Từ đó suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy, đường thẳng chung gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.. Trong mặt phẳ
Trang 1ĐƯỜNG THẲNG & MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
… QUAN HỆ SONG SONG …
1) CÁC KHÁI NIỆM:
Mặt bảng, mặt bàn, mặt nước trong chậu, … cho ta một phần của mặt phẳng trong không gian
Người ta thường biểu diễn mặt phẳng bằng một hình bình hành và dùng chữ cái để đặt tên mặt phẳng đó chẳng hạn (P), (Q), (), (), …
Điểm A thuộc mặt phẳng (P) hay mặt phẳng (P) chứa điểm A, ta ghi A(P) hoặc (P)A
Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) hay mặt phẳng (P) chứa d, ta ghi d(P) hoặc (P)d
d
p
2) CÁC TÍNH CHẤT:
Có một và chỉ một đường thẳng đi qua 2 điểm phân biệt
Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua 3 điểm không thẳng hàng cho trước
Nếu một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt của một mặt phẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mặt phẳng đó
Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa
Từ đó suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua điểm chung ấy, đường thẳng chung gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng
Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng
3) CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG:
Qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C xác định mặt phẳng (ABC)
Qua một đường thẳng d và một điểm M không thuộc đường thẳng d xác định mặt phẳng (d, M)
Qua hai đường thẳng song song d, d xác định mặt phẳng (d, d)
Qua hai đường thẳng cắt nhau a, b xác định mặt phẳng (a, b)
4) HÌNH CHÓP & TỨ DIỆN:
a) Hình chóp, tứ diện:
Hình chóp I.EFGH có đỉnh là I, mặt (EFGH) là mặt đáy, IE, IF, IG, IH là các cạnh bên, mặt bên là các tam giác IEF, IFG, IGH, IHE Nếu đáy của hình chóp là tam giác, tứ giác, … thì gọi là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, …
Tứ điện ABCD là hình tạo bởi 4 mặt (ABC), (ACD), (ABD), (BCD)
b) Hình chóp đều:
Hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau Hình chóp đó được gọi là hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều …
Trong hình chóp đều, các mặt bên là những tam giác cân bằng nhau
Trang 2 Hình chĩp là hình chĩp đều khi và chỉ khi đáy của nĩ là đa giác đều và chân đường cao của hình chĩp trùng với tâm của đáy
Hình chĩp là hình chĩp đều khi và chỉ đáy của nĩ là đa giác đều và các cạnh bên (mặt bên) tạo với mặt đáy các gĩc bằng nhau
Tứ diện đều là tứ diện cĩ 4 mặt là 4 tam giác đều
Giải: Hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) cĩ S là điểm chung thứ nhất và
B là điểm chung thứ hai Vậy (SAB) (SBC) = SB
Trong mặt phẳng (ABCD) gọi O = BD AC
(SBD) (SAC) = SO Trong mp(SBD) gọi I = SO BM
I SO mà SO SAC I SAC
3DC Chứng minh ba đường thẳng BD, FG, EH đồng quy
Giải: Theo giả thiết 1
Trang 3 Vd4 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M, N, E lần lượt là ba
điểm lấy trên đoạn AD, CD, SO Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE)
Giải: Đường thẳng MN cắt BD tại I, cắt BC tại K, cắt AB tại H Trong mặt phẳng (SBD), IE cắt SB tại Q Trong mặt phẳng (SBC),
KQ cắt SC tại P Trong mặt phẳng (SAB), QH cắt SA tại R
Vậy ngũ giác MNPQR là thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE)
BÀI TẬP.
1) Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng () chứa BCD Lấy E, F là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC
a) Chứng minh đường thẳng EF nằm trong mặt phẳng (ABC)
b) Khi EF và BC cắt nhau tại I, chứng minh I là điểm chung của hai mặt phẳng (BCD) và (DEF)
Gọi d M M là điểm chung của () với
3) Cho ba đường thẳng d , 1 d , 2 d không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một Chứng 3
minh ba đường thẳng trên đồng quy
Hướng dẫn: d1 (),d2 ,d3 Gọi I = d1d2, ta chứng minh Id 3
Thật vậy: Ta có () (d1, d2), (d2, d3), (d1, d3)
I = d1d2 mà d2 I mà (d2, d3) Id3
4) Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi G G G G A, B, C, D lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ABD, ABC Chứng minh AG BG CG A, B, C,DG D đồng quy
Trang 4 Hướng dẫn: Gọi L là trung điểm CD, G AL, B G BL A
Tương tự AG BG CG A, B, C,DG D đồng quy tại G
5) Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng () có hai cạnh AB và CD không song song Gọi S là điểm nằm ngoài mặt phẳng () và M là trung điểm đoạn SC
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng SD và mặt phẳng (MAB)
b) Gọi O là giao điểm của AC và BD Chứng minh ba đường thẳng SO, AM, BN đồng quy
6) Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và BC Trên đoạn
BD lấy điểm P sao cho BP = 2PD
a) Tìm giao điểm của đường thẳng CD với mặt phẳng (MNP)
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ACD)
7) Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi I, K lần lượt là trung điểm của hai đoạn AD và BC a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (KAD)
b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm lấy trên hai đoạn AB và AC Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC)
và (DMN)
Trang 5 Hướng dẫn:
IAD I(KAD) I(IBC)(KAD) KBC K(IBC) K(IBC)(KAD) IK=(IBC)(KAD) Trong mp(ABD) gọi J = DM BI
9) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Trong mặt phẳng đáy vẽ đường thẳng d đi qua
A và không song song với các cạnh của hình bình hành , d cắt đoạn BC tại E Gọi C là một điểm nằm trên cạnh SC
a) Tìm giao điểm M của đường thẳng CD và mặt phẳng (CAE)
b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (CAE)
thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (CAE) là tứ giác AECF
10) Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song Gọi M là điểm thuộc miền trong của SCD a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM)
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)
c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC)
d) Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mp(SCD) và (ABM) e) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(ABM)
Trang 6b) Trong mp(ABCD) gọi O = AC BN
d) Trong mp(SAC) gọi P = SC AI mà AI (ABM)
P = SC (ABM); Trong mp(SCD) gọi K = PM SD
e) Tứ giác ABPK là thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(ABM)
11) Cho mặt phẳng (P) và ba điểm không thẳng hàng A, B, C cùng nằm ngoài (P) Chứng minh rằng nếu
ba đường thẳng AB, BC, CA đều cắt mặt phẳng (P) thì các giao điểm đó thẳng hàng
12) Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O và đường thẳng c cắt mặt phẳng (a, b) ở điểm I khác O Gọi
M là điểm di động trên c và khác I Chứng minh rằng giao tuyến của các mặt phẳng (M, a), (M, b) nằm
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (CMN);
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(CMN)
Trang 7c) Tứ giác CKMN là thiết diện tạo bởi hình chóp S.ABCD với mp(CMN)
14) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Ba điểm A, B, C lần lượt nằm trên ba cạnh SA, SB, SC nhưng không trùng với S, A, B, C Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABC)
Hướng dẫn: Gọi O = AC BD, O = AC
SO, D = BO SD
Nếu D thuộc đoạn SD thì thiết diện là tứ giác ABCD
Nếu D nằm trên phần kéo dài của SD, gọi E
= CD CD, F = AD AD thì thiết diện là ngũ giác ABCEF
15) Cho hình chóp S.ABCD Gọi M là điểm nằm trong SCD
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC)
c) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(ABM)
mp(SCD) gọi Q = PM SD Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mp(ABM) là tứ giác ABPQ
16) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD Gọi E là điểm thuộc đoạn AN không
là trung điểm AN và Q là điểm thuộc đoạn BC
a) Tìm giao điểm của EM với mặt phẳng (BCD);
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (EMQ) và (BCD); (EMQ) và (ABD);
c) Tìm thiết diện cắt tứ diện bởi mp(EMQ)
Trang 8 MF = (EMQ) (ABD) Tứ giác PQMF là thiết diện của tứ diện cắt bởi mp(EMQ)
17) Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SBC lấy điểm M, trong tam giác SCD lấy điểm N
a) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC);
b) Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN);
c) Tìm thiết diện hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AMN)
Hướng dẫn:
a) Gọi M = SM BC, N = SN CD Gọi O = AC MN
18) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB,
AD Đường thẳng BN cắt CD tại I
a) Chứng minh M, I và trọng tâm G của SAD thẳng hàng
b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (CMG) Chứng minh trung điểm của SA thuộc thiết diện này
c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (AGM)
c) Trong mp(SAD) gọi D = AG SD AD = (AGM) (SAD)Trong mp(ABCD) gọi K = BI AC
Trang 9§2 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU & SONG SONG.
1) VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN:
Hai đường thẳng a, b gọi là song song nếu chúng đồng phẳng và khơng
Định lý 2: Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy
hoặc đơi một song song. ; ; a, b, c đồng quy
Vd1 Cho tứ diện ABCD Gọi F, G lần lượt là trọng tâm ABC và ABD Chứng minh FG // CD
Giải: Gọi E là trung điểm AB CE, DE là hai trung tuyến của ABC và
Vd2 Cho hình chĩp S.ABCD đáy là hình thang (AB // CD)
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SDC) Giải:
Trang 10BÀI TẬP.
1) Cho tứ diện ABCD Gọi P, Q, R, S là bốn điểm lần lượt nằm trên bốn cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng nếu bốn điểm P, Q, R, S đồng phẳng thì:
a) Ba đường thẳng PQ, SR, AC hoặc song song hoặc đồng quy;
b) Ba đường thẳng PS, RQ, BD hoặc song song hoặc đồng quy
2) Cho tứ diện ABCD và ba điểm P, Q, R lần lượt lấy trên ba cạnh AB, CD, BC Tìm giao điểm S của AD
và mặt phẳng (PQR) trong hai trường hợp sau đây:
a) PR song song AC;
Trang 11a) Trong mp(ABN) gọi A = AG BN
''
GA MM MM AA AA = 4GA GA = 3GA
4) Cho tứ diện ABCD Các điểm P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD điểm R nằm trên cạnh BC sao cho BR = 2RC Gọi S là giao điểm của mặt phẳng (PQR) và cạnh AD Chứng minh rằng AS = 2SD
Hướng dẫn:
Trong mp(BCD) gọi I = RQ BD
Trong mp(ABD) gọi S = PI AD S = AD (PQR)
Trong mp(BCD) gọi E trung điểm BR BE = ER = RC Xét CED có QR là đường trung bình QR // ED Xét BRI có ED // RI, E trung điểm BR D trung điểm BI Xét ABI có AD, IP là hai trung tuyến cắt nhau tại S S là trọng tâm AS = 2SD
5) Cho tứ diện ABCD gọi M, N, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD
a) Tìm P là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (MNQ) Tìm thiết diện cắt tứ diện bởi
2AC
b) Ta có N BC N (PBC) N (PBC) (AND) Ta có P AD P (AND) P (AND) (PBC) NP = (AND) (PBC)
6) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, các cạnh đáy là AB và CD Gọi I, J lần lượt là trung điểm
AD, BC Gọi G là trọng tâm tam giác SAB
a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG)
b) Xác định thiết diện cắt hình chóp bởi mặt phẳng (IJG) Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với
AB và CD để thiết diện là hình bình hành
Hướng dẫn:
Trang 12a) Ta có:
IJ AB IJG IJ
b) ABJI là thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG) Thiết diện là hình thang vì có AB // IJ
Để ABJI là hình bình hành khi AB = IJ SAB có G là trọng tâm nên
2(AB + CD) 4AB = 3AB + 3CD AB = 3CD
7) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC và P là điểm thuộc đoạn BD
a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng (MNP) và (ABD)
b) Gọi Q là giao điểm của AD với mặt phẳng (MNP) Xác định vị trí P để MNPQ là hình bình hành c) Trong trường hợp MQ và NP cắt nhau tại I, hãy xác định giao tuyến của hai mp (MNP) và (ABI)
, Với I (MNP) (ABI), gọi d qua I và d // AB // MN thì d = (MNP) (ABI)
8) Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt nằm trên
Trang 13§3 ĐƯỜNG THẲNG & MẶT PHẲNG SONG SONG.
ĐL1:Nếu đường thẳng d không
nằm trên mp(P) và song song
với đường thẳng a nằm trên
ĐL2: Nếu đường thẳng a song
song với mp(P) thì mọi mp(Q)
(P)
HQ: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau
cùng song song với một đường
thẳng thì giao tuyến của chúng
song song với đường thẳng đó
Q P
ĐL3: Hai đường thẳng chéo
nhau có duy nhất một mặt phẳng
chứa đường thẳng này song song
đường thẳng kia
!( )( ) / /
Vd2 Cho tứ diện ABCD Một mặt phẳng () song song với AC và BD đi qua điểm P trên BC, cắt cạnh AB, AD, CD lần lượt tại Q, R, S
a) Chứng minh PQRS là hình bình hành
Trang 14b) Xác định vị trí của Q để PQRS là hình thoi
Giải:
a) () // AC, () (ABC) = PQ PQ // AC () // AC, () (ACD) = RS RS // AC () // BD, () (BCD) = PS PS // BD () // BD, () (ABD) = QR QR // BD
PQRS là hình bình hành b) Kẻ AK // BD , DK cắt AB ở Q và AK = AC, ta có:
AK DA AC QR = RS PQRS là hình thoi
BÀI TẬP.
1) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trên một mặt phẳng
a) Gọi O và O lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF Chứng minh rằng đường thẳng OO song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE)
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm tam giác ABD và ABE Chứng minh đường thẳng MN song song với mặt phẳng (CEF)
13
ID IE MN // DE mà DE(CEF) MN//(CEF)
2) Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M Cho () là mặt phẳng qua M, song song với hai đường thẳng AC và BD
a) Tìm giao tuyến của () với các mặt của tứ diện
b) Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng () là hình gì ?
Hướng dẫn:
a) () (ABC) = Mx Mx // AC
Trong mp(ABC) gọi N = Mx BC () (ABC) = MN
Tương tự các giao tuyến còn lại là MQ, QP, NP
b) Thiết diện là hình bình hành MNPQ
3) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và
BD Xác định thiết diện cắt hình chóp bởi mặt phẳng () qua O, song song với AB và SC Thiết diện
Trang 15 PQ // AB Vậy MN // PQ Tứ giác MNPQ là hình thang
4) Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC
a) Xét vị trí tương đối của đường thẳng MN và mp(BCD)
b) Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN) và (DBC) Xét vị trí tương đối của d và mp(ABC)
7) Cho tứ diện ABCD Gọi M là trung điểm AD, N là điểm bất kỳ trên cạnh BC, () là mặt phẳng chứa
MN và song song với CD
a) Xác định thiết diện của () với tứ diện ABCD
b) Chỉ ra vị trí của N trên BC sao cho thiết diện là hình bình hành
Hướng dẫn:
a) Ta có: () MN và () // CD () (ACD) = MI thì MI // CD I trung điểm AC
Trang 168) Cho tứ diện ABCD Một mp() di động luôn song song AB và CD lần lượt cắt các cạnh AC, AD, BD,
b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
c) Tìm vị trí MN để thiết diện là hình thang
Trang 17§4 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG.
1) ĐỊNH NGHĨA:
Hai mặt phẳng được gọi là song
song với nhau nếu chúng không
có điểm nào chung
( ) / /( )P Q ( )P ( )Q
Q P
Q P
Q P
3) ĐỊNH LÝ TALÉT TRONG KHÔNG GIAN:
Cho () // () // () Đường thẳng a cắt mặt phẳng () tại A, cắt () tại B, cắt () tại C Đường thẳng b cắt mặt phẳng () tại D, cắt () tại E, cắt () tại F thì AB BC CA
DE EF FD Ngược lại: Trên hai đường
thẳng chéo nhau a, b lần lượt lấy các điểm A, B, C và D, E, F sao cho AB BC CA
DE EF FD thì ba đường thẳng AD, BE, CF lần lượt
nằm trên ba mặt phẳng song song
4) HÌNH LĂNG TRỤ & HÌNH HỘP:
a) Hình lăng trụ và hình hộp:
Hình lăng trụ ABCDE.ABCDE có (ABCDE) và (ABCDE) là hai mặt phẳng song song gọi là hai đáy; AA//
= BB// = CC// = DD// = EE gọi là các cạnh bên; các mặt bên (ABBA), (BCCB), (CDDC), (DEED), (EAAE) là những hình bình hành
Hình hộp là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành, 6 mặt của hình hộp là hình bình hành
A'
C' B'
I
H
H' I'
G' F'
