CHƯƠNG 2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN Bài 1: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN I.. KIẾN THỨC CẦN NHỚ.. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn... Ví dụ 2: Định m nguyên để phương trình sau có nghiệm
Trang 1CHƯƠNG 2
HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN
Bài 1:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
I KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
a x b y c 0 (I)
a x b y c 0
⎧
⎩ Cách giải: Đặt D = 1 1 1 2 2 1
2 2
a b
a b a b
a b = −
1 1
2 2
b c
b c
2 2
c a
c a
*
x y
D x D
D 0 : (I)
D y D
⎧ =
⎪⎪
⎪ =
⎪⎩
* D = 0 và Dx≠0 hay Dy≠0 : (I)vô nghiệm
* D D= x=Dy=0 : (I)có thể vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm
Chú ý:
Trong thực hành, khi D = 0, ta thường thay vào hệ các giá trị cụ thể
của tham số để kết luận
II CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1:
Định m để hệ sau vô nghiệm:
2 2m x 3(m 1)y 3 (I)
m(x y) 2y 2
⎪
⎨
⎪⎩
Giải Để hệ vô nghiệm, ta phải có trước hết :
23(m 1) 2m
m 2 m
−
−
m 0
1 m 2
⎡
⎢ =
⎢
⎢
=
⎢
⎣
* Với m 0 : (I) 3y 3 y 1
2y 2 x R
⎩ ⎩ không thỏa đề bài
* Với m 3 : (I) 18x 6y 3 3x y 12
3x y 2 3x y 2
⎧
+ =
⎩ ⎪ + =⎩ hệ vô nghiệm
m 3
⇒ = nhận
*
1x 3y 3
m : (I)
⎪⎪
⎪⎩
hệ vô nghiệm m 1
2
⇒ = nhận
Tóm lại hệ vô nghiệm khi m = 3 m 1
2
∨ =
Trang 2Ví dụ 2:
Định m nguyên để phương trình sau có nghiệm nguyên
mx y 3 0
x my 2m 1 0
+ − =
⎧
⎨ + − − =
⎩ Giải
Ta có : D m 1 m2 1 (m 1)(m 1)
1 m
m 2m 1
−
− −
2m 1 1
−
− −
TH1: D 0≠ ⇔m≠ ± nghiệm hệ 1:
x
y
x
D (m 1)(m 1) m 1
D (m 1)(2m 3) 2m 3 1
−
⎪
⎨
⎩
x z∈ và y z 1 z m 1
m 1
+ là ước số của 1 nghĩa là: m 1 1 m 0
⎢ + = − ⎢ = −
TH 2: D = D ⇔m= ± 1
m = 1 : Hệ x y 3 0
x y 3 0
+ − =
⎧
⇔⎨ + − =⎩ ⇒hệ có nghiệm nguyên x t zy 3 t
= ∈
⎧
⎨ = −
⎩ m = - 1 : Hệ x y 3 0
x y 1 0
− + − =
⎧
⇔ ⎨ − + =
⎩ Hệ vô nghiệm ⇒m= − loại 1 Tóm lại: m = 1, m = 0, m = - 2
Ví dụ 3:
Tìm các giá trị của b sao cho với mọi a R∈ , thì hệ phương trình:
2
x 2ay b
ax (1 a)y b
⎧⎪
⎨
⎪⎩ có nghiệm
(ĐH CÔNG ĐOÀN 1998) Giải
D 1 a 2a 2a a 1 (a 1)(1 2a) a1 a
− D 0 a 1 a 1
2
= ⇔ = − ∨ = + a = -1 : hệ x 2y b 2 x 2y b 2
x 2y b x 2y b
2
b b b(b 1) 0 b 0 b 1
⇔ = − ⇔ + = ⇔ = ∨ = − + a 1:
2
= Hệ x y b1 1 2 x y b 2
+ =
⎩
Hệ có nghiệm
b 2b b(2b 1) 0 b 0 b
2
D 0 a 1 a 1
2
≠ ⇔ ≠ − ∧ ≠ thì hệ cho có nghiệm với b∀ Tóm lại với b = 0 thì hệ cho có nghiệm a R∀ ∈
Ví dụ 4 : Cho hệ phương trình : ax y b2
x ay c c
+ =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
1 Với b = 0, hãy giải và biện luận hệ theo a và c
2 Tìm b để với mọi a, ta luôn tìm được c sao cho hệ có nghiệm
Giải
1 Giải và biện luận theoa và c:
b = 0 : hệ ax y 02 y ax 2
x ay c c x a( ax) c c
Trang 32 2
y ax (1)
(1 a )x c c (2)
= −
⎧⎪
⇔ ⎨
⎪⎩
* 1 a− 2≠ ⇔ ≠ ±0 : a 1:Hệ có nghiệm: x c2 2c
1 a
+
=
− ; y a c2 2c
1 a
⎛ + ⎞
= − ⎜⎜ ⎟⎟
−
* 1 a− 2= ⇔ = ±0 a 1: (2)⇔0x c= 2+ c
+ Nếu c2+ ≠ ⇔ ≠ và cc 0 c 0 ≠ −1: (2)VN⇒ hệ VN
+ Nếu c2+ = ⇔ = ∨ = −c 0 c 0 c 1: (2)⇔0x 0= ⇒ Hệ có
nghiệm: x t R
y at
= ∈
⎧
⎨ = −
⎩
x t R
a 1
y t
= ∈
⎧
= ⇒ ⎨ = −
⎩
x t R
a 1
y t
= ∈
⎧
= − ⇒ ⎨ =
⎩
2 Tìm b
Ta có : ax y b2 y ax b 2
x ay c c x a( ax b) c c
y ax b
(1 a )x ab (c c) 0 (*)
= − +
⎧⎪
⇔ ⎨
⎪⎩
Hệ có nghiệm ⇔(*)có nghiệm
+ Nếu 1 a− 2≠ ⇔ ≠ ±0 a 1: (*) có nghiệm duy nhất ⇒ Hệ phương trình
cho có nghiệm b.∀
+ Nếu a = 1: (*) ⇔c2+ − =c b 0x, để có nghiệm c2+ − = thì ta c b 0,
phải có điều kiện để có được c : 1 4b 0 b 1
4
∆ = + ≥ ⇔ ≥ − + Nếu a = - 1: (*) ⇔c2+ + =c b 0x và có nghiệm khi c2+ + = c b 0
để tìm được c ta phải có: 1 4b 0 b 1
4
∆ = − ≥ ⇔ ≤ Vậy để a∀ , ta luôn tìm được c sao cho hệ có nghiệm thì : 1 b 1
− ≤ ≤
Ví dụ 5:
Giả sử hệ phương trình :
ax by c
bx cy a
cx ay b
+ =
⎧
⎪ + =
⎨
⎪ + =
⎩ Có nghiệm Chứng minh rằng: a3+b3+c3=3abc
Giải Gọi (x ,y ) là nghiệm của hệ : 0 0
a bx ab y abc
xa by c
bx cy a b cx bc y abc
cx ay b ac x a cy abc
a (bx cy ) b (ay cx ) c (by ax ) 3abc
a b c 3abc
⇔ + + = (Đpcm)
III BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1.1 Giải và biện luận hệ: (a22 1)x (a 1)y a3 3 1
(a 1)x(a 1)y a 1
⎪
⎨
⎪⎩
1.2 Định m và n để hai hệ phương trình sau cùng vô nghiệm
(m 1)x (2n 1)y 5n 1 (I)
(m 1)x ny 2
⎧
3x (4 n)y 2n 1
⎧
⎨ + − = −
⎩
1.3 Cho hệ phương trình : mx y 2m
x my m 1
+ =
⎧
⎨ + = +
⎩
a Định m để hệ có nghiệm duy nhất Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm
b Định m nguyên để nghiệm duy nhất của hệ là nghiệm nguyên
Trang 4Hướng dẫn và giải tóm tắt
1.1 D= −2(a 1),− Dx= −2a(a2−1), Dy= −2a (a 1)2 −
a 1:≠ nghiệm
x
D
x a(a 1) D
D
D
⎪⎪
⎨
⎪ = =
⎪⎩
a 1:= Hệ 0x 0y 0 x R
1.2
I
2
II
D mn 3n m 1
= − + − +
= − +
Để 2 hệ cùng vô nghiệm, trước tiên ta phải có:
I
2 II
mn 3n m 1 0 (1)
D 0
D 0 m 4 0 (2)
− + − + =
⎧
=
⇔
− + =
⎪
(2) m⇔ = ± 2
m = 2: (1) ⇔ = n 1
m = - 2 : (1) n 3
5
⇔ = −
Thử lại: Với m = 2, n = 1: thay vào hệ (II): 3x 2y 1
3x 2y 1
+ =
⎧
⎨ + =
⎩
⇒ hệ có vô số nghiệm (loại)
m = - 2, n 3
5
= − thế vào hệ (I) và hệ (II) ta có:
2 hệ cùng VN ⇒m= −2,n 3
5
= − (nhận)
1.3 a D m= 2− Hệ có nghiệm duy nhất 1 ⇔ ≠ ⇔D 0 m≠ ± 1
Gọi x và y là nghiệm của hệ, ta có:
mx y 2m+ = m(x 2)− = −y
(x 1)(x 2) y(y 1)
⇒ − − = − là hệ thực độc lập giữa các nghiệm
b Dx=2m2− −m 1, Dy=m(m 1)−
YCBT
m z,m 1
m z,m 1 1
m 1 1
m 1
⎧
⎪ ∈ ≠ ±
∈ ≠ ±
⎧
⎪
⇔⎨ = − ∈ ⇔⎨
⎩
m z,m 1
m 1 1 m 1 1
∈ ≠ ±
⎧
+ = ∨ + = −
⎩