi thay đổi một số sự kiện

Nh- vậy tiềm năng của chủ đề hình học trong việc bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh là rất lớn

1.6 Kết luận ch-ơng 1

Trong ch-ơng này luận văn đã làm rõ các khái niệm t- duy, t- duy sáng tạo, nêu đ-ợc các yếu tố đặc tr-ng của t- duy sáng tạo, và vận dụng đ-ợc t- duy biện chứng để phát triển t- duy sáng tạo, đồng thời nêu đ-ợc tiềm năng của chủ đề Hình học trong việc bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh

Việc bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh thông qua quá trình dạy học giải bài tập toán là rất cần thiết bởi qua đó chúng ta giúp học sinh học tập tích cực hơn và kích thích đ-ợc tính sáng tạo của học sinh trong học tập và trong cuộc sống

Vậy công việc của mỗi giáo viên trong quá trình dạy học là tìm ra đ-ợc các ph-ơng pháp nhằm phát triển và rèn luyện t- duy sáng tạo cho học sinh

Ch-ơng 2

Một số vấn đề dạy học giải bài tập hình học theo

định h-ớng bồi d-ỡng t- duy sáng tạo cho học sinh

2.1 Vấn đề 1: Rèn luyện t- duy sáng tạo qua bài toán dựng hình

Toán dựng hình là vấn đề khá lý thú của toán học phổ thông Nó giúp phát triển t- duy logic, óc sáng tạo vì đòi hỏi tự tạo ra hình vẽ cần thiết để suy luận tìm ra cách giải

Đến thế kỷ thứ 6 tr-ớc công nguyên, Ơclit ng-ời sáng lập hệ hình học

đầu tiên đã nêu lên những tiên đề quan trọng nhất của hình học chứng tỏ vai trò của dựng hình trong toán học nh-:

- Có thể vạch một đ-ờng thẳng từ một điểm tới 1 điểm khác

- Có thể liên tục kéo dài một đ-ờng thẳng bị giới hạn

- Với mỗi một tâm và mỗi một khoảng cách có thể vạch đ-ợc một đ-ờng tròn Các nhà hình học cổ HiLạp đã giải đ-ợc những bài toán dựng hình khó bằng th-ớc và compa, chẳng hạn Apôlôni Pecxki đã giải đ-ợc bài toán nổi tiếng mang tên ông: "Dựng một đ-ờng tròn tiếp xúc với ba đ-ờng tròn cho tr-ớc" Họ lại giải đại số với dựng hình nh-: Giải ph-ơng trình bậc nhất và ph-ơng trình bậc hai bằng dựng hình

Những ng-ời sáng lập ra toán học hiện đại đã quan tâm nhiều đến các bài toán dựng hình Đềcác và NewTơn đã giải bài toán chia ba một góc bằng các thiết diện hình nón, giải đ-ợc bài toán Apôlôni cùng với Ơle

Việc khảo cứu nhiều vấn đề hình học đ-ợc dựa vào hình học dựng hình,

đặc biệt đối với cách chứng minh sự tồn tại, chẳng hạn sự tồn tại tâm của một

đ-ờng tròn nội tiếp trong tam giác, sự tồn tại của những tam giác đồng dạng,

sự tồn tại của những đường thẳng song song, … đều được chứng minh bằng phép dựng hình

2.1.2 Giải một bài toán dựng hình là gì?

Giải một bài toán dựng hình là tìm đ-ợc 1 hình thoả mãn những điều kiện trong bài toán

Nói nh- thế ch-a đủ, vì điều kiện quan trọng là dùng những dụng cụ gì

để dựng hình Bởi vì trong thực tiễn cuộc sống đòi hỏi tính hiệu quả của công việc Hiệu quả càng cao thì công việc có giá trị Làm sao khi dựng hình, số l-ợng dụng cụ sử dụng là ít nhất

Ví dụ với bài toán "dựng một góc bằng 200, lấy 1 tia cho tr-ớc làm cạnh", nếu dùng th-ớc đo góc thì bài toán rất đơn giản, nh-ng nếu chỉ dùng th-ớc và compa thì bài toán này không giải đ-ợc! (ng-ời ta đã chứng minh rằng chỉ dùng th-ớc và compa thì không thể dựng đ-ợc 1 góc = 200)

2.1.2.1 Tại sao chỉ dùng th-ớc và compa?

Các nhà toán học cổ HiLạp chỉ xem phép dựng dùng th-ớc và compa là hợp pháp, có tính chất hình học chân chính và không công nhận việc sử dụng các dụng cụ khác để dựng hình

Quan điểm đó vẫn tồn tại cho đến ngày nay Họ cũng đã thành công trong việc giải những bài toán dựng hình rất khó bằng th-ớc và compa Họ coi th-ớc kẻ là vô hạn vì chỉ có một cạnh , coi compa có tính chất dùng để vẽ những đ-ờng tròn có bán kính tuỳ ý

Cơ sở lý luận của hình học dựng hình là những tiên đề sau đây

d) Một đ-ờng thẳng xác định bởi hai điểm dựng đ-ợc thì coi nh- dựng đ-ợc

* Tiên đề về cái compa:

đ) Một đ-ờng tròn xác định bởi một tâm dựng đ-ợc, một bán kính dựng

đ-ợc thì coi nh- dựng đ-ợc

Hai tiên đề d và đ biểu thị d-ới hình thức trừu t-ợng về cái th-ớc và compa Theo hai tiên đề này thì muốn thực hiện một phép dựng hình bằng th-ớc và compa thì phải có ít nhất hai điểm Nh-ng nhiều khi trong đề bài chỉ

có một điểm hoặc không có điểm nào cả

Chẳng hạn:

+) Cho một đ-ờng thẳng và một điểm trên đó, dựng tại điểm đó đ-ờng vuông góc với đ-ờng thẳng ở đây chỉ có một điểm cho tr-ớc tức là dựng

đ-ợc

+) Cho hai đ-ờng thẳng giao nhau Dựng phân giác của góc tạo thành ở

đây chỉ có một điểm dựng đ-ợc (Theo tiên đề c)

+) Cho một đ-ờng tròn Dựng tâm của nó ở đây không có điểm dựng

đ-ợc nào cả

2.1.2.2 Giải một bài toán dựng hình bằng th-ớc và compa là chỉ rõ thứ tự áp

dụng các tiên đề a, b, c, d, đ ở trên để đ-a những tiên đề ch-a biết về những yếu tố dựng đ-ợc

Ví dụ bài toán dựng hình sau:

Qua một điểm A ở ngoài một đ-ờng thẳng d dựng đ-ờng thẳng song song với d

e) Kẻ đ-ờng thẳng qua A và P (tiên đề d)

Tóm lại giải bài toán dựng hình trên đòi hỏi phải lần l-ợt áp dụng các tiên đề b, đ, đ, , c, đ, c, d (Dĩ nhiên tr-ớc hết bao giờ cũng là tiên đề a)

Chú ý: Tuy nhiên nhiều khi ng-ời ta không nêu hai tiên đề a và b mà

kính đã biết (tiên đề về cái compa)

c) Lấy giao điểm của 2 đ-ờng thẳng đã biết

d

- Một đ-ờng thẳng song song với một đ-ờng thẳng dựng đ-ợc và cách

nó một khoảng d thì xem nh- dựng đ-ợc (hằng số d ứng với bề rộng của th-ớc

- Lấy giao điểm A của x' và y' (tiên đề c)

- Vẽ đ-ờng thẳng qua O và A (tiên đề d)

b) Dựng hình bằng Êke

- Đ-ờng thẳng đi qua 1 điểm dựng đ-ợc

tạo với một đ-ờng thẳng dựng đ-ợc một góc

bằng 900, 600, 300 hoặc 900 và 450, thì xem nh-

dựng đ-ợc (**)

- Một điểm của một đ-ờng thẳng dựng đ-ợc mà từ đó ta thấy 2 điểm dựng đ-ợc d-ới một góc thì xem nh- dựng đ-ợc (.)

Eke th-ờng có ba góc 900, 600 và 300 hoặc 900 và 450

Ví dụ: Gấp đôi một đoạn thẳng AB bằng Eke

- Qua B dựng đ-ờng thẳng tạo với AB một góc 600 và qua A dựng

đ-ờng vuông góc với AB (tiên đề **)

- Lấy giao điểm của hai đ-ờng vừa dựng (tiên đề c)

- Trên BA kéo dài dựng điểm C nhìn BD d-ới góc 600 (tiên đề (.) ) hoặc qua D dựng đ-ờng thẳng tạo với BD một góc 600

2.1.2.4 Giá trị lý luận và thực tế của các dụng cụ dựng hình

Bốn dụng cụ; Compa, th-ớc, th-ớc hai biên và eke đều quan trọng nh- nhau về giá trị lý luận chặt chẽ, chính xác và giá trị thực tế của chúng trong

đời sống và sản xuất

o

a

x x'

y' y d

Năm 1787 nhà khoa học ý MaxkêRôni đã chứng minh rằng:

Bất kỳ bài toán nào có thể giải đ-ợc bằng th-ớc và compa đều có thể giải đ-ợc bằng một mình compa thôi

Năm 1890 Ađơle đã chứng minh rằng: Bất kỳ bài toán nào giải đ-ợc bằng th-ớc và compa đều có thể giải đ-ợc bằng một cái th-ớc hai biên hoặc bằng eke

Trong thực tế kinh nghiệm cho thấy rằng ba dụng cụ: Compa, th-ớc và eke là những dụng cụ cần thiết và tiện lợi nhất cho ng-ời vẽ

c) Dựng phân giác của một góc cho tr-ớc

d) Dựng trung trực của đoạn thẳng cho tr-ớc

đ) Tìm trung điểm của một đoạn thẳng cho tr-ớc

e) Qua một đểm cho tr-ớc dựng một đ-ờng thẳng vuông góc với một

đ-ờng thẳng cho tr-ớc

g) Chia một đoạn thẳng cho tr-ớc ra nhiều phần bằng nhau

h) Dựng biết ba cạnh (c c c.), biết hai góc và cạnh kề hai góc đó (g.c.g), biết hai cạnh và góc xen giữa (c.g.c)

i) Dựng tam giác đều hoặc hình vuông khi biết một cạnh của nó

k) Dựng hình chữ nhật khi biết 2 cạnh kề nhau

l) Lấy một đ-ờng thẳng đã biết làm một cạnh dựng một góc bằng 600hoặc 300

2.1.3.2 Loại đ-ờng tròn

a) Dựng đ-ờng tròn ngoại tiếp của một tam giác cho tr-ớc

b) Dựng đ-ờng tròn nội tiếp của một tam giác cho tr-ớc

c) Lấy một đoạn thẳng cho tr-ớc làm bán kính dựng một đ-ờng tròn d) Chia đôi một cung cho tr-ớc

đ) Từ một điểm cho tr-ớc ở ngoài hoặc ở trên đ-ờng tròn dựng tiếp tuyến của đ-ờng tròn đó

e) Dựng cung chứa góc

2.1.3.3 Loại tỷ lệ

a) Cho tr-ớc 3 đoạn thẳng dựng đoạn thẳng tỷ lệ thứ t-

b) Chia 1 đoạn thẳng cho tr-ớc thành 2 phần sao cho tỷ số của chúng

bằng tỷ số đã biết m

n c) Dựng đoạn trung bình nhân của hai đoạn thẳng cho tr-ớc

2.1.3.4 Loại diện tích

a) Dựng hình vuông có diện tích bằng tổng diện tích của hai hình vuông cho tr-ớc

b) Dựng hình vuông có diện tích bằng diện tích của hai hình vuông cho tr-ớc

2.1.4 Các b-ớc giải của bài toán dựng hình

Ngay từ thế kỷ thứ t- TCN, các nhà hình học cổ HiLạp đã tìm ra đ-ờng lối chung để giải 1 bài toán dựng hình gồm bốn b-ớc; Phân tích, dựng hình, chứng minh và biện luận

2.1.4.1 B-ớc phân tích

Phân tích là phần quan trọng nhất giúp lập ph-ơng án dựng để tìm ra lời giải của một bài toán làm cơ sở xác định đ-ợc mối quan hệ giữa các yếu tố phải tìm (giống nh- khi giải bài toán đại số ta chọn ẩn biểu thị bằng chữ x chẳng hạn rồi lập mối liên hệ giữa x với các đại l-ợng đã cho của bài toán từ

đó mà lập đ-ợc ph-ơng trình)

Nh- thế tr-ớc hết phải vẽ một hình t-ơng ứng với hình phải dựng (tức là giả sử hình vẽ đã dựng đ-ợc thoả mãn điều kiện của bài toán) Qua hình vẽ phát hiện những yếu tố cho tr-ớc và những yếu tố phải dựng

Ví dụ bài toán sau đây:

Dựng tam giác ABC biết cạnh

đáy AC = b; góc A = kề với đáy và

tổng của hai cạnh kia AB + BC = S"

L-u ý rằng nếu ta thể hiện tổng S bằng cách kéo dài cạnh CB trên đó

đặt đoạn BA' = BA để có CA' = S thì việc dựng AA"C không dễ dàng

Vậy b-ớc phân tích liên quan tới hình vẽ ban đầu, do đó hình vẽ để phân tích phải đ-ợc vẽ cẩn thận và chính xác

2.1.4.2 B-ớc cách dựng

B-ớc này gồm 2 phần:

bs

a

b

c c'

a) Kể theo một thứ tự nhất định tất cả các phép dựng cơ bản cần thực hiện đ-ợc suy ra từ b-ớc phân tích

b) Thực hiện các phép dựng đó bằng các dụng cụ th-ớc và compa, không phải chỉ thực hiện cách dựng mà còn phải mô tả cách dựng đó

Với bài toán trên, cách dựng sẽ nh- sau:

- Trên đ-ờng thẳng bất kỳ xy dựng đoạn AC = b

- Lấy AC làm cạnh A =

- Kéo dài AB, trên đ-ờng kéo dài dựng đoạn BC' = BC;

- Dựng AC'C (biết góc A và hai cạnh AC', AC)

- Dựng trung trực của CC'

- Lấy giao điểm B của trung trực này với AC'

Ta đ-ợc ABC phải dựng

Sở dĩ phải nêu cách thực hiện phép dựng vì cùng một phép dựng có thể

có những ph-ơng pháp khác nhau Ta hãy xét ví vụ sau:

"Dựng hình bình hành ABCD biết một góc nhọn BAD = và hai

đ-ờng chéo AC = d và BD = e"

Giả sử đã dựng đ-ợc hình bình hành Vì các đ-ờng chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đ-ờng nên có thể dựng đ-ợc ngay ABD biết đáy BD=e,

góc ở đỉnh BAD và trung tuyến AO 1d

d o e

- Dựng đ-ờng tròn có tâm là trung điểm của BD và có bán kính d

2

- Lấy giao điểm của cung chứa góc và đ-ờng tròn (có 2 giao điểm)

- Nối các giao điểm này với B và D, ta đ-ợc BAD (và BA'D)

Có thể bổ sung tam giác thành hình bình hành (Tức là xác định đỉnh thứ t- C của hình bình hành) bằng nhiều ph-ơng pháp, chẳng hạn:

- Qua B dựng BC // AD, qua D dựng DC// AB

Trên BD dựng biết hai cạnh BC = AD và CD và AB, kéo dài AO về phía O và đặt OC = OA, nối C với các điểm B và D, …

2.1.4.3 B-ớc chứng minh

Sau khi đã dựng đ-ợc hình cần phải xác nhận xem nó có thoả mãn các

điều kiện của bài toán hay không, tức là phải chứng minh bằng hình dựng

đ-ợc thoả mãn tất cả các điều kiện của đề bài, cách chứng minh này phụ thuộc vào cách dựng Nói cách khác nếu không biết rõ hai b-ớc phân tích và cách dựng thì không thể nói rằng chứng minh đúng hay sai, vì có thể có những ph-ơng pháp giải bài toán khác nhau và ngay cả khi đã phân tích giống nhau thì cũng có những cách khác nhau để thực hiện, tức là có cách dựng khác nhau

Cũng cần nói thêm rằng nếu cách dựng đã rõ ràng thì b-ớc chứng minh cũng đơn giản

Trở lại bài toán dựng tam giác (b-ớc phân tích) cách chứng minh nh- sau: ABC có góc A bằng (theo cách dựng), cạnh đáy, AC = b, tổng

- Tứ giác ABCD là hình bình hành về có hai cặp cạnh song song (AD//BC; AB//DC)

- Nó có góc nhọn BAD = , đ-ờng chéo BD = e, đ-ờng chéo

Việc giải một bài toán dựng hình chỉ đ-ợc coi là xong nếu đ-ợc các

điều kiện để lời giải tìm đ-ợc là đáp án của bài toán Một bài toán dựng hình

có thể có một nghiệm hình, hai hoặc hơn 2 nghiệm hình, có vô số nghiệm hình (vô định) hoặc không có nghiệm hình (vô nghiệm)

Nếu một bài toán mà các giả thiết đối với yếu tố cho tr-ớc thu hẹp thì phạm vi các giá trị thích hợp của các yếu tố đó sẽ hẹp đi và b-ớc biện luận sẽ

đơn giản đi Hãy xét ví dụ sau đây:

"Dựng đ-ờng tròn tiếp xúc với hai đ-ờng thẳng cho tr-ớc và một đ-ờng tròn cho tr-ớc"

Vì đề bài cho hai đ-ờng thẳng bất kỳ nên chúng có thể cắt nhau, hoặc song song với nhau Nếu chúng cắt nhau thì phần biện luận sẽ phức tạp nh-ng nếu chúng song song thì đơn giản hơn

Đối với ví dụ sau: "Dựng tam giác biết hai cạnh và góc đối diện với một trong hai cạnh đó", thì góc đã cho có thể là nhọn, vuông hoặc tù, vì thế khi biện luận phải xét đến các tr-ờng hợp ấy Để đơn giản b-ớc biện luận có thể giới hạn độ lớn của góc, chẳng hạn cho góc nhọn đối diện với một trong hai

c b

Mỗi ph-ơng pháp đều có giá trị riêng của nó Các ph-ơng pháp th-ờng

sử dụng là: ph-ơng pháp tịnh tiến, ph-ơng pháp đối xứng trục, ph-ơng pháp quay, ph-ơng pháp quỹ tích, ph-ơng pháp đồng dạng, ph-ơng pháp đại số

- Chứng minh:

Ta có AB =- c, BC = b theo cách dựng, AD = AD' + D'D = AD' + BC =

a - b + b = a

a

2.1.5.2 Ph-ơng pháp đối xứng trục

Ví dụ: Cho đ-ờng thẳng d cắt đoạn thẳng AB Tìm trên d một điểm M sao cho

đ-ờng thẳng d là phân giác của góc AMB

Gọi A' là điểm đối xứng của A qua trục d,ta có: AM = A'M và

Do đó: MNA = MNA'

Suy ra: NMA NMA'

Vậy điểm B phải nằm trên A'M,

nói cách khác điểm M phải nằm trên

A'B Do đó ta dựng đ-ợc giao điểm M

của đ-ờng thẳng A'B với đ-ờng thẳng d

Bài toán có một nghiệm hình nếu khoảng cách từ A và B đến d không bằng nhau Nếu các khoảng cách này bằng nhau nh-ng hai điểm A và B không đối xứng nhau qua d thì bài toán vô nghiệm (vì A'B // d) Cuối cùng nếu A và B đối xứng nhau qua d thì bài toán vô định: Bất cứ điểm nào trên d

b

c d

a

c b p

Ta quay toàn bộ hình vẽ xung quanh điểm D một góc 1800 sẽ đ-ợc hình bình hành ACBC'

Trong đó biết các cạnh và một đ-ờng chéo CC' = 2mc

2 Bài toán quy về dựng tâm của đ-ờng tròn

thoả mãn 2 điều kiện:

a) Cách đều hai đ-ờng thẳng a và b

n'n"

- Chứng minh: đ-ờng tròn (O1; O1P) tiếp xúc với 2 đ-ờng thẳng a và b

vì khoảng cách từ tâm O1 đến hai đ-ờng thẳng này bằng nhau và bằng 1

b) Nếu P nằm trên a hoặc trên b thì bài toán có 1 nghiệm hình

c) Nếu P nằm ngoài khoảng tạo bởi a và b thì bài toán vô nghiệm

2.1.5.5 Ph-ơng pháp đồng dạng

Ví dụ: Trong tam giác ba góc nhọn ABC hãy dựng hình vuông sao cho hai

đỉnh của nónằm trên đáy tam giác và hai đỉnh kia nằm trên hai cạnh bên

Phân tích: Ta phải dựng một

hình vuông đồng thời thoả mãn các

điều kiện sau:

a) Hai đỉnh của nó phải nằm trên AB

ra cách dựng sau:

c

bl

l'kk'

nn'

z z

- Cách dựng:

a) Dựng hình vuông ng K'L'M'N'

thoả mãn hai điều kiện ban đầu

b) Dựng đ-ờng thẳng AM' và lấy

giao điểm M của nó với cạnh BC

c) Qua M kẻ đ-ờng thẳng song

song với M'N' ta lấy giao điểm M của

Ví dụ: Lấy đỉnh của một tam giác cho tr-ớc làm tâm hãy dựng ba đ-ờng tròn

từng đôi tiếp xúc ngoài với nhau

- Giải: Giả sử ABC là tam giác cho tr-ớc mà ba cạnh là a, b, c, và x, y, z

là bán kính các đ-ờng tròn phải dựng

Ta tính độ dài các bán kính x, y, z theo ba cạnh a, b, c ta có: x + y = c; x + z = b; y + z = a

Do đó x = c b a

2 ;

a c by

kf

F

c P

Để chứng minh chỉ cần nhận xét rằng hai đ-ờng tròn cuối tiếp xúc nhau vì tổng các bán kính của chúng (c- x) + (b - x) = c + b - 2x = c + b - (c +

b - a) = a = BC tức là khoảng cách giữa hai tâm

Bài toán luôn có một nghiệm hình vì trong ABC thì b + c > a nên x có

2.1.6.1 Xét hai bài toán sau:

a) "Cho tam giác ABC có E là

đ-ờng trung bình Hãy dựng tam giác

mà ba cạnh lại là ba trung tuyến AD,

BF, CE của tam giác đã cho"

Kéo dài đ-ờng thẳng đ-ờng thẳng EF rồi từ C kẻ đ-ờng thẳng song song với AB cắt EF kéo dài tại K Tam giác AKD là tam giác phải dựng

Thật vậy, do EK = BC nên FK = BD và FB = DK, tứ giác AKCE là hình bình hành Vậy AK = EC Suy ra các cạnh của tam giác AKD bằng các trung tuyến của tam giác ABC

b) " Cho tam giác ABC có EF là

đ-ờng trung bình Hãy tìm trên cạnh đáy

BC một điểm M sao cho BM = 1BC

3 ."

Dựng trung điểm D của cạnh đáy

BC và giao điểm N của 2 đ-ờng thẳng

EB và DE, kẻ đ-ờng thẳng AN cắt BD tại

M và EF tại P (hình vẽ)