Dành tặng các em học sinh Trường Nguyễn Văn Linh- Trường Trường Chinh - Ninh Thuận

- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên hệ trục tọa độ..  BÀI TẬP:Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số.. Vẽ đồ thị: - Biểu diễn các điểm cực

I.) BẢNG ĐẠO HÀM

1 Phép toán:

U V W U V' ' W'

( )'

U V UV 'U V'

( )'

k U k U '

'

2

' '

u u v u v

−

 

•   = −

 

2 Đạo hàm hàm hợp:

.

y = y u

3 Công thức:

( )' 1

ax '

n n '

u n u − u

( )' '

2

u u

u

'

2

u

 

•   = −

 

sin ' ' os

os ' '.sin

u u c u

log

.ln

a

u u

u a

( )'

a u u a' .lnu a

2

2

2

2

' tan '

os

1 tan '

' cot '

sin

1 cot '

u u

c u

u u u u

u

u u

= +

−

= − +

(Nếu u = x thì u' = 1)

II.) KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm phân

cx d

+

 SƠ ĐỒ KHẢO SÁT.

1 Tập xác định: D = R\{ }x0 với x0 d

c

= −

2 Sự biến thiên:

ad cb y

cx d

−

′ = +

- Nếu y' > 0 thì hàm số đồng biến trên mỗi

khoảng (−∞; x0) ,(x0; +∞)

- Nếu y' < 0 thì hàm số nghịch biến trên mỗi

khoảng (−∞; x0),(x0;+ ∞)

 Cực trị: Hàm số không có cực trị.

 Giới hạn và tiệm cận:

→+∞ = →−∞ =

⇒- Đường thẳng y = a

clà tiệm cận ngang.

Nếu y '< ∀ ∈0, x D thì lim ; lim

x x x x

→ = +∞ → = −∞

Nếu y '> ∀ ∈0, x D thì lim ; lim

x x x x

→ = −∞ → = +∞

⇒ Đường thẳng x = x là tiệm cận đứng0

 Bảng biến thiên:

3 Đồ thị

- Vẽ các đường tiệm cận lên hệ trục toạ độ

- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ,

các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên hệ

trục tọa độ

 BÀI TẬP:Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số

1

x

y

x

+

=

− ; b)

1

x y

x

+

=

1

y x

=

−

Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của y = 2 1

1

x x

−

−

Giải:

1 Tập xác định: D=\ {1}

2 Sự biến thiên của hàm số

 Chiều biến thiên: 2

1

( 1)

x

−

−

⇒ Hàm số nghịch biến trên (−∞;1) ; (1;+ ∞)

 Cực trị: Hàm số không có cực trị.

 Giới hạn và tiệm cận:

lim 2

x

y

; lim 2

x

y

⇒ Đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang

lim lim ; lim lim

⇒ Đường thẳng x=1 là tiệm cận đứng

 Bảng biến thiên.

3 Đồ thị

- Giao của đồ thị hàm số và Ox: y = 0⇒ x=1/2

- Giao của đồ thị hàm số và Oy: x = 0⇒ y=1

- Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;2) làm tâm đối xứng

PHẦN I :HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ

Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 2

.

2 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trùng phương y = ax4+ bx2+ c ( a ≠ 0 ).  SƠ ĐỒ KHẢO SÁT. 1.Tập xác định: D = R 2 Sự biến thiên:  Chiều biến thiên: - Đạo hàm y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) - Xét dấu y' từ đó suy ra sự đồng biến, nghịch biến của hàm số  Cực trị: - Nếu qua x0 mà y' đổi dấu từ (+) sang (-) thì hàm số đạt cực đại tại x0 ; yCĐ = y(x0) - Nếu qua x0 mà y' đổi dấu từ (-) sang (+) thì hàm số đạt cực tiểu tại x0 ;yCT = y(x0)  Giới hạn: - lim ( 4 2 ) , 0 , 0 x a ax bx c a →±∞ +∞ >  + + = −∞ <  .  Bảng biến thiên: 3 Vẽ đồ thị: - Biểu diễn các điểm cực trị (nếu có) lên hệ trục toạ độ - Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn chúng lên hệ trục toạ độ  BÀI TẬP: Bài 1: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số a) 1 4 2 3 2 2 y= x + −x ; b) y = x4− 2 x2 ; c) y = x4+ x2 ; d) y = – x4; e) y = − + x4 4 x2 ; f) y = − 2 x4+ x2− 3 Bài 2: a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 4 2 1 3 ) 2 2 ( 4 y= f x = x + x − (C) b) Từ đồ thị hàm số (C) hãy chỉ ra miền giá trị của f(x) khi x∈ − [ 2;5 ) * Lưu ý: +) Khoảng phải chứa +∞, y’ luôn cùng dấu a +) Hàm số trùng phương bậc 4 luôn có ít nhất một điểm cực trị ( tại x = 0) Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số 4 2 2 3 y = x − x − Giải: 1 Tập xác định: D =  (y f x = ( ) = − − x4 2 x2 3) 2 Sự biến thiên:  Chiều biến thiên: ' 3 4 4 y = x − x= 0 ⇔ x = ± 1 hoặc x = 0 ⇒Hàm số đồng biến trên các khoảng ( 1; 0)− và (1;+∞) Hàm số nghịch biến trên các khoảng(−∞−; 1)và (0;1) Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x=0; y CĐ =f(0)= –3 Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm : 1 CT x =−⇒y CT = f(− 1)= – 4 vàx CT=1⇒y CT = f(1)=– 4 Giới hạn: lim x y →−∞ = +∞ , lim x y →+∞ = +∞ Bảng biến thiên: • 3 Đồ thị: Bảng giá trị: x − 3 –1 0 1 3 y 0 –4 –3 –4 0 - Hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng

.

.

3 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc ba 3 2 ( )

 SƠ ĐỒ KHẢO SÁT.

1 Tập xác định: D = R.

2 Sự biến thiên:

* Chiều biến thiên:

- Đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c

- Xét dấu y' từ đó suy ra sự đồng biến,

nghịch biến của hàm số

* Cực trị:

- Nếu qua x0 mà y' đổi dấu từ (+) sang (–) thì

hàm số đạt cực đại tại x0; yCĐ = y(x0)

- Nếu qua x0 mà y' đổi dấu từ (–) sang (+) thì

hàm số đạt cực tiểu tại x0; yCT = y(x0)

* Giới hạn:

lim ( )

, 0

x

a

ax bx cx d

a

→+∞

+∞ >





lim ( )

, 0

x

a

ax bx cx d

a

→−∞

−∞ >





* Bảng biến thiên:

3 Vẽ đồ thị:

- Biểu diễn các điểm cực trị (nếu có)

- Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ

độ, các điểm đặc biệt và biểu diễn

b) Một số tính chất (dùng để suy luận)

* Điểm uốn là tâm đối xứng

* Điểm uốn là trung điểm của đoạn thẳng nối

điểm cực đại và cực tiểu

* Đồ thì luôn cắt trục hoàn tại ít nhất một điểm và

nhiều nhất 3 điểm

* Nếu y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt thì hàm số

có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu, khi đó

* Nếu y’ = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì

hàm số không có cực trị

 BÀI TẬP: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

a)y= f x( )= +x3 3x2−4 ; b)y f x= ( )=− +x3 3x

c) y= f x( )= −x3 1 ; d) y f x= ( )=− +2x3 3

Ví dụ: Khảo sát,vẽ đồ thị hàm số y=− + +x3 3x2 1

Giải:

1.Tập xác định: D = R.

2 Sự biến thiên:

 Chiều biến thiên:

- Ta có : y’ = – 3x2 + 6x

y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

Dấu y’

Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞;0); (2;+∞) Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2)

 Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 5 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = 1

 Giới hạn:

 Bảng biến thiên:

3 Vẽ đồ thị:

Bảng giá trị:

+) Đồ thị hàm số nhận (1; 3) làm tâm đối xứng

SƠ ĐỒ CHUNG VỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

1 Tập xác định.

Tìm TXĐ của hàm số

2 Sự biến thiên.

Xét chiều biến thiên của hàm số:

+Tính y’và tìm xi mà f’(xi)=0 hoặcf’(xi)không xác định

+ Xét dấu y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số

* Tìm cực trị

* Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực

suy ra tiệm cận (nếu có)

* Lập bảng biến thiên

(Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên).

3 Đồ thị:

- Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định

ở trên để vẽ đồ thị

- Xác định thêm một số điểm đặc biệt khác

BÀI TẬP: Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số a) y = x2−2x+3 ; b) 2 1

1

x y x

+

= +

3

= + với x∈[0;3 ]

Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 4

.

III.CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

Bài toán 1: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM

PHƯƠNG PHÁP:

* Hàm số y = f(x) có đồ thị (C), điểm Mo(xo;yo) thuộc (C)

* Tiếp tuyến tại Mocó hệ số góc k = f’(xo)và có phương trình :

y – yo = f’(xo)(x – xo)

• Để viết phương trình tiếp tuyến trên cần xác định: xo , yo = f(xo) và f’(xo)

Ví dụ 1: Cho đường cong (C) y = x3

Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :

a.Tại điểm A(–1 ; –1)

b.Tại điểm có hoành độ bằng –2

c.Tại điểm có tung độ bằng –8

Giải:

y = f(x) = x3 , f’(x) = 3x2xác định trên R

a) Ta có A(–1 ; –1) thuộc (C)

xo = –1 , yo = –1 , f’(–1) = 3

Vậy tiếp tuyến : y + 1 = 3(x + 1) hay y = 3x + 2

b)Ta có x0= –2⇒ yo= f( 2)− = −8và f '( 2) − = 12

⇒Phương trình tiếp tuyến là :

y = 12(x+2) – 8 hay y =12x + 16

c)Ta có tung độ y0= –8

⇔ f(x0)= – 8 ⇔ 3

0

x = – 8 ⇔ x0= – 2

⇒ f’(x0)=12 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là:

y = 12(x+2) – 8 hay y = 12x + 16

Ví dụ 3: Cho hàm số y 2x 1

+

=

− (C) Viết phương

trình tiếp tuyến của đồ thị (C),biết hệ số góc của

nó bằng –5

Giải:

* Tiếp tuyến tại điểm (xo; yo)

có hệ số góc bằng –5 khi chỉ khi :

f’(xo) = –5⇔ 2

0

5

5 (x 2)

− ⇔ x0 = 3 hay x0 = 1

* Với x0 = 3 ⇒y0=f (3) = 7 và y’(3) = –5

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y – 7= –5(x –3) hay y = –5x + 22

* Với x0 = 1⇒y0(1) = –3 và y’(1) = –5

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y + 3 = – 5(x – 1) hay y = – 5x + 2

* Vậy có 2 tiếp tuyến có hệ số góc là k = –5 là

d1 : y = –5x + 22 và d2: y = – 5x + 2

Ví dụ 3: Cho đường cong (C) y = x3 Viết phương

trình tiếp tuyến tại các điểm trên (C):

a) Biết tiếp tuyến song song với Δ: y = 3x + 1

b*)Biết tiếp tuyến vuông góc với (d): 2x +3y–4 = 0

Giải:

Ta có : y = f(x) = x3,f’(x) = 3x2xác định trên R

a) Vì tiếp tuyến song song với y = 3x + 1

Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3

⇔f’(x0) = 3 ⇔ 3.x = 302 ⇔ x0= ±1

Với xo=1 ⇒f(xo)=1 ⇒ Phương trình tiếp tuyến là:

y = 3(x –1) + 1 hay y = 3x – 2 ( thỏa nãn) Với x0= –1 ⇒ f(x0)= –1 ⇒

Phương trình tiếp tuyến là:

y = 3(x +1) –1 hay y = 3x + 2 ( thỏa nãn)

Ví dụ 4 Cho hàm số y = 1 3

3x − +x có đồ thị (C)

Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt tia Ox,Oy lần lượt tại A,B sao cho OB = 2OA

Giải:

Hệ số góc của tiếp tuyến : k= tan = – OB

OA= – 2 Giả sử (xo;yo) là các tiếp điểm

⇒f’(xo)= – 2⇔xo2– 2 = – 2

⇔ xo = 0⇒ yo = f(0) = 3 Vậy tiếp tuyến : y – 3 = – 2(x – 0) hay y = –2x + 3

BÀI TẬP:

y= f x = − x + (C).Viết

phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A nằm trên (C) có hoành độ bằng – 1 ĐS: y= − −6x 1

y= f x = −x Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm của nó với

Bài3 :Cho hàm số y= f x( )=x4−2x2 Viết

phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm uốn

Bài 4 : Cho hàm số 4

4

y x

=

− (C).Viết phương

trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ là 3

* Chú ý : Đường thẳngd1:y=k1x+b1và d2:y=k2x+b2 +) Song song 1 2

1 2

⇔ 





=

≠ +) Vuông góc⇔ k k1 2 =−1

* Bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm (thuộc chương trình nâng cao).

+) Hai hàm số y =f(x) và y =g(x) tiếp xúc nhau tại

các điểm thỏa mãn : { ( ) ( )

'( ) '( )

f x g x

f x g x

=

=

+) y = kx + b là tiếp tuyến của ( ) {( ) x

'( )

y f x f x k b

=

=

Bài toỏn 2: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO.

PHƯƠNG PHÁP:

* Cho hai hàm số y =f(x) cú đồ thị (C1) và y =g(x) cú đồ thị (C2)

+) Phương trỡnh hoành độ giao điểm : f(x) = g(x) (1)

+) Số giao điểm của (C1) và (C2) bằng số nghiệm của phương trỡnh (1)

+) Khi đú cỏc giao điểm (xo; f(xo) )

* Đường thẳng y = m (y = k(m)) là đường thẳng song song trục hoành

cắt trục tung tại điểm ( 0; m)

Dạng 1: Dựa vào đồ thị (hoặc bảng biến thiờn) biện luận số nghiệm của phương trỡnh

Vớ dụ 1 Cho hàm số y = x3– 3x2 + 4 (C).Tỡm toạ

độ cỏc giao điểm của (C) và đường thẳng y = 4

Giải:

Phương trỡnh hoành độ giao điểm :

x3– 3x2 + 4 = 4

⇔ x3– 3x2= 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 3

+) Với x = 0 ⇒ Giao điểm (0 ;4)

+) Với x = 3 ⇒ Giao điểm (3 ;4)

Vớ dụ 2 Tỡm toạ độ cỏc giao điểm của đồ thị hàm

số y = 2x3 + 3x2 (C)và hàm số y = 6x2– 2x + 1 (P)

Giải:

Phương trỡnh hoành độ giao điểm :

2x3 + 3x2 = 6x2– 2x + 1

⇔ 2x3– 3x2+ 2x – 1 = 0

⇔ (x – 1)(2x2– x + 1) ⇔ x = 1

+) Với xo = 1⇒yo = 6xo2– 2xo + 1= 5

⇒ Giao điểm (1 ;5)

Vớ dụ 4 Cho hàm số 1 3 3 2

5

a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hs (C)

b) Tỡm cỏc giỏ trị của tham số m để phương trỡnh

x3– 6x2 + m = 0 cú 3 nghiệm thực phõn biệt

Giải:

b) x3– 6x2 + m = 0

⇔ 1 3 3 2

m

Để phương trỡnh cú 3

nghiệm phõn biệt thỡ

đường thẳng y = 5

4

m

− + cắt (C) tại 3 điểm phõn

4

m

− < − + < ⇔ <0 m <32

Vậy với m∈( 0 32; )thỡ phương trỡnh cú 3 nghiệm

thực phõn biệt

Vớ dụ 3 Cho hàm số: y= − +x3 3x2−1

a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị của hàm số

b)Tuỳ theo giỏ trị của m, biện luận số nghiệm của

phương trỡnh: − +x3 3x2− =1 m

Hướng dẫn

b) Số nghiệm của phương trỡnh là số giao điểm của

2 đồ thị = − +3 2−

Dựa vào đồ thị ta cú kết luận:

>







=







3

* ương trình có 1 nghiệm

m < -1 3

* phương trình có 2 nghiệm

m = -1

* -1< m < 3: Phương trình có 3 nghiệm

m

Ph m

Vớ dụ 5 a) Khảo sỏt đồ thị hàm số 3 2

y= +x x −

b) Tỡm m để phương trỡnh: sin3x – 3cos2x = m + 1

vụ nghiệm

Giải:

b) Đặt sinx = t(− ≤ ≤1 t 1)

Phương trỡnh

sin3x – 3cos2x = m + 1 trở thành :

t3– 3(1 – t2) = m + 1

⇔t3+3t2– 4 = m (1)

Xột hàm số :y =f(t) = t3 +3t2–4 trờn [ ] − 1;1

* Dựa vào đồ thị hàm số 3 2

y= +x x −

Ta cú đồ thị hàm số y =f(t) (nột liờn trờn hỡnh)

* Để phương trinh đó cho vụ nghiệm thỡ y =f(t)

khụng cắt y = m, từ đú ta cú kết luận

Với m < –4 hoặc m > 1 phương trỡnh vụ nghiệm

BÀI TẬP: Cho hàm số y= − −x3 3x 1; gọi đồ thị hàm số là (C)

a) Khảo sỏt sự biến thiờn và vẽ đồ thị hàm số

b) Dựng đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trỡnh x3−3x− − =1 m 0

Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 6

.

Dạng 2 Dựa vào tính chất phương trình biện luận số giao điểm của hai đồ thị.

Ví dụ 1 Xác định m để hàm số 2 1

1

mx y x

−

= + (Cm) cắt

đường thẳng y = x + m tại2 điểm phân biệt

Giải:

* Phương trình hoành độ giao điểm :

1

mx

x

−

+ = x + m

⇔x2+ (1 – m)x + m +1 = 0 (1) với x ≠-1

*Để hàm số (Cm) cắt đường thẳng tại 2 điểm phân

biệt thì (1) có 2 nghiệm khác -1, khi đó :

0

( 1) 0

2

a

f

≠

≠

− + + + ≠

⇔

− ≠



1 2 2

m

≠ −

⇔

− − >







1 2

3 2 3

3 2 3

m m m

≠ −

> +













m

*Vậy m∈ −∞ −( ; 3 2 3) (∪ 3+2 3;+∞)thì(Cm)

cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt

Ví dụ 2 Xác định m để hàm số 1 4 3 2 5

y= mx − x + (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt

Giải:

* Phương trình hoành độ giao điểm :

5 0

4mx −2x + = 4 2

* Đặt x2 = t , Phương trình (1) trở thành :

2

*Để hàm số (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân

biệt thì (1) có 4 nghiệm phân biệt ,suy ra (2) có 2

nghiệm dương phân biệt ,khi đó :

0

9

0 9

20

m m

m

>

∆ > − >



20

m∈ thì(Cm) trục hoành tại 4 điểm

phân biệt

Ví dụ 3 Xác định m để y = x2– 2mx + 1+m2(P)

cắt đường thẳng y = 2x + 1 tại hai điểm phân biệt

A và B nằm về cùng một phía với trục hoành

Giải:

* Phương trình hoành độ giao điểm :

x2– 2mx + 1+ m2 = 2x + 1

⇔ x2– 2(m+1)x + m2 = 0 (*)

* Để parabol cắt đường thẳng tại 2 điểm phân biệt

thì (*) phải có hai nghiệm phân biệt,khi đó:

2

m

⇔ > −

* Giả sử x1 và x2 là hai nhiệm của (*),

khi đó 1 2 2

1 2

=





tọa độ giao điểm: A(x1;y1)với y1= 2x1+1

và B(x2;y2)với y2= 2x2+1

* Vì A và B nằm về cùng một phía với trục hoành

⇒y1.y2 > 0 ⇔ (2x1 + 1)( 2x2 + 1) > 0

⇔ 4 x1 x2 + 2(x1 + x2 ) + 1 > 0

⇔ 4m2+ 2(2m + 2) + 1 > 0

⇔ 4m2+ 4m + 5 > 0 ( luôn đúng )

2

m > − thỏa mãn bài toán

BÀI TẬP:

Bài 1: Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

=

− .Tìm các giá trị m để

đường thẳng y=mx+2 cắt đồ thị hàm số đã cho

tại 2 điểm phân biệt (ĐS: m < -12 hoặc m > 0)

( ) 3 4

y= f x = +x x − a) khảo sát hàm số

b) Biện luận số nghiệm phương trình

3 2

x + x + =m tuỳ theo giá trị của tham số m

Bài 3: Cho hàm số ( ) 1 4 2 3

y = f x = x +x − a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Biện luận số nghiệm phương trình

2 4

x + x + =m tuỳ theo giá trị của tham số m

Bài 4: Xác định m để hàm số

2 3

y=mx + x + − m.cắt đường thẳng y = 3x –m tại

3 điểm phân biệt thỏa mãn x12+x22 +x32 = 5

*Định lý về dấu tam thức bậc hai :

2

b

 Nếu Δ < 0 (Δ’< 0) thì a.f(x) > 0 với x R∀ ∈

 Nếu Δ = 0 (Δ’= 0) thì a.f(x) > 0 với x 2b

a

−

∀ ≠

 Nếu Δ > 0(Δ’>0),tam thức có 2 nghiệm (x1< x2)

a.f(x) > 0 khi 2

1

x x

x x

>

<



 (hayx∈ −∞( ) (;x1 ∪ x2;+∞)) a.f(x) < 0 khi x1< <x x2 (hay x∈(x x1; 2) )

Dạng 3* Biến đổi đồ thị trong bài toán tương giao

 Hàm số ( ) ( ) nêu ( ) 0

( ) nêu ( ) 0

f x f x

y f x

f x f x

≥



 ⇒ Đồ thị hàm số y= f x( ) gồm hai phần

Phần 1: Là phần phía trên trục hoành của đồ thị hàm số y = f(x)

Phần 2: Là đối xứng của phần nằm phía dưới trục hoành của y = f(x).

 Hàm số (| |) ( ) nêu 0

( ) nêu 0

≥



 ⇒ Đồ thị hàm số y= f(| |)x gồm hai phần

Phần 1: Là phần phía bên phải trục tung của đồ thị hàm số y = f(x)

Phần 2: Là đối xứng của phần1 qua trục tung.

 Hàm số y= f x( + +a) b được suy ra bằng cách tịnh tiến y = f(x) theo u= −( a b; )

y= x − x gồm hai phần

Phần 1: Là phần phía

trên trục hoành của đồ thị hàm số y = 2x 4 - 4x 2

Phần 2: Là đối xứng của

phần nằm phía dưới trục hoành của y = 2x 4 - 4x 2

Ví dụ 1 Cho hàm số y = 2x4- 4x2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

2)Với các giá trị nào của phương trìnhx2|x2- 2|=

m có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ?

 Hướng dẫn:

Bài toán 3: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Dạng 1 Tìm cực trị của hàm số.

 Phương pháp: Dựa vào 2 qui tắc để tìm cực trị của hàm số y = f(x).

Qui tắc I.

B1: Tìm tập xác định

B2: Tính f’(x) Tìm các điểm tại điểm f’(x) = 0

hoặc f’(x) không xác định

B3 Lập bảng biến thiên

B4: Từ bảng biến thiên suy ra các cực trị

Qui tắc II.

B1: Tìm tập xác định

B2: Giải phương trình f’(x) = 0, tìm các nghiệm xi

B3: Tính f ”(xi) B4: Dựa vào dấu của f ” (xi) suy ra cực trị

+ f ”(xi) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại xi;

+ f ”(xi) < 0 thì hàm số có cực đại tại xi)

•Chú ý: Qui tắc 2 thường dùng với hàm số lượng giác hoặc khi việc xét dấu f’(x) phức tạp.

Ví dụ 1 Tìm cực trị của hàm số y= + − −2x3 3x2 36 10x

Giải:

Cách 1(Qui tắcI )

* Tập xác định : D = R

3

x y

x

=



* Bảng biến thiên

Vậy x =-3 là điểm cực đại và ycđ=71

x = 2 là điểm cực tiểu và yct = - 54

Cách 2(Qui tắc II)

* Tập xác định : D = R

y = x + x−

3

x

x

=



* y”= 12x + 6

* Mặt khác :

y’’(2) = 30 > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại

x = 2 và yct = - 54

y’’(-3) = -30 < 0 nên hàm số đạt cực đại tại

x = -3 và ycđ=71

BÀI TẬP: Tìm cực trị của các hàm số sau:

2

x+1 ) y = 10 + 15x + 6x ; c) y = x 4 - x ; d) y = ; e) y = 2sinx + cos2x

Biờn soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 8

.

Dạng 2 Xỏc lập hàm số khi biết cực trị

 Phương phỏp:

* Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x = a '( ) 0

''( ) 0

f a

f a

=





* Hàm số y =f(x) đạt cực đại tại x = a '( ) 0

''( ) 0

f a

f a

=



 * Hàm số y =f(x) đạt cực tiểu tại x= a

'( ) 0 ''( ) 0

f a

f a

=





Vớ dụ 1 Tỡm m để hàm sốy= x3–3mx2+(m -1)x+2

đạt cực tiểu tại x = 2

Giải:

Cỏch 1: y' 3= x2 −6mx m+ −1

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 khi chỉ khi

2

3.(2) 6 2 1 0

'(2) 0

m 1

y

+ − =

 BÀI TẬP:

Cỏch 2: y' 3= x2 −6mx m+ −1 Hàm số đạt cực trị tại x = 2 thỡ y’(2) = 0

⇔3.(2)2−6 2m + − = ⇔ =m 1 0 m 1

Với m = 1 ta được hàm số: y = x3– 3x2 + 2 cú :

2

x

x

=



tại x = 2 hàm số đạt giỏ trịcực tiểu Vậy m = 1 là giỏ trị cần tỡm

Bài 1 Xỏc định m để hàm số y mx= 3+3x2+5x+2 đạt cực đại tại x = 2

Bài 2 Tỡm m để hàm số = 3− 2+ −2 +

( ) 5 có cực trị tại x = 1 Khi đó hàm số có 3

Bài 3 Tỡm m để hàm số = 3− 2+ 2 −

2 2 đạt cực tiểu tại x = 1

Bài 4 Tỡm cỏc hệ số a, b, c sao cho hàm số: f x( )=x3+ax2+bx c đạt cực tiểu tại điểm x = 1, f(1) = -3 và đồ+

thị cắt trục tung tại điểm cú tung độ bằng 2

Dạng 3 Tỡm m để hàm số cú cực trị và cực trị thoả món một tớnh chất nào đú.’

 Hàm số y=ax3+bx2+ +cx d a ( ≠0) cú cực trị khi và chỉ khi phương trỡnh y’ = 0 cú hai nghiệm phõn biệt

 Hàm số y=ax2+bx c a+ ( ≠0)luụn cú 1 điểm cực trị

 Hàm số y=ax4+bx2+c a ( ≠0)cú ( 2 )

2

0 (1)

k

=



+) Để hàm số cú 3 cực trị thỡ (2) cú 2 nghiệm phõn biệt khỏc 0 , khi đú K > 0

+) Để hàm số cú 1 cực trị thỡ (2) vụ nghiệm hoặc cú nghiệm duy nhất x = 0 , khi đú K≤ 0

+

a x

a x

b

Vớ dụ 1: Xỏc định m để hàm số sau cú 2 điểm

cực trị y = 1 3+ 2+( +6) −1 ;

 Hướng dẫn.

Để hàm số cú cực trị thỡ phương trỡnh:

x + mx m+ + =

>



⇔ ∆ = 2− − > ⇔  < − 3

2

m

m

Vớ dụ 2: Tìm m để hàm số sau có cực đại và cực

tiểu y=(m+2)x3+3x2+mx−5

Giải:

Hàm số có cực đại và cực tiểu

⇔phương trìnhy'(x)=0có 2 nghiệm phân biệt

⇔ 3(m+2)x2 +6x+m=0có 2 nghiệm phân biệt

⇔ − < ≠ − <

 BÀI TẬP:

3

+

− + + +

y=x + mx + m + cú ba điểm cực trị

Bài 3: Tìm m để hàm số f(x)=2x3 +3(m−1)x2 +6(m−2)x−1 có đường thẳngđi qua CĐ,CT song song với

đường thẳng y=ax+b

Bài toán 4 : TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.

PHƯƠNG PHÁP:

Cách 1:

(Áp dụng chung)

- Lập bảng biến thiên

của f x trên D.( )

- Từ bảng biến thiên

suy ra GTLN, GTNN

Cách 2: (Nếu f x liên tục trên D = [a;b])( )

- Tìm các điểmx x1, 2,…,x ntrên khoảng (a;b)

mà tại đó ,

( )

f x bằng 0 hoặc ,

( )

f x không tồn tại.

- Tính f a f x( ), ( ), ( ),1 f x2 …, ( ), ( )f x n f b

- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các

số trên

-Ta có:

min ( ) , max ( )

Cách 3: (Dùng tính chất bất

đẳng thức) m≤ f x( )≤M và

Tồn tại: f(x1) = m với x1∈D f(x2) = M với x2∈D, min ( )

x D

∈

max ( )

x D

∈ = khi x = x2

Ví dụ1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm

y x

x

= + trên khoảng (0;+ ∞)

Giải(C1)

* Xét hàm số y= f x( )= +x 1

x trên D =(0;+∞)

* Ta có:

2

2

−

Ta có

0

lim ( )

x f x

x f x

* Bảng biến thiên

(0; )

minf x 2

x∈ +∞ = khi x = 1

Hàm số không có giá trị lớn nhất

Ví dụ2:Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

f (x) = x − ln(1 2x) − trên đoạn [-2; 0]

Giải(C2):

* Xét hàm số f (x)=x2−ln(1 2x)− trên D = [-2;0]

* Ta có : f’(x) = 2x +

2

=

f’(x) =0⇔ x = 1(loại) hay x = 1

2

− (nhận);

* Vì f(x) liên tục trên [-2; 0] , mà

2

−

4 −

* Vậy :

[ 2;0]

max f (x) 4 ln5

[ 2;0]

1 min f (x) ln 2

4

2

−

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của

hàm số f x( )=cos4x+sin4x

Giải(C3):

* f x( )=cos4 x+sin4x

= (cos2x + sin2x )2– 2sin2x cos2= 1–1

2sin

2

2x

Ta có 0 ≤ sin22x ≤ 1

⇔ 0 ≥ –1

2sin

2

2x ≥ – 1

2

⇔ 1 ≥ 1 – 1

2sin

2

2x ≥ 1

2

2

sin 2x

1 min ( )

2

sin 2

2

 BÀI TẬP:

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) các hàm

số sau:

3

) f(x) = x 3 9 1 trªn [-4; 4]

b) f(x) = x 5 4 trªn ®o¹n [-3; 1]

c) f(x) = x 8 16 trªn ®o¹n [-1; 3]

d) f(x) = x 3 9 7 trªn ®o¹n [-4; 3]

x x

e) y= 3x+2 cosxtrên 0 ;

2



f)

2

1 1

x y

+

=

− + ; j)

2

4

y= +x −x

g) y=cos 22 x−sin cosx x+4 ; l)y=cos4x+sin6x

(3 ) 1

y= −x x + trên đoạn [0;2] ;

i ) ( ) 3 2 3 2 5 1 f x = x − x − x+ trên [ ]0;3 ; k) ( ) x x e f x e e = + trên đoạn [ ln 2 ; ln 4 ] ;

m) f x( )=ln(x+ 5+x2)trên đoạn [-2;2]

Biên soạn: Nguyễn Đức Thắng – THPT Nguyễn Văn Linh – Ninh Thuận 10

.

Bài toán 5: TÌM ĐIỂM ĐẶC BIỆT.

 Điểm thuộc đồ thị hàm số y = f(x) luôn có dạng: M(a;f(a))với a D(tập xác định)

 Điểm uốn: Hoành độ điểm uốn của hàm số y = f(x) là nghiệm của phương trình f"(x) = 0

 Điểm cực trị: Điểm M(x o ; f(x o )) nếu '( ) 0

''( ) 0

o

o

f x

f x

=



 .( Hoành độ là nghiệm của phương trình: f'(x) = 0 )

 Điểm tọa độ nguyên của hàm phân thức dạng 1 1

a x b y

a x b

+

=

b

a x b

= +

+ : a, b nguyên)

Khi đó a x2 +b2là các ước của b

Ví dụ 1: Cho hàm số y 3x 1

x 1

−

= + có đồ thị (H).

Tìm các điểm trên (H) có toạ độ là các số

nguyên

Giải :

−

Điểm M(xo; yo)∈ (H) với x, y thuộc Z

4

Z

x 1

+ ⇒ x + 1 là ước số của 4.

Vậy trên (H)có 6 điểm có tọa độ là các số nguyên:

(0; -1), (–2; 7), (1; 1), (–3; 5), (3; 2), (–5; 4)

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x4- 6x2.Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm uốn

Giải :

Ta có y' = 4x3– 12x , y"= 12x2–12 y” = 0 ⇔12x2– 12 = 0 ⇔x2 = 1⇔ x= ±1 +) Với x = 1 ⇒y(1) = – 5 ⇒y'(1)= –8

Phương trình tiếp tuyến:

y = – 8(x – 1) – 5⇔ y = – 8x + 3 +) Với x = 1 ⇒y(–1) = – 5 ⇒y'(– 1)= 8

Phương trình tiếp tuyến:

y = 8(x + 1) – 5 = 0 ⇔ y = 8x + 3

Ví dụ 3: Cho hàm số y 1

x

= ,có đồ thị (C).Tìm điểm M thuộc (C) ,biết OM = 2

Giải :

Giả sử M a;1

a

 thuộc (C) với a≠0, theo bài ra

2

a

 

 

2

⇔ = ⇔ =± ⇒ ≡M M1(1;1)hoặc M M≡ 2( 1; 1)− −

IV.CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN.

Bài 1: Cho hàm số 3 2

y= x − x +

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b) Tính khoảng cách giữa 2 điểm cực đại của đồ thị

hàm số (ĐS: d=2)

Bài 2: Cho hàm số 2

1

y x

=

− ; có đồ thị (H)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (H) biết tiếp

tuyến song song với đường thẳng d: x+ − =2y 5 0

Bài 3: Cho hàm số 3 2

y= −x x + , gọi đồ thị (C)

Trên (C) lấy điểm A có hoành độx A =2.Viết

phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (C) tại A.

Bài 4: Cho hàm số 3

2

y x

=

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Tìm k để đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ, có

hệ số góc k, cắt (C) tại hai điểm phân biệt

c) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 5: Cho hàm số 2 3

1

x x

− +

= có đồ thị (C)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b) Tìm các điểm trên đồ thị ( )C của hàm số có tọa

độ là những số nguyên

Bài 6: Cho hàm số y= −x3 3x2+4(C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành

Bài 7: Cho hàm số 1 4 4 2 6

2

y= x − x + (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của (C) b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình

1

− + + = có 4 nghiệm phân biệt

Bài 8: Cho f x x (m 1)x (m 4m 2)x

3

2 )

a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu

b) Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên