tính toán và thiết kế chi tiết ô tô theo phương pháp xác suất

Biểu đồ mô men, lực cắt tác dụng lên chi tiết minh hoạ Bằng phương pháp mặt cắt để tính toán nội lực người ta vẽ được biểu đồ mô men vàlực cắt tác dụng lên chi tiết M, Q từ đó ta xác địn

MỤC LỤC Trang

LỜI NÓI ĐẦU 2

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ ĐỀ TÀI 1.1 Một số nội dung ,khái niệm cơ bản 4

1.2 các phương pháp tính toán máy và chi tiết máy 6

1.3.Bản chất của phương pháp tình toán theo xác suất ……… …… 11

1.4.Lịch sử phát triển và thực trạng nghiên cứu………14

1.5.Nội dung nghiên cứu ……… 15

CHƯƠNG II: LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP TÍNH THEO XÁC SUẤT .16

2.1 Các đại lượng ngẫu nhiên trong thiết kế 16

2.2 Hàm phân phối các đại lượng ngẫu nhiên 18

2.3 Áp dụng phương pháp xác suất trong tính toán và thiết kế chi tiết máy 20

2.4 Thiết kế và phân tích theo độ tin cậy bằng phương pháp xấp xỉ 29

CHƯƠNG 3: THIẾT KẾ VÀ PHÂN TÍCH KẾT CẤU THEO ĐỘ TIN CẬY42 3.1 Thiết kế và phân tích trên cơ sở độ tin cậy theo độ bền 42

3.2 Thiết kế và phân tích kết cấu theo hệ số an toàn trung bình 45

3.3 Ứng dụng phần mềm matlab trong tính toán thiết kế .50

CHƯƠNG 4: ÁP DỤNG TÍNH TOÁN THIẾT KẾ CHO LI HỢP Ô TÔ

Phần 1 Giới thiệu li hợp ô tô 59

Phần 2 Tính toán thiết kế cho li hợp 63

Kết luận 71

Tài liệu tham khảo ………72

LỜI NÓI ĐẦU

Trên thế giới hiện nay ô tô đã trở thành một phương tiện hết sức thông dụng vàgần gũi với con người Cùng với sự phát triển của kinh tế thì ô tô cũng không ngừngđược cải tiến và hoàn thiện hơn Ở nước ta ngành công nghiệp ô tô cũng đang đượcchú trọng đầu tư phát triển và cũng đã đạt được những thành tựu nhất định Tuy nhiên

ô tô ở trong nước chủ yếu là nhập khẩu nguyên chiếc hoặc được lắp rắp từ các linhkiện nhập khẩu từ nước ngoài Để đưa nước ta trở thành một nước công nghiệp pháttriển trong những năm tới thì đảng và chính phủ đã nhận định trước hết chúng ta phảilàm chủ công nghệ và hướng tới tương lai phải cho ra mắt loại xe do chính Việt Namsản xuất chế tạo Với nhận định đó thủ tướng chính phủ đã kí quyết định về việc

“thực hiện chiến lược quy hoạch ngành công nghiệp ô tô việt nam đến năm 2010 vàtầm nhìn 2020”và đặt ra mục tiêu là: các loại xe phổ thông và chuyên dùng đến năm

2010 đạt tỉ lệ nội địa hóa là 60% Về tổ chức sản xuất: sản xuất ô tô và phụ tùng ô tôtheo quy mô công nghiệp, theo hướng chuyên môn hóa hợp tác hóa, khuyến khích cácthành phần kinh tế tham gia phát triển sản xuất phụ tùng ô tô Theo đó hiện nay ởnước ta đã có một số nhà máy sản xuất và lắp ráp và chế tạo phụ tùng ô tô như:TRƯỜNG HẢI ÔTÔ, VINAXUKI… Mặc dù vậy khả năng cạnh tranh của các sảnphẩm sản xuất trong nước là không cao Có nhiều nguyên nhân nhưng nguyên nhânchủ yếu là giá thành sản phẩm cao trong khi độ tin cậy cũng như tính thẩm mỹ chưacao Để giải quyết vấn đề này thì trước hết ta cần cải tiến từ khâu thiết kế nhằm nângcao độ tin cậy sản phẩm và giảm chi phí sản xuất Xuất phát từ vấn đề này cùng với

sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Bang em đã lựa chọn đề tài “tínhtoán và thiết kế chi tiết ô tô theo phương pháp xác suất ’’ cho đồ án tốt nghiệp củamình

Nhờ sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS Nguyễn Văn Bang và sự giúp

đỡ của các thầy giáo trong bộ môn CƠ KHÍ Ô TÔ cộng với những cố gắng nỗ lực của

bản thân em đã hoàn thành đồ án của mình đúng tiến độ và mục tiêu đề ra Mặc dùvậy do thời gian có hạn và trình độ của bản thân còn hạn chế nên chắc chắn không thểtránh khỏi những sai sót em rất mong nhận được những ý kiến góp ý của các thầy côgiáo và các bạn sinh viên để đồ án của em được hoàn thiện hơn Em xin chân thànhcảm ơn Thầy giáo PGS TS Nguyễn Văn Bang cùng các thầy cô trong Bộ môn cơ khí

ô tô – Khoa Cơ Khí - Trường ĐHGTV Hà Nội đã giúp đỡ em hoàn thành đồ án này

Hà Nội ngày……tháng……năm……

Sinh viên thực hiện

ĐOÀN VĂN HIẾU

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN 1.1 Một số nội dung, khái niệm cơ bản

1.1.1 Máy và chi tiết máy

Bất kỳ một máy nào dù đơn giản hay phức tạp cũng được cấu tạo từ nhiều bộ phậnmáy, thí dụ máy tiện gồm:bàn máy, ụ máy, ụ động, hộp tốc độ, bàn giao, cơ cấu truyềndẫn từ động cơ đến hộp tốc độ

Mỗi máy lại gồm nhiều chi tiết máy, chẳng hạn như ụ đứng của máy tiện gồm có:trục chính, ổ trục, bánh răng…

Vậy chi tiết máy là phần tử cấu tạo đầu tiên, hoàn thiện của máy và là bộ phậnkhông thể tháo rời nhỏ hơn được nữa, mặc dù chi tiết máy gồm rất nhiều loại, kiểu,khác nhau về hình dạng và kích thước, về nguyên lý làm việc, về tính năng…Nhưngtrên quan điểm thiết kế có thể xếp chúng vào hai nhóm: nhóm chi tiết máy có côngdụng chung và chi tiết máy có công dụng riêng

Chi tiết máy có công dụng chung như bulông, bánh răng, trục, ổ trục…là các chitiết máy được dùng phổ biến trong các loại máy khác nhau

Chi tiết máy có công dụng riêng như trục khuỷu, van, trục cam, bánh tua bin…chỉđược dùng trong một số loại máy nhất định

1.1.2 Ô tô và chi tiết ô tô

Ô tô là loại xe tự hành bằng bánh xe chủ yếu dùng để chuyên chở hàng hoá hoặchành khách trên các loại đường bộ Ngoài ra, trên đó có thể được trang bị các loại máycông tác để thực hiện các công việc đặc biệt như máy cứu hoả, nâng hàng Phạm vi sửdụng ô tô rất rộng, có thể trong mọi lĩnh vực kinh tế, quốc phòng Để có thể thực hiệnđược các công việc đó ô tô được cấu tạo từ rất nhiều chi tiết ( khoảng 15000 chi tiết) Chi tiết ô tô gồm rất nhiều loại khác nhau, chi tiết ô tô chính là chi tiết máy Tronglĩnh vực công nghiệp ô tô, chi tiết ô tô được chia làm 6 nhóm:

Chi tiết dạng vỏ: Thân máy, nắp máy, vỏ, hộp số, vỏ hộp cầu…

Chi tiết dạng trục: Trục khuỷu, trục cam, trục hộp số, bán trục… có nghĩa làgồm các trục trơn và các trục then, then hoa, trục răng.

Chi tiết dạng ống (thanh rộng) : đặc trưng là tỷ lệ giữa chiều cao và đường kínhlớn nhất không nhỏ hơn 0.5 như xilanh động cơ, moay ơ bánh xe, vỏ vi sai

Chi tiết nhóm đĩa: Tỷ lệ giữa chiều cao và đường kính nhỏ hơn 0.5 như trốngphanh, đĩa phanh, bánh đà, li hợp…

Nhóm thanh tròn: Thanh truyền, cầu trước, cò mổ xupap…

Các chi tiết nối ghép: Bulông, đai ốc, vòng đệm…

1.1.3 Các yêu cầu đối với máy và chi tiết máy, chi tiết ô tô

 Yêu cầu về thiết kế chế tạo

- Đảm bảo khả năng làm việc: đây là yêu cầu cơ bản đối với máy và chi tiết máy Tatính toán thiết kế máy và chi tiết máy theo các chỉ tiêu về khả năng làm việc Các chỉtiêu chủ yếu về khả năng làm việc của máy và chi tiết máy bao gồm: độ bền, độ cứng

độ ổn định độ bền mòn độ ổn định dao động, khả năng chịu nhiệt, độ chính xác

- Tính công nghệ cao: tính công nghệ ảnh hưởng lớn đến giá thành máy Kết cấu cótính công nghệ khi trong điều kiện sản xuất sẵn có phải dễ chế tạo, tốn ít thời gian vàchi phí Máy và chi tiết máy thiết kế phải dễ lắp ráp, thay thế bảo dưỡng, vận hành

- Mức độ quy cách hóa và tiêu chuẩn hóa cao:quy cách hóa đối với máy mới thiết kếchế tạo các chi tiết của máy hoặc cụm chi tiết của máy đang sử dụng Tiêu chuẩn hóa

là việc sử dụng trong máy mới các chi tiết hoặc cụm chi tiết được tiêu chuẩn hóa

- Mức độ tiêu hao nguyên vật liệu: thiết kế kết cấu hợp lí, tối ưu và lựa chọn vật liệu

và phương pháp gia công hợp lí để khối lượng vật liệu sử dụng trong máy và chi tiếtmáy chế tạo thấp nhưng vẫn đảm bảo khả năng làm việc.Vật liệu chiếm khoảng 40-70% giá thành sản phẩm, nên giảm mức độ tiêu hao vật liệu mang lại hiệu quả kinh tế

to lớn

 Yêu cầu về vận hành

- Độ tin cậy cao: yêu cầu này trong thời gian gần đây được quan tâm đặc biệt khimáy càng phức tạp mức độ tự động hóa của máy cao hơn, giá thành cao hơn kết cấulàm việc trong điều kiện có cường độ cao hơn Do đó khi thiết kế nhà thiết kế cần phảiđánh giá đầy đủ xác suất làm việc không hỏng, tính dễ sửa chữa và tuổi thọ của máy.

- Giá thành gia công: giá thành gia công sản phẩm phụ thuộc không những vào năngsuất và giá thành máy mà còn phụ thuộc vào chất lượng gia công và độ tin cậy củamáy

 Những yêu cầu về xã hội của máy thiết kế

- An toàn: đối với máy và chi tiết máy khi xảy ra sự cố gây thiệt hại lớn về người vàcủa như máy bay,ôtô thì khi làm việc phải có độ an toàn cao

- Thuận tiện: máy thiết kế được gọi là thuận tiện sử dụng nếu chúng có các đặc tínhxác định sự thuận tiện, đơn giản và dễ dàng hiệu chỉnh, chăm sóc và điều khiển

- Môi trường: máy thiết kế không làm ảnh hưởng đến môi trường chung quanh không

ồn không gây ô nhiễm môi trường

1.2 Các phương pháp tính toán máy và chi tiết máy

Máy và chi tiết máy thường được tính toán theo phương pháp độ bền Phươngpháp tính độ bền thông dụng nhất hiện nay được tiến hành theo các so sánh ứng suấtsinh ra khi chi tiết chịu tải được kí hiệu là σ đối với ứng suất pháp và τ là đối với ứngsuất tiếp, với ứng suất cho phép lần lượt là [σ],[τ] ; điều kiện bền được viết như sau:

Phương pháp này áp dụng các lý thuyết bền, lí thuyết đàn hồi và là phương phápđầu tiên được áp dụng tính toán cho chi tiết máy Theo phương pháp này thì độ bềncủa chi tiết được kiểm nghiệm tại các tiết diện nguy hiểm (nơi có sự tập trung ứng suất

là lớn nhất ).Và tải trọng tác dụng lên chi tiết máy coi như là không đổi (tức là tảitrọng không thay đổi theo thời gian) Ta giả thiết tải trọng tác dụng lên chi tiết là P vàđược minh hoạ bằng hình vẽ dưới đây:

Hình1.1 Biểu đồ mô men, lực cắt tác dụng lên chi tiết minh hoạ

Bằng phương pháp mặt cắt để tính toán nội lực người ta vẽ được biểu đồ mô men vàlực cắt tác dụng lên chi tiết M, Q từ đó ta xác định được ứng suất tại mặt cắt nguyhiểm ta có:

σ m· tại Mmáx và Qmax ; τ mac tại Mmac và Qtmac

Thông qua vật liệu chế tạo người ta xác định được trạng thái ứng suất giới hạn củavật liệu, giới hạn chảy đối với vật liệu dẻo và là giới hạn bền đối với vật liệu giòn, đốivới các chi tiết máy làm bằng các vật liệu thông thường ứng suất cho phép có thể tìmđược trong các bảng lập sẵn được đúc kết từ thực nghiệm Phương pháp dùng bảng có

ưu điểm là đơn giản,nhưng mỗi loại bảng chỉ dùng được trong phạm vi hẹp, trongnhiều trường hợp thiết kế phải lựa chọn hệ số an toàn để từ đó xác định ứng suất cho

phép Đưa hệ số an toàn vào trong tính toán nhằm đảm bảo cho kết cấu có sự an toànnhất định về độ bền

Theo phương pháp các hệ số thành phần ta có: s = s1.s2.s3

s1: Hệ số xét đến mức độ chính xác trong việc xác địng tải trọng và ứng suất (s1 =1,2 -1,5)

s2: Hệ số xét đến độ đồng nhất về cơ tính của vật liệu s2 = 1,2 -2,5

s3: Hệ số xét đến những yêu cầu đặc biệt về an toàn, như mức độ quan trọng củachi tiết máy với máy, an toàn lao động

Từ đó điều kiện bền phải thoả mãn là: σ mac≤[σ] hoặc τ mac≤[τ]

Nếu tồn tại cả σ và τ người ta tiến hành tính theo σ tb và được tính:

Theo lý thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng:σ tb =√σ2+3 τ2

Theo lý thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất: σ tb =√σ2+4 τ2

1.2.2 Tính toán máy và chi tiết máy theo độ bền mỏi

 Hiện tượng phá hủy mỏi: Đa số các chi tiết máy làm việc với ứng suất thay đổitheo thời gian Thực tế chứng minh rằng các chi tiết máy có thể bị hỏng khi chịu ứngsuất có trị số thấp hơn nhiều so với trường hợp ứng suất không thay đổi Quan sát sựphá hủy khi chịu ứng suất thay đổi người ta thấy quá trình hỏng vì mỏi bắt đầu từnhững vết nứt rất nhỏ sinh ra tại vùng chi tiết máy chịu ứng suất tương đối lớn, khi sốchu trình làm việc của chi tiết tăng lên thì các vết nứt này cũng mở rộng dần, chi tiết

máy ngày càng bị yếu và cuối cùng xảy ra hỏng hóc chi tiết máy đó là sự phá hủy mỏi

hiện tượng phá huỷ mỏi được phát hiện vào giữa thế kỉ 19 Thực tiễn cho thấy khoảng90% các tổn thất của chi tiết máy có liên quan tới sự phát sinh và phát triển các vết nứtmỏi

Sự phá hủy mỏi khác với sự phá hủy tĩnh (do chịu ứng suất tĩnh) về bản chất cũngnhư hiện tượng bên ngoài Phá hủy của ứng suất tĩnh là do tác động của ứng suất có trị

số khá cao, đối với vật liệu dẻo ứng suất này lớn hơn giới hạn chảy, với vật liệu giòn

Chi tiết máy khi làm việc chịu ứng suất thay đổi ổn định Chu kì không thay đổi theothời gian

Chi tiết máy sẽ bị hỏng sau một chu kì làm việc khá lớn N, giới hạn ở đây là giớihạn mỏi σ Trên cơ sở kết quả thí nghiệm mỏi người ta lập được đồ thị có dạng đườngcong biểu diễn mối quan hệ giữa ứng suất σ và số chu kì thay đổi ứng suất N Đườngcong này gọi là đường cong mỏi vele-nhà khoa học đầu tiên làm thí nghiệm xác địnhđường cong này Số chu kì N được gọi là tuổi thọ ứng với mức ứng suất σ

Hình1.2 Đồ thị đường cong mỏi

Qua đồ thị đường cong mỏi ta thấy:

- Khi ứng suất càng cao thì tuổi thọ càng giảm

- Nếu giảm ứng suất đến một giới hạn σ r nào đó đối với một loại vật liệu, tuổi thọ N cóthể tăng lên khá lớn mà mẫu thử không bị gãy hỏng Trị số σ r chính là giới hạn bềnmỏi của vật liệu

- Hoành độ điểm chuyển tiếp giữa đoạn đường cong và đoạn nằm ngang được gọi là

số chu kì cơ sở N0 của vật liệu (thông thường trong khoảng 106 -107 )

Quan hệ giữa σ và N theo phương trình của đường cong mỏi như sau:

Với: Lh – thời gian làm việc tính bằng giờ

n- số vòng quay trong một phút của chi tiết vg/ph

Theo đồ thị ta có:

- Nếu N > N0 thì giới hạn mỏi σlim¿¿ = σ r, tương ứng với giới hạn mỏi dài hạn

- Nếu N = Nk < N0 thì giới hạn mỏi σ k > σ r tương ứng với giới hạn mỏi ngắn hạn

(σlim¿¿ = σ k) :

σ k m N k = σ r m N0, suy ra σ k= σ r m√N0

N k

Theo phương pháp tính toán thiết kế theo độ bền sau khi biết các giá trị σ k hoặc σ r

chúng ta xác định giá trị ứng suất cho phép [σ] và tính toán bền theo các điều kiện chophép này

1.2.3 Ưu nhược điểm của phương pháp tính toán máy và chi tiết máy theo độ bền

tĩnh và mỏi

Đây là hai phương pháp tính toán máy và chi tiết máy truyền thống, bằng cách thiết

kế máy và chi tiết máy thoả mãn điều kiện: σ mac≤[σ]

Để đảm bảo độ an toàn của máy và chi tiết máy người ta đã đưa vào hệ số an toàns= s1.s2.s3 Để tăng độ bền và khả năng làm việc thì tăng hệ số s lên điều đó dẫn đến

độ tin cậy của máy và chi tiết máy cao hơn nhưng nhược điểm là chi tiết máy to nặngcồng kềnh không đảm bảo được tính kinh tế

Phương pháp tính tĩnh chưa kể đến tác động của tải trọng động hay là chưa xét đếnảnh hưởng của tải trọng động (lúc chi tiết làm việc cùng với máy) , hơn nữa việc xácđịnh chính xác hệ số an toàn để đảm bảo tính kinh tế là rất khó khăn Với phươngpháp tính mỏi việc xây dựng được chính xác đường cong mỏi với từng chi tiết cũnggặp rất nhiều khó khăn và phạm vi ứng dụng của nó cũng chỉ sử dụng được với các chitiết chịu tải trọng tác dụng có chu kì Trong 2 phương pháp tính toán máy và chi tiếtmáy theo độ bền tĩnh và độ bền mỏi thì phương pháp tính theo độ bền mỏi có nhiều ưuđiểm hơn và phức tạp hơn như: khi tính toán có tính đến yếu tố góc lượn, độ bóng bềmặt Tuy nhiên cả hai phương pháp này vẫn chưa tính đến các đại lượng ngẫu nhiên làcác yếu tố đầu vào để tính toán Để máy chi tiết máy khi thiết kế ra đảm bảo đượcnhững yêu cầu đề ra một cách tối ưu nhất độ tin cậy cao nhất, tính kinh tế cao nhấtngười ta đã đưa ra phương pháp tính toán máy và chi tiết máy theo phương pháp xácsuất

1.3 Bản chất của phương pháp tính toán, thiết kế máy và chi tiết máy theo phương pháp xác suất.

Trong thiết kế các công trình và máy móc, thông thường người ta đưa thêm hệ số antoàn thể hiện tỷ số giữa độ bền và khả năng tải, nhưng trong thực tế cả 2 thông số nàyđều phân tán chúng gồm các phần tử độc lập và giao thoa với nhau, chính phần nàygây ra những sự cố hỏng hóc ngẫu nhiên của cơ cấu, hệ thống Để chứng tỏ cácphương pháp thiết kế truyền thống chỉ dựa vào hệ số an toàn là chưa hợp lý vì ngay cảkhi hệ số an toàn giống nhau vẫn xảy ra hiện tượng độ tin cậy khác nhau Để minh hoạđiều đó ta xét thử một mối ghép bằng bulông

Các kết quả thí nghiệm về độ bền và tải trọng cho ta kết quả như sau:

Hình 1.3 Phân phối tải trọng tác dụng lên mối ghép bulông

Hình 1.4 Phân phối độ bền mối ghép bu lông

Giá trị trung bình hoặc kỳ vọng của độ bền S và tải trọng L là:

Tuy nhiên nếu ta biểu diễn 2 phân phối S và L trên cùng một hệ trục toạ độ thìchúng có phần giao thoa với nhau, chính tại nơi đó xẩy ra khả năng tải cao hơn độ bền

và đó là nguyên nhân dẫn đến hỏng ngẫu nhiên tuy hệ số an toàn là rất cao

Hình 1.5 Phân phối độ bền S và tải trọng trên một hệ toạ độ

Trong trường hợp cùng nâng S và L lên một lượng c ta có hệ số an toàn khôngthay đổi, nhưng miền giao thoa của chúng nhỏ đi, điều đó chứng tỏ cường độ hỏngngẫu nhiên cũng nhỏ đi Trong trường hợp S và L tuân theo các quy luật ngẫu nhiênthì Stb và Ltb vẫn giữ nguyên

Ta cũng nhận thấy rằng, tuy hệ số an toàn không đổi nhưng vùng giao thoa thayđổi, điều đó chứng tỏ cường độ hỏng ngẫu nhiên thay đổi Như vậy độ tin cậy của chitiết máy, máy là một đặc tính bắt buộc vốn có của nó và cần được quan tâm ở từnggiai đoạn thiết kế, chế tạo, sử dụng, bảo dưỡng…ở giai đoạn thiết kế nó liên quan đếnvật liệu, kết cấu, công nghệ và dung sai

Bản chất của phương pháp tính toán thiết kế chi tiết máy theo phương pháp xác

suất là xác định độ tin cậy của chi tiết với kích thước đặt ra trước hay thiết kế chi tiết

máy, máy với độ tin cậy cho trước.

1.4 Lịch sử phát triển và thực trạng về vấn đề nghiên cứu.

Lý thuyết về tính toán chi tiết máy được phát triển theo lịch sử phát triển vàhoàn thiện các kết cấu máy Những tính toán đơn giản như xác định tỷ số truyền và lựctác dụng ra đời từ thời cổ Hy Lạp, theo tài liệu người đầu tiên nghiên cứu về vấn đềchi tiết máy là LeônaĐờvangxi Về sau đã xuất hiện nhiều nhà khoa học có nhữngcông trình nghiên cứu về chi tiết máy như Ơle, Petơrốp, Râynôn…

Hướng nghiên cứu kết cấu theo độ an toàn được nghiên cứu từ năm 1929.Tương tự nghiên cứu về tuổi thọ mỏi của vật liệu và vấn đề liên quan về lý thuyết giátrị cực trị ứng dụng đối với sức bền vật liệu và tải trọng bắt đầu vào giữa các năm

1930 đã bắt đầu đóng góp vào việc giải quyết độ tin cậy của máy và chi tiết máy

Hiện nay, ở nước ta các tài liệu viết về phương pháp thiết kế máy và chi tiếtmáy theo xác suất độ tin cậy không nhiều Một số cuốn có viết nhưng chưa đi sâu vàophương pháp cụ thể Hầu như các tài liệu đều của nước ngoài chủ yếu viết bằng tiếngNga và tiếng Anh Sinh viên chuyên ngành cơ khí đang được học cuốn giáo trình chitiết máy của NXB Giáo dục và trung học chuyên nghiệp nhưng giáo trình cũng chỉmới đưa ra phương pháp thiết kế máy và chi tiết máy theo phương pháp truyền thống

Vì vậy trong quá trình thiết kế chưa khắc phục được nhược điểm của phương pháp cổđiển để lại đó là thời gian thiết kế kéo dài, sản phẩm to, cồng kềnh, không có sức cạnhtranh, hiệu quả kinh tế thấp Trong khi đó ngày nay các kỹ sư thiết kế phải đối mặt vớinhững thử thách mới, yêu cầu sử dụng mô phỏng tính toán, rút ngắn thời gian thiết kế

Từ ý tưởng đến thị trường, độ tin cậy và chất lượng cao ít ảnh hưởng đến môi trườngđòi hỏi người kỹ sư cần phải có kiến thức cần thiết để áp dụng xác suất thống kê toánhọc vào phân tích thiết kế kỹ thuật

1.5 Nội dung Nghiên cứu

Từ những phân tích và đánh giá trên thì đề tài “Tính toán thiết kế chi tiết ôtô theophương pháp xác suất “ đi vào nghiên cứu phương pháp tính toán chi tiết máy nóichung bằng phương pháp xác suất độ tin cậy Chỉ ra các phương pháp và trình tự tiếnhành cho việc tính toán máy và chi tiết máy theo phương pháp xác suất Xây dựngphần mền áp dụng cho công việc tính toán Và cuối cùng là áp dụng tính toán cho lihợp của xe ôtô zil130 Đề tài tốt nghiệp “ Tính toán chi tiết ôtô theo phương pháp xácsuất (li hợp ôtô) ” gồm 4 chương:

Chương 1: Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

Chương 2: Lý thuyết của phương pháp tính theo xác suất

Chương 3: Phân tích và thiết kế kết cấu theo độ tin cậy

Chương4: Tính toán thiết kế cho li hợp ôtô

CHƯƠNG II: LÝ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP TÍNH THEO XÁC SUẤT 2.1 Các đại lượng ngẫu nhiên trong thiết kế

a ) Tải trọng tác dụng

Việc phân tích và thiết kế các chi tiết máy cần phải kể đến tải trọng.Vì nó là

đại lượng tác động trực tiếp và thường xuyên lên các chi tiết máy Tùy theo tínhchất thay đổi của tải trọng theo thời gian mà người ta chia tải trọng ra làm hailoại: tải trọng tĩnh và tải trọng thay đổi

Tải trọng tĩnh:là tải trọng không đổi và nó chính là trọng lượng của máyhay chi tiết máy

Tải trọng thay đổi:là loại có phương chiều hay cường độ thay đổi theo thờigian.Nó là một đại lượng thay đổi một cách ngẫu nhiên

b) Các đặc tính cơ và vật liệu của chi tiết

Tất cả các kim loại và các loại vật liệu khác đều có các tính chất cơ lí khácnhau do sự khác nhau ngẫu nhiên về thành phần hoá học,nhiệt luyện và quá trìnhgia công chi tiết

Các đặc tính thống kê của cơ tính vật liệu được quan sát theo thực nghiệm vàđược ghi lại dưới bảng sau

Bảng 2.1 thống kê của cơ tính vật liệu

biếnphân

Số mẫuthửnghiệm

Người thiết kế chọn loại vật liệu sử dụng trong thiết kế theo giá trị giới hạnchảy mà giới hạn chảy của thép phụ thuộc vào thành phần hoá học của các hợpkim và phương pháp chế tạo Nên giới hạn chảy và giới hạn bền của vật liệu làcác đại lượng ngẫu nhiên.

Bảng2.2 giới hạn chảy và giới hạn bền của các loại vật liệu sử dụng phổ biến

Giá trịtrung bình

Sai lệchbìnhphươngtrung bình

c) Dung sai kích thước trong quá trình chế tạo.

Do kích thước các chi tiết phụ thuộc vào độ chính xác của máy công cụ phụthuộc vào tay nghề của công nhân nên nó luôn có sai số Mặt khác trong quátrình thiết kế các thông số hình học như đường kính trục, đường kính mũi khoanbiên dạng bánh răng và cam, khoảng cách giữa các trục có vai trò rất quan trọngTrong quá trình gia công các chi tiết thì các kích thước này luôn thay đổi chungquanh một giá trị gọi là giá trị danh nghĩa Khi đó ta đo kích thước thực của chitiết và giá trị này luôn nằm trong một khoảng giá trị nào đó và có sai lệch nhấtđịnh với giá trị giới hạn

bảng 2.3 đánh giá sai lệch kích thước do phương pháp gia công

2.2 Hàm phân phối các đại lượng ngẫu nhiên

Trong tính toán độ tin cậy các tham số được khảo sát như là các đại lượngngẫu nhiên, giá trị của chúng có thể thay đổi trong một miền mà ta không thểbiết trước cụ thể được Các đại lượng này có thể là rời rạc hoặc liên tục

a) Hàm phân phối xác suất:

Hàm phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên X, kí hiệu là F (x) đượcxác định:

f (x) = F , (x) =dF (x)

dx ;Hàm phân phối đặc trưng cho tần số lặp lại của giá trị cho trước của đại lượngngẫu nhiên

Hình 2.1 Hàm phân phối tích lũy F (x) , hàm mật độ phân phối xác suất f (x) và các đặc trưng của tâm nhóm đại lượng ngẫu nhiên:1-điểm trung vị ;2-mốt ;3-kỳ

vọng toán

c) Các số đặc trưng của đại lượng ngẫu nhiên

 Kỳ vọng toán: kỳ vọng toán của đại lượng ngẫu nhiên X kí hiệu mX

được xác định như sau

 Nếu X là biến rời rạc có hàm xác suất P (xi) = Pi, i=1,2…

 Sai lệch bình phương trung bình: Sx = √Dx có cùng thứ nguyên với x

 Hệ số biến phân: để đánh giá độ phân tán người ta sử dụng hệ số biếnphân bằng tỉ số giữa sai lệch bình phương trung bình và kỳ vọng toán

 Điểm phân vị: được gọi là giá trị của đại lượng ngẫu nhiên tương ứng vớixác suất cho trước Điểm phân vị ứng với xác suất 0.5 được gọi là điểm trung

vị Điểm trung vị đặc trưng cho vị trị tâm nhóm của đại lượng ngẫu nhiên

2.3 Áp dụng phương pháp xác suất trong tính toán và thiết kế chi tiết máy

Thiết kế theo xác suất bao gồm:

 Thiết kế theo độ tin cậy

 Thiết kế bền vững

 Thiết kế 6 sigma

Do thời gian nghiên cứu còn hạn chế cộng với tính tiên phong của đề tài dướiđây em xin trình bày phương pháp thiết kế theo độ tin cậy

Một số luận chứng về việc lựa chọn phương pháp thiết kế theo độ tin cậy

 Độ tin cậy là một trong những chỉ tiêu quan trọng nhất của máy và chi tiếtmáy

 Độ tin cậy có ý nghĩa đặc biệt quan trọng trong nền sản xuất cơ khí hóa và

tự động hóa Một cơ cấu hoặc thiết bị nào đó bị hỏng có thể làm hỏng chế độ làmviệc hoặc làm đình trệ toàn bộ hoạt động của dây chuyền sản xuất

 Khi xem xét chất lượng của sản phẩm ta thấy rằng dù sản phẩm đó đượcchế tạo bằng cùng một loại vật liệu, gia công với cùng chế độ như nhau, nhưngchất lượng sản phẩm vẫn không hoàn toàn đồng nhất mà khác nhau một cáchngẫu nhiên Cho dù sản phẩm ban đầu có chất lượng như nhau nhưng sau mộtthời gian nhất định, do tác động của môi trường làm việc điều kiện sử dụngchăm sóc … các chỉ tiêu về chất lượng cũng thay đổi khác nhau

Với những lí do trên đã đi đến việc sử dụng lí thuyết xác suất và thống kê toánvào tính toán thiết kế máy, cụ thể hơn là độ tin cậy của sản phẩm

Khi xem xét độ tin cậy người ta xuất phát từ vấn đề hư hỏng (mất khả nănglàm việc) nghĩa là sự dừng máy bắt buộc do các chỉ tiêu về sử dụng của máy

hoặc chi tiết máy bị tổn hại Hỏng hóc có thể xảy ra ở thời kì chạy mòn của máy,

có thể xảy ra đột ngột hoặc do các nguyên nhân hỏng hóc ngẫu nhiên, có thể bịmài mòn hoặc do mỏi khi máy hoặc chi tiết máy làm việc trong thời gian khálâu

Mặt khác giá thành thiết kế và chế tạo tăng theo sự nâng cao độ tin cậy vàchi phí vận hành của thiết bị có độ tin cậy cao giảm xuống

Để đánh giá độ tin cậy người ta dùng các chỉ tiêu:

 Xác suất làm việc không hỏng R (t)

 Cường độ hỏng f (t)

 Thời gian làm việc cho đến lúc hỏng

2.3.1 Xác suất làm việc không hỏng

Ta khảo sát số lượng lớn N các chi tiết với thời gian vận hành t Giả sử đếncuối thời gian t thử nghiệm còn lại Ns (t) các chi tiết còn khả năng làm việc và

Nf (t) các chi tiết hỏng, xác suất làm việc không hỏng được đánh giá bằng sốlượng tương đối các chi tiết còn khả năng làm việc

F (t) =∫

0

t

f (t) dt

Từ đây ta thấy để tìm ra được xác suất làm việc không hỏng của chi tiết máy

ta cần phải biết và xác định được hàm mật độ phân phối f (t) và biết được quyluật phân phối của nó

Đối với giai đoạn hỏng hóc dần dần cần thiết phải có các quy luật phân phốithời gian làm việc không hỏng, theo quy luật này đầu tiên có mật độ phân phốithấp sau đó đạt đến giá trị lớn nhất và tiếp tục là giảm dần các liên quan đến sựgiảm số các phần tử còn khả năng làm việc

Qua quá trình phân tích và thí nghiệm người ta đã đi đến kết luận thời giancho đến lúc hỏng của nhiều chi tiết tuân theo quy luật phân phối chuẩn Để làm

rõ hơn vấn đề này người ta đã tiến hành làm một cuộc thí nghiệm sau

Bảng 2.4 Thống kê tuổi thọ má phanh của một loại ôtô lấy làm mẫu

Sự phân bố tuổi thọ làm việc của má phanh được biểu diễn dưới dạng đồ thịcác số liệu được xử lí qua các bước sau:

 giá trị nhỏ nhất và cao nhất là 26100km và 86300km lấy tròn là 25000km

và 90000km

 chia giải tuổi thọ thành 13 khoảng, ứng với mỗi khoảng là 5000km

 số lần hỏng hóc xảy ra nằm trong khoảng tương ứng với bảng cho dướiđây

Khoảng tuổi

thọ ( km hoạt

động )

Số lần hỏnghóc được quansát trongkhoảng thờigian

Khoảng tuổithọ ( km hoạtđộng )

Số lần hỏnghóc được quansát trongkhoảng thờigian

 Hình 2.6 biểu thị tỉ lệ phần trăm của tuổi thọ má phanh

 Hình 2.7 biểu thị xấp xỉ của tuổi thọ má phanh, thành một đường cong liêntục

Giá trị trung bình của tuổi thọ má phanh là

σ x =1001 *√ ∑

i=1

100

(xi−´x)2 = 12393,64 (km)

Hình 2.5 Tuổi thọ của má phanh quan sát trong thời gian t

Hình 2.6 Tỷ lệ phần trăm của tuổi thọ má phanh

Hình 2.7 Biểu thị xấp xỉ tuổi thọ má phanh

So với sơ đồ hàm phân phối chuẩn trong xác xuất ta thấy chúng tương đồngnhau

Quy luật phân phối chuẩn là quy luật phổ biến được sử dụng nhiều nhất trongtính toán

 Hàm mật độ phân phối chuẩn:

t ; s: ước lượng kỳ vọng toán và sai lệch bình phương trung bình

do đó với chi tiết có quy luật phân phối chuẩn thì xác suất làm việc không hỏng

sẽ được xác định như sau:

 hàm tích phân của phân phối là hàm xác suất hỏng

Hình 2.7 Hàm mật độ phân phối và hàm độ tin cậy phân phối chuẩn

Người ta thay thế việc tính tích phân bằng cách sử dụng bảng tra Các bảngtra đối với phân phối chuẩn của hàm số theo ttb - mt và S rất phức tạp vì có 2tham số độc lập Có thể thay thế bằng các bảng tra phân phối chuẩn, mà khi đó

mX=0 và sx = 1; đối với phân phối này thì hàm mật độ phân phối:

F0 (x) = 1

Chỉ có 1 biến x, đại lượng x là đại lượng trung tâm bởi vì mx = 0 và Sx =1.Hàm mật độ phân phối được viết trong tọa độ tương đối với gốc tọa độ trên trụcđối xứng đường cong, hàm phân phối tích phân của mật độ phân phối

Từ phương trình này ta suy ra rằng:

Hình 2.8 Các đặc trưngchủ yếu phân phối chuẩn

So sánh các chi tiết với cùng thời gian làm việc cho đến lúc hỏng với các giátrị sai lệch bình phương trung bình khác nhau ta thấy mặc dù giá trị S lớn vẫn cócác chi tiết có tuổi thọ cao, nhưng nếu S có giá trị càng nhỏ thì chi tiết có chấtlượng càng cao

2.3.2 Hàm cường độ hỏng

Tiến hành thử nghiệm các phần tử giống nhau với cùng điều kiện làm việcnhư nhau Giả sử gọi N là tổng số phần tử giống nhau được thử nghiệm, Ns (t) sốcác phần tử còn khả năng làm việc tại thời điểm t, và Nf (t) là số các phần tử bịhỏng trong thời gian t Nếu tiếp tục thử nghiệm thì số các phần tử còn khả nănglàm việc sẽ ngày càng ít đi và số các phần tử hỏng hóc sẽ tăng lên Khi đó độ tincậy của phần tử tại thời điểm t được xác định theo công thức:

Ta có mối quan hệ giữa hàm độ tin cậy và hàm cường độ hỏng

R (t) =e− ∫

0

t

h(t)dt

2.3.3 Thời gian làm việc cho đến lúc hỏng (tuổi thọ )

 Tuổi thọ là khoảng thời gian làm việc của đối tượng tính từ khi bắt đầulàm việc cho đến lúc đạt trạng thái giới hạn, nó là một đại lượng ngẫunhiên

 Tuổi thọ trung bình là kì vọng toán học của đại lượng tuổi thọ

 Tuổi thọ gama phần trăm là tuổi thọ mà đối tượng chưa đạt đến trạng tháitới hạn với xác suất là γ %

2.4 Thiết kế và phân tích theo độ tin cậy bằng các phương pháp phân tích xấp xỉ

2.4.1 Giới thiệu chung

Trong phương pháp thiết kế truyền thống hay còn gọi là thiết kế đơn định,tathiết kế chi tiết máy theo các chỉ tiêu về khả năng làm việc, độ an toàn của chitiết cơ khí hoặc kết cấu là hệ số an toàn Tuy nhiên trong thực tế các đại lượngthiết kế là các đại lượng ngẫu nhiên, sự thay đổi ngẫu nhiên là do 3 nguyên nhânchính:

 Sự thay đổi các thông số: sự gia công không chính xác, tải trọngngoài thay đổi ngẫu nhiên, cơ tính vật liệu

 Sai số mô hình tính toán: công thức xác định ứng suất thu đượctheo nhiều giả thuyết khác nhau

 Sai số do phương pháp tính: chẳng hạn như sai số giữa phươngpháp số và phương pháp giải tích

Trong thiết kế các hệ thống phức tạp sự thay đổi nhỏ các thông số đầu vào lànguyên nhân dẫn đến mất mát chất lượng hoặc không đảm bảo độ tin cậy, antoàn gây nên các hỏng hóc nghiêm trọng cho sản phẩm

Để đơn giản ta có thể chia phương pháp phân tích theo độ tin cậy ra làm hainhóm:

 Phân tích độ tin cậy theo toán học

 Phân tích độ tin cậy theo vật lí

Phân tích độ tin cậy theo toán học thì độ tin cậy của một hệ thống hay mộtchi tiết sẽ được xác định bằng thử nghiệm Hệ thống và các chi tiết đặc biệtthông thường sẽ được thử nghiệm đến hỏng hóc Thời gian hỏng hóc, loại hỏng

hóc và thời gian sữa chữa sẽ được lưu lại Các thông tin về thời gian sử dụngthông thường sẽ được lưu lại và đưa vào cơ sở dữ liệu Sau đó quá trình phântích thống kê sẽ được sử dụng để xác định độ tin cậy của hệ thống

Thực tế thì thiết kế kỹ thuật đã có những bước phát triển đáng kể và chúng ta

đã có một phương pháp thiết kế mới tiến bộ hơn đó là phương pháp thiết kế theo

độ tin cậy trên cơ sở vật lí với sự hỗ trợ của các phương pháp mô phỏng và tổnghợp hiện đại Theo phương pháp này độ tin cậy có thể được tính toán thông quacác công thức vật lý và quá trình mô phỏng bằng máy tính để xác định hỏng hóc Trong một số trường hợp chúng ta không thể có thông tin hàm phân phối củabiến đầu vào mà chỉ biết giá trị mô men, giá trị trung bình, sai lệch chuẩn Khi

đó bài toán phân tích độ tin cậy tìm kiếm các giá trị các mô men các biến đápứng đầu ra khi ta đã biết giá trị mô men của các biến đầu vào

Y = g (X1,X2,X3,…,Xn)

Hàm trạng thái giới hạn Y = g (X) là một hàm biểu diễn mối quan hệ giữa đặctính Y và các biến ngẫu nhiên đầu vào X Khi giá trị của hàm trạng thái giới hạnvượt quá một ngưỡng nào đó thì trạng thái của thiết bị sẽ thay đổi từ trạng thái

an toàn sang trạng thái hư hỏng Nếu ta lấy mức 0 là ngưỡng của hàm trạng tháithì hàm Y= g (x) = 0 sẽ chia không gian của biến thiết kế ra làm hai vùng: vùng

an toàn và vùng hỏng hóc Vì vậy hàm Y= g (X) còn được gọi là hàm trạng tháigiới hạn trong quá trình phân tích và thiết kế theo độ tin cậy

Ví dụ nếu ta có hàm trạng thái giới hạn Y= g (X) = S - L, với S và L tươngứng độ bền và ứng suất, khi đó ta có Y = g (X) = S - L = 0 là hàm trạng thái giớihạn và vùng Y= g (X) = S – L > 0 được gọi là vùng an toàn, còn vùng Y = g (X)

= S - L < 0 được gọi là vùng không an toàn

Trong tính toán độ tin cậy trên cơ sở vật lí thì công thức xác định độ tin cậyđược xác định như sau:

R = P (g (X) >0) và xác suất hỏng là:

F = 1 - R = P (g (X) <0)

2.4.2 Tổng quan quá trình phân tích độ tin cậy

Mục đích của việc phân tích độ tin cậy là để tìm ra đặc tính xác suất của hàmtrạng thái giới hạn Y = g (X) được cho bởi phân phối của các biến ngẫu nhên Xcoi tất cả các biến thiết kế là độc lập tuyến tính

Hàm phân phối tích lũy được xác định theo công thức:

Fy (y) = P (g (X) <y) , xác suất hỏng là giá trị của hàm phân phối tích lũy tại giátrị y = 0

F = P (g (X) <0) = Fy (0) Theo lý thuyết thì ta có thể tính giá trị của hàm Fy (y) theo công thức sau:

Fy (y) =∫…∫f x 1, x

2… x

n

d x1 d x 2 … dx n

Hàm dưới dấu tích phân là hàm hợp của hàm mật độ phân phối của biến X vàđược cho bởi công thức:

Fx1,x2,x3,,,xn =∏

i=1

n

f xi(xi)

Với fxi là hàm mật độ phân phối của biến Xi

Nếu giá trị của hàm phân phối tích lũy Y= g (X) là liên tục thì dựa vào hàmphân phối tích lũy này chúng ta dễ dàng xác định được các đặc tính xác suất củahàm này

Trong thực tế thì việc ước lượng công thức tích phân gặp rất nhiều khókhăn.Vì thường thì các hàm trạng thái giới hạn

Y= g (X) là các hàm phi tuyến của biến X, do vậy điều kiện biên của tíchphân cũng là phi tuyến Vì số biến ngẫu nhiên trong các ứng dụng thực tế thườnglớn, cho nên phải sử dụng tích phân nhiều lớp Khi đó việc tính toán trực tiếp giátrị của hàm trạng thái giới hạn từ các công thức tích phân trên gặp nhiều khókhăn và đòi hỏi mất nhiều thời gian Tùy thuộc vào mức độ phức tạp chúng ta rấthiếm khi tìm thấy một giải pháp tổng thể có thể sử dụng để tính toán các côngthức trên ở các trường hợp khác nhau Và việc sử dụng các công cụ tích phân đểgiải quyết các vấn đề này cũng thường gặp phải các vấn đề khó khăn Vấn đềnày đòi hỏi tìm ra phương pháp tính mới có thể sử dụng đơn giản và tốn ít thờigian

Phương pháp mô phỏng Monte Carlo có thể được sử dụng để ước lượng cáccông thức tích phân trên, tuy nhiên việc sử dụng công cụ này đòi hỏi tốn nhiềuthời gian và nó cũng bị hạn chế bởi tốc độ xử lí của máy tính và khi đó việc chiphí cho việc tính toán các công thức tích phân sẽ rất cao Từ những thập niên gầnđây các phương pháp xấp xỉ đã được nghiên cứu, ứng dụng cho việc tính toáncác công thức này cũng như ứng dụng trong việc tính toán độ tin cậy

Các phương pháp thường được sử dụng trong việc phân tích độ tin cậy làphương pháp mô men thích hợp, phương pháp xấp xỉ bậc nhất và phương phápxấp xỉ bậc hai…Nội dung chính của các phương pháp này đó chính là việc làmđơn giản hóa các công thức dưới dấu tích phân và xấp xỉ hàm trạng thái giới hạn.Tất cả các biến ngẫu nhiên X trong các phương pháp này được giả định là độclập Các phương pháp này cũng có thể được dùng để giải quyết các bài toán vớicác biến thiết kế có quan hệ tương quan, sau khi các biến này được chuyển thànhcác biến độc lập.

 Phương pháp mô men thích hợp

Nếu như đầu vào ta biết được hai giá trị mô men: giá trị trung bình và sailệch bình phương trung bình của biến thiết kế thì ta áp dụng phương pháp mômen thích hợp để ước lượng giá trị trung bình và sai lệch bình phương trungbình của hàm trạng thái giới hạn.Với giả thiết các biến ngẫu nhiên thiết kế

X= (X1,X2 Xn) và các giá trị sai lệch bình phương trung bình của chúng lầnlượt là:

m = (mx1,mx2,…mxn) và S = (SX1,SX2,…,SXn) ;Tuyến tính hóa hàm đặc tính xác suất qua phép khai triển Taylor tại giá trị trungbình

Hàm đặc tính tuân theo quy luật phân bố chuẩn và khi đó xác suất hỏng hóc cóthể được xác định:

Tên gọi của phương pháp này xuất phát từ việc sử dụng các công thức xấp

xỉ trong tính toán: Hàm trạng thái giới hạn g (X) được xấp xỉ bởi kĩ thuật khaitriển chuỗi Taylor bậc nhất

Phương pháp xấp xỉ bậc nhất bao gồm hai bước:

 Chuyển các biến ngẫu nhiên ban đầu sang không gian chuẩn

 Xấp xỉ hàm trạng thái giới hạn

Để chuyển các biến ngẫu nhiên từ không gian ngẫu nhiên ban đầu sangkhông gian chuẩn thì trước tiên hàm dưới dấu tích phân fx (x) được đơn giản hóabằng cách biến đổi các biến ngẫu nhiên Không gian của các biến ngẫu nhiên banđầu X= (X1,X2,…,Xn) được gọi là không gian X Chuyển tất cả các biến ngẫunhiên thiết kế từ không gian X sang không gian chuẩn U với giá trị trung bìnhcủa các biến này bằng 0 và sai lệch chuẩn bằng 1

Fxi (xi) = ∅(u i) với Xi = mxi +Ui.Sxi

Sau khi biến đổi hàm trạng thái giới hạn này có dạng Y=g (U).

Khi đó độ tin cậy được xác định theo công thức:

Sau khi chuyển đổi thì hàm dưới dấu tích phân trong không gian U tương tựnhư hàm dưới dấu tích phân trong không gian X và quá trình biến đổi này khônglàm giảm độ chính xác của kết quả tính toán

Để việc tính toán hàm tích phân ở công thức * được đơn giản hơn thì hàmtrạng thái giới hạn g (U) = 0 được xấp xỉ thành hàm tuyến tính qua phép khaitriển Taylor bậc nhất

g (U) ≈ L(U )= g (u*) +∇ g(u¿

) (U −u¿

)TTrong đó u* = (u1*,u2*,…un*) là điểm khai triển, T là kí hiệu ma trận chuyển vị

và ∇ g¿) là gradient của hàm g (U) tại u*

Gradient ∇ g¿) xác định theo công thức:

xác suất lớn nhất, là điểm thuộc mặt g (U) = 0 và có mật độ phân phối theo U lớnnhất:

‖u‖=√u12+u22, … ,+u n2 là độ dài của véctơ u

Khoảng cách β=¿ ‖u¿‖ được gọi là chỉ số độ tin cậy và theo hình vẽ dưới đây thì

nó chính là khoảng cách ngắn nhất từ bề mặt g (U) = 0 đến gốc tọa độ trongkhông gian U

Tại điểm xác suất lớn nhất u* thì g (U) = 0, cho nên: