Biểu diễn tensor của không gian các hàm chỉnh hình và ứng dụng

Nội dung chủ yếu của luận văn là đi tìm các biểu diễn tensor của không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector và vận dụng các biểu diễn đó để giải quyết một số bài toán về sự trùng nhau của các topo trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình. Trình bày một cách hệ thống các kiến thức cơ bản nhất về không gian vector topo và không gian lồi địa phương cùng một số lớp không gian lồi địa phương quan trọng. Tìm hiểu được một số kiểu tích tensor và tính chất của chúng trên một số lớp không gian quan trọng này. Mô tả tương đối chi tiết về các topo thường gặp nhất trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector cũng như trên không gian các đa thức thuần nhất liên tục đồng thời chỉ ra thứ tự của chúng trên các không gian này. Mở rộng được một số kết quả trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vô hướng đến không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

DƯƠNG QUỐC HUY

BIỂU DIỄN TENSOR CỦA KHÔNG GIAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Bình Định - 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

DƯƠNG QUỐC HUY

BIỂU DIỄN TENSOR CỦA KHÔNG GIAN CÁC HÀM CHỈNH HÌNH VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS TS Thái Thuần Quang

Bình Định - 2012

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iii

1.1 Không gian lồi địa phương 1

1.1.1 Không gian vector topo 1

1.1.2 Không gian lồi địa phương 3

1.2 Tích tensor xạ ảnh và tích tensor nội xạ 6

1.2.1 Tích tensor xạ ảnh 6

1.2.2 Tích ε-tensor 9

1.3 Giới hạn quy nạp và giới hạn xạ ảnh 10

1.3.1 Giới hạn quy nạp 10

1.3.2 Giới hạn xạ ảnh 12

1.4 Một số không gian lồi địa phương quan trọng 14

1.4.1 Không gian Fréchet và đối ngẫu Fréchet 14

1.4.2 Không gian Schwartz và không gian Montel 16

1.4.3 Không gian hạch 18

1.4.4 Không gian các dãy K¨othe 20

1.4.5 Không gian các chuỗi luỹ thừa 22

i

Chương 2 Biểu diễn tensor của không gian các hàm chỉnh hình 24

2.1 Không gian các hàm chỉnh hình 24

2.1.1 Hàm chỉnh hình - Mầm chỉnh hình 24

2.1.2 Không gian hàm chỉnh hình và mầm chỉnh hình 30

2.2 Biểu diễn tensor của không gian các hàm chỉnh hình 35

Chương 3 Một số ứng dụng 42 3.1 Luật mũ với các topo τ0, τω 42

3.2 Sự trùng nhau của các topo τ0, τb, τω trên không gian các hàm chỉnh hình 46

3.3 Tính chất (QNo) và (QNo)’ trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình 52

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU

Γ : Toán tử bao lồi cân

Γ : Toán tử bao đóng của bao lồi cân

E7 : Đối ngẫu đại số của E

E1 : Đối ngẫu topo của E

Eco1 : Không gian E1 với topo compact mở

A : polar của tập A

p

EV : Không gian Banach kết hợp với lân cận V

EV1  : Không gian Banach sinh bởi V €E1

intU : Phần trong của U

U : Bao đóng của U

LpEq : Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E ÑE

HbpE, Fq : Không gian các hàm chỉnh hình bị chặn trên các tập

bị chặn của E giá trị trong F

Pp nE, Fq: Không gian các đa thức n-thuần nhất liên tục từ E ÑF

HpUq : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị vô hướng

HpU, Fq : Không gian các hàm chỉnh hình trên U giá trị trong F

HpKq : Không gian các mầm chỉnh hình trên K giá trị vô hướng

HpK, Fq : Không gian các mầm chỉnh hình trên K giá trị trong F

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

t.ư : tương ứng

Mở đầu

Hai bài toán topo trên không gian các hàm chỉnh hình rất được quan tâm làbài toán phân lớp topo và xét sự trùng nhau của chúng Các topo tự nhiên nhấttrên không gian các hàm chỉnh hình phải kể đến lần lượt là topo compact mở τ0,topo τb, topo Nachbin τω, topo τδ và topo mạnh β Việc nghiên cứu các topo nàytrên không gian các hàm chỉnh hình giá trị vô hướng HpUq cũng như trên khônggian các hàm chỉnh hình giá trị vector HpU, Fq đã đạt được nhiều kết quả đángchú ý

Một trong những kết quả rất sớm về sự trùng nhau của các topo τ0 và τωtrên HpUq được Ansemil và Ponte tìm ra vào năm 1988 (xem [10]) Sau đó vàonăm 1991, P Galindo, D Garcia và M Maestre [10] đã đưa ra các điều kiện về(BB) tính chất và T-không gian trên không gian Fréchet-Montel để τ0  τω trên

HpUq Thậm chí đẳng thức này vẫn đúng nếu U là tập con mở cân của khônggian Fréchet-Montel Hilbert Một số kết quả tương tự cũng được A Defant và M.Maestre [7] chỉ ra vào năm 1993

Các kết quả trên không gian các hàm chỉnh hình giá trị vector HpU, Fq đượctìm ra muộn hơn Vào năm 1994, T Bonet, P Doma´nski và J Mujica [6] đã giớithiệu một kỹ thuật tuyến tính hoá mầm chỉnh hình giá trị vector Phương phápnày cho phép chúng ta nghiên cứu hàm chỉnh hình giá trị vector thông qua cáchàm tuyến tính thuận tiện hơn nhiều Đến năm 1996, C Boyd và A Peris [5] đãđưa ra các mô tả xạ ảnh của topo Nachbin τω trên không gian các hàm chỉnh hìnhgiá trị vector HpU, Xq Kết quả là các tác giả này đã chỉ ra được sự trùng nhaucủa τ0 τω và τb τω trên HpU, X1q

Rõ ràng việc nghiên cứu các topo này trên không gian các hàm chỉnh hình giátrị vô hướng HpUq có nhiều thuận lợi so với trên không gian các hàm chỉnh hìnhgiá trị vector HpU, Fq Do đó, ngoài cách tuyến tính hoá các hàm chỉnh hình nhưtrong [6] thì một điều tự nhiên là phải đi tìm cách biểu diễn các hàm chỉnh hìnhgiá trị vector thông qua các hàm chỉnh hình giá trị vô hướng Một công cụ hiệnđại ngày nay giúp chúng ta thực hiện điều này là sử dụng tích tensor Tích tensorcho phép biểu diễn rHpU, Fq, τs dưới dạng tích tensor của rHpUq, τs và F , tức làcác biểu diễn dạng

rHpU, Fq, τs  rHpUq, τsp b πF (*)Bởi tầm quan trọng của nó, nhiều bài toán được đặt ra trên tích tensor giữa các

không gian cho đến nay vẫn còn là một trong những hướng nghiên cứu lớn củatoán học Chẳng hạn như “Bài toán topo của Grothendick” rất nổi tiếng được đềxướng từ những năm 50 của thế kỷ trước cho đến nay được phân chia theo nhiềumảng nghiên cứu khác nhau và vẫn đang thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toánhọc.

Chính vì lẽ đó, mục đích chính của luận văn là đi tìm các biểu diễn dưới dạngtích tensor của không gian các hàm chỉnh hình giá trị vector có dạng (*) và vậndụng các biểu diễn trên để giải quyết một số bài toán về sự trùng nhau, khôngtrùng nhau của các topo trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector

Để đạt được các mục đích trên, ngoài mục lục, bảng ký hiệu chữ viết tắt, phần

mở đầu và phần kết luận, luận văn được chúng tôi chia thành ba chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Chương này được chúng tôi dành để trình bàycác kiến thức cơ cở cần thiết nhất về không gian vector topo, không gian lồiđịa phương, giới hạn quy nạp, giới hạn xạ ảnh và các kiểu tích tensor cùngcác tính chất của chúng Chúng tôi kết thúc chương này bằng việc trình bàymột số lớp không gian lồi địa phương quan trọng được sử dụng ở các chươngtiếp theo

Chương 2 Biểu diễn tensor của không gian các hàm chỉnh hình Trongchương này, chúng tôi trình bày chi tiết về hàm (mầm) chỉnh hình giữa cáckhông gian lồi địa phương Chúng tôi cũng mô tả và định nghĩa các topocompact mở τ0, topo τb, topo Nachbin τω, topo τδ và topo mạnh β trênkhông gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector Cuối chương này dànhcho việc trình bày các kết quả chính đạt được là các biểu diễn tensor củakhông gian các hàm (mầm) chỉnh hình dưới dạng (*)

Chương 3 Một số ứng dụng Chương này dành cho việc trình bày ứng dụngcủa các kết quả chính trong Chương 2 Đó chính là việc mở rộng các kết quảtopo trên không gian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vô hướng lên khônggian các hàm (mầm) chỉnh hình giá trị vector trên một số lớp không gian cụthể

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn hết sức tận tình và đầy nhiệttâm của PGS TS Thái Thuần Quang Nhân đây tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn

sâu sắc đến thầy và gia đình Mặc dù đã rất nỗ lực cố gắng nhưng chắc chắn luậnvăn khó tránh khỏi những thiếu sót ngoài ý muốn Chúng tôi rất mong nhận đượcnhững góp ý thẳng thắn, chân tình của quý thầy cô giáo và bạn bè đồng nghiệp

để luận văn được hoàn thiện hơn

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban Giám Hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, PhòngSau đại học, Khoa Toán cùng quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Toán khoáXIII đã tận tình giúp đỡ và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gianhọc tập và nghiên cứu thực hiện đề tài

Cuối cùng, tôi xin gửi đến Trường Đại học Tây Nguyên lời cảm ơn chân thành.Tôi cũng xin được gửi đến gia đình, các đồng nghiệp và bạn bè những lời tri ântrong suốt quá trình học tập và công tác của mình

Kiến thức chuẩn bị

Ký hiệu K là trường số thực R hoặc phức C và E là không gian vector trên K

1.1.1 Không gian vector topo

Một topo trên E được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của E nếu các phéptoán cộng đại số và nhân ngoài

: E E ÝÑ E

px, yq ÞÝÑ x y

và : KE ÝÑ E

pλ, xq ÞÝÑ λxliên tục theo topo này Một không gian vector cùng với topo tương thích với cấutrúc đại số trên nó được gọi là không gian vector topo

Nếu E là một không gian vector topo thì phép tịnh tiến và phép vị tự trên E làcác phép đồng phôi lên chính nó Điều này được suy trực tiếp từ tính tương thíchcủa topo trên E Nói riêng, nếu U là lân cận của 0 P E thì a U là lân cận của a

và αU là lân cận của 0 với mọi α0

Ngoài ra, một không gian vector topo còn có các tính chất quan trọng sau đây.Mệnh đề 1.1.1 ([1]) Giả sử E là một không gian vector topo Nếu U là cơ sở lâncận của 0 PE thì

(i) Mọi U PU là tập hút, tức là mọi x P E luôn tồn tại ε¡0 sao cho λxP U vớimọi |λ|   ε

1

(ii) Với mọi U PU tồn tại lân cận V của 0 sao cho V V „U

(iii) Với mọi U P U tồn tại một lân cận cân V của 0 sao cho V „U Ở đây, lâncận V được gọi là cân nếu λV „V với mọi |λ| ¤ 1

Theo tính chất (ii) của Mệnh đề 1.1.1, với mọi U P U, tồn tại V P U sao cho

V V „ U Điều này chứng tỏ V „ U nên mỗi tập trong U đều chứa bao đóngcủa một tập nào đó trong nó Ngoài ra, hiển nhiên với mọi V thuộc U thì V „Vnên V cũng là một lân cận của 0 Do đó, không gian vector topo E có một cơ sởlân cận của 0 gồm toàn các tập cân đóng

Mệnh đề 1.1.2 ([1]) Giả sử E là một không gian vector topo Khi đó E làHausdorff nếu và chỉ nếu với mọi x  0 thuộc E tồn tại lân cận U của 0 khôngchứa x

Ta nói rằng topo τ trên không gian vector E là bất biến đối với phép tịnh tiếnnếu mọi phép tịnh tiến trên E là một phép đồng phôi

Ngược lại với Mệnh đề 1.1.1, ta có

Mệnh đề 1.1.3 ([1]) Giả sử E là một không gian vector và τ là một topo trên Ebất biến đối với phép tịnh tiến Nếu E có một cơ sở lân cận U của 0 trong topo τthoả mãn:

(i) Với mọi U PU tồn tại V P U sao cho V V „U ,

(ii) Mọi V P U là cân và hút

thì topo τ là topo vector trên E

Giả sử E là không gian vector topo và F là không gian con của E Xét khônggian vector thương E{F cùng với topo thương trên nó, tức là topo mạnh nhất trên

E{F sao cho ánh xạ tuyến tính chính tắc Φ : E ÑE{F liên tục, hay topo mà tậpcon của E{F mở khi và chỉ khi nó có dạng ΦpGqvới G là tập mở trong E Dễ thấyrằng với topo này E{F là không gian vector topo và ta sẽ gọi nó là không gianthương của E theo F

Mệnh đề 1.1.4 ([1]) Giả sử E là không gian vector topo và F là không gian concủa E Khi đó, không gian thương E{F là Hausdorff khi và chỉ khi F là không giancon đóng trong E

Giả sử tEαu αPI là họ các không gian vector topo Xét không gian vector ±

Không gian vector con À

αEα của ±

αEα thành lập từ các phần tử x  pxαqtrong đó chỉ có hữu hạn xα 0 Không gian vector conÀ

αEα với topo vector mà

cơ sở lân cận của mỗi x  pxαq P ÀαEα là các tập có dạng À

αUα với Uα là lâncận của xα với mọi α và được gọi là tổng trực tiếp của các không gian Eα Dễ thấyrằng ánh xạ đồng nhất À

αEα Ñ ±αEα liên tục, tức là topo trên À

αEα mạnhhơn topo cảm sinh bởi topo của ±

αEα.Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Không gian vector topo E được gọi là không gian vectormetric nếu topo trên nó có thể được xác định bởi một metric

Định lý sau đây cho chúng ta điều kiện cần và đủ để một không gian vectortopo trở thành không gian vector metric

Định lý 1.1.5 ([1]) Không gian vector topo Hausdorff E là không gian vectormetric nếu và chỉ nếu 0P E có một cơ sở lân cận đếm được

Chứng minh Xem [1], Định lý 2.1.4.2, trang 18

Theo [1], một không gian vector topo Hausdorff E được gọi là đầy đủ nếu mọidãy suy rộng Cauchy trong E hội tụ Tuy nhiên, thực tế chúng ta lại thường gặpphải các không gian không đầy đủ Vì vậy, một yêu cầu tự nhiên là cần đầy đủhoá các không gian chưa đầy đủ

Định lý 1.1.6 ([1]) Giả sử E là không gian vector topo Hausdorff Khi đó, tồntại duy nhất (sai khác một đẳng cấu) một không gian vector topo Hausdorff đầy đủp

E chứa E như một không gian con trù mật khắp nơi

Không gian E được gọi là bao đầy của E.p

1.1.2 Không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.1.2 ([1]) Một không gian lồi địa phương E là không gian vectortopo mà 0 P E có một cơ sở lân cận gồm toàn các tập lồi

Từ Định nghĩa 1.1.2, ta có:

Mệnh đề 1.1.7 ([1]) Một không gian lồi địa phương E có một cơ sở U các lâncận của 0 PE gồm toàn các tập lồi, cân và đóng kín đối với phép vị tự

Ngược lại với Mệnh đề 1.1.7, ta có:

Mệnh đề 1.1.8 ([1]) Giả sử U là họ các tập con của không gian vector E gồmtoàn các tập lồi, cân, hút và đóng kín đối với phép vị tự Nếu U thoả mãn thêmđiều kiện mọi U, V P U tồn tại W P U sao cho W „ U XV thì tồn tại duy nhấttopo lồi địa phương τ trên E sao cho U là cơ sở lân cận của 0 P E

Định lý sau cho ta đặc trưng về cấu trúc cơ sở lân cận của topo lồi địa phươngxác định bởi họ U nào đó

Định lý 1.1.9 ([1]) Giả sử U là một họ tuỳ ý các tập lồi cân hút của một khônggian vector E Khi đó, tồn tại trên E một topo lồi địa phương yếu nhất tương thíchvới cấu trúc đại số của E sao cho mỗi tập trong U là một lân cận của 0 P E.Một cơ sở lân cận của 0 PE trong topo ấy gồm các tập có dạng ε“ n

i1Vi trong

đó ViP U với mọi i và mọi ε¡0

Chứng minh Xem [1], Định lý 3.1.1.3, trang 35

Sau đây, chúng ta đưa ra khái niệm nửa chuẩn và phiếm hàm Mincowski.Định nghĩa 1.1.3 ([1]) Một nửa chuẩn p trên không gian vector E là hàm không

âm thoả mãn các điều kiện:

(i) ppλxq  |λ|ppxq với mọi λP K và mọi xP E,

(ii) ppx yq ¤ppxq ppyq với mọi x, y P E

Nếu giả thiết thêm ppxq 0 kéo theo x 0 thì p được gọi là một chuẩn Từ (i)

và (ii) ta suy ra

(ii’) |ppxq
ppyq| ¤ppx
yq với mọi x, y P E

Ngược lại, nếu xảy ra (i) và (ii’) thì có (ii).

Rõ ràng, nếu p là nửa chuẩn trên E thì hình cầu U  txP E : ppxq ¤1ulà mộttập lồi cân Ngoài ra, nếu p và q là các nửa chuẩn trên không gian vector E thoảmãn ppxq ¤1 kéo theo qpxq ¤1 thì ppxq ¥qpxq với mọi x P E

Mệnh đề 1.1.10 ([1]) (i) Mỗi tập lồi cân hút A €E đều tương ứng với nửa chuẩn

pA xác định bởi

pApxq inftλ¡0 : xP λAu

có tính chất

tx : pApxq  1u €A „ tx : pApxq ¤1u.(ii) Nếu p là nửa chuẩn trên E thì với mọi %¡0 các tập

Hai định lý sau cho ta liên hệ về tính tương đương giữa topo lồi địa phương với

họ các nửa chuẩn tương ứng

Định lý 1.1.12 ([1]) Giả sử P là một họ nào đó các nửa chuẩn trên không gianvector E Khi đó, tồn tại một topo lồi địa phương yếu nhất trên E làm cho mọinửa chuẩn trong P liên tục

Ta gọi topo trong Định lý 1.1.12 là topo xác định bởi họ nửa chuẩn P.

Định lý 1.1.13 ([1]) Giả sử E là một không gian lồi địa phương Khi đó, tồntại một họ nửa chuẩn liên tục P trên E sao cho topo sinh bởi P là topo ban đầu.Ngoài ra, E là Hausdorff khi và chỉ khi ppxq  0 với mọi pP P kéo theo x0

1.2.1 Tích tensor xạ ảnh

Giả sử E, F, H là các không gian vector trên cùng trường K Ký hiệu BpEF, Hq

là không gian các ánh xạ song tuyến tính từ E F vào H và BpE Fq là khônggian các dạng song tuyến tính trên E F

Tích tensor E bF của hai không gian E và F có thể được xây dựng như làkhông gian các hàm tuyến tính trên BpE Fq Theo cách này, với mỗi x P E và

y PF ta đặt tương ứng với hàm xby cho bởi

pxbyqpBq hB, xbyiBpx, yqvới mọi B P BpE Fq Tích tensor E bF là không gian con của không gian đốingẫu BpEFq 7 sinh bởi các phần tử này Vì vậy, mỗi phần tử tensor trong EbF

(i) px1 x2q by x1by x2by,

Mệnh đề 1.2.1 ([11]) Nếu tuiu i PI và tvju j PJ tương ứng là cở sở Hamel của cáckhông gian E và F thì tuibvj : pi, jq P I Ju là cơ sở Hamel của E bF

Mệnh đề 1.2.2 ([16]) Cho tensor u  °n

i1xi byi P E bF Khi đó, các khẳngđịnh sau tương đương:

Hơn nữa, BpEFq  pEbFq7 Vậy tích tensor E bF có tính chất “đối ngẫu đại

số của nó là không gian các dạng song tuyến tính trên E F ”

Nếu ký hiệu LpEbF, Hq là không gian các ánh xạ tuyến tính từ EbF vào Hthì ta có đẳng cấu

BpE F, Hq LpEbF, Hqcho bởi B ÞÑB với B˜ px, yq B˜pxbyq

Mệnh đề 1.2.3 ([1]) Giả sử E, F, H là các không gian lồi địa phương trên K vàánh xạ chính tắc E F Ñ E bF Khi đó, tồn tại một topo lồi địa phương mạnhnhất trên E bF để ánh xạ chính tắc liên tục.

Hơn nữa, nếu U và V tương ứng là các cơ sở lân cận trong E và F thì cơ sởlân cận trong E bF là họ

Bπ  tΓpU bVq: U P U , V P Vu,trong đó ΓpUbVq là bao lồi cân của UbV Mỗi ánh xạ tuyến tính ˜B P LpEbF, Hqvới topo đó trên EbF liên tục khi và chỉ khi ánh xạ song tuyến tính B P BpEF, Hqtương ứng với ˜B liên tục

Topo lồi địa phương vừa được mô tả ở trên được gọi là topo xạ ảnh và khônggian E bF với topo này được gọi là tích tensor xạ ảnh của hai không gian E và

F , ký hiệu E b πF Bao đầy của E b πF được ký hiệu bởi EbpπF

Ta dễ dàng thu được các kết quả sau

Mệnh đề 1.2.4 ([11]) Tích tensor Eb πF là không gian lồi địa phương Hausdorffkhi và chỉ khi E và F là các không gian lồi địa phương Hausdorff

Mệnh đề 1.2.5 ([18]) Cho E, F là các không gian lồi địa phương, U € E và

V €F tương ứng là các lân cận lồi cân của E, F Khi đó, nửa chuẩn xạ ảnh πU,Vkết hợp với ΓpU bVq trong E b π F được xác định bởi

πU,Vpuq inf

! ¸ n i1

Mệnh đề 1.2.6 ([18]) Cho E, F là các không gian lồi địa phương khả metric Khi

đó, mỗi phần tử uP EbpπF là tổng của chuỗi hội tụ tuyệt đối

Hệ quả 1.2.7 ([1]) Cho E và F là các không gian lồi địa phương khả metric Khi

đó, nếu K là tập compact của EbpπF thì K € Γtxn bynu trong đó txnu và tynutương ứng là các dãy không trong E và F

1.2.2 Tích ε-tensor

Giả sử E và F là hai không gian lồi địa phương Ngoài topo xạ ảnh π trên

EbF người ta còn quan tâm tới một topo lồi địa phương khác, topo này được xácđịnh như sau

Ký hiệu E1, F1 là các không gian đối ngẫu của E và F tương ứng, còn U , Vtương ứng là hai cơ sở lân cận trong E và F Khi đó pE bF, E1bF1q là cặp đốingẫu và họ các tập tUbV : U P U , V P Vu thoả mãn các điều kiện để xác địnhmột topo polar trên E bF mà ta gọi nó là topo hội tụ đồng liên tục hay ε-topotrên E bF

Không gian E bF với ε-topo được ký hiệu là Eb εF Ta cũng ký hiệu EbpεF

là bổ sung của E bF theo ε-topo Topo này có một cơ sở

Bε  tpUbVq : U PU , V PVu

Vì U bV € pU bVq nên ta suy ra π-topo mạnh hơn ε-topo Bởi vậy ánh xạđồng nhất từ E b π F Ñ E b ε F được thác triển tới ánh xạ tuyến tính liên tục

EbpπF ÑEbpεF , nhưng ánh xạ này nói chung không là đơn ánh

Tương tự topo xạ ảnh, ε-topo có thể được mô tả bởi hệ nửa chuẩn như sau.Mệnh đề 1.2.8 ([11]) Nếu U € E và V €F tương ứng là các lân cận lồi cân của

0P E và 0 PF thì nửa chuẩn nội xạ εU,V trên không gian Eb εF kết hợp với U, Vđược cho bởi

Hơn nữa, ta có εU,Vpxbyq pUpxqpVpyq với mọi xP E và yP F

Giả sử E và F là hai không gian lồi địa phương Ta ký hiệu LεpEb1, Fq là khônggian lồi địa phương các ánh xạ tuyến tính liên tục từ Eb1  pE1, βpE1, Eqq vào Ftrang bị topo hội tụ đều trên các tập con đồng liên tục của Eb1

nên θ là một đẳng cấu lên ảnh.

Trong trường hợp E là không gian lồi địa phương khả metric và F là khônggian đầy đủ thì Lε pEb1, Fq cũng đầy đủ Vậy θ có thể thác triển tới đẳng cấu θ từr

EbpεF lên ảnh của nó

Lập luận trên dẫn đến kết quả sau đây

Định lý 1.2.9 ([1]) Giả sử E là không gian lồi địa phương khả metric và F làkhông gian lồi địa phương đầy đủ Khi đó, ánh xạ θ : EbpεF ÑLεpEb1, Fq cho bởi

1.3.1 Giới hạn quy nạp

Giả sử tEαu α PI là họ các không gian lồi địa phương mà Eα „ E với mọi α và

E ”α PI Eα Chúng ta sẽ xây dựng trên E một topo lồi địa phương mà mọi ánh

xạ tuyến tính từ E vào một không gian lồi địa phương tuỳ ý liên tục khi và chỉkhi nó liên tục trên mỗi Eα

Tuy nhiên, thay vì giả thiết Eα „E người ta thường giả thiết có ánh xạ tuyếntính uα : Eα Ñ E sao cho E  ”αuαpEαq Khi đó tồn tại topo lồi địa phươngmạnh nhất trên E làm cho mọi uα liên tục Không gian E cùng với topo đó đượcgọi là giới hạn quy nạp của họ các không gian lồi địa phương tEαu α PI và các ánh

xạ tuyến tính uα, ký hiệu E limindpEα, uαq

Hơn nữa, một cơ sở U của 0 P E theo topo này được thành lập từ những tậplồi cân U trong E sao cho u
1α pUq là lân cận của 0P Eα với mọi α Nếu giả sử Uα

là cơ sở lân cận lồi cân của 0 trong Eα với mọi α P I thì một cơ sở lân cận của

0P E là họ

B  tΓp”αPIuαpVαqq: Vα P Uαu,trong đó Γp”α PI uα pVαqq là ký hiệu bao lồi cân của ”

α PIuα pVαq trong E

Mệnh đề 1.3.1 ([1]) Giả sử E limindpEα, uαq và S là một họ các ánh xạ tuyếntính liên tục từ E vào không gian lồi địa phương F Khi đó S đồng liên tục khi vàchỉ khi Sα  tsuα : s PSu đồng liên tục với mọi αPI

Chứng minh Họ S đồng liên tục khi và chỉ khi “

sPSs
1pVq là lân cận của 0 P Evới mọi lân cận V của 0 P F Do đó S đồng liên tục khi và chỉ khi“

Theo [1], topo ξ cảm sinh trên mỗi En topo ξn Ngoài ra, ta có:

Mệnh đề 1.3.2 ([1]) Giới hạn quy nạp chặt của một dãy các không gian lồi địaphương Hausdorff đầy đủ là đầy đủ

Kết quả sau đây cho ta đặc trưng của tập bị chặn trong giới hạn quy nạp chặt

Định lý 1.3.3 ([1]) Giả sử E limind En là giới hạn quy nạp chặt của một dãykhông gian lồi địa phương Hausdorff En thoả mãn En đóng trong En 1 với mọi n.Khi đó, tập con A €E bị chặn khi và chỉ khi nó được chứa và bị chặn trong mộtkhông gian En nào đó.

Chứng minh Xem [1], Định lý 6.1.3.3, trang 76

Mệnh đề 1.3.4 ([11]) Nếu E limind En và F limind Fm là giới hạn quy nạpcủa các không gian lồi địa phương Hausdorff khả chuẩn thì

EbpπF limindpEnbpπFmq.Hơn nữa, nếu E  limind En là giới hạn quy nạp của dãy các không gian lồi địaphương và F là không gian khả chuẩn thì ta cũng có

EbpπF limindpEnbpπFq

1.3.2 Giới hạn xạ ảnh

Cho tFαu αPI là họ các không gian lồi địa phương mà F „ Fα với mọi α vàkhông gian vector F  “αPI Fα Chúng ta sẽ xây dựng trên F một topo lồi địaphương yếu nhất để các ánh xạ tuyến tính từ F ÑFα liên tục với mọi α

Tổng quát hơn, thay vì giả thiết F „ Fα ta thường giả thiết có ánh xạ tuyếntính uα : F Ñ Fα với mọi α và F „ “αPI u
1α pFαq Topo lồi địa phương yếu nhấttrên F để các ánh xạ tuyến tính uα liên tục được gọi là topo xạ ảnh Không gianvector F cùng với topo xạ ảnh được gọi là giới hạn xạ ảnh của họ tpFα, ταquvà cácánh xạ tuyến tính uα, ký hiệu F limprojpFα, uαq

Giả sử τα tương ứng là topo lồi địa phương trên Fα với mọi α Khi đó u
1α pταq

là các topo lồi địa phương trên F Từ định nghĩa ta có topo xạ ảnh chính là topomạnh nhất trong họ các topo tu
1α pταqutrên F Vì vậy, mỗi lân cận trong F là giaohữu hạn các tập u
1α pUαq với Uα P τα

Từ định nghĩa giới hạn xạ ảnh, ta suy ra giới hạn xạ ảnh của các không gian lồiđịa phương là Hausdorff nếu và chỉ nếu có ít nhất một không gian lồi địa phươngtrong họ là Hausdorff

Ngoài ra, ta có:

Mệnh đề 1.3.5 ([1]) Giả sử F limprojpFα, uαq và A €F Khi đó A hoàn toàn

bị chặn khi và chỉ khi uαpAq là hoàn toàn bị chặn với mọi α

Định lý 1.3.6 ([1]) Mọi không gian lồi địa phương Hausdorff là giới hạn xạ ảnhcủa các không gian định chuẩn

Chứng minh Ký hiệu cspEq là họ tất cả các nửa chuẩn liên tục trên E Với mỗi

pP cspEq, ký hiệu Ep E{ker p và ánh xạ chính tắc πp : E ÑEp Nếu

x ker py ker p thì |ppxq
ppyq| ¤ppx
yq 0

Do đó, ta có thể xem Ep là không gian định chuẩn với chuẩn }x ker p}  ppxq.Mặt khác, vì π
1p pVp,εq trong đó Vp,ε là hình cầu tâm 0 bán kính ε ¡ 0 trong Eplập thành cơ sở lân cận của 0 P E nên E limprojpEp, πpq

Mệnh đề 1.3.7 ([11]) Nếu E limproj Eα và F limproj Fβ là giới hạn xạ ảnhcủa các không gian lồi địa phương Hausdorff thì

Chứng minh Vì E ”uαpEαqnên“

ker u1α  t0u Thật vậy, nếu x1 P “ker u1α thì

u1αpx1q 0 hay x1uα 0 trên uαpEαq với mọi α Do đó x1 0 trên E ”uαpEαq.Điều này chứng tỏ E1 là Hausdorff

Mặt khác, topo xạ ảnh trên E1 là topo yếu nhất để mọi u1
1α pAαq là lân cận của

0 P E1 trong đó Aα P Aα Kết hợp với hệ thức u1
1α pAαq  puαpAαqq với mọi α ta

suy ra topo của E1 là topo A-hội tụ Thật vậy, vì topo giới hạn xạ ảnh trên E1 có

cơ sở lân cận của 0 gồm các tập có dạng “

αPJu1
1α pAαq với J hữu hạn Hơn nữa

Trong mục này, chúng tôi trình bày một số không gian lồi địa phương quantrọng như không gian Fréchet, không gian Schwartz , không gian đối ngẫu Fréchethay (DF)- không gian, không gian hạch, không gian dãy K¨othe, không gian cácchuỗi lũy thừa

1.4.1 Không gian Fréchet và đối ngẫu Fréchet

Theo [1], một không gian lồi địa phương metric đầy đủ được gọi là không gianFréchet hay (F)-không gian

Từ định nghĩa không gian Fréchet dễ thấy rằng topo của không gian Fréchetđược xác định bởi một dãy giảm các lân cận lồi cân tVn u của 0 hoặc bởi một dãytăng các nửa chuẩn liên tục tpnu

Mệnh đề 1.4.1 ([1]) Nếu topo trên một không gian Hausdorff E là topo lồi địaphương yếu nhất làm cho một dãy những tập lồi cân hút trở thành lân cận (hoặclàm cho một dãy các nửa chuẩn liên tục) thì E là không gian khả metric

Chứng minh Giả sử tồn tại một topo lồi địa phương yếu nhất trên E làm cho cáctập lồi cân hút tVnu8n 1 trở thành lân cận Khi đó các tập có dạng ε“

(ii) Không gian thương của một không gian Fréchet theo một không gian con đóng

là một không gian Fréchet

Chứng minh Xem [1], Mệnh đề 3.2.3.3, trang 43.

Mệnh đề 1.4.3 ([13]) Cho E là không gian Fréchet và t}  } k u k¥1 là dãy các nửachuẩn của E xác định topo của nó Khi đó, nếu các không gian Banach pEk,}  } k qphản xạ với mọi k ¥1 thì E limproj Ek cũng là không gian phản xạ

Chứng minh Dễ thấy rằng E đẳng cấu với không gian con E0 của ±

kEk Vì Eđầy đủ nên E0 đóng trong ±

kEk Vì các không gian Ek là Banach nên ±

kEk làFréchet Theo giả thiết, các không gian Ek phản xạ và tích các không gian phản xạ

là phản xạ nên ±

kEk cũng phản xạ Vì E0 đóng trong không gian phản xạ±

kEknên nó cũng phản xạ Do đó E phản xạ

Mệnh đề 1.4.4 ([1]) Nếu E và F là các không gian lồi địa phương metric thì tíchtensor EbpπF là không gian Fréchet

Chứng minh Giả sử tUnu là dãy giảm cơ sở lân cận của 0P E và tVnu là dãy giảm

cơ sở lân cận của 0 P F Khi đó, bao lồi cân tΓpUn bVnqu là dãy giảm cơ sở lâncận của 0 P E b π F Do đó E b π F là không gian lồi địa phương khả metric Từ

đó EbpπF là không gian Fréchet

Định nghĩa sau đây cho chúng ta một lớp không gian khác với lớp không gianFréchet nhưng lại có mối liên hệ mật thiết với lớp không gian Fréchet Định nghĩanày được chúng tôi phát biểu theo R Meise và D Vogt [13]

Định nghĩa 1.4.1 ([13]) Một không gian lồi địa phương E được gọi là (DF)-khônggian hay không gian đối ngẫu Fréchet nếu nó thoả mãn hai tính chất sau:

(i) E có hệ cơ sở là dãy gồm toàn các tập bị chặn;

(ii) Nếu V € E hút mọi tập bị chặn và là giao của dãy các lân cận lồi cân của

0P E thì V cũng là lân cận của 0P E

Mệnh đề sau đây cho ta ý nghĩa trực tiếp của Định nghĩa 1.4.1 về lớp không gian

(DF)-Mệnh đề 1.4.5 ([13]) Nếu E là (DF)-không gian thì E1 là (F)-không gian

Ngược lại với Mệnh đề 1.4.5, ta có:

Mệnh đề 1.4.6 ([13]) Nếu E là (F)-không gian thì E1 là (DF)-không gian đầyđủ.

Từ Mệnh đề 1.4.6, dễ thấy rằng mọi không gian lồi địa phương tựa thùng E

có một hệ cơ sở đếm được các tập bị chặn cũng là (DF)-không gian và mọi khônggian định chuẩn cũng là (DF)-không gian

Hệ quả 1.4.7 ([13]) Nếu E là không gian Fréchet thì E2 cũng là không gianFréchet và có thể đồng nhất E với không gian con đóng của E2

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.4.6, ta có E1 là (DF)-không gian Do đó, theo Mệnh

đề 1.4.5, E2 là không gian Fréchet Ánh xạ nhúng chính tắc J : E Ñ E2 là đẳngcấu giữa E và JpEq vì E là không gian tựa thùng Vậy JpEq đầy đủ trong E2 nênđóng trong đó

Hệ quả 1.4.8 ([13]) Không gian Fréchet E phản xạ nếu và chỉ nếu E1 phản xạ

Chứng minh Nếu E phản xạ thì E1 cũng phản xạ Mặt khác, nếu E1 phản xạ thì

E2 cũng phản xạ Do đó, ta suy ra E phản xạ

Mệnh đề 1.4.9 ([12]) Nếu E và F là các (DF)-không gian thì Eb πF và EbpπF

là các (DF)-không gian Hơn nữa, nếu tBnu và tDnu tương ứng là các dãy cơ sởcác tập bị chặn trong E, F thì dãy tΓpBnbDnqu là dãy cơ sở các tập bị chặn trong

EbpπF

Chứng minh Xem [12], Tính chất 7, trang 186

1.4.2 Không gian Schwartz và không gian Montel

Theo [13], một không gian lồi địa phương E được gọi là không gian Schwartznếu với mỗi lân cận lồi cân U của 0 P E, tồn tại lân cận V của 0 P E sao cho vớimỗi ε ¡0 tồn tại hữu hạn điểm x1, , xn P V để V „”n

i 1 pxi εUq.Mệnh đề 1.4.10 ([13]) Không gian lồi địa phương E là không gian Schwartz nếu

và chỉ nếu với mỗi không gian định chuẩn F và mỗi A P LpE, Fq, tồn tại lân cận

V của 0 P E sao cho ApVq hoàn toàn bị chặn trong F

Tính Schwartz được bảo tồn qua không gian con và không gian thương đượccho bởi mệnh đề sau.

Mệnh đề 1.4.11 ([13]) Mọi không gian con và không gian thương theo một khônggian con đóng của không gian Schwartz cũng là một không gian Schwartz

Chứng minh Xem [13], Mệnh đề 24.18, trang 284

Mệnh đề 1.4.12 ([13]) Nếu E là không gian Schwartz đầy đủ thì mọi tập bị chặn

B trong E là compact tương đối

Chứng minh Gọi tpαu α PI là họ nửa chuẩn sinh ra topo trên E Khi đó E có thểđược đồng nhất với không gian con của ±

α PIEα Nếu B là tập bị chặn trong Ethì bao đóng của Bα iαpBq compact trong Eα với mỗi αP I Do đó, theo định lýTychonoff, ±

α PI Bα compact tương đối trong ±

α PIEα Vì E đầy đủ nên E đóngtrong ±

α PIEα Hơn nữa, do B „±α PIBα nên B compact tương đối trong E.Mệnh đề 1.4.13 ([13]) Nếu E là không gian Schwartz thì với mỗi lân cận lồi cân

U của 0 P E tồn tại lân cận lồi cân V của 0 P E sao cho U compact tương đốitrong EV1 

Chứng minh Xem [13], Bổ đề 24.22, trang 286

Cho E là không gian lồi địa phương Hausdorff và ký hiệu E2  pEβ1q1 là đốingẫu của Eβ1 Khi đó E được gọi là nửa phản xạ nếu E2 E Hơn nữa, một khônggian nửa phản xạ được gọi là phản xạ nếu topo mạnh trên E2 trùng với topo xuấtphát trên E

Một không gian lồi địa phương Hausdorff mà mọi tập bị chặn là compact tươngđối được gọi là không gian nửa Montel [11] Do đó, một không gian nửa Montel lànửa phản xạ và mọi dãy hội tụ yếu là hội tụ theo topo xuất phát Vậy trên khônggian nửa Montel thì tính phản xạ, tính thùng và tính tựa thùng là tương đươngvới nhau Một không gian nửa Montel có một trong các tính chất này được gọi làkhông gian Montel

Từ Mệnh đề 1.4.12 và định nghĩa không gian nửa Montel, dễ thấy rằng mộtkhông gian Schwartz đầy đủ là không gian nửa Montel Hơn nữa, một không gianMontel luôn là không gian phản xạ và là không gian thùng

Mệnh đề 1.4.14 ([11]) (i) Tích Descartes của các không gian nửa Montel (t.ư,Montel) là không gian nửa Montel (t.ư, Montel).

(ii) Không gian con đóng của không gian nửa Montel là không gian nửa Montel.(iii) Giới hạn xạ ảnh của các không gian nửa Montel là không gian nửa Montel.(iv) Tổng trực tiếp của các không gian nửa Montel (t.ư, Montel) là không giannửa Montel (t.ư, Montel)

(v) Giới hạn quy nạp chính quy của của các không gian nửa Montel (t.ư, Montel)

là không gian nửa Montel (t.ư, Montel)

(vi) Nếu E là không gian Montel thì đối ngẫu mạnh Eβ1 là không gian Montel

1.4.3 Không gian hạch

Cho X và Y là các không gian định chuẩn Khi đó, theo Seán Dineen [8] ánh

xạ tuyến tính liên tục N : Xr ÑY được gọi là ánh xạ hạch nếu

//Fpβ

Như vậy, ánh xạ tuyến tính liên tục N : E ÑF được gọi là ánh xạ hạch giữa cáckhông gian lồi địa phương E và F nếu tồn tại dãy tλnu P `1, dãy tϕnu € E1 đồngliên tục và tyn u € pF là dãy bị chặn sao cho

Định nghĩa 1.4.2 ([8]) Một không gian lồi địa phương E được gọi là không gianhạch nếu mọi ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào không gian lồi địa phương F làánh xạ hạch Không gian lồi địa phương E được gọi là đối ngẫu hạch nếu Eβ1 làkhông gian hạch.

Từ Định nghĩa 1.4.2 dễ thấy ánh xạ đồng nhất trên không gian hạch E có dạng

Mệnh đề 1.4.15 ([15]) Nếu E là không gian lồi địa phương hạch và F là khônggian lồi địa phương tuỳ ý thì

Eb ε F E b π F,tức là π-topo và ε-topo trùng nhau trên EbF

Chứng minh Xem [15], Mệnh đề 7.3.2

Trên thực tế người ta chứng minh được rằng không gian lồi địa phương E làhạch khi và chỉ khi

`1pIq b ε E `1pIq b πEtrong đó I là tập chỉ số tuỳ ý (xem [15]) Do đó Mệnh đề 1.4.15 cũng chính làđiều kiện cần và đủ để E trở thành không gian hạch Do định lý đầy đủ củaGrothendieck (xem [11]) tính hạch của không gian lồi địa phương cũng được bảotồn qua bao đầy của tích tensor (xạ ảnh) EbpπF

Ngoài các tính chất được trình bày ở trên, tính chất hạch còn được bảo tồnqua một số phép toán được phát biểu trong mệnh đề sau

Mệnh đề 1.4.16 ([15]) (i) Tích tensor lồi địa phương của hai không gian hạch làkhông gian hạch

(ii) Mọi không gian con và không gian thương (theo một không gian con đóng)của không gian hạch là không gian hạch

(iii) Không gian con và không gian thương (theo một không gian con đóng) củakhông gian Fréchet hạch là không gian Fréchet hạch.

(iv) Tích Descartes của họ tuỳ ý các không gian hạch là không gian hạch và tổngtrực tiếp của dãy các không gian hạch là không gian hạch

(v) Giới hạn xạ ảnh của họ tuỳ ý các không gian hạch là không gian hạch và giớihạn quy nạp của dãy các không gian hạch là không gian hạch

Mệnh đề sau đây cho ta đặc trưng về tính nửa phản xạ của không gian hạch.Hơn nữa, tính nửa phản xạ trên không gian thùng tương đương với tính phản xạ.Tính chất này đặc trưng cho lớp không gian Fréchet hạch

Mệnh đề 1.4.17 ([18]) Không gian Fréchet E là hạch nếu và chỉ nếu nó là giớihạn xạ ảnh của dãy các không gian Hilbert, tức là E limproj En trong đó các En

là các không gian Hilbert và các ánh xạ chính tắc En 1 ÑEn là hạch

Mệnh đề 1.4.18 ([11]) Cho E là không gian lồi địa phương metric Khi đó E làkhông gian hạch khi và chỉ khi Eβ1 là hạch

Mệnh đề sau cho ta mối liên hệ giữa các không gian Schwartz và không gianhạch

Mệnh đề 1.4.19 ([13]) Mọi không gian hạch là không gian Schwartz

1.4.4 Không gian các dãy K¨ othe

Xét một ma trận vô hạn A  pai,jq i,j PN thoả mãn

(i) 0 ¤aj,k ¤aj,k 1 với mọi j, kP N;

(ii) Với mỗi j P N tồn tại k PN sao cho aj,k ¡0

Với 1¤p  8 ta xác định không gian các dãy K¨othe ΛppAq như sau

x y  pxn ynq và λx  pλxnq

Khi đó ΛppAq là một không gian vector metric với cơ sở lân cận của 0 P ΛppAq làcác tập có dạng

}x} k sup

j¥1 |xj|aj,k, k ¥1

Các nửa chuẩn }  } k trên không gian các dãy K¨othe được gọi là các nửa chuẩnchính tắc

Mệnh đề 1.4.20 ([13]) Với mọi ma trận K¨othe A các không gian ΛppAq với

1 ¤ p¤ 8 và c0pAq là các không gian Fréchet Hơn nữa, ΛppAq là các không gianphản xạ với mọi 1 p  8

Chứng minh Vì ΛppAqcó hệ đếm được các nửa chuẩn nên chúng là các không giankhả metric Do tính đầy đủ của các không gian `p với p P r1,8s nên dễ thấy rằng

ΛppAq đầy đủ với mọi p P r1,8s Vì c0pAq là không gian con đóng của không gianđầy đủ Λ8pAqnên nó cũng đầy đủ Tính phản xạ của các ΛppAq là hiển nhiên

Định lý 1.4.21 (Dieudonné - Gomes) Với mọi ma trận K¨othe A, các khẳngđịnh sau tương đương:

(i) Tồn tại pP r1,8s sao cho ΛppAq là không gian Montel

(ii) Với mỗi p P r1,8s không gian ΛppAq là không gian Montel

Chứng minh Xem [13], Định lý 27.9, trang 329

Mệnh đề 1.4.22 ([13]) Với ma trận K¨othe A, các khẳng định sau tương đương:

(i) Tồn tại pP r1,8s sao cho ΛppAq là không gian Schwartz

(ii) ΛppAq là không gian Schwartz với mọi p P r1,8s

(iii) Với mỗi k P N, tồn tại m ¥k sao cho lim

j Ñ8aj,ka

1 j,m 0

Chứng minh Xem [13], Mệnh đề 27.10, trang 330

1.4.5 Không gian các chuỗi luỹ thừa

Giả sử α  pαnq n PN là dãy đơn điệu tăng trên r0,8q và thoả mãn lim

nÑ8αn  8thì với mỗi r P p
8,8s ta định nghĩa

đề 1.4.20 và Mệnh đề 1.4.22 ta có Prpαq  Λ2pAq là không gian Schwartz phản xạ.Với t r ta có Ptα :Prpαq t

Ptα !xP KN : }x} 2

t  ¸

j PN

|xj| 2e2tαj   8)

là không gian Hilbert Đặc biệt, nếu s t thì ta có Ptα €Psα

Định nghĩa 1.4.3 ([13]) Không gian Prpαq được gọi là không gian các chuỗi luỹthừa kiểu hữu hạn nếu r   8, được gọi là không gian các chuỗi luỹ thừa kiểu vôhạn nếu r  8 và dãy α được gọi là dãy luỹ thừa

Để xác định lớp các không gian đẳng cấu với Prpαqta nhận xét rằng với r PR,phép biến đổi đường chéo

n Ñ8α

1

n ln n0

Biểu diễn tensor của không gian các hàm chỉnh hình

m

¸

k 0

Pkpx
ξq 0với mọi x thuộc lân cận nào đó của ξ nếu và chỉ nếu βPm 0 với mọi m PN.Chứng minh Điều kiện đủ là hiển nhiên

24