1.Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất.. Một kết quả khác.. Với giá trị nào của m thì hệ vô nghiệm.. Với giá trị nào của m thì hệ vô số nghiệm x, y.. Với giá trị nào của a thì
Trang 1CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Xét hệ phương trình: (m 4)x (m 2)y 4
(2m 1)x (m 4)y m
⎧
⎩
Trả lời từ câu 1 đế câu 3
1.Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất
a m≠ − b 3 m≠ − và m 23 ≠ c m≠ − và m 42 ≠
d m 2≠ e Một kết quả khác
2 Với giá trị nào của m thì hệ vô nghiệm
a m = - 2 b m = 2 c m = - 3 d m = 4
e Đáp số khác
3 Với giá trị nào của m thì hệ vô số nghiệm (x, y)
a m = 2 b m = - 3 c m = - 2 d m = 1
e m = 3
Xét hệ phương trình: ax 2y a 1
2x ay 2a 1
+ = +
⎧
⎩
Trả lới các câu hỏi từ câu 4 đến câu 6
4 Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất:
a a≠ − b 2 a≠ + c 2 a≠ ± d 3 a≠ ± 2
e a≠ − 3
5 Hệ thức độc lập giữa các nghiệm là:
a 2x2−2y2+5y x 3 0+ + = b 2(x2−y ) 5y x 2 02 − + + =
c x2−y2+5y x 1 0+ − = d 2(x2+y ) 5y x 3 02 + − − =
6 Với giá trị nguyên nào của a thì hệ có nghiệm nguyên duy nhất
a a= ±1, a= ± b 3 a= ±2, a= ± c 4 a= ± 2
d a= ± 3 e Đáp số khác
7 Định a để hệ có nghiệm thỏa: (x2+y )2 nhỏ nhất:
2x y 5 2y x 10a 5
+ =
⎧
⎩
a a 3
2
= − b a 1
2
= − c a = 1 d a 1
2
=
e Một số khác
8 Định a để hệ có nghiệm thỏa x, y lớn nhất 2x y 5
2y x 10a 5
+ =
⎧
⎩
a 3
4 b 1− 2 c 14 d 1 e
2 3
9 Cho hệ phương trình: mx 2y m 1
2x my 2m 5
⎧
⎩ và các mệnh đề: (I) Hệ có nghiệm duy nhất khi m 2≠
(II) Hệ có vô số nghiệm khi m = - 2 (III) Hệ vô nghiệm khi m = 2 Các mệnh đề nào đúng ?
a Chỉ (I) b Chỉ (II) c Chỉ (III) d Chỉ (II) và (III)
e Chỉ (I) và (III)
10 Tìm điều kiện để hệ có vô số nghiệm: 4x my 1 m
(m 6)x 2y 3 m
⎧
⎩
a m = 3 b m = - 3 c m = 1 d m = 2
e m = - 2
11 Nghiệm của hệ phương trình: x y xy2 2 6
xy x y 5
⎪
⎨ + + =
⎪⎩ là cặp nào ?
a (1, 2) và (2, 1) b (1, 2) c (2, 1)
d (1, 1) e Đáp số khác
Trang 212 Cho hệ phương trình: x xy y a 12 2
x y y x a
+ + = +
⎧⎪
⎨
⎪⎩
Định a để hệ có ít nhất một nghiệm (x, y) thỏa điều kiện: x > 0 và y >
0:
a 0 a 1
4
< ≤ b a 2≥ c a 2 ≥ ∨ 0 a 1
4
< ≤
d a 2≤ ∨ 0 a 1
3
< ≤ e Đáp số khác
13 Nghiệm của hệ phương trình: 2
2
x 3x 2y
y 3y 2x
⎪
⎨
= +
⎪⎩ là cặp nào ?
a (0, 0), (5, 5) b (0, 0), (5, 5), (-1, 2) và (2, -1) c (-1, 2), (2, -1), (0,
0)
d (5, 5), (3, 3) e Một kết quả khác
14 Hệ phương trình: 2x22 3xy y22 15
x xy 2y 8
⎪
⎨
⎪⎩ có bao nhiêu cặp nghiệm (x, y)
nghiệm
15 Hệ phương trình: x2 2xy 3y2 0
x x y y 2
⎪
⎨ + = −
⎪⎩ có cặp nghiệm là:
a ( 1, 1)− − b 3 1,
2 2
⎛− ⎞
⎝ ⎠ c (2, 2), 1 1,
4 3
d 3 1, (3,3)
2 2
⎛− − ⎞
⎝ ⎠ e ( 1, 1), 3 1,
2 2
− − ⎜− ⎟
16 Nghiệm của hệ phương trình:
x y z 9
xy yz zx 27
1 1 1 1
x y z
⎧
⎪ + + =
⎪⎪ + + =
⎨
⎪
⎪ + + =
⎪⎩
là bộ ba nào ?
a (2, 2, 2) b (3, 3, 3) c (4, 4, 4) d (2, 2, 1) e Một kết quả khác
17 Định m để phương trình sau có nghiệm:
y 1 x 1
⎪
⎨ + + =
⎪⎩
a m = 1 b m = 2 c m = - 1 d m = 3 e m =
- 2
18 Hệ phương trình: x2 xy y2 4
x xy y 2
⎪
⎨ + + =
⎪⎩ Có bao nhiêu cặp nghiệm (x,y)
câu trên đều sai
19 Nghiệm của hệ: x22 2y22 2x y
y 2x 2y x
⎪
⎨
a (0, 0),(1, 1) b (-3, -3) c (2, 2),(0, 0) d (0, 0), (3, -3)
e Một kết quả khác
20 Số cặp nghiệm của hệ: 3 3
6 6
x y 3x 3y
⎧ − = −
⎪
⎨ + =
câu trên đều sai
Trang 3HƯỚNG DẪN GIẢI
1b D m 4 (m 2) 3(m 3)(m 2)
2m 1 m 4
x 4 (m 2)
− +
−
2
y m 4 4
2m 1 m
+
−
Nếu D 0≠ ⇔3(m 3)(m 2) 0 m+ − ≠ ≠ − và m 23 ≠ thì hệ có nghiệm
duy nhất
2c Với m = - 3 thì D = 0, Dx= − ≠25 0 :hệ vô nghiệm
3a Với m = 2 thì D = 0, hệ 6x 4y 4 3x 2y 2
3x 2y 2 3x 2y 2
⇒Hệ có vô số nghiệm (x, y) với 3x – 2y = 2 hay: x tùy ý3x 2
y 2
⎧
⎪
⎨ = −
4d Ta có: D a 2 a2 4
2 a
Để hệ có nghiệm duy nhất ⇔ ≠ ⇔D 0 a2− ≠ ⇔ ≠ ± 4 0 a 2
5e Ta có:
2 2
a(x 1) 1 2y 1 2y 1 2x 2(x y ) 5y x 3 0
a(y 2) 1 2x x 1 y 2
− = −
⎩
6a Dx a 1 2 a2 3a 2 (a 1)(a 2)
2a 1 a
+
−
Dy= a a 1 + =2a2−3a 2 (a 2)(2a 1)− = − +
Với a≠ ± ⇒ hệ có nghiệm duy nhất 2
x
−
+ + ; y Dy 2a 1 2 3
+
Vậy x, y nguyên ⇔ + là ước số của 3 a 2
−
⎢− ⎢−
⇔ + =⎢ ⇔ =⎢
⎢− ⎢−
7b Ta có: D 2 1 5,
1 2
10a 5 2
1 10a 5
Hệ có nghiệm:
x
y
D
D
D
⎧ = = − +
⎨
⎪⎩
f '(a) 40a 20,= + f '(a) 0 a 1 f 1 1
⎛ ⎞
= ⇔ = − ⇒ ⎜− ⎟= −
⎝ ⎠ Bảng biến thiên:
⇒ Min (x2+y2= − khi 1) a 1
2
= −
Trang 48c Hệ 2x y 5
x 2y 10a 5
+ =
⎧
⇔ ⎨− + = +
⎩ D = 5 ,
10a 5 2
1 10a 5
x
2 y
D
D
D
⎧ = = − +
⎪⎪
⎪ = =
⎪⎩
f '(a) 16a 4,
⇒ = − + f '(a) 0 a 1,
4
4 2
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ Bảng biến thiên:
1
Max(xy)
2
⇒ = khi a 1
4
=
9d Ta có: m 2 2
D m 4 (m 2)(m 2)
2 m
2m 5 m
+
m m 1
2 2m 5
+
+ Nếu D 0≠ ⇔m≠ ± thì hệ có nghiệm duy nhất 2
Nếu D = 0 ⇔m= ± 2
+ m = 2: Dx = − ≠12 0 : hệ vô nghiệm
+ m = - 2: hệ trở thành: 2x 2y 1
2x 2y 1
− =
⎩ hệ có vô số nghiệm
10e Để hệ có vô số nghiệm trước tiên phải có:
2
4 m
m 6 2
−
+
2
⇔ + + = ⇔ = − ∨ = − Với m = - 2: hệ trở thành: 4x 2y 1 4x 2y 1
4x 2y 1
− − = −
⎧
số nghiệm ⇒m= − (nhận) 2 Với m = - 4: Hệ trở thành:
3 4x 4y 3 2x 2y
2 2x 2y 1 2x 2y 1
⎧
nghiệm
Vậy m = - 2 hệ có vô số nghịêm
11a Hệ SP 6 S 2 S 3
P S 5 P 3 P 2
S = 2, P = 3 không thỏa S2−4P 0≥ (loại) S = 3, P = 2: x 1 x 2
y 2 y 1
⇔⎨ ∨⎨
12c Hệ S P a 1 S a S 1
Với S a
P 1
=
⎧
⎨ =
⎩ điều kiện để x > 0, y > 0 là:
2 2
S 0
a 0
a 4 0
S 4 0
⎧ >
>
⎧
− ≥
⎪
⎩
Trang 5Với S 1
P a
=
⎧
⎨ =
⎩ Điều kiện để x > 0, y > 0 là:
2
S 0
S 4 0
⎧ >
>
⎩
⎪ − ≥
⎩
Vậy a 2 0 a 1
4
≥ ∨ < ≤
13b x22 3x 2y (1)
y 3y 2x (2)
⎪
⎨
= +
⎪⎩ (1) – (2): (x - y)(x + y - 1) = 0
TH 1: y = x thay vào (1): x2=5x⇔ =x 0 ∨ =x 5
x 0= ⇒ = x 5y 0; = ⇒ = y 5
TH 2: x y 1 0+ − = ⇔ = − thay vào (1): y 1 x
x =3x 2(1 x)+ − ⇔x − − = x 2 0
x 1 x 2
⇔ = − ∨ =
x= − ⇒ = x 21 y 2, = ⇒ = − y 1
Vậy hệ có 4 nghiệm: (0, 0), (5, 5), (-1, 2) và (2, -1)
14d Ta thấy x = 0, y = 0 không phải là nghiệm hệ phương trình:
Đặt x = ky thì hệ phương trình đã cho trở thành:
(2k 3k 1)y 15 (1) (k k 2)y 8 (2)
⎪
⎨
⎪⎩
Vì y 0≠ nên (1)và (2) cho k2+9k 22 0− = ⇔k1=2, k2= −11
k = 2 ⇒ =x 2y⇒y2= ⇔ = ± 1 y 1
Vậy nghiệm của hệ: (2, 1) ; (-2, -1)
k = - 11 thì : x 11y y2 1 y 1
= − ⇒ = ⇔ = ±
⇒ nghiệm hệ: 11 1, ; 11 , 1
14 14 14 14
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Tóm lại hệ có 4 cặp
15e x2 2xy 3y2 0 (1)
x x y y 2 (2)
⎪
⎨ + = −
⎪⎩
Ta xem (1) là phương trình ẩn số x ta có: ∆ =' y2+3y2=4y2
x y x 3y
⇔ = ∨ = −
Do đó hệ phương trình trở thành:
y y y y 2 3y 3y y y 2
⎨ + = − ⎨− − + = −
x y 1
x y
3
2
y
= = −
⎡
⎢
⎪
= −
⎪
Đáp số:
3 x 2
x y 1
1 y 2
⎧ = −
⎪⎪
= = − ∨ ⎨
⎪ =
⎪⎩
16b Điều kiện x 0, y 0, z 0≠ ≠ ≠ Hai vế của (3) nhân cho xyz:
x y z 9 (1)
xy yz zx xyz (4)
xy yz zx 27(2)
(2)và(4) xyz 27 (5)
1 1 1 1 (3)
x y z
⎧
⎪ + + =
⎪
⎪ + + =
⎪⎩
Nhân 2 vế của (2) với x, ta được :
x y xyz zx+ + =27x⇔x (y z) xyz 27x+ + = (6) (1)⇔ + = − (7) y z 9 x
Từ (5), (7) thế vào (6) : x (9 x) 27 27x2 − + =
x 9x 27x 27 0 (x 3) 0 x 3
Thay x = 3 vào (1) và (5) : y z 6 y z 3
yz 9
+ =
⎧
⇒ = = ⇒
⎨ =
⎩ Đáp số: x = y = z = 3
Trang 617a x 1 y m(1)
y 1 x 1(2)
⎪
⎨
+ + =
⎪⎩ Điều kiện của hệ: x 0,y 0≥ ≥
Thì y 1+ + x 1≥ ⇒(2)⇔ = = thay vào (1): ta được m = 1 x y 0
Vậy hệ có nghiệm khi m = 1
18c Ta có: x2 xy y2 4 s2 p 4(s x y, p xy)
s s 6 0
p 2 s
⎧ + − = ⎧ = − ⎧ =
⎪
= −
p 0
=
⎧
⎨ =
⎩ thỏa điều kiện
2
s ≥4p ⇒ nghiệm x 0 x 2
y 2 y 0
∨
⎨ = ⎨ =
19d x22 2y22 2x y (1)
y 2x 2y x (2)
⎪
⎨
⎪⎩
3(x y ) x y (x y)(3x 3y 1) 0 1
x y 3
=
⎡
⎢
⎢ + =
⎢⎣
2 2
1
3
⎧
2
(I)
x 3x
=
⎪
− =
⎩
1
x y
3 (II)
5
xy
9
⎧ + =
⎪⎪
⇔ ⎨
⎪ =
⎪⎩
không thỏa điều kiện s2−4p 0≥ ⇒(II)VN Vậy nghiệm số hệ: (0, 0), (-3, -3)
20c x36 y36 3x 3y (1)
x y 1 (2)
⎧ − = −
⎪
⎨ + =
⎪⎩
Ta có: (1)⇔(x y)(x− 2+xy y+ 2− = 3) 0
=
⎨ + =
⎪⎩
⇒ Có 2 cặp nghiệm của hệ : 61 ,61 , 61 , 21
* x26 xy y6 2 3 0(3)
x y 1 (2)
⎪
⎨ + =
⎪⎩
(4) ⇒ x 1≤ và y 1≤ ⇒x2+y2+xy 3≤ Dấu "=" xảy ra ⇔ = = hay x = y = - 1 không thỏa (2) x y 1