HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG QUAN HỆ VUÔNG GÓC

2 GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG:  Trong không gian véctơ khác không a được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặc trùng với đường thẳng d..  Góc giữa hai

VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN

… QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN …

1) ĐỊNH NGHĨA & CÁC QUY TẮC:

 Véctơ trong không gian là đoạn thẳng có hướng Véctơ AB

có điểm đầu là A, điểm cuối là B

 Quy tắc ba điểm: AB BC    AC

 Quy tắc hiệu hai véctơ cùng điểm đầu:   ACABBC

 Quy tắc đường chéo hình bình hành ABCD:   ABADAC

 Quy tắc đường chéo hình hộp ABCD.ABCD:

' '

ABADAA AC

   

2) ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA 3 VÉCTƠ:

 Định nghĩa: Trong không gian ba véctơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng (Giá của một véctơ là đường thẳng chứa véctơ đó)

 Điều kiện để ba véctơ đồng phẳng: Trong không gian cho a

, b

, c

, trong đó a

và b

không cùng phương Điều kiện cần và đủ để ba véctơ a

, b

, c

đồng phẳng là có duy nhất cặp số m, n sao cho

cmanb

 Biểu diễn một véctơ qua ba véctơ trong không gian: Trong không gian cho a

, b

, c

không đồng phẳng Khi đó với mọi véctơ d

ta luôn tìm

được bộ ba số m, n, p duy nhất sao cho dmanbpc

3) CÁC DẠNG TOÁN:

 Vd1 Cho hình hộp ABCD.ABCD Gọi G là trọng tâm ABD Chứng minh A, G, C thẳng hàng Giải: Để chứng minh A, G, C thẳng hàng, ta chứng minh AGk AC'

Thật vậy: G là trọng tâm ABD

3

AG AA ABAD

   

Theo quy tắc hình hộp, ta có:

' '

ABADAA AC

   

3

 

.Vậy A, G, C thẳng hàng

 Vd2 Hình hộp ABCD.ABCD có M, N, P, Q thứ tự là trung điểm AB, AA, BC, CD Chứng minh: a) Ba véctơ   A C MN AD' ', , '

đồng phẳng

b) Bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng

8

Giải:

a) Cách 1: A C' '

có giá AC // AC mà AC  (ACD)  AC//

(ACD); MN



có giá MN // AB // DC mà DC  (ACD)  MN // (ACD); AD'

có giá là AD  (ACD)

Vậy:   A C MN AD' ', , '

có giá song song hoặc trùng mặt phẳng (ACD) nên chúng đồng phẳng

Cách 2: Ta có AD'

= AC

+ CD'

, mà AC

= A C' '

; CD'

= BA'

=

2 MN

 AD'

= A C' '

+ 2 MN

(A C' '

và MN

không cùng phương)

   A C MN AD' ', , '

đồng phẳng

b) Ta có: AD'

= A C' '

+ 2 MN

, với AD'

= MQ

và A C' '

= AC

= 2MP

 AD'

= A C' '

+ 2 MN

 MQ



= 2MP

+ 2MN

 MQ



, MP

, MN

đồng phẳng  Bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng

BÀI TẬP.

1) Cho hình hộp ABCD.ABCD Chứng minh:

a) AB



+B C' '

+DD'



= AC'



–D D'



–B D' '



= BB'



; c) AC

+BA'



+ DB



+C D'

= 0

 Hướng dẫn:

b) BD

+DD'

+D B' '

= BB'

+CD' +D B' '

+B A'

= AA

= 0 2) Cho hình bình hành ABCD Gọi S là một điểm nằm ngoài mặt phẳng chứa hình bình hành Chứng minh rằng: SA

+SC

= SB

+SD

 Hướng dẫn: SA

+ SC

= SB

+ SD

= 2 SO

3) Cho hình tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD Chứng minh :

a) MN

= 1

2  ADBC

b) MN

= 1

2  ACBD

 Hướng dẫn:

M trung điểm AB  O: 2OM  OA OB

, N trung điểm CD  O:

2ON  OCOD

 a) MN

= 1

2  ADBC

và b) MN

= 1

2  ACBD

4) Cho hình tứ diện ABCD Hãy xác định hai điểm E, F sao cho:

a) AE

= AB

+ AC

+AD

= AB

+ AC

–AD

 Hướng dẫn:

a) AB

+ AC

+AD

=  AKAD

= AE

như hình vẽ

b) AB

–AD + AC



= DB

+ AC



= AB'

+ AC



= AF

5) Cho hình tứ diện ABCD Gọi G là trọng tâm ABC Chứng minh rằng: DA

+DB

+ DC

= 3 DG

 Hướng dẫn:









  

  

   DA



+DB

+ DC

= 3 DG

(vì G là trọng tâm ABC)

6) Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BD của tứ diện ABCD Gọi I là trung điểm đoạn MN và

P là điểm bất kỳ trong không gian Chứng minh rằng:

a) IA

+IB

+IC

+ID

= 0

=1

4 PA   PBPCPD

 Hướng dẫn:

a) M, N trung điểm AC, BD  I: 2  IM IAIC, 2IN  IBID

, I trung điểm MN 

IA



+IB

+IC

+ID

= 0

; b) M, N, I trung điểm AC, BD, MN  P: 2PM  PAPC, 2PN  PBPD, 4PI2 PMPN



PI



=1

4 PA   PBPCPD

7) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có AA'

= a

, AB

= b

, AC

= c

Hãy biểu thị các véctơ B C'

,

'

BC



qua các véctơ a

, b

, c

 Hướng dẫn:   B C' B A' AC  AA'ABAC   a b  c

' '

BC  AC ABa c b 

     

8) Cho ABC Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho MS

= –2MA

và trên đoạn BC lấy N sao cho NB

= –1

2 NC



Chứng minh ba véctơ , MN

, SC

đồng phẳng

 Hướng dẫn:

(3)

    

    

   

Lấy (1) trừ (2) rồi thay vào (3)

SC3MN2AB

 SC

, MN

,AB

đồng phẳng 9) Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi K là giao điểm của AH và DE, I là giao điểm của BH và DF Chứng minh ba véctơ AC

, KI

, FG

đồng phẳng

 Hướng dẫn: Ta có: AD DC    AC

 FG  DC AC

với K, I trung điểm HA, HB  AB2I

 FG2KI AC

 AC

, KI

,

FG



đồng phẳng

10) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC Gọi G và G lần lượt là trọng tâm ABC và ABC, I là giao điểm của hai đường thẳng AB và AB Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG song song với nhau

 Hướng dẫn:

§ HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC.

1) TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN:

 Trong không gian cho hai véctơ khác không u v ,

Lấy một điểm A bất kỳ, gọi B và C là hai điểm sao cho    ABu AC, v

Khi đó ta gọi góc BAC 00BAC1800 là góc giữa hai véctơ ,u v 

trong không gian, ký hiệu  u v ,

 Trong không gian cho hai véctơ khác không ,u v 

Tích vô hướng của hai véctơ ,u v 

là một số, ký hiệu

u v

 

, được xác định bởi công thức u v   u v  cos u v ,

 u v u v  0

2) GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG:

 Trong không gian véctơ khác không a

được gọi là véctơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặc trùng với đường thẳng d

 Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a, b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a, b Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 900

1 2

| | cos , cos ,

| | | |

u u

 

 

  với u u1, 2

 

là hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng d d 1, 2 3) HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC:

 Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc nhau nếu góc giữa chúng bằng 0

90 Ký hiệu a  b

 Hai đường thẳng vuông góc nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau

 Hai đường thẳng song song Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia

4) CÁC DẠNG TOÁN:

 Vd1 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2 Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC

Giải:

Ta có cos ,  cos ,  | . |

| | | |

AB SC

 

 

 

2

| ( ) | 1

| |

AB SA AC

AB SA AB AC



      

ABC vuông cân tại A vì AB2AC2a2a2 2a2 BC2 nên

AB AC 

 

SAB là  đều nên

2 0

.cos( , ) cos120

2

a

AB SAAB SA AB SA a a  

   

2

 Vd2 Cho tứ diện ABCD có AB  AC và AB  BD Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD

Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc nhau Giải:

P là trung điểm AB  O, ta có 2OP  OA OB

;

Q là trung điểm DC  O, ta có 2OQOCOD

  

Do đó 2 OQ OP  OC   OD OA OB 

2PQ AC BD

  

 2PQ AB        ACBD AB  AC AB BD AB 0

 PQ AB

 

= 0  PQAB

 

 PQ  AB

a 2

A

B

C S

Q

P

A

BÀI TẬP.

1) Cho tứ diện ABCD

a) Chứng minh rằng      AB CD AC DB AD BC 0

b) Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB  CD và AC  BD thì AD  BC

 Hướng dẫn:

a) Ta có               AB CD  AB AD AC;AC DB  AC AB AD;AD BC AD AC AB

AB CD AC DB AD BC

       

b)  AB CD 0,  AC DB 0 AD BC  0 ADBCADBC

2) Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC, CA Chứng minh rằng: a) AB  CC; b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật

 Hướng dẫn:

a)     AB CC  AB AC. AC   AB AC AB AC 0

Vì ABC và

ABC là hai tam giác đều bằnh nhau nên có tích vô hướng bằnh nhau

Vậy ABCCABCC

 

b) MN//AB//PQ và MN = PQ = ½ AB  MNPQ là hình bình hành

Mặt khác AB  CC mà MN//AB còn MQ//CC  MN  MQ  MNPQ

là hình chữ nhật

3) Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC và ASBBSCCSA

Chứng minh rằng SA  BC, SB  AC, SC  AB

 Hướng dẫn:

Ta có ASB = BSC = CSA; SA BC     SA SC. SBSA SC    SA SB  0 SABC

4) Trong không gian cho hình vuông ABCD và ABCD có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O Chứng minh rằng AB  OO và tứ giác CDDC là hình chữ nhật

 Hướng dẫn:

AB OOAB AOAO  AB AOAB AO

        

Vì ABO = ABO, do đó AB OO

Tứ giác CDDC là hình bình hành có CC  AB nên CC  CD do đó CDDC là hình chữ nhật

5) Cho S là diện tích ABC Chứng minh rằng 1 2 2  2

2

S   AB AC   AB AC

 Hướng dẫn:

| | | |

AB AC

AB AC

 

 

.sin 1 cos

2

   

6) Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và   0

60

BACBAD Chứng minh rằng:

a) AB  CD; b) Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD thì MN  AB, MN  CD

 Hướng dẫn:

a) BAC = BAD do đó     AB CD  AB AD. AC   AB AD AB AC 0

 AB  CD

b) M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD 

2MN     ADBC ADACAB

 2MN AB     ADACAB AB 

    

 MN  AB

Tương tự 2MN CD      ADACABADAC

     

 MN  CD

P

N M

Q

C C'

N

M

C

A

7) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD

a) Tính độ dài đoạn MN theo a

b) Tính góc giữa hai đường thẳng MN và BC

c) Chứng minh rằng MN  AB

 Hướng dẫn:

a) ACB = ADB  CM = MD = 3

2

a

 MCD cân tại M và MN  CD

 MN =

2 2

b) cos ,  cos ,  | . | 1 | ( ). |

| |.| |

MN BC



    

 

2

| cos 60 cos 60 | 2

2 2

a



  MN BC ,  450

cos

NMI

MI MN

MN BC 

c) CDB = CDA  AN = BN  ANB cân  NM  AB

8) Cho hình chóp S.ABC có ASB 1200, BSC 600, CSA 900 và có SA = SB = SC = a

a) Tính độ dài các cạnh AB, BC, CA

b) Chứng minh ABC vuông tại C

c) Gọi H là trung điểm của đoạn AB Chứng minh SH  HC

 Hướng dẫn:

a) CSA  900 SAC vuông cân tại S  AC = a 2 Ta có BSC  600

BSC đều  BC = a Ta có  0

120

3

3 2

a

b) Vì CA2CB22a2a23a3 AB2 ABC vuông tại C

c) ABC vuông tại C  CH = ½ AB = 3

2

a

và SH =

2

2 3

a   do đó

2 2

SH CH   a SC SHC vuông tại H  SH  HC

I

N

M

C A

H

B S

§3 ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG.

1) ĐỊNH NGHĨA:

 Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng đó

( ) ( ),

dmp P   a P da

2) ĐIỀU KIỆN ĐỂ ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG:

 Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P)

,

, caét nhau

a b











3) TÍNH CHẤT:

 Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước

(Mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng đó)

 Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước

4) LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC:

 Cho hai đường thẳng song song Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này cũng vuông góc với đường thẳng kia

 Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song nhau

b a

P

 Cho hai mặt phẳng song song Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này cũng vuông góc mặt phẳng kia

 Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song nhau

d

Q

P

 Cho một đường thẳng song song một mặt phẳng Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng thì cũng vuông góc với đường thẳng kia

 Cho một đường thẳng không nằm trong một mặt phẳng Nếu một đường thẳng vuông góc với cả hai thì đường thẳng và mặt phẳng đó song song nhau

d

a

P

b

d

d

a

P

P

A

B

5) PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC & ĐỊNH LÝ 3 ĐƯỜNG VUÔNG GÓC:

 Cho đường thẳng d vuông góc mặt phẳng (P) Phép chiếu song song theo phương của d lên mặt phẳng (P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P)

 Định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a không vuông góc với (P) và đường thẳng b nằm trong (P) Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a của a trên (P) a ( ),P b( ),P baba

b

b

a'

a'

a a

P P

 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó lên phặt phẳng

φ b a' a

P

6) CÁC DẠNG TOÁN:

 Vd1 Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông tại B và SA  (ABC)

a) Chứng minh BC  (SAB)

b) Gọi AH là đường cao của SAB Chứng minh AH  SC

Giải:

a) SA  (ABC)  SABC; ABC vuông tại B  ABBC  BC  (SAB) b) Ta có AH(SAB), BC  (SAB)  BC  AH mà AH  SB  AH  (SBC)  AH  SC

 Vd2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = a 2 và SA  (ABCD) Gọi

M, N lần lượt là hình chiếu của điểm A lên SB và SD Tính góc giữa đường thẳng SC với mặt phẳng:

Giải:

a) BC  AB, BC  SA  BC  (SAB)  BC  AM mà AM  SB 

AM  (SBC)  AM  SC (1)

Ta có CD  AD, CD  SA  CD  (SAD)  CD  AN mà AN 

SD  AN  (SCD)  AN  SC (2)

Từ (1) và (2)  SC  (AMN) hay góc giữa chúng bằng 900

b) SAC vuông cân tại A vì SA = AC = a 2 Mặt khác AC là hình chiếu của SC lên (ABCD) nên góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là



B

S

H

A

D

B

C

S

M

N

a' a

d

A B

BÀI TẬP.

1) Cho tứ diện ABCD có hai mặt là hai tam giác cân ABC và BCD chung cạnh đáy BC Gọi I là trung điểm cạnh BC Gọi AH là đường cao ADI Chứng minh:

 Hướng dẫn:

a) Ta có ABC và BCD cân, có I trung điểm nên AI  BC và DI  BC 

BC  (ADI)

b) Ta có AH  (ADI) mà BC  (ADI)  BC  AH mặt khác AH  DI 

AH  (BCD)

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và SA = SB = SC = SD Gọi O là giao của AC và

BD Chứng minh:

a) SO  (ABCD); b) AC  (SBD) và BD  (SAC)

 Hướng dẫn:

a) SAC, SBD cân tại S có O là trung điểm  SO  AC, SO  BD

 SO  (ABCD)

b) Ta có AC  SO, AC  BD (đường chéo hình thoi)  AC  (SBD) Tương tự  BD  (SAC)

3) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ

O tới mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng:

a) H là trực tâm ABC; b) 1 2 12 12 12

 Hướng dẫn:

a) OA  OB, OA  OC  OA  (OBC)  OA  BC

Ta có OH  (ABC)  OH  BC;  BC  (OAH)  BC  AH

Tương tự ta chứng minh được AC  BH  H là trực tâm ABC

b) AOA vuông tại O có OH là đường cao  1 2 12 1 2

Vì BOC vuông tại O có OA là đường cao  1 2 12 1 2

Vậy 1 2 12 12 12

OH OA OB OC

4) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và SA  (ABCD) Gọi I và K là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho SI SK

SB SD Chứng minh:

a) BD vuông góc với SC; b) IK vuông góc với (SAC)

 Hướng dẫn:

a) SBD có SI SK

SB SD  IK//BD

Ta có SA  (ABCD)  SA  BD; BD  AC (hình thoi)

 BD  (SAC)  BD  SC

b) IK//BD  IK  (SAC)

I

C

A

H

O

S

A

D

S

I

K

5) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt (ABC) và ABC vuông tại B Trong mặt phẳng (SAB) kẻ

AM vuông góc với SB tại M Trên cạnh SC lấy điểm N sao choSM SN

SB  SC Chứng minh rằng :

a) BC  (SAB), AM  (SBC); b) SB  AN

 Hướng dẫn:

a) SBC có SM SN

SB  SC  MN//BC

Ta có SA  (ABC)  SA  BC, BC  AB  BC  (SAB)

Ta có MN  (SAB), BC  (SAB)  BC  AM mà AM  SB  AM  (SBC);

b) Ta có BC  (SAB)  BC  SB

MN//BC  MN  SB

Với SB  AM, SB  MN  SB  (AMN)  SB  AN

6) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc mặt phẳng (ABC) và ABC không vuông Gọi H, K lần lượt là trực tâm của ABC và SBC Chứng minh rằng:

a) AH, SK, BC đồng quy; b) SC  mp(BHK); c) HK  mp(SBC)

 Hướng dẫn:

a) AH  BC tại I mà SA  (ABC)  SA  BC  BC  (SAI)  BC 

SI  SI là đường cao SBC  K  SI  AH, SK, BC đồng quy tại I b) BH  AC (vì H là trực tâm ABC), BH  SA (vì SA  (ABC)) 

BH  (SAC)  BH  SC, BK  SC (vì K là trực tâm SBC)

 SC  mp(BHK) c) SC  mp(BHK)  SC  HK, BC  (SAI)

 BC  HK  HK  mp(SBC)

7) Cho hình chóp S.ABC có đáy là  đều cạnh bằng a và SA = SB = SC = b Gọi G là trọng tâm ABC a) Chứng minh rằng SG  (ABC), tính SG

b) Xét mặt phẳng () đi qua A và vuông góc SC Tìm hệ thức liên hệ giữa a và b để () cắt SC tại C1

nằm giữa S và C Khi đó hãy tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABC khi cắt bởi mặt phẳng ()

 Hướng dẫn:

a) Gọi M trung điểm AB  SM  AB  SG là giao tuyến của các mặt phẳng trung trực của cạnh AB, BC, AC của  đều ABC  SG  (ABC)

3

a

SG SA AG b   SG =

2 2 3

a

b 

b) Để C1 nằm giữa S và C và AC1 SC khi góc ASC là góc nhọn 

2 2 2 hay 2 2 2

AC SA SC a  b

SAC1 = SBC1 (c, g, c) mà AC1 SC  BC1 SC  SC  (ABC1)

 thiết diện là ABC1 cân tại C1 1

C M là trung tuyến đồng thời là đường cao C1M  SC Gọi góc SCM là góc   sin =

2 2

3

a b

SG



  C1M = CM.sin =

2 2

2 2

3

3

2

b





1

2 2 2 3 4

ABC

S

b





B

S